苏教版九年级上册数学 压轴解答题(提升篇)(Word版 含解析)
苏教版九年级上册数学 压轴解答题(提升篇)(Word 版 含解析)
一、压轴题 1.问题提出
(1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积.
问题探究
(2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且
2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值.
问题解决
(3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值.
2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作
BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠.
(1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立
的理由.
(2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等?
3.点P 为图形M 上任意一点,过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ,记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值,则称其为“图形M 到直线l 的限距离”,记作()max ,D M l ; 定义二:若d 存在最小值,则称其为“图形M 到直线l 的基距离”,记作()min ,D M l ; (1)已知直线1:2l y x =--,平面内反比例函数2
y x
=
在第一象限内的图象记作,H 则()1,min D H l = .
(2)已知直线2:33l y x =+,点()1,0A -,点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点,
T 3C 在T 上,若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范
围,
(3)已知直线21211k k y x k k --=
+--恒过定点1111,8484P a b c a b c ??
??+-+?
+,点()
,D a b 恒在直线3l 上,点(),28E m m +是平面上一动点,记以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =,若请直接写出m 的取值范围. 4.如图1,Rt △ABC 两直角边的边长为AC =3,BC =4.
(1)如图2,⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ,与边BC 相切于点Y .请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心(用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法和证明)
(2)P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点,以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切.设⊙P 的面积为S ,你认为能否确定S 的最大值?若能,请你求出S 的最大值;若不能,请你说明不能确定S 的最大值的理由.
5.在长方形ABCD 中,AB =5cm ,BC =6cm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以
1/cm s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移
动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动时间为t 秒.
(1)填空:______=______,______=______(用含t 的代数式表示); (2)当t 为何值时,PQ 的长度等于5cm ?
(3)是否存在t 的值,使得五边形APQCD 的面积等于226cm ?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由.
6. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=8,BC=6,P 为边BC 上一个动点(可以包括点C 但不包括点B ),以P 为圆心PB 为半径作⊙P 交AB 于点D 过点D 作⊙P 的切线交边AC 于点E ,
(1)求证:AE=DE ; (2)若PB=2,求AE 的长;
(3)在P 点的运动过程中,请直接写出线段AE 长度的取值范围.
7.如图,在正方形ABCD 中,P 是边BC 上的一动点(不与点B ,C 重合),点B 关于直线AP 的对称点为E ,连接AE ,连接DE 并延长交射线AP 于点F ,连接BF
(1)若BAP α∠=,直接写出ADF ∠的大小(用含α的式子表示). (2)求证:BF DF ⊥.
(3)连接CF ,用等式表示线段AF ,BF ,CF 之间的数量关系,并证明.
8.某校网球队教练对球员进行接球训练,教练每次发球的高度、位置都一致.教练站在球场正中间端点A 的水平距离为x 米,与地面的距离为y 米,运行时间为t 秒,经过多次测试,得到如下部分数据: t 秒 0 1.5 2.5 4 6.5 7.5 9 … x 米 0 4 8 10 12 16 20 … y 米
2
4.56
5.84
6
5.84
4.56
2
…
(2)网球落在地面时,与端点A 的水平距离是多少? (3)网球落在地面上弹起后,y 与x 满足()
2
56y a x k =-+
①用含a 的代数式表示k ;
②球网高度为1.2米,球场长24米,弹起后是否存在唯一击球点,可以将球沿直线扣杀到A 点,若有请求出a 的值,若没有请说明理由.
9.如图 1,抛物线2
1:4C y ax ax c =-+交x 轴正半轴于点()1,0,A B ,交y 轴正半轴于
C ,且OB OC =.
(1)求抛物线1C 的解析式;
(2)在图2中,将抛物线1C 向右平移n 个单位后得到抛物线2C ,抛物线2C 与抛物线1C 在第一象限内交于一点P ,若CAP ?的内心在CAB △内部,求n 的取值范围
(3)在图3中,M 为抛物线1C 在第一象限内的一点,若MCB ∠为锐角,且
3tan MCB ∠>,直接写出点M 横坐标M x 的取值范围___________
10.如图,抛物线y =x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点,其中点A 坐标为(1,0),与y 轴交于点C (0,﹣3).
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)如图1,连接AC ,点Q 为x 轴下方抛物线上任意一点,点D 是抛物线对称轴与x 轴的交点,直线AQ 、BQ 分别交抛物线的对称轴于点M 、N .请问DM +DN 是否为定值?如果是,请求出这个定值;如果不是,请说明理由.
(3)如图2,点P 为抛物线上一动点,且满足∠PAB =2∠ACO .求点P 的坐标.
11.抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点为(),P h k ,作x 轴的平行线4y k =+与抛物线交
于点A 、B ,无论h 、k 为何值,AB 的长度都为4. (1)请直接写出a 的值____________; (2)若抛物线当0x =和4x =时的函数值相等, ①求b 的值;
②过点()0,2Q 作直线2y =平行x 轴,交抛物线于M 、N 两点,且4QM QN +=,求
c 的取值范围;
