《圆锥的体积》公开课优秀教学设计

圆锥的体积

大埔县大埔小学饶素香

设计理念：

《数学课程标准》指出“动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”数学的学习方式不能再是单一的、枯燥的、以被动听讲和练习为主的方式，而应该是一个充满生机和活力的过程。教师应想方设法为学生自主学习、主动探索创造条件，为学生自动感悟、独立思考引路搭桥。学生要有充分的从事数学活动的时间和空间，在自主探索、亲身实践、合作交流的氛围中，解除困惑；在亲身体验和探索中认识数学，解决问题，理解和掌握基本的数学知识、技能和方法。

圆锥的体积这部分知识是学生在有了圆锥的认识和圆柱体积相关知识的基础上进行教学的。在知识与技能上,通过对圆锥体的研究,经历并理解圆锥体积公式的推导过程,会计算圆锥的体积；在方法的选择上,抓住新旧知识间的联系,通过课件演示、猜想、实践操作,从经历和体验中验证,让学生在自主探索与合作交流过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能,数学思想和方法,使学生真正成为学习的主人。

教材分析：

本节课要研究的是圆锥体积的计算，是在学生学习了求圆柱的体积及圆锥的认识之后，学习的又一个求立体图形的体积的内容，是小学阶段学习的最后一个解决“空间与图形”问题的内容，也是前一阶段所学知识的发展与升华。怎样计算圆锥的体积呢？教科书改变了过去用等底等高的圆柱、圆锥容器装沙（水）的办法，而采用如下所示的实验方法推导圆锥的体积计算公式：首先提出圆锥体积也等于底面积乘高的猜想；接着进行实验：把等底等高的实心圆柱和实心圆锥分别没入盛有水的同一个水槽的中，再分别记录下实心圆柱和实心圆锥没入水中后水位上升的高度；最后根据实验发现水槽中水上升部分的体积与圆柱、圆锥体积的关系，让学生发现圆锥没入水中后，水位上升的高度只有圆柱没入水中时水

位上升高度的1

3

。通过这一探索活动，引导学生由圆柱体积推导出圆锥体积计算

公式V＝1

3

Sh。

学情分析：

之前学生已经学过，圆柱体积是把它转化成长方体的体积，推导出了它的体积公式。在探索圆锥体积计算方法的基础上，教师渗透类比的思想，引导学生猜想圆锥体积是否与圆柱体积有关呢？从而引导学生用实验的方法，亲身感受等底等高的圆柱与圆锥体积之间的3倍关系。但是学生难以发现隐藏在试验中的“等底等高”这一条件，这是实验过程中的一个盲点。为突破这一难点，必须让学生亲自通过反复实验进行对比，推导出圆锥的体积计算公式，从而加深对公式的理解。

教学目的:

1、知识与技能：使学生理解并掌握圆锥体积计算公式的推导过程,会利用公式计算圆锥的体积,会解决日常生活中有关的简单的实际问题。

2、过程与方法：让学生在经历猜想——验证,合作——探究的教学过程中，理解圆锥体积公式的推导过程,渗透“转化”的数学思想。

3、情感、态度与价值：在活动中使学生的观察、比较、分析、归纳、推理等能力得到发展，合作意识、协作精神得以增强，空间观念得到强化。

教学重点:掌握圆锥体积计算公式的推导过程,并能灵活利用公式求圆锥的体积。教学难点:理解等底等高的圆柱体积与圆锥体积的关系，解决生活中的实际问题。教学准备：一个较大的圆柱形水槽（外壁标有表示容量的刻度线）、圆柱和

圆锥（等底等高；等底不等高；等高不等底的各准备若干。）

教学方法：采用启发讨论式、实验探究式教学，鼓励学生大胆猜想，引导学生发现问题，并且进行验证。

学法指导：引导学生动手、动脑进行归纳比较，主动获取新知识，并进行运用。教学过程

一、创设情境，引发猜想。

1、电脑呈现出动画情境（伴图配音）。

夏天，森林里闷热极了，小动物们都热得喘不过气来。一只小白兔去“动物超市”购物，在冷饮专柜熊伯伯那儿买了一个圆柱形的雪糕。这一切都被躲在一旁的狐狸看见了，它也去熊伯伯的专柜里买了一个圆锥形的雪糕。小白兔刚张开嘴，满头大汗的狐狸拿着一个圆锥形的雪糕一溜烟跑了过来。（图中圆柱形和圆锥形的雪糕是等底等高的。）

2、引导学生围绕问题展开讨论。

问题一：狐狸贪婪地问：“小白兔，用我手中的雪糕跟你换一个，怎么样？（如果这时小白兔和狐狸换了雪糕，你觉得小白兔有没有上当？）问题二：（动画演示）狐狸手上又多了一个同样大小的圆锥形雪糕。（小白兔这时和狐狸换雪糕，你觉得公平吗？）

