2018全国卷高考复习平面向量(知识总结题型)

第一部分平面向量的概念及线性运算

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.

基础练习】

1. 判断正误(在括号内打“√”或“×”)

(1) 零向量与任意向量平行.( )

(2) 若a∥ b，b∥ c，则a∥ c.( )

(3) 向量A→B与向量C→D是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.( )

(4) 当两个非零向量a，b 共线时，一定有b＝λa，反之成立.( )

(5) 在△ ABC中，D是BC中点，则A→D＝21( A→C＋A→B).( )

2. 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若

③向量AB与BA相等. 则所有正确命题的序号是( )

A.①

B. ③

C.①③

D.①②

3.(2017 ·枣庄模拟)

设D为△ ABC所在平面内一

点，

A→D＝－13A→B＋43A→C，若→BC＝

λD→C( λ∈R)，

则λ ＝

()

A.2

B.3

C.－2

D.－3

4.(2015 ·全国Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝______

5.( 必修4P92A12改编)已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且O→A＝a，O→B＝b，则→DC ＝ _____________________________________________________________________________

B→C＝____ ( 用a，b 表示).

1 2→

6.(2017 ·嘉兴七校联考) 设D，E分别是△ ABC的边AB，BC上的点，AD＝2AB，BE＝3BC，若D→E

＝λ1A→B＋λ2A→C( λ1，λ2为实数) ，则λ1＝______ ，λ2＝______ .

考点一平面向量的概念

【例1】下列命题中，不正确的是 _______ (填序号).

①若| a| ＝| b| ，则a＝b；

②若A，B，C，D 是不共线的四点，则“ A→B＝D→C”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c.

【训练1】下列命题中，正确的是 _______ (填序号).

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反；③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

解析①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量；②不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

a，b 都是单位向量，则a＝b；

考点三共线向量定理及其应用

例 3 】设两个非零向量 a 与 b 不共线 .

(1) 若 A →

B ＝ a ＋ b ，B →

C ＝ 2a ＋ 8b ，C →

D ＝ 3( a －b ). 求证： A ， B ，

(2) 试确定实数 k ，使 ka ＋b 和 a ＋kb 共线 .

【训练 3】已知向量 A →B ＝a ＋3b ，B →C ＝5a ＋3b ，C →

D ＝－ 3a ＋3b ，则 ( )

A.A ， B ，C 三点共线

B. A ， B ， D 三点共线

C.A ， C ，D 三点共线

D.B ，C ，D 三点共线

第二部分平面向量基本定理与坐标表示

1. 平面向量的基本定理

如果 e 1，e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量对实数 λ 1，λ2，使 a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量 e 1， e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 .

2. 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解

3. 平面向量的坐标运算

(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则

③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小答案 ③

考点二平面向量的线性运算

例 2】 (2017·潍坊模拟 ) 在△ ABC 中， P ，Q 分别是 AB ，BC 的三等分点，且 AP ＝3AB ，BQ ＝ 1

→ → →

BC . 若A →B ＝a ，A →C ＝b ，则 P →

Q ＝(11

A. 3a ＋3b 11

B. － 3a ＋

11 C.3a －3b

11 D.－3a －3b

训练 2】 (1) 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，靠近 B 点的三等分点，那么 E →

F 等于 (

A. 12A →

－

2 D 三点共线；

a ，有且只有一

点 F 是 BC 的一

个

a ＋

b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），a －b ＝（x 1－x 2，y 1－y 2），λa ＝（λx 1，λy 1），| a |＝ x 12

＋ y 2

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 .

②设 A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则A →B ＝（x 2－x 1，y 2－y 1），|A →

B | ＝（x 2－x 1）2

＋（y 2－y 1）2

4. 平面向量共线的坐标表示设 a ＝(x 1，y 1) ，b ＝(x 2，y 2) ，则 a ∥b ? x 1y 2－x 2y 1＝0.

基础练习】

4.（必修 4P101A3改编）已知?ABCD 的顶点 A （－1，－ 2）， B （3 ，－ 1）， C （5 ， 6），则顶点 D 的坐

标为考点一平面向量基本定理及其应用【例 1】（ 2014·全国Ⅰ卷）设D ，E ，F 分别为△

ABC 的三边 BC ，CA ，AB 的中点，则 E →B ＋F →

C ＝（）

A.A →

B. 1A →

C. 1B →

C D. B →

→

2 → → →

→ →

【训练 1】如图，已知 A →

B ＝ a ，A →

C ＝ b ，B →

D ＝ 3D →

C ，用 a ，b 表示 A →

D ，则 A →

D ＝ .

考点二平面向量的坐标运算

【例 2】（1）已知向量 a ＝（5 ，2），b ＝（－4，－3），c ＝（ x ，y ），若 3a －2b ＋c ＝0，则 c ＝（

）

A.（－23，－ 12）

B.（23 ，12）

C.（7 ，0）

D.（－ 7，0）

【训练 2】（1）已知点 A （－1，5）和向量 a ＝（2 ， 3），若 A →

B ＝3a ，则点 B 的坐标为

（） A.（7 ，4） B.（7 ， 14） C.（5 ，4）

D.（5 ， 14）

（2）（2015 ·江苏卷）已知向量 a ＝（2，1），b ＝（1，－2）. 若 ma ＋nb ＝（9，－8）（ m ，

n ∈ R ），则 m －n 的值为 .