(3)若1c b =--,2727b -< tan 2 α= ,此时区域S 的边界与y 轴的交点为C 、D 两点,若点D 在点C 上方,请判断点D 在抛物线上还是在线段AB 上,并求CD 的最大值. 12.已知点(4,0)、(2,3)-为二次函数图像抛物线上两点,且抛物线的对称轴为直线 2x =. (1)求抛物线的解析式; (2)将抛物线平移,使顶点与原点重合,已知点(,1)M m -,点A 、B 为抛物线上不重合的两点(B 在A 的左侧),且直线MA 与抛物线仅有一个公共点. ①如图1,当点M 在y 轴上时,过点A 、B 分别作AP y ⊥轴于点P ,BQ x ⊥轴于点 Q .若APM △与BQO △ 相似, 求直线AB 的解析式; ②如图2,当直线MB 与抛物线也只有一个公共点时,记A 、B 两点的横坐标分别为a 、 b .当点M 在y 轴上时,直接写出 m a m b --的值为 ;当点M 不在y 轴上时,求证: m a m b --为一个定值,并求出这个值. 【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除 一、压轴题 1.(1)12;(2)53;(3)202. 【解析】 【分析】 (1)如图1中,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D ,通过构造直角三角形,求出BD 利用三角形面积公式求解即可. (2)如图示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M ,确定点P 的位置,利用勾股定理与矩形的性质求出CQ 的长度即为答案. (3)解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点 N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、,通过轴对称性质的转化,最终确定最小值转化为SN 的长. 【详解】 (1)如解图1所示,过点B 作BD CA ⊥,交CA 延长线于点D , 135BAC ∠=, 180********BAD BAC ∴∠=-∠=-=, BD CA ⊥,交CA 延长线于点D , BAD ∴为等腰直角三角形,且90BDA ∠=, BD AD ∴=, 在BAD 中,,90BD AD BDA =∠=, 222BD AD AB ∴+=,即222BD AB =, 42AB = 2222(42)32BD AB ∴===,解得:4BD =, 6AC =, 11 641222 ABC S AC BD ∴=?=??=. (2)如解图2所示,作点D 关于AB 的对称点Q ,交AB 于点H ,连接CQ ,交AB 于点P ,连接PD 、OD 、OC ,过点Q 作QM CO ⊥,交CO 延长线于点M , D 关于AB 的对称点Q ,CQ 交AB 于点P , PD PQ ∴=, PC PD PC PQ CQ ∴+=+=, 点P 为AB 上的动点, PC PD CQ ∴+≥, ∴当点P 处于解图2中的位置,PC PD +取最小值,且最小值为CQ 的长度, 点C 为半圆AB 的中点, 90COB ∴∠=, 90BOD COD COB ∠+∠=∠=, 11 903033 BOD COB ∴∠=∠=?=, 10AB =, 11 10522 OD AB ∴= =?=, 在Rt ODH △中,由作图知,90OHD ∠=,且30HOD BOD ∠=∠=, 155 ,222DH OD QH DH ∴==∴==, 2 22255352OH OD DH ??∴=-=-= ??? , 由作图知,四边形OMQH 为矩形, 553,2OM QH MQ OH ∴== == 515 522 CM OM OC ∴=+=+ =, 2 2 2215535322CQ CM MQ ?? ??∴=+=+= ? ? ????? , PC PD ∴+的最小值为53. (3)如解图3所示,在AB 上这一点作点P 关于OA 的对称点S ,作点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交OB 于点F ,连接OS ON OP EP FP 、、、、, 点P 关于OA 的对称点S ,点P 关于OB 的对称点N ,连接SN ,交OA 于点E ,交 OB 于点F , PE SE ∴=,FP FN =,SOA POA ∠=∠, ,NOB POB OS OP ON ∠=∠==, .PE EF FP SE EF FN SN ∴++=++=, SOA NOB POA POB ∠+∠=∠+∠, E 为OA 上的点,F 为OB 上的点 PE EF FP SN ∴++≥, ∴当点E F 、处于解图3的位置时,PE EF FP ++的长度取最小值,最小值为SN 的长度, 45POA POB AOB ∠+∠=∠=, 45SOA NOB ∴∠+∠=, 454590SON SOA AOB NOB ∴∠=∠+∠+∠=+=. 扇形AOB 的半径为20, 20OS ON OP ∴===, 在Rt SON 中,90SON ∠=,20,90OS ON SON ==∠= PE EF FP ∴++的长度的最小值为202 【点睛】 本题主要考察了轴对称、勾股定理、圆、四边形等相关内容,理解题意,作出辅助线是做题的关键. 2.(1)见解析;(2)DB DF = 【解析】 【分析】 (1)①直接利用三角形的外角性质,即可得到; ②过D 作DG BC 交AB 于点G ,由等腰三角形的性质,平行线的性质和等边对等角, 得到BG DC =,DGB FCD ∠=∠,然后证明三角形全等,即可得到结论成立; (2)连接BF ,根据题意,可证得BCF BDF A ∠=∠=∠,则B 、C 、D 、F 四点共圆,即可证明结论成立. 【详解】 解:(1)①∵BDC A ABD ∠=∠+∠, 即BDF FDC A ABD ∠+∠=∠+∠, ∵BDF A ∠=∠, ∴FDC ADB ∠=∠; ②过D 作DG BC 交AB 于点G , ∴ADG ACB ∠=∠,AGD ABC ∠=∠, 又AB AC =, ∴A ABC CB =∠ ∠, ∴AGD ADG ∠=∠, ∴AD AG =, ∴AB AG AC AD -=-, ∴BG DC =, 又ECF ACB AGD ∠=∠=∠, ∴DGB FCD ∠=∠, 在GDB △与CFD △中, , , DGB FCD GB CD GBD FDC ∠=∠ ? ? = ? ?∠=∠ ? ∴() GDB CFD ASA △≌△ ∴DB DF =; (2)证明:如图:连接BF, 由(1)可知,A ABC CB =∠ ∠, ∵ECF ACB ∠=∠, ∴ABC ECF ∠=∠, ∵BC A C A BCF E F =∠+∠ ∠+∠, ∴A BCF ∠=∠, ∴BDF A BCF ∠=∠=∠, ∴B、C、D、F四点共圆, ∴180 DCB DFB ∠+∠=?,DBF ECF ∠=∠, ∴ACB DFB ∠=∠, ∵BC EC AC A F B =∠=∠ ∠, ∴DBF DFB ∠=∠, ∴DB DF =. 【点睛】 本题考查了四点共圆的知识,等腰三角形的性质,全等三角形的判定和性质,平行线的性质,以及三角形外角性质,解题的关键是熟练掌握所学的知识,正确作出辅助线,从而得到角的关系,再进行证明. 3.(1 )2+;(2 )610t ≤≤- 或1016-≤≤-3) 32 5m ≤- 或0m ≥ 【解析】 【分析】 (1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴,根据只有一个交点可求出b ,再联立求出P 的坐标,从而判断出PQ 平分∠AOB ,再利用直线1l 表达式求A 、B 坐标证明OA=OB ,从而证出PQ 即为最小距离,最后利用勾股定理计算即可; (2)过点T 作TH ⊥直线2l ,可判断出T 上的点到直线2l 的最大距离为TH +后根据最大距离的范围求出TH 的范围,从而得到FT 的范围,根据范围建立不等式组求解即可; (3)把点P 坐标带入表达式,化简得到关于a 、b 的等式,从而推出直线3l 的表达式,根据点E 的坐标可确定点E 所在直线表达式,再根据最小距离为0,推出直线3l 一定与图形K 相交,从而分两种情况画图求解即可. 【详解】 解:(1)作直线:y x b =-+平行于直线1l ,且与H 相交于点P ,连接PO 并延长交直线 1l 于点Q ,作PM ⊥x 轴, ∵ 直线:y x b =-+与H 相交于点P , ∴2 x b x -+= ,即220x bx -+=,只有一个解, ∴24120b ?=-??= ,解得b = ∴y x =-+ 联立2 y x y x ?=-+??=?? ,解得x y ?=??=?? P , ∴PM OM == P 在第一、三象限夹角的角平分线上,即PQ 平分∠AOB , ∴Rt POM 为等腰直角三角形,且OP=2, ∵直线1l :2y x =--, ∴当0y =时,2x =-,当0x =时,2y =-, ∴A(-2,0),B(0,-2), ∴OA=OB=2, 又∵OQ 平分∠AOB , ∴OQ ⊥AB ,即PQ ⊥AB , ∴PQ 即为H 上的点到直线1l 的最小距离, ∵OA=OB , ∴45OAB OBA AOQ ∠=∠=∠=?, ∴AQ=OQ , ∴在Rt AOQ 中,OA=2,则OQ=2, ∴22PQ OP OQ =+=+,即()1,22min D H l =+; (2)由题过点T 作TH ⊥直线2l , 则T 上的点到直线2l 的最大距离为3TH + ∵()max 243,63ABC l D V ≤≤ 即43363TH ≤ ∴3353TH ≤≤ 由题60HFO ∠=?,则3 FT =, ∴610FT ≤≤, 又∵3FT t =, ∴6310t ≤≤, 解得63103t ≤≤103165-≤≤-; (3)∵直线21211k k y x k k --= +--恒过定点1111,8484P a b c a b c ?? ??+-+? +, ∴把点P 代入得: 211121 118418 4k k a b c a b c k k --??+-+=++ ? --??, 整理得:()()2416828162828a b c k a b c a b c k a b c +-+--+-=++---, ∴2416828281628a b c a b c a b c a b c +-+=++?? --+-=---?,化简得22480 1a b c c +-+=??