初中数学思想方法及其教学初探

论文：初中数学思想方法及其教学初探

摘要

数学思想方法是数学知识的精髓，又是知识转化为能力的桥梁。在数学教育中要提高学生的数学素质，必须指导学生掌握好数学思想方法，这也是数学教学中重要的一环。目前的初中阶段，主要的数学思想方法有：数形结合的思想、分类讨论的思想、整体思想、化归思想、类比联想、逆向思维等。本文主要概括总结了初中数学中的思想方法及其在解题中的一些应用，并结合数学思想方法的作用对其教学实施进行了初步探索，提出了在概念教学及公式教学中渗透数学思想方法的基本教学理念。

关键词：数学思想方法转化类比教学

ABSTRACT

Mathematical thinking method is the essence of mathematical knowledge, and also the bridge of knowledge into ability. In mathematics education, to improve the students' mathematical quality, we must guide the students to master the mathematical thinking method, which is also an important part of mathematics teaching. At present junior high school stage, the main mathematical thinking methods are: the combination of figures and shapes, the idea of classification discussion, the overall idea, the idea of conversion, analogy, association, reverse thinking, etc.. This paper mainly summarized the method of thinking in junior high school mathematics and its application in solving problems, and mathematical thought and method of exploring the implementation of the teaching, puts forward the basic idea of teaching of mathematics thought method in concept teaching and teaching in the formula.

Keywords: Mathematical thinking method；conversion；analogy；teaching

目录

1.引言...................................... . . . (1)

1.1问题的提出 (1)

1.2研究数学思想方法的目的 (1)

1.3研究数学思想方法的意义 (1)

2.数学思想方法简介 (1)

2.1数学方法 (1)

2.2数学思想 (1)

3.初中数学中的数学思想方法 (2)

3.1数形结合思想 (2)

3.2分类讨论思想 (2)

3.3逆向思维 (3)

3.4整体思想 (3)

3.5类比联想的思想 (4)

3.6化归思想 (4)

4.初中课堂中的教学思想方法教学 (5)

4.1数学思想方法在教育中的作用 (5)

4.2课堂教学策略 (5)

4.2.1在概念教学过程中，让学生感受数学思想方法 (5)

4.2.2在公式教学过程中，让学生体会数学思想方法 (7)

5.总结与思考 (9)

参考文献 (9)

1. 引言

1.1问题的提出

当今社会已进入信息化时代，一个人的精力与时间有限，知识更新速度越来越快，一个人想要仅仅依靠教师来获取大量的知识就显得苍白无力，所以，培养学生主动获取知识的能力才应是教育最终的目的。法国学者冯.劳厄曾说过：“教育无非是一切学过的东西忘掉时所剩下的东西。”在数学教育中，即使知识遗忘了，还剩下的就是数学思想方法。本文主要以初中的数学内容为载体概括总结其中的数学思想方法，并对数学思想方法的课堂教学策略做一些初步探索。

1.2研究数学思想方法的目的

知识海洋丰富且广阔无垠,一个人要教会所有的知识是绝对不可能的。那么我们的教育要达到什么样的目的呢？在有限的时间内,培养和提高学生的思维素质,自主学习能力，这才是教育的根本目的。俗话说的好：“授人予鱼不如授人以渔”。研究数学思想方法具体来说希望能达到一下目的：

（1）培养教师自身的教学科研能力和自我提升能力。

（2）让学生实现由过去的“学会”到“会学”、“会想”这一过程的转化。

（3）逐步提高数学问题的解决能力。

（4）引导学生将数学方法和数学学习有机结合，使学生的解题能力和思维能力得到提高。

1.3研究数学思想方法的意义

自然科学、社会科学和哲学等等学科的发展离不开数学，数学是这些学科研究问题的主要工具。而数学思想方法是数学的精髓所在，是指导人们思考问题和解决问题的原则。在现代各行各业的技术中，如经济学、社会学、心理学等，数学思想方法都有广泛的运用。因此数学思想方法的归纳总结分析不仅有利于数学学科的发展和延续，同时也对其它学科的发展有重要的作用。