问题三：如果你是森林中的小白兔，狐狸手中的圆锥形雪糕有几个时，你才肯与它交换？（把你的想法与小组同学交流一下，再向全班同学汇报）过渡：小白兔究竟跟狐狸怎样交换才公平合理呢？圆锥的体积是否与圆柱的体积一样，也等于底面积乘高呢？学习了“圆锥的体积“后，就会弄明白这个问题。

设计意图：《新课标》强调“数学课程要关注学生的生活经验和已有的知识体验”。在引入新知时，创设一个富有童趣的情境，能充分调动学生的学习兴趣和学习积极性，使枯燥的数学问题变为活生生的生活现实，使沉闷的数学课堂充满生命活力。学生在判断公平与不公平中蕴涵了对等底等高圆柱和圆锥体积关系的猜想，他们在这一情境中敢猜想、要猜想、乐猜想，在猜想中交流，在交流中感悟，自然地提出了一个富有挑战性的数学问题，从而引发了学生进一步探究的强烈欲望。

二、自主探索，操作实验。

1、分组实验。

请同学们利用老师提供的实验材料【一个较大的圆柱形水槽（外壁标有表示容量的刻度线）、等底等高的实心圆柱和圆锥各一个】以6人为一组，分好工，按要求进行试验。

实验开始。屏幕上出示要求：

（1）圆柱和圆锥有没有相等的地方？

（2）实验前先量出并记下水槽中水位的高度是多少厘米。

（3）分别把实心圆锥和圆柱没入水槽中，再记下它们各自没入水中后水位的高度。

（4）议一议：通过实验，你发现了什么？

2、汇报交流。

教师：按照要求我们分小组进行了实验和议论，现在请各组代表上台汇报实验和讨论的结果。

学生：我们组的圆锥和圆柱有两个地方是相等的（边说边比较），它们的底面相等，高也相等。

学生：水槽中的水位原来是12cm，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了1 cm；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了3 cm。

学生：我们发现圆柱没入水中后水位上升的高度刚好是圆锥没入水中时水位上升高度的3倍。

学生：我们实验得到的结果和他们是一样的。

教师：既然大家得到相同的结果，就说明这个圆锥和圆柱之间有联系，到底是什么联系，谁能说清楚？

3、归纳整理信息。

学生：我们做实验用的圆柱和圆锥的底面和高都分别相等，把它们分别没入水槽中，圆柱体积要大些，水位上升肯定要高一些。

教师：当圆锥或圆柱没入水槽中后，水为什么要上升？说明水上升部分的体积和谁有关？两次水位上升的高度之间有没有规律？有什么规律？

学生：我知道，乌鸦喝水的故事就告诉我们物体占了水的空间，水就会升高，这说明水上升部分的体积和没入的圆锥或圆柱有关。

学生：没入圆锥时，水上升部分就是圆锥的体积。

学生：没入圆柱时，水上升部分就是圆柱的体积。

学生：我明白了，这个圆柱的体积是这个圆锥体积的3倍，因为没入圆柱时水的上升高度正好是没入圆锥时水上升高度的3倍。

学生：那圆锥的体积只有这个圆柱体积的1

3

了。

4、诱导反思：是不是任何一个圆锥和圆柱之间都有这种规律呢？

（1）再次实验：为了强调“等底等高”这一条件，教师随意把各个组的任一个圆柱或圆锥换成另外一个（与原先的不是等底或不是等高），接着让学生再进行一次实验，并记录实验的结果。

（2）议一议：通过实验，你又发现了什么？

（3）汇报交流

学生1：水槽中的水位原来是12cm ，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了1 cm ；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了5 cm 。

学生2：水槽中的水位原来是12cm ，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了2 cm ；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了3 cm 。