=? , ∴1 82 b a =- +, 又∵点(),D a b 恒在直线3l 上, ∴直线3l 的表达式为:1 82 y x =-+, ∵()min 3,0D K l =, ∴直线3l 一定与以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形图形相交, ∵(),28E m m +, ∴点E 一定在直线28y x =+上运动, 情形一:如图,当点E 运动到所对顶点F 在直线3l 上时,由题可知E 、F 关于原点对称, ∵(),28E m m +, ∴(),28m m F ---, 把点F 代入182y x =- +得:18282m m +=--,解得:325 m =-, ∵当点E 沿直线向上运动时,对角线变短,正方形变小,无交点, ∴点E 要沿直线向下运动,即32 5 m ≤- ; 情形二:如图,当点E运动到直线3l上时, 把点E代入 1 8 2 y x =-+得: 1 828 2 m m -+=+,解得:0 m=, ∵当点E沿直线向下运动时,对角线变短,正方形变小,无交点,∴点E要沿直线向上运动,即0 m≥, 综上所述, 32 5 m≤-或0 m≥. 【点睛】 本题考查新型定义题,弄清题目含义,正确画出图形是解题的关键. 4.(1)作图见解析;(2)4 9π. 【解析】 试题分析:(1)作出∠B的角平分线BD,再过X作OX⊥AB,交BD于点O,则O点即为⊙O的圆心; (2)由于⊙P与△ABC哪两条边相切不能确定,故应分⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切;⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时;⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时三种情况进行讨论. 试题解析:(1)如图所示: ①以B为圆心,以任意长为半径画圆,分别交BC、AB于点G、H;②分别以G、H为圆 心,以大于2 3 GH为半径画圆,两圆相交于D,连接BD;③过X作OX⊥AB,交直线BD于 点O,则点O即为⊙O的圆心. (2)①当⊙P与Rt△ABC的边AB和BC相切时,由角平分线的性质可知,动点P是 ∠ABC的平分线BM上的点,如图1,在∠ABC的平分线BM上任意确定点P1(不为∠ABC 的顶点) ∵OX=BOsin∠ABM,P1Z=BPsin∠ABM,当BP1>BO时,P1Z>OX即P与B的距离越大,⊙P 的面积越大,这时,BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点;如图2, ∵∠BPA>90°,过点P作PE⊥AB,垂足为E,则E在边AB上, ∴以P为圆心、PC为半径作圆,则⊙P与CB相切于C,与边AB相切于E,即这时⊙P是符合题意的圆, 时⊙P的面积就是S的最大值, ∵AC=1,BC=2,∴AB=5, 设PC=x,则PA=AC-PC=1-x 在直角△APE中,PA2=PE2+AE2, ∴(1-x)2=x2+(5-2)2, ∴x=25-4; ②如图3, 同理可得:当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时,设PC=y,则(2-y)2=y2+(5-1)2, ∴y=51 ; ③如图4, 同理可得,当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时,设PF=z, ∵△APF ∽△PBE , ∴PF :BE=AF :PE , ∴, ∴z= 49 . 由①、②、③可知, 49>512-> ∴z >y >x , ∴⊙P 的面积S 的最大值为 π. 考点:1. 切线的性质;2.角平分线的性质;3.勾股定理;4.作图—复杂作图. 5.(1)BQ ,2tcm ,PB ,()5t cm -;(2)当t =0秒或2秒时,PQ 的长度等于5cm ;(3)存在t =1秒,能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm .理由见解析. 【解析】 【分析】 (1)根据点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动,与此同时,点Q 从点 B 开始沿边B C 向终点C 以2/cm s 的速度移动,可以求得BQ ,PB . (2)用含t 的代数式分别表示PB 和BQ 的值,运用勾股定理求得PQ 为22 (5)(2)t t -+= 25据此求出t 值. (3)根据题干信息使得五边形APQCD 的面积等于226cm 的t 值存在,利用长方形 ABCD 的面积减去PBQ △的面积即可,有PBQ △的面积为4,由此求得t 值. 【详解】 解:(1)点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动,故BQ 为2tcm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动,AB =5cm ,故PB 为()5t cm -. (2)由题意得:22 (5)(2)t t -+=25, 解得:1t =0,2t =2; 当t =0秒或2秒时,PQ 的长度等于5cm ; (3)存在t =1秒,能够使得五边形APQCD 的面积等于226cm .理由如下: 长方形ABCD 的面积是:56?=( )2 30cm , 使得五边形APQCD 的面积等于226cm ,则PBQ △的面积为3026-=( )2 4cm , ()1 5242 t t -?? =, 解得:1t =4(不合题意舍去),2t =1. 即当t=1秒时,使得五边形APQCD的面积等于2 26cm. 【点睛】 本题结合长方形考查动点问题,其本质运用代数式求值,利用含t的代数式表示各自线段的直接,根据题干数量关系即可确立等量关系式,从而求出t值. 6.(1)详见解析;(2)AE=19 4 ;(3) 7 4 ≤AE< 25 4 . 【解析】 【分析】 (1)首先得出∠ADE+∠PDB=90°,进而得出∠B+∠A=90°,利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案; (2)利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2,求出AE即可; (3)分别根据当D(P)点在B点时以及当P与C重合时,求出AE的长,进而得出AE的取值范围. 【详解】 (1)证明:如图1,连接PD. ∵DE切⊙O于D. ∴PD⊥DE. ∴∠ADE+∠PDB=90°. ∵∠C=90°. ∴∠B+∠A=90°. ∵PD=PB. ∴∠PDB=∠B. ∴∠A=∠ADE. ∴AE=DE; (2)解:如图1,连接PE,设DE=AE=x,则EC=8-x, ∵PB=PD=2,BC=6. ∴PC=4. ∵∠PDE=∠C=90°, ∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2. ∴x2+22=(8-x)2+42. 解得x=19 4 . ∴AE=19 4 ; (3)解:如图2,当P点在B点时,此时点D也在B点, ∵AE=ED,设AE=ED=x,则EC=8-x, ∴EC2+BC2=BE2, ∴(8-x)2+62=x2, 解得:x=25 4 , 如图3,当P与C重合时, ∵AE=ED,设AE=ED=x,则EC=8-x,∴EC2=DC2+DE2, ∴(8-x)2=62+x2, 解得:x=7 4 , ∵P为边BC上一个动点(可以包括点C但不包括点B), ∴线段AE长度的取值范围为:7 4 ≤AE< 25 4 . 【点睛】 本题主要考查圆的综合应用、切线的性质与判定以及勾股定理等知识,利用数形结合以及分类讨论的思想得出是解题关键. 7.(1)45°+α;(2)证明见解析;(3)AF=2BF+CF. 【解析】 【分析】 (1)过点A作AG⊥DF于G,由轴对称性质和正方形的性质可得AE=AD,∠BAP=∠EAF, 根据等腰三角形“三线合一”的性质可得∠EAG=∠DAG,即可得∠FAG=1 2 ∠BAD=45°, ∠DAG+∠BAP=45°,根据直角三角形两锐角互余的性质即可得答案; (2)由(1)可得∠FAG=1 2 ∠BAD=45°,由AG⊥PD可得∠APG=45°,根据轴对称的性质可 得∠BPA=∠APG=45°,可得∠BFD=90°,即可证明BF⊥DF; (3)连接BD、BE,过点C作CH//FD,交BE延长线于H,由∠BFD=∠BCD=90°可得B、F、C、D四点共圆,根据圆周角定理可得∠FBC=∠FDC,∠DFC=∠DBC=45°,根据平行线的性质可得∠FDC=∠DCH,根据角的和差关系可得∠ABF=∠BCH,由轴对称性质可得BF=EF,可得△BEF是等腰直角三角形,即可得∠BEF=45°,BE=2BF,即可证明∠BEF=∠DFC,可得BH//FC,即可证明四边形EFCH是平行四边形,可得EH=FC,EF=CH,利用等量代换可得CH=BF,利用SAS可证明△ABF≌△BCH,可得AF=BH,即可得AF、BF、CF的数量关系.