2. 数学思想方法简介

2.1数学方法

顾名思义，数学方法是人们从事数学活动时所使用的方法。人们通过长时间的实践，总结了许多运用数学思想的手段、门路或程序，同一手段、门路或程序被重复运用许多次，而且都达到了预期的目的，这就成为了数学方法。数学方法论是研究数学发展规律，数学的思想、方法、原则，数学中的发现、发明和创新法则的学科。它率属于科学方法论的范畴，是科学方法论在数学中的具体表现。

2.2数学思想

数学思想，人们常用它来泛指某些具有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果。比如微积分思想、概率统计思想、变换群下的不变量思想等等。另一类是范围较小，内容具体、相对独立的数学成果。比如函数思想、极限思想、积分思想、方程思路想等等。

3.初中数学中的数学思想方法

在初中数学教学中，数学思想是十分重要的内容。初中数学中蕴含的数学思想有很多，其中教学中经常遇到的且很重要的数学思想方法有：数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维、整体思想方法、类比联想的思想和方法、化归思想。

3.1数形结合思想

在此思想中，“数”一般指代数，而“形”一般指几何。表面上这两者是独立的，实质上它们在某些情况下可以相互转化。数形结合思想最典型的一个应用体现就是《解析几何》这门课程的研究方法,利用向量工具研究几何问题，得到几何图形的方程，然后又利用方程研究几何性质，充分体现了数形结合，数形互变的思想。在初中数学中，看到数想到形，看到形想到数，是学生学习知识的一种基本方法。比如数轴在初中数学中会经常被用到。当我们在学习相反数、绝对值、有理数大小的比较这些问题的时候，我们就会遇到它并经常运用它。提到数轴就不得不想到“数轴上的点”和

“点表示的数”，这两者的关系就是数与形转化。

例1求直线121=+y x 与坐标轴围成三角形的面积。 解法：在直角坐标系中画出直线l ：121=+y x ，如图3.1-1所示。

直线121=+

y x 与坐标轴相交于两点（1,0）、（0,2）。 所以三角形的面积12

21=?=S 方法小结：利用数形结合思想，得到所求三角形的边的数量信息，从而求出面积。初中数学中有理数、应用题中、不等式内容、函数及其图像蕴含着数形结合的思想。

3.2分类讨论的思想

分类讨论是指把问题的对象按不同的属性分类，也就是分析对象，把有相同点的归为一类，然后在各类别里继续解决问题的思想方法。通过分类，有时会使问题明确，思路变得更清晰。

例2 解方程32+>-n x nx

图3.1-1 例1图

解法：当2n >时，方程的解集为：23x -+>

n n ； 当2n =时，原方程无解；

当2n <时，方程的解集为：2

3x -+

形的分类讨论： （1）问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的；

（2）问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给 出的；

（3）解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论；

（4）某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等都要通过分类讨论， 保证其完整性，使之具有确定性。

3.3逆向思维

逆向思维是指从结果推原因，或者说倒过来从问题的反面角度来解决问题的思维方法。它也是生活中经常被用到的一种有效的思维方式。在初中数学中它主要指的是逆用某些数学公式解决问题的思想方法。这种思维方式可以锻炼学生的思维，加强思维的灵活性，发散思维。

学生学习了加法以后，就可以利用减法对其进行逆向运算。而初中数学中的一些公式、法则都是可以用这样的等式形式出现的。因此，我们不仅要引导学生学会应用，而且要学会逆向应用，只要反复地进行训练，就一定可以提高他们的逆向思维能力。