学生3：水槽中的水位原来是12cm ，当把这个实心圆锥没入水中后，水位上升了1 cm ；再换成把这个实心圆柱没入水中后，水位上升了2.5 cm 。

学生4：我们发现圆柱没入水中后水位上升的高度不是圆锥没入水中时水位上升高度的3倍。

……

教师： 也就是说，圆锥的体积不是这个圆柱体积的13

了。为什么？ 学生：因为它们不等底等高。

学生：只有当圆锥和圆柱的底面相等、高也相等时，圆锥的体积才是这个圆

柱体积的13

。 5、推导圆锥体积的计算公式。

教师：对。圆柱的体积公式我们已知道了，通过实验和刚才的讨论，圆锥的体积公式能推导出了吗？

学生：圆柱的体积公式是底面积×高，通过实验我们知道和圆柱等底等高的

圆锥体积只有圆柱体积的13 ，那么，圆锥的体积公式是13

×底面积×高。 教师：你能用字母把上面的公式表示出来吗？

因为圆柱的体积v=sh,所以圆锥的体积v =13

sh

6、问题解决。

童话故事中的小白兔和狐狸怎样交换才公平合理呢？它需要什么前提条件？（动画演示:等底等高）之后播放狐狸拿着圆锥形雪糕离去的画面。

设计意图：俗话说:“实践是检验真理的唯一标准。”圆锥体积公式的推导，教师敢于大胆放手，让学生自主探索，经历“再创造”的过程。学生在前面猜想的基础上通过小组合作动手实验、具体操作,验证得出等底等高的圆锥与圆柱体积间的关系,使自己的猜想在这里得到了验证。这一过程的设计潜移默化地向学生渗透了“猜想------验证”这一完整的学习数学的方法，从而也培养了学生合作的意识，发展了学生的思维，培养了学生的创新意识和实践能力。最后从等底等高的圆柱与圆锥体积间的关系及圆柱的体积公式中,得出了圆锥的体积公式。这个过程,让学生充分经历了知识的形成过程,体现了“动态生成”,为抽象的理论提供了感性材料。

三、运用公式，解决问题。

1、教学例1。一个铅锤高6cm,底面半径4cm。这个铅锤的体积是多少立方厘米？

2、学生尝试计算，指名板演，集体订正。

3、引导小结：不要漏乘1

3

；计算时，能约分时要先约分再计算。

设计意图:叶圣陶先生说过：“当教师像是帮助小孩走路。扶他一把，要随时准备放，能放手就放手。”在教学例题时，放手让学生独立解答，我只在关键处启发、点拨，充分体现了教师的导为主，学生的学为本，同时把刚掌握的圆锥体积计算方法应用到实践，起到巩固新知的作用，使学生体验成功，激发学生的学习兴趣，培养了学生的探究精神。

四、看书质疑，加深理解.。

你还有哪些不懂的问题或不同的见解可以提出来我们共同研究。

设计意图：伟大的科学家爱因斯坦曾说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要。”学生经历了问题的探索过程后，再将他们引加到书本上。这时学生提的问题可能更有价值，更有深度。

五、巩固新知,拓展应用。

1、判断并说明理由。

(1)圆柱体积是圆锥体积的3倍。( )

(2)一个圆锥的高不变,底面积越大,体积越大。( )

(3)一个圆锥体的高是3分米,底面积10平方分米,它的体积是30立方分。( )

2、求下列圆锥的体积(口答,只列式,不计算)。

（1) s=4平方米,h=2米

(2) r=2分米,h=3分米

(3)d=6厘米,h=5厘米

3、实践与应用。

学校操场有一堆圆锥沙子,求它的体积需要什么条件,你有什么好办法?

4、拓展深化。

我们发现三个圆锥形的雪糕换一个与它等底等高的圆柱形雪糕公平合理，如果狐狸只用一个圆锥形的雪糕和小白兔交换，而不使小白兔吃亏，那么圆锥形的雪糕应该是什么样的？（配合用课件演示）

（1）把圆锥的高（或底面积）扩大3倍，使圆锥的体积扩大3倍，与圆柱的体积相等。

（2）把圆柱的高（或底面积）缩小3倍，使圆柱的体积缩小3倍，与圆锥的体积相等。

设计意图：练习的设计从学生的实际出发由浅入深，联系生活，要求逐步提高，除了基础性、针对性的练习外，还设计了应用性、拓展性的练习，层次清晰、结构合理，面向全体，让每个学生都有动脑、动口、动笔的机会，不同层次的学生均有所获，充分调动了学生的学习积极性，形成了良好的学习态度。特别是拓展深化，运用多媒体动态演示底面积和高变化的情况，变想象为直观，难点得到突破，学生兴趣盎然，留下精彩回味。贯彻了《数学课程标准》中指出的“小学数学学科的基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展，最终目的是为学生的终身可持续发展奠定良好的基础，实现——人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”的数学理念。

六、质疑问难，总结升华。

通过这节课的学习，你们探索到了什么？怎样推导出圆锥体积公式的？要求圆锥的体积需要知道哪些条件?

设计意图：不仅关注学生知识技能的掌握,更注重数学方法的提炼及学生的情感、态度、学习数学的信心等,促进了学生的可持续发展。

七、布置作业：练习九第2、3、5题。

设计意图：作业的设计，既检查学生对本节课所学知识的掌握程度，又使学生巩固了新知，形成了技能，能够学以致用。

板书设计：

圆锥的体积

圆锥体积等于等底等高的圆柱体积的13

圆锥的体积 =底面积×高×13

V = 13 S ｈ= 13

πr 2h 设计意图：通过设计合理、明了、简洁的板书，既突出了本节课的知识重点，体现了本节课知识的内在联系，又有很强的概括性，使学生易懂易记。