【详解】 (1)过点A作AG⊥DF于G, ∵点B关于直线AF的对称点为E,四边形ABCD是正方形, ∴AE=AB,AB=AD=DC=BC,∠BAF=∠EAF, ∴AE=AD, ∵AG⊥FD, ∴∠EAG=∠DAG, ∴∠BAF+∠DAG=∠EAF+∠EAG, ∵∠BAF+∠DAG+∠EAF+∠EAG=∠BAD=90°, ∴∠BAF+∠DAG=∠GAF=45°, ∴∠DAG=45°-α, ∴∠ADF=90°-∠DAG=45°+α. (2)由(1)得∠GAF=45°, ∵AG⊥FD, ∴∠AFG=45°, ∵点E、B关于直线AF对称, ∴∠AFB=∠AFE=45°, ∴∠BFG=90°, ∴BF ⊥DF. (3)连接BD 、BE ,过点C 作CH//FD ,交BE 延长线于H , ∵∠BFD=∠BCD=90°, ∴B 、F 、C 、D 四点共圆, ∴∠FDC=∠FBC ,∠DFC=∠DBC=45°, ∵CH//FD , ∴∠DCH=∠FDC , ∴∠FBC=∠DCH , ∵∠ABC=∠BCD=90°, ∴∠ABC+∠FBC=∠BCD+∠DCH ,即∠ABF=∠BCH , ∵点E 、B 关于直线AF 对称, ∴BF=EF , ∵∠BFE=90°, ∴△BEF 是等腰直角三角形, ∴∠BEF=45°,BE=2BF , ∴∠BEF=∠DFC , ∴FC//BH , ∴四边形EFCH 是平行四边形, ∴EH=FC ,CH=BF , 在△ABF 和△BCH 中,AB BC ABF BCH BF CH =?? ∠=∠??=? , ∴AF=BH=BE+EH=2BF+CF. 【点睛】 本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、圆周角定理、四点共圆的判定及全等三角形的判定与性质,正确得出B 、F 、C 、D 四点共圆并熟练掌握圆周角定理及轴对称的性质是解题关键. 8.(1)10;(2)1056+米;(3)①100k a =-;②不存在,理由见解析 【解析】 初三九年级数学上册数学压轴题(提升篇)(Word版含解析) 一、压轴题 1.已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点 A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O的半径; (2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明. 2.如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上,点B的坐标为(3, 4),一次函数 2 3 y x b =-+的图像与边OC、AB分别交于点D、E,并且满足OD BE =, M是线段DE上的一个动点 (1)求b的值; (2)连接OM,若ODM △的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;(3)设N是x轴上方平面内的一点,以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形,求点N的坐标. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线1l: 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C, 且与直线2l: 1 2 y x =交于点A. (1)分别求出点A、B、C的坐标; (2)若D是线段OA上的点,且COD △的面积为12,求直线CD的函数表达式;(3)在(2)的条件下,设P是射线CD上的点,在平面内里否存在点Q,使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 4.阅读理解: 如图,在纸面上画出了直线l与⊙O,直线l与⊙O相离,P为直线l上一动点,过点P作⊙O的切线PM,切点为M,连接OM、OP,当△OPM的面积最小时,称△OPM为直线l与⊙O的“最美三角形”. 解决问题: (1)如图1,⊙A的半径为1,A(0,2) ,分别过x轴上B、O、C三点作⊙A的切线BM、OP、CQ,切点分别是M、P、Q,下列三角形中,是x轴与⊙A的“最美三角形”的是.(填序号) ①ABM;②AOP;③ACQ (2)如图2,⊙A的半径为1,A(0,2),直线y=kx(k≠0)与⊙A的“最美三角形”的面积 为1 2 ,求k的值. (3)点B在x轴上,以B为圆心,3为半径画⊙B,若直线y=3x+3与⊙B的“最美三 角形”的面积小于 3 2 ,请直接写出圆心B的横坐标B x的取值范围. 5.如图1:在Rt△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点(不与点B,C重合),试探索AD,BD,CD之间满足的等量关系,并证明你的结论.小明同学的思路是这样的:将线段AD绕点A逆时针旋转90°,得到线段AE,连接EC,DE.继续推理就可以使问题得到解 初三九年级上册数学压轴题专题练习(解析版) 一、压轴题 1.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 2.在平面直角坐标系xOy 中,对于任意三点A ,B ,C ,给出如下定义: 若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行,且A ,B ,C 三点都在矩形的内部或边界上,则称该矩形为点A ,B ,C 的外延矩形.点A ,B ,C 的所有外延矩形中,面积最小的矩形称为点A ,B ,C 的最佳外延矩形.例如,图中的矩形, , 都是 点A ,B ,C 的外延矩形,矩形 是点A ,B ,C 的最佳外延矩形. (1)如图1,已知A (-2,0),B (4,3),C (0,). ①若 ,则点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为 ; ②若点A ,B ,C 的最佳外延矩形的面积为24,则的值为 ; (2)如图2,已知点M (6,0),N (0,8).P (,)是抛物线 上一点,求点M ,N ,P 的最佳外延矩形面积的最小值,以及此时点P 的横坐标的取值范 围; (3)如图3,已知点D(1,1).E(,)是函数的图象上一点,矩形 OFEG是点O,D,E的一个面积最小的最佳外延矩形,⊙H是矩形OFEG的外接圆,请直接写出⊙H的半径r的取值范围. 3.如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm,点p从A开始折线A——B——C——D以4cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CD边以1cm/秒的速度移动,如果点P、Q分别从A、C同时出发,当其中一点到达D时,另一点也随之停止运动,设运动的时间t(秒) (1)t为何值时,四边形APQD为矩形. (2)如图(2),如果⊙P和⊙Q的半径都是2cm,那么t为何值时,⊙P和⊙Q外切?4.问题发现: (1)如图①,正方形ABCD的边长为4,对角线AC、BD相交于点O,E是AB上点(点E 不与A、B重合),将射线OE绕点O逆时针旋转90°,所得射线与BC交于点F,则四边形OEBF的面积为. 问题探究: (2)如图②,线段BQ=10,C为BQ上点,在BQ上方作四边形ABCD,使∠ABC=∠ADC =90°,且AD=CD,连接DQ,求DQ的最小值; 问题解决: (3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③ 九年级数学几何模型压轴题专题练习(解析版) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.已知:如图①,在矩形ABCD 中,3,4,AB AD AE BD ==⊥,垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点,连接A F 、BF . (1)求AF 和BE 的长; (2)若将ABF 沿着射线BD 方向平移,设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度).当点F 分别平移到线段AB AD 、上时,直接写出相应的m 的值. (3)如图②,将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<,记旋转中ABF 为 ''A BF ,在旋转过程中,设''A F 所在的直线与直线AD 交于点P ,与直线BD 交于点Q .是否存在这样的P Q 、两点,使DPQ 为等腰三角形?若存在,求出此时DQ 的 长;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)129,55AF BF = =;(2)95 m =或16 5m =;(3)存在4组符合条件的点 P 、点Q ,使DPQ 为等腰三角形; DQ 的长度分别为2或 258 9 1055或3 5105 【解析】 【分析】 (1)利用矩形性质、勾股定理及三角形面积公式求解; (2)依题意画出图形,如图①-1所示.利用平移性质,确定图形中的等腰三角形,分别求出m 的值; (3)在旋转过程中,等腰△DPQ 有4种情形,分别画出图形,对于各种情形分别进行计算即可. 【详解】 (1)∵四边形ABCD 是矩形, ∴∠BAD=90°, 在Rt △ABD 中,AB=3,AD=4, 由勾股定理得:2222345AB AD +=+=, ∵S △ABD 12= BD?AE=1 2 AB?AD , 初三九年级数学上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.