例如：3个5和一个1用加减乘除得出24。

小结方法：看到这个题目简单来说就是求值，用3个5和一个1来求一个定值，首先3个5无论和1怎么消得到的数都是5的倍数，所以要保留下一个5来，明确了还剩下一个5就好办了，就可以用24除5得4.8，用两个5和一个1凑4.8就相对简单了很多，很容易想到5减0.2，最后即可得到5乘以(5-0.2）。如果从正面考虑的话，首先很容易陷入整数计算的障碍而忽略了小数和分数，在整数里绕来绕去，其次就是急于求成总张着要去接近24而先用了5乘5或者5乘（5+1），这样一来就让你觉得不可能实现了，但是只要用逆向思维，反过来想想就可以很轻松的得出结果了。

3.4整体思想

整体思想定义：在解决问题分析问题的过程中，从整体上来考虑和解决问题，从全局入手，不要局限于某一部分或问题本身。有些问题用这种方法很容易解决。这不仅可以锻炼学生从全局考虑问题的能力，而且能培养他们的全局观，不局限不拘泥。

例如：已知2009c d 2008b d 2007d a 2

22=+=+=+，，，且24abc =，求c 1b 1a 1ab c ca b bc a ---++的值。

c b a 、、解：因为由已知解出

的值再代入求解，计算会变得很复杂，所以选择如下的代换：

由已知可得 ：则原式

()ab ac bc c b a abc 1222---++= ()()()[]

81

a -c c -

b b -a ab

c 21222=++=. 小结方法：由已知化简的式子看成整体，让解题变的简单。整体思想在初中数学中的数与式、方程（组）、几何计算中都有运用，碰到这样的题可以有这样的解题思路。

3.5类比联想的思想

类比的定义：看到一个事物，想起另一样和他相似的东西，两者有相似或相同之处，这种思维方式就称为类比。

联想的定义：与类比相反，看到一样事物，想到另一样和他不同的东西，两者有相克或相反之处，这就是联想。

例如：在数轴中两个数1x 、2x 他们的中点为

2

x x 21+，类比推理在平面直角坐标中两点A （11y x ，）、B （22y x ，）的中点坐标为C ）（00y ,x ， 2

x x x 210）（+=，2y y y 21

0）（+=。 小结方法：由一维的数轴中点联想到二维的平面直接坐标系中的中点，类比深化。

3.6化归思想

有理数的减法转化为加法，有理数的除法转化为乘法，这里就运用了化归的思想，在实际的解题过程中，把实际问题提炼为数学问题，而具体地解决数学问题的时候，我们又把它往已有的公理定理上靠，这也化归。当我们教导学生处理有些问题的时候，要注意对这种能力的培养，锻炼他们的思维。

例如：解方程组???==++++②2

xy ①314y x 4xy 7y x 22 解：由①?-5②得到21y 4x 4xy 2y x 22=++++，即

21）y x （4）y x （2=+++。

令y x +=μ，则2142=+μμ。解得

7，321-==μμ。

这样，原方程组的解就化归为下面两个方程组的解：

2a -c -1c -b -1b -a ===，，

???==+；

2xy ，3y x ，???=-=+.2xy ，7y x 而这是不难求解的。

小结方法：这里把复杂的式子简单化，让解题过程明了。在化归的时候要注意：明确化归目的，确保其有效性；转化要是等价性质的。化归能把未知问题化为已知问题；将陌生问题化为熟悉的问题；复杂问题简单化；特殊问题一般问题的转化。在初中数学中，大量的题型都需要运用这个方法。

4. 初中课堂中的教学思想方法教学

4.1数学思想方法在数学教育中的作用

在已经来到的21世纪，知识一直在飞速发展。想要实现“终身学习”和“人的可持续发展”，重要的是在教育中发展学生的能力，使学生获得知识和进一步学习的方法。重视数学思想方法教育有利于学生创新意识和能力的提高；抽象思维，抓住事物本质，对于生活中的问题转化为数学问题有重要影响；利于学生良好的数学认识结构的形成。