如图,在平面直角坐标系中,直线1l :1 62 y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ,且与直线2l :1 2 y x = 交于点A . (1)分别求出点A 、B 、C 的坐标; (2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、 C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理 由. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.数学概念 若点P 在ABC ?的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是 ABC ?的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念 (1)若点P 是ABC ?的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 . (2)已知点D 在ABC ?的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足 180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ?的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ?的 边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ?的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!) ①如图①,DB DC = ②如图②,BC BD = 初三九年级上册上册数学压轴题专题练习(解析版) 一、压轴题 1.已知P是⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有动点 A、B(不与P,Q重合),连接AP、BP. 若∠APQ=∠BPQ. (1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=22时,求⊙O的半径; (2)如图2,选接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,若∠NOP+2∠OPN=90°,探究直线AB与ON的位置关系,并证明. 2.如图1,△ABC中,AB=AC=4,∠BAC=100,D是BC的中点. 小明对图1进行了如下探究:在线段AD上任取一点E,连接EB.将线段EB绕点E逆时针旋转80°,点B的对应点是点F,连接BF,小明发现:随着点E在线段AD上位置的变化,点F的位置也在变化,点F可能在直线AD的左侧,也可能在直线AD上,还可能在直线AD的右侧.请你帮助小明继续探究,并解答下列问题: (1)如图2,当点F在直线AD上时,连接CF,猜想直线CF与直线AB的位置关系,并说明理由. (2)若点F落在直线AD的右侧,请在备用图中画出相应的图形,此时(1)中的结论是否仍然成立,为什么? (3)当点E在线段AD上运动时,直接写出AF的最小值. 3.如图,在平面直角坐标系中,直线1l: 1 6 2 y x =-+分别与x轴、y轴交于点B、C, 且与直线2l: 1 2 y x =交于点A. (1)分别求出点A 、B 、C 的坐标; (2)若D 是线段OA 上的点,且COD △的面积为12,求直线CD 的函数表达式; (3)在(2)的条件下,设P 是射线CD 上的点,在平面内里否存在点Q ,使以O 、 C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,直接写出点Q 的坐标;若不存在,请说明理 由. 4.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 5.如图,等边ABC 内接于 O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接 AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M . (1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△; (3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度. 6.如图①, O 经过等边ABC 的顶点A ,C (圆心O 在ABC 内),分别与AB , CB 的延长线交于点D ,E ,连结DE ,BF EC ⊥交AE 于点F . (1)求证:BD BE =. (2)当:3:2AF EF =,6AC =,求AE 的长. 九年级数学上册几何模型压轴题单元试卷(word版含答案) 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.在Rt△ACB和Rt△AEF中,∠ACB=∠AEF=90°,若点P是BF的中点,连接PC,PE. (1) 如图1,若点E,F分别落在边AB,AC上,求证:PC=PE; (2) 如图2,把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转,当点E落在边CA的延长线上时,探索PC与PE的数量关系,并说明理由. (3) 如图3,把图2中的△AEF绕着点A顺时针旋转,点F落在边AB上.其他条件不变,问题(2)中的结论是否发生变化?如果不变,请加以证明;如果变化,请说明理由. 【答案】(1)见解析;(2)PC=PE,理由见解析;(3)成立,理由见解析 【解析】 【分析】 (1)利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,即可; (2)先判断△CBP≌△HPF,再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半; (3)先判断△DAF≌△EAF,再判断△DAP≌△EAP,然后用比例式即可; 【详解】 解:(1)证明:如图: ∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴△FCB和△BEF都为直角三角形. ∵点P是BF的中点, ∴CP=1 2BF,EP= 1 2 BF, ∴PC=PE. (2)PC=PE理由如下: 如图2,延长CP,EF交于点H, ∵∠ACB=∠AEF=90°, ∴EH//CB, ∴∠CBP=∠PFH,∠H=∠BCP, ∵点P是BF的中点, ∴PF=PB, ∴△CBP≌△HFP(AAS), ∴PC=PH, ∵∠AEF=90°, ∴在Rt△CEH中,EP=1 2 CH, ∴PC=PE. (3)(2)中的结论,仍然成立,即PC=PE,理由如下: 如图3,过点F作FD⊥AC于点D,过点P作PM⊥AC于点M,连接PD, ∵∠DAF=∠EAF,∠FDA=∠FEA=90°, 在△DAF和△EAF中, DAF, , , EAF FDA FEA AF AF ∠=∠ ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAF≌△EAF(AAS), ∴AD=AE, 在△DAP≌△EAP中, , , , AD AE DAP EAP AP AP = ? ? ∠=∠ ? ?= ? ∴△DAP≌△EAP (SAS), ∴PD=PF, ∵FD⊥AC,BC⊥AC,PM⊥AC, ∴FD//BC//PM, ∴DM FP MC PB =, 2014-2015学年度???学校1月月考卷 试卷副标题 1.(本题满分10分)如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A、B重合)OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D、E. (1)当BC=1时,求线段OD的长; (2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边?如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由; 【答案】① 15 2;②存在,2 DE 【解析】 试题分析:(1)如图(1),∵OD⊥BC,∴BD=BC=, ∴OD==; (2)如图(2),存在,DE是不变的.连接AB,则AB==2, ∵D和E分别是线段BC和AC的中点,∴DE=AB=; (3)如图(3),连接OC, ∵BD=x, ∴OD=, ∵∠1=∠2,∠3=∠4, ∴∠2+∠3=45°, 过D作DF⊥OE. ∴DF==,由(2)已知DE=, ∴在Rt△DEF中,EF==, ∴OE=OF+EF=+= ∴y=DF?OE=?? =(0<x<) 考点: 1.垂径定理;2.勾股定理;3.三角形中位线定理 2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,BD是△ABC的角平分线, DE⊥AB于点E. (1)如图1,连接EC,求证:△EBC是等边三角形; (2)点M是线段CD上的一点(不与点C,D重合),以BM为一边,在BM的下方作∠BMG=60°,MG交DE延长线于点G.请你在图2中画出完整图形,并直接写出MD,DG与AD之间的数量关系; (3)如图3,点N是线段AD上的一点,以BN为一边,在BN的下方作∠BNG=60°,NG 交DE延长线于点G.