4.2课堂教学策略

恩格斯曾经说过：“世界不是一成不变的事物的集合体,而是过程的集体。”对于数学而言，知识的发生过程，实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程等等,都蕴藏着向学生渗透数学思想方法,训练思维的极好机会。

4.2.1在概念教学过程中，让学生感受数学思想方法

数学概念是学习一切数学的基础，是构成数学知识体系的基石，学好并掌握数学概念就显的尤为重要。理解数学概念是学好数学概念的基础，是学习以后数学知识的先决条件。数学概念的掌握不能是多死书，而应该理解记忆，在进行概念教学的时候，要注意带领学生走进数学概念的形成过程，明白一个数学概念的由来，让学生对其数学概念理解轻松，能更加牢固的掌握数学概念。

教学案例：绝对值

教学目标：让中学生明白绝对值的概念，在概念教学的过程中，使学生掌握绝对值的代数和几何意义，学会初步计算一个数的绝对值和已经知道一个数的绝对值，求这个数。

教材解析：在中学数学中，绝对值是一个非常重要的概念，它具有非负性。本节的重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值，对绝对值的几何意义、代数定义的导出、对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学的难点。

流程设计：

（一）旧知再现

1、在数轴上分别标出–6，4.5，0及它们的相反数所对应的点。

2、在数轴上找出与原点距离等于8的点。

3、相反数是怎样定义的？

引导学生从代数与几何两方面的特点出发回答相反数的定义。观察互为相反数的两个数的特点，归纳总结出绝对值的几何意义。

（二）新知探索

1、绝对值的几何意义一个数a的绝对值就就是数轴上表示数a的点与原点的距离。如|–6|=6，|2.5|=2.5，|–7|=7，|4|=4，|0|=0。

2、绝对值的表示方法

1、数a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”。

探究|a|=多少？

2、绝对值的代数定义（性质）

①一个正数的绝对值是它本身；

②一个负数的绝对值是它的相反数；

③0的绝对值是0。

（三）范例共做

例1：在数轴上标出下列各数，并分别指出它们的绝对值： 9，–9，49，–36，0，–7。

例2：计算：（1）|0.78|+|0.56|；

（2）|–5.7|–|5.7|；（3）|–36|–（–36）。

（四）巩固练习

1．下列说法正确的是（）

A.—|a|一定是负数

B.只有两个数相等时它们的绝对值才相等

C.若|a|=|b|，则a与b互为相反数

D.若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数

2.绝对值不大于11.1的整数有（）

A．11个 B．12个 C．22个 D．23个

3．下列语句正确的个数有（）

①若a=b，则|a|=|b|；②若a= –b，则|a|=|b|；③若|a|=|b|，则a=b；④若

|a|=b，则a=b；⑤若|a|= -b，则a= –b；⑥若|a|=b，则a=±b。

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

4．绝对值等于4的数是（）

A．4 B．–4 C．±4 D．以上均不对

5．计算：|–(3.6)|+|–(–1.2)|–|–[+(–4)]|

（五）课后思考

已知|x–2|+|y–3|+|z–4|=0，求x+y–z的值。

图 4.2.2-1 勾股定理1 案例分析：在这个“绝对值”概念的学习中，渗透了数学思想方法，让学生认识“绝对值”的概念更加清楚，理解和掌握“绝对值”概念就容易许多。其中有以下几点：

（1）在“绝对值”的概念教学中，用来数形结合的思想方法，用画数轴上的点来表示数，对比个个数之间的区别，理解“绝对值”的概念。

（2）在探究|a|=多少时。老师给学生充足的时间讨论，学生都积极主动的思考。通过独立思想，然后小组交流，师友互助，互相补充进而得到结论。这个环节培养了学生自学意识、敢想敢做、合作交流的学习习惯，当中渗透了分类的思想。