试探究ND,DG与AD数量之间的关系,并说明理由. 【答案】(1)证明见解析:(2)AD=DG+DM.(3)AD=DG-DN.理由见解析. 【解析】 试题分析:(1)利用“三边相等”的三角形是等边三角形证得△EBC是等边三角形;(2)延长ED使得DN=DM,连接MN,即可得出△NDM是等边三角形,利用△NGM≌△DBM 即可得出BD=NG=DG+DM,再利用AD=BD,即可得出答案; (3)利用等边三角形的性质得出∠H=∠2,进而得出∠DNG=∠HNB,再求出△DNG≌△HNB 即可得出答案. 试题解析:(1)证明:如图1所示: 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°, ∴∠ABC=60°,BC=1 2 AB. ∵BD平分∠ABC, ∴∠1=∠DBA=∠A=30°.∴DA=DB. ∵DE⊥AB于点E. ∴AE=BE=1 2 AB. ∴BC=BE. ∴△EBC是等边三角形; (2)结论:AD=DG+DM. 证明:如图2所示:延长ED使得DN=DM,连接MN, 九年级上册数学 几何模型压轴题专题练习(解析版) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.阅读材料并解答下列问题:如图1,把平面内一条数轴x 绕原点O 逆时针旋转角 00)90(θ??<<得到另一条数轴,y x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系.xOy 规定:过点P 作y 轴的平行线,交x 轴于点A ,过点P 作x 轴的平行线,交y 轴于点B , 若点A 在x 轴对应的实数为a ,点B 在y 轴对应的实数为b ,则称有序实数对(),a b 为点 P 在平面斜坐标系xOy 中的斜坐标.如图2,在平面斜坐标系xOy 中,已知60θ?=,点P 的斜坐标是()3,6,点C 的斜坐标是()0,6. (1)连接OP ,求线段OP 的长; (2)将线段OP 绕点O 顺时针旋转60?到OQ (点Q 与点P 对应),求点Q 的斜坐标; (3)若点D 是直线OP 上一动点,在斜坐标系xOy 确定的平面内以点D 为圆心,DC 长为半径作 D ,当⊙D 与x 轴相切时,求点D 的斜坐标, 【答案】(1)37OP =2)点Q 的斜坐标为(9,3-);(3)点D 的斜坐标为: ( 3 2 ,3)或(6,12). 【解析】 【分析】 (1)过点P 作PC ⊥OA ,垂足为C ,由平行线的性质,得∠PAC=60θ=?,由AP=6,则 AC=3,33PC =OP 的长度; (2)根据题意,过点Q 作QE ∥OC ,QF ∥OB ,连接BQ ,由旋转的性质,得到OP=OQ ,∠COP=∠BOQ ,则△COP ≌△BOQ ,则BQ=CP=3,∠OCP=∠OBQ=120°,然后得到△BEQ 是等边三角形,则BE=EQ=BQ=3,则OE=9,OF=3,即可得到点Q 的斜坐标; (3)根据题意,可分为两种情况进行分析:①当OP 和CM 恰好是平行四边形OMPC 的对角线时,此时点D 是对角线的交点,求出点D 的坐标即可;②取OJ=JN=CJ ,构造直角三角 最新初三九年级数学上册上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.问题提出 (1)如图①,在ABC 中,42,6,135AB AC BAC ==∠=,求ABC 的面积. 问题探究 (2)如图②,半圆O 的直径10AB =,C 是半圆AB 的中点,点D 在BC 上,且 2CD BD =,点P 是AB 上的动点,试求PC PD +的最小值. 问题解决 (3)如图③,扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ,在边OA 上选点E ,在边OB 上选点F ,求PE EF FP ++的长度的最小值. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.已知:在ABC 中,,90AC BC ACB ? =∠=,点F 在射线CA 上,延长BC 至点 D ,使CD CF =,点 E 是射线B F 与射线DA 的交点. (1)如图1,若点F 在边CA 上; ①求证:BE AD ⊥; ②小敏在探究过程中发现45BEC ?∠=,于是她想:若点F 在CA 的延长线上,是否也存在同样的结论?请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数. (2)选择图1或图2两种情况中的任一种,证明小敏或你的猜想. 4.如图1,有一块直角三角板,其中AB 16=,ACB 90∠=,CAB 30∠=,A 、B 在x 轴上,点A 的坐标为()20,0,圆M 的半径为33,圆心M 的坐标为() 5,33-,圆M 以每秒1个单位长度的速度沿x 轴向右做平移运动,运动时间为t 秒; ()1求点C 的坐标; ()2当点M 在ABC ∠的内部且M 与直线BC 相切时,求t 的值; ()3如图2,点E 、F 分别是BC 、AC 的中点,连接EM 、FM ,在运动过程中,是否存在某一 时刻,使EMF 90∠=?若存在,直接写出t 的值,若不存在,请说明理由. 5.已知,如图Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =6cm ,BC =8cm ,点P 为AC 的中点,Q 从点A 运动到B ,点Q 运动到点B 停止,连接PQ ,取PQ 的中点O ,连接OC ,OB . (1)若△ABC ∽△APQ ,求BQ 的长; (2)在整个运动过程中,点O 的运动路径长_____; (3)以O 为圆心,OQ 长为半径作⊙O ,当⊙O 与AB 相切时,求△COB 的面积. 6.我们知道,如图1,AB 是⊙O 的弦,点F 是AFB 的中点,过点F 作EF ⊥AB 于点E ,易得点E 是AB 的中点,即AE =EB .⊙O 上一点C (AC >BC ),则折线ACB 称为⊙O 的一条“折弦”. (1)当点C 在弦AB 的上方时(如图2),过点F 作EF ⊥AC 于点E ,求证:点E 是“折弦ACB ”的中点,即AE =EC+CB . (2)当点C 在弦AB 的下方时(如图3),其他条件不变,则上述结论是否仍然成立?若 拔高专题:旋转变化中的压轴题 一、基本模型构建 探究点一:以三角形为基础的图形的旋转变换 例1:(2015?盘锦中考)如图1,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,点B 在线段AE 上,点C 在线段AD 上. (1)请直接写出线段BE 与线段CD 的关系: BE=CD ; (2)如图2,将图1中的△ABC 绕点A 顺时针旋转角α(0<α<360°), ①(1)中的结论是否成立?若成立,请利用图2证明;若不成立,请说明理由; ②当AC= 1 2 ED 时,探究在△ABC 旋转的过程中,是否存在这样的角α,使以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出角α的度数;若不存在,请说明理由. 解:(1)∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , ∴AE-AB=AD-AC ,∴BE=CD ; (2)①∵△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形,∠BAC=∠EAD=90°,∴AB=AC ,AE=AD , 由旋转的性质可得∠BAE=∠CAD ,在△BAE 与△CAD 中,AB AC BAE CAD AE AD ? ∠?? ∠??===, ∴△BAE ≌△CAD (SAS ),∴BE=CD ; ②∵以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形是平行四边形,△ABC 和△AED 都是等腰直角三角形, ∴∠ABC=∠ADC=45°,∵AC= 1 2 ED ,∴AC=CD ,∴∠CAD=45°,或360°-90°-45°=225°, ∴角α的度数是45°或225°. 等腰直角三角形的性质,等量代换,旋转的性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的判定和性质,综合性较强 【变式训练】1. 如图①,在Rt △ABC 和Rt △EDC 中,∠ACB=∠ECD=90°,AC=EC=BC=DC ,AB 与EC 交于F ,ED 与AB 、BC 分别交于M 、H . (1)求证:CF=CH ; (2)如图②,Rt △ABC 不动,将Rt △EDC 绕点C 旋转到∠BCE=45°时,判断四边形ACDM 的形状,并证明你的结论. (1)证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,AC=BC=CD=CE ,∴∠1=∠2=90°-∠BCE ,∠A=∠B=∠D=∠E=45°, 在△ACF 和△DCH 中,12A D AC CD ∠∠∠??∠? ?? ===,∴△ACF ≌△DCH ,∴CF=CH ; (2)四边形ACDM 是菱形,证明:∵∠ACB=∠ECD=90°,∠BCE=45°,∴∠1=∠2=90°-45°=45°, ∵∠A=∠D=45°,∴∠A+∠ACD=45°+90°+45°=180°,同理∠D+∠ACD=180°,∴AM ∥DC ,AC ∥DM , ∴四边形ACDM 是平行四边形,∵AC=CD ,∴四边形ACDM 是菱形. 【教师总结】三角形从一个位置旋转到另一个位置,除去对应线段和对应角相等外,里面也存在着相等的角,和全等三角形,在解决问题过程要善于将“基本图形”分离出来分析。 探究点二 以四边形为基础的图形的旋转变换 九年级数学几何模型压轴题单元综合测试(Word版含答案) 一、初三数学旋转易错题压轴题(难) 1.探究:如图1和图2,四边形ABCD中,已知AB=AD,∠BAD=90°,点E、F分别在BC、CD上,∠EAF=45°. (1)①如图1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合,直接写出线段BE、DF和EF之间的数量关系; ②如图2,若∠B、∠D都不是直角,但满足∠B+∠D=180°,线段BE、DF和EF之间的结论是否仍然成立,若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. (2)拓展:如图3,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=22.点D、E均在边BC边上,且∠DAE=45°,若BD=1,求DE的长. 【答案】(1)①EF=BE+DF;②成立,理由详见解析;(2)DE=5 3 . 【解析】 【分析】 (1)①根据旋转的性质得出AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,求出∠EAF=∠GAF=45°,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案; ②根据旋转的性质作辅助线,得出AE=AG,∠B=∠ADG,∠BAE=∠DAG,求出C、D、G 在一条直线上,根据SAS推出△EAF≌△GAF,根据全等三角形的性质得出EF=GF,即可求出答案; (2)如图3,同理作旋转三角形,根据等腰直角三角形性质和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°,BC=4,根据旋转的性质得出AF=AE,∠FBA=∠C=45°,∠BAF=∠CAE,求出∠FAD =∠DAE=45°,证△FAD≌△EAD,根据全等得出DF=DE,设DE=x,则DF=x,BF=CE=3﹣x,根据勾股定理得出方程,求出x即可. 【详解】 解:(1)∵把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,使AB与AD重合, ∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,BE=DG,∠B=∠ADG=90°, ∵∠ADC=90°, ∴∠ADC+∠ADG=90° ∴F、D、G共线, ∵∠BAD=90°,∠EAF=45°, ∴∠BAE+∠DAF=45°, ∴∠DAG+∠DAF=45°, 即∠EAF=∠GAF=45°, 1.如图,直线3y x =-+与x 轴,y 轴分别相交于点B ,点C ,经过B C ,两点的抛物线 2 y ax bx c =++与x 轴的另一交点为A ,顶点为P ,且对称轴是直线2x =. (1)求A 点的坐标; (2)求该抛物线的函数表达式; (3)连结A C .请问在x 轴上是否存在点Q ,使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与 A B C △相似,若存在,请求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. [解] 直线3y x =-+与x 轴相交于点B ,∴当0y =时,3x =, ∴点B 的坐标为(30), . 又 抛物线过x 轴上的A B ,两点, 且对称轴为2x =,根据抛物线的对称性,∴点A 的坐标为(10),. (2)3y x =-+ 过点C ,易知(03)C ,,3c ∴=. 又 抛物线2y ax bx c =++过点(10)(30)A B ,,,, 309330a b a b +==?∴?++=?,. 解得14a b =??=-?,. 2 43y x x ∴=-+. (3)连结P B ,由22 43(2)1y x x x =-+=--,得(21)P -,, 设抛物线的对称轴交x 轴于点M ,在R t P B M △中,1PM M B ==, 452PBM PB ∴== ,∠.由点(30)(03)B C ,,,易得3O B O C ==, 在等腰直角三角形O BC 中,45ABC = ∠,由勾股定理,得32BC =. 假设在x 轴上存在点Q ,使得以点P B Q ,,为顶点的三角形与A B C △相似. ①当 B Q P B B C A B =,45PBQ ABC == ∠∠时,PBQ ABC △∽△. 即 2232 B Q = ,3BQ ∴=,又3B O = ,∴点Q 与点O 重合,1Q ∴的坐标是(00),. ②当 Q B P B A B B C = ,45Q BP ABC == ∠∠时,QBP ABC △∽△. A B C P O y 2x = A B C P O x y 2x = 九年级上册上册数学压轴题测试卷附答案 一、压轴题 1.已知,如图1,⊙O 是四边形ABCD 的外接圆,连接OC 交对角线BD 于点F ,延长AO 交BD 于点E ,OE=OF. (1)求证:BE=FD ; (2)如图2,若∠EOF=90°,BE=EF ,⊙O 的半径25AO =,求四边形ABCD 的面积; (3)如图3,若AD=BC ; ①求证:22?AB CD BC BD +=;②若2?12AB CD AO ==,直接写出CD 的长. 2.在长方形ABCD 中,AB =5cm ,BC =6cm ,点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以 1/cm s 的速度移动,与此同时,点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移 动.如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,当点Q 运动到点C 时,两点停止运动.设运动时间为t 秒. (1)填空:______=______,______=______(用含t 的代数式表示); (2)当t 为何值时,PQ 的长度等于5cm ? (3)是否存在t 的值,使得五边形APQCD 的面积等于226cm ?若存在,请求出此时t 的值;若不存在,请说明理由. 3.如图,在Rt △AOB 中,∠AOB =90°,tan B =3 4 ,OB =8. (1)求OA 、AB 的长; (2)点Q 从点O 出发,沿着OA 方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动,同时动点P 从点A 出发,沿着AB 方向也以1个单位长度秒的速度匀速运动,设运动时间为t 秒(0<t ≤5)以P 为圆心,PA 长为半径的⊙P 与AB 、OA 的另一个交点分别为C 、D ,连结CD ,QC . ①当t 为何值时,点Q 与点D 重合? ②若⊙P 与线段QC 只有一个公共点,求t 的取值范围. 九年级数学几何模型压轴题综合测试卷(word 含答案) 一、初三数学 旋转易错题压轴题(难) 1.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,抛物线2 y ax bx c =++的顶点是A(1,3),将OA 绕点O 顺时针旋转90?后得到OB ,点B 恰好在抛物线上,OB 与抛物线的对称轴交于点C . (1)求抛物线的解析式; (2)P 是线段AC 上一动点,且不与点A ,C 重合,过点P 作平行于x 轴的直线,与 OAB ?的边分别交于M ,N 两点,将AMN ?以直线MN 为对称轴翻折,得到A MN '?. 设点P 的纵坐标为m . ①当A MN '?在OAB ?内部时,求m 的取值范围; ②是否存在点P ,使' 5 6 A MN OA B S S ?'?=,若存在,求出满足m 的值;若不存在,请说明理 由. 【答案】()2 1y x 22x =-++;(2)①433 m <<;②存在,满足m 的值为619-或 639 -. 【解析】 【分析】 (1)作AD ⊥y 轴于点D ,作BE ⊥x 轴于点E ,然后证明△AOD ≌△BOE ,则AD=BE ,OD=OE ,即可得到点B 的坐标,然后利用待定系数法,即可求出解析式; (2)①由点P 为线段AC 上的动点,则讨论动点的位置是解题的突破口,有点P 与点A 重合时;点P 与点C 重合时,两种情况进行分析计算,即可得到答案; ②根据题意,可分为两种情况进行分析:当点M 在线段OA 上,点N 在AB 上时;当点M 在线段OB 上,点N 在AB 上时;先求出直线OA 和直线AB 的解析式,然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积,根据等量关系列出方程,解方程即可求出m 的值. 【详解】 最新初三九年级数学上册上册数学压轴题(提升篇)(Word 版 含解析) 一、压轴题 1.阅读理解: 如图,在纸面上画出了直线l 与⊙O ,直线l 与⊙O 相离,P 为直线l 上一动点,过点P 作⊙O 的切线PM ,切点为M ,连接OM 、OP ,当△OPM 的面积最小时,称△OPM 为直线l 与⊙O 的“最美三角形”. 