（3）在后面的课堂练习中运用了整体代换，类比联想，分类思想。

4.2.2在公式教学过程中，让学生体会数学思想方法

数学公式是解决数学问题的基础，每一个数学公式都是数学家的知识结晶。每一个数学公式的推导,都体现出某种数学思想方法,因而在引导学生参与数学中公式的发现过程有利于学生理解公式，体会和掌握数学思想方法。

教学案例：勾股定理

教学目标：了解勾股定理的产生背景，体验勾股定理的探索过程，掌握验证勾股定理的方法；能利用已知两边求直角三角形另一边的长；在勾股定理的探索过程中，培养合情推理能力，体会数形结合和从特殊到一般的思想。

内容解析： 勾股定理是直角三角形的一条非常重要的性质，它将数与形密切地联系起来，揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系，是

后续学习解直角三角形的基础，是三角形知识的深

化。

流程设计：

（一）创设情境，导入新课

1、出示问题，引发思考（用多媒体播放视频）

“某百货大楼三楼着火，消防队员迅速赶来灭火，经

勘察得到每层楼高2.5米，消防队员取来9.5米的长云梯，如果梯子的底部距离百货大楼墙基的距离是3米，那么消防队员能不能进入四楼灭火？

（二）探究勾股定理

1、探究等腰直角三角形的三边之间的特殊关系

（1）展示图片（如图4.2.2-1是一个行距、列距都是1的方格网。在方格网中投影显示出以格点为顶 点等腰直△ABC ，并显示分别以三角形的各边为边，向形外作正方Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。）

提出问题：三个正方形面积1S 、2S 和3S 分别是多少？它们之间有怎样的关系？如用它们的边长表示，能得到怎样的式子？

（2）学生观察图片，分组交流。

（3）引导思考：等腰直角三角形的三边之间有怎样的特殊关系?

2、探究一般直角三角形的三边之间的特殊关系

（1）展示图片（如图4.2.2-2在行距、列距

都是1的方格网中，再作一个格点不等腰直角△

ABC ，分别以三角形的各边为边，向形外作正方形

Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ。）让学生在课前备好的网格纸上画

图，然后投影出图。

（2）学生根据问题，分组交流 ；

（3）引导学生思考：你们发现直角三角形三

边的长有怎样的关系？能用简练的语言概括出来

吗？

（三）证明勾股定理 向学生介绍下列两种证明勾股定理的方法，激发学生的兴趣：

方法一:将四个全等的直角三角形拼

成如图所示

的正方形，

求正方形的

面积，如图

4.2.2-3。

方法二：如图 4.2.2-4所示将两个直角三角形拼成直角梯形，计算梯形的面积。（美国总统的证明方法）

案例分析：在公式“勾股定理”的讲解和推导过程中，其教学设计方法是创设情境，由生活中实际例子引入问题，让学生把生活中的问题转化为数学问题，从而激发学生的学习兴趣，之后通过课堂活动，由等腰直角三角形到一般的直角三角形,一起动手操作，共同探讨，最后归纳得出公式。在“勾股定理”的推导中利用了割补原理,体现了转化的数学思想，揭示了数形结合、特殊到一般的数学思想方法。

图 4.2.2-2 勾股定理图2

4.2.2-3 勾股定理的证明1 图 4.2.2-4 勾股定理的证明2

5. 结论与思考

本文是在查阅了一定关于数学思想的书籍和资料之后作出的整理。本文主要对初中数学思想方法概念解析和例题展示的方式，旨在探讨初中数学思想的重要性和这些数学思想的解题中的运用。探讨这些知识，可以让我们自己和学生在今后的学习和生活中更好的运用数学思想。通过介绍数学思想，探究初中课堂中数学思想的教与学，并且努力把数学思想应用到其他的学科上，乃至我们的实际生活之中，数学问题数不胜数，不止存在与课堂上更广泛的存在与我们的生活中。我们只有时刻严格的要求自己用认真严谨的态度对待数学问题才能更好的运用和延续数学思想方法。

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