解决问题: (1)如图1,⊙A 的半径为1,A(0,2) ,分别过x 轴上B 、O 、C 三点作⊙A 的切线BM 、OP 、CQ ,切点分别是M 、P 、Q ,下列三角形中,是x 轴与⊙A 的“最美三角形”的是 .(填序号) ①ABM ;②AOP ;③ACQ (2)如图2,⊙A 的半径为1,A(0,2),直线y=kx (k≠0)与⊙A 的“最美三角形”的面积为 1 2 ,求k 的值. (3)点B 在x 轴上,以B 为圆心,3为半径画⊙B ,若直线y=3x+3与⊙B 的“最美三角形”的面积小于 3 ,请直接写出圆心B 的横坐标B x 的取值范围. 2.点P 为图形M 上任意一点,过点P 作PQ ⊥直线,l 垂足为Q ,记PQ 的长度为d . 定义一:若d 存在最大值,则称其为“图形M 到直线l 的限距离”,记作()max ,D M l ; 定义二:若d 存在最小值,则称其为“图形M 到直线l 的基距离”,记作()min ,D M l ; (1)已知直线1:2l y x =--,平面内反比例函数2 y x = 在第一象限内的图象记作,H 则 ()1,min D H l = . (2)已知直线2:33l y x =+,点()1,0A -,点()()1,0,,0B T t 是x 轴上一个动点, T 的半径为3,点C 在T 上,若()max 243,63,D ABC l ≤≤求此时t 的取值范 围, (3)已知直线21211k k y x k k --= +--恒过定点1111,8484P a b c a b c ?? ??+-+? +,点(),D a b 恒在直线3l 上,点(),28E m m +是平面上一动点,记以点E 为顶点,原点为对角线交点的正方形为图形,K ()min 3,0D K l =,若请直接写出m 的取值范围. 3.如图,等边ABC 内接于 O ,P 是AB 上任一点(点P 不与点A 、B 重合),连接 AP 、BP ,过点C 作CM BP 交PA 的延长线于点M . (1)求APC ∠和BPC ∠的度数; (2)求证:ACM BCP △≌△; (3)若1PA =,2PB =,求四边形PBCM 的面积; (4)在(3)的条件下,求AB 的长度. 4.数学概念 若点P 在ABC ?的内部,且APB ∠、BPC ∠和CPA ∠中有两个角相等,则称P 是 ABC ?的“等角点”,特别地,若这三个角都相等,则称P 是ABC ?的“强等角点”. 理解概念 (1)若点P 是ABC ?的等角点,且100APB ∠=,则BPC ∠的度数是 . (2)已知点D 在ABC ?的外部,且与点A 在BC 的异侧,并满足 180BDC BAC ∠+∠<,作BCD ?的外接圆O ,连接AD ,交圆O 于点P .当BCD ?的 边满足下面的条件时,求证:P 是ABC ?的等角点.(要求:只选择其中一道题进行证明!) ①如图①,DB DC = ②如图②,BC BD = 九年级上册数学压轴题易错题(Word 版 含答案) 一、压轴题 1.如图①,A (﹣5,0),OA =OC ,点B 、C 关于原点对称,点B (a ,a +1)(a >0). (1)求B 、C 坐标; (2)求证:BA ⊥AC ; (3)如图②,将点C 绕原点O 顺时针旋转α度(0°<α<180°),得到点D ,连接DC ,问:∠BDC 的角平分线DE ,是否过一定点?若是,请求出该点的坐标;若不是,请说明理由. 2.已知在ABC 中,AB AC =.在边AC 上取一点D ,以D 为顶点、DB 为一条边作 BDF A ∠=∠,点E 在AC 的延长线上,ECF ACB ∠=∠. (1)如图(1),当点D 在边AC 上时,请说明①FDC ABD ∠=∠;②DB DF =成立 的理由. (2)如图(2),当点D 在AC 的延长线上时,试判断DB 与DF 是否相等? 3.问题发现: (1)如图①,正方形ABCD 的边长为4,对角线AC 、BD 相交于点O ,E 是AB 上点(点E 不与A 、B 重合),将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°,所得射线与BC 交于点F ,则四边形OEBF 的面积为 . 问题探究: (2)如图②,线段BQ =10,C 为BQ 上点,在BQ 上方作四边形ABCD ,使∠ABC =∠ADC =90°,且AD =CD ,连接DQ ,求DQ 的最小值; 问题解决: (3)“绿水青山就是金山银山”,某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园,图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图,在四边形ABCD 中,∠ABC =∠ADC =90°,AD =CD ,AC =600米.其中AB 、BD 、BC 为观赏小路,设计人员考虑到为分散人流和便观赏,提出三条小路的长度和要取得最大,试求AB +BD +BC 的最大值. 4.如图,AB 是⊙O 的直径,AF 是⊙O 的弦,AE 平分BAF ∠,交⊙O 于点E ,过点 E 作直线ED A F ⊥,交AF 的延长线于点D ,交AB 的延长线于点C . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==,求AE 的长. 5.如图,⊙M 与菱形ABCD 在平面直角坐标系中,点M 的坐标为(﹣3,1),点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(1,﹣3),点D 在x 轴上,且点D 在点A 的右侧. (1)求菱形ABCD 的周长; (2)若⊙M 沿x 轴向右以每秒2个单位长度的速度平移,菱形ABCD 沿x 轴向左以每秒3个单位长度的速度平移,设菱形移动的时间为t (秒),当⊙M 与AD 相切,且切点为AD 的中点时,连接AC ,求t 的值及∠MAC 的度数; (3)在(2)的条件下,当点M 与AC 所在的直线的距离为1时,求t 的值. 6.如图,已知AB 是⊙O 的直径,AB =8,点C 在半径OA 上(点C 与点O 、A 不重合),过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ,连结OD ,过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F . (1)若ED =BE ,求∠F 的度数: 压轴题几何专项训练(三) ——有关旋转、平移、折叠问题 (旋转)1、如图,点O 是等边ABC △内一点,110AOB BOC α∠=∠=,.将 BOC △绕点C 按顺时针方向旋转60得ADC △,连接OD . (1)求证:COD △是等边三角形; (2)当150α=时,试判断AOD △的形状,并说明理由; (3)探究:当α为多少度时,AOD △是等腰三角形? A B C D O 110 α (旋转)2、如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC 和DEC 重合放置,其中∠C =90°, ∠B =∠E =30°. (1)操作发现 如图2,固定△ABC ,使△DEC 绕点C 旋转,当点D 恰好落在AB 边上时,填空: ①线段DE 与AC 的位置关系是_________; ②设△BDC 的面积为S 1,△AEC 的面积为S 2,则S 1与S 2的数量关系是________. (2)猜想论证 当△DEC 绕点C 旋转到图3所示的位置时,小明猜想(1)中S 1与S 2的数量关系仍 然成立,并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中BC 、CE 边上的高,请你证明小明的 猜想. (3)拓展探究 已知∠ABC =60°,点D 是其角平分线上一点,BD =CD =4,DE //AB 交BC 于点E (如 图4).若在射线BA 上存在点F ,使BDE DCF S S ??=,请直接写出....相应的BF 的长. A (D ) B (E ) C 图 1 图 2 图3 图4 (平移)3、如图(1)所示,一张三角形纸片ABC , ACB =90o,AC =8,BC =6.沿斜边AB 的中线CD 把这张纸片剪成△AC 1D 1和△BC 2D 2两个三角形,如图(2)所示.将纸片△AC 1D 1沿直线D 2B (AB )方向平移(点A 、D 1、D 2、B 始终在同一条直线上),当点D 1与点B 重合时,停止平移.在平移的过程中,C 1D 1与BC 2交于点E ,AC 1与C 2D 2、BC 2分别交于点F 、P . (1)当△AC 1D 1平移到如图(3)所示的位置时,猜想图中D 1E 与D 2F 的数量关系,并证明你的猜想; (2)设平移距离D 2D 1为x ,△AC 1D 1和△BC 2D 2重叠部分的面积为y ,请写出y 与x 的函数关系式,以及自变量x 的取值范围; (3)对于(2)中的结论是否存在这样的x ,使得重叠部分的面积等于原△ABC 纸片面积的1 4 ?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由.初三九年级数学上册数学压轴题(提升篇)(Word版 含解析)
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