考点三平面向量共线的坐标表示

【例 3】（1）已知平面向量 a ＝（1 ，2），b ＝（－2，m ），且 a ∥b ，则 2a ＋3b ＝

1.（2017 ·东阳月考）已知向量 a ＝（2 ， 4），b ＝（－1，1），则 2a ＋b 等于（） A.(5 ，7)

B.(5 ，9)

C.(3 ， 7)

D.(3 ，9)

2.(2015 全国Ⅰ卷）已知点 A （0 ，1）

， B (3 ，2)，向量 AC ＝（－4，－3），则向量 BC ＝（） A.( － 7，－ 4) B.(7 ， 4) C.( － 1， 4)

D.(1 ， 4)

3.(2016 全国Ⅱ卷）已知向量 a ＝（m

， 4）， b ＝（3 ，－ 2），且 a ∥b ，则 m ＝

（2）（必修 4P101练习 7 改编）已知 A （2 ， 3）， B （4 ，－ 3），点 P 在线段 AB 的延长线上，且 | AP |

＝32| BP | ，则点 P 的坐标为 ______

单位向量是（）

（2）若三点 A （1 ，－ 5）， B （ a ，－ 2），C （－ 2，－ 1）共线，则实数 a 的值为 .

第三部分平面向量的数量积及其应用

1. 平面向量数量积的有关概念

（1）向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b ，记O →

A ＝a ，O →

B ＝b ，则∠AOB ＝θ

（0°≤θ≤180°）叫做向量 a 与 b 的夹角 .

（2）数量积的定义：已知两个非零向量 a 与 b ，它们的夹角为 θ，则数量 | a || b |cos__ θ叫做

a 与

b 的数量积（或内积），记作 a ·b ，即 a ·b ＝| a || b |cos__ θ，规定零向量与任一向量的数量积为 0，即 0·a ＝ 0.

（3）数量积几何意义：数量积 a ·b 等于 a 的长度 | a | 与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos θ的乘

积 .

2. 平面向量数量积的性质及其坐标表示

设向量 a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），θ为向量 a ，b 的夹角 .

（1）数量积： a ·b ＝| a || b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. （2）模： | a | ＝ a ·a ＝ x 12

＋ y 12

a ·b

x 1x 2＋y 1y 2

（3）夹角： cos θ＝

| a|| b| ＝

2 2 2 2.

| a || b |

x 21＋ y 21· x 22＋ y 22

（4）两非零向量 a ⊥b 的充要条件： a ·b ＝0? x 1x 2＋y 1y 2＝0.

（5）| a ·b | ≤|a || b |（当且仅当 a ∥b 时等号成立）? | x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 2

1＋y 2

1· x 2

2＋y 22

3. 平面向量数量积的运算律：（1） a ·b ＝b ·a （交换律）.（2） λa ·b ＝λ（ a · b ）＝a ·（λb ）（结合律）.（3）（ a ＋b ）·c ＝a ·c ＋b ·c （分配律）.

【基础练习】

1.（2015 ·全国Ⅱ卷）向量 a ＝（1 ，－ 1）， b ＝（－ 1， 2），则（2 a ＋ b ） · a 等于（）

A.－1

B.0

C.1

D.2

2.（2017 ·湖州模拟）已知向量 a ，b ，其中 |a |＝ 3，| b | ＝2，且（a －b ）⊥a ，则向量 a 和 b 的

夹角是 ______ .

2π

3. _____________________________________________________________________________ （2

训练 3】（1）（2017 ·浙江三市十二校联考）已知点 A （1 ， 3），B （4 ，－ 1），则与 A →

B 同方向的

－

－ 3

A .

016 ·石家庄模拟）已知平面向量a，b的夹角为3，| a| ＝2，| b| ＝1，则| a＋b| ＝ ________ .

5. （必修4P104例 1 改编）已知|a|＝5，| b| ＝4，a 与b的夹角θ＝120°，则向量b 在向量a

方向上的投影为 _______ .

（2017 ·瑞安一中检

测）已知 a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中 a ＝（1，2），|b |＝1，

且 a ＋b 与 a － 2b 垂直，则向量 a · b ＝ ______ ；a 与 b 的夹角θ的余弦值为 ________ . 【考点突破】考点一平面向量的数量积及在平面几何中的应用（用已知表示未知）例 1】（1）（2015 ·四川卷）设四边形 ABCD 为平行四边形，足B →

M ＝3M →

C ，

D →

N ＝2→

NC ，则A →

M ·N →

M 等于 ( )

A.20

B. 15

C.9

D.6

（2）（2016 ·天津卷）已知△ ABC 是边长为 1的等边三角

形，点

连接 DE 并延长到点 F ，使得 DE ＝ 2EF ，则A →

F ·B →

C 的值为（

训练 1】（1）（2017 ·义乌市调研）在 Rt △ ABC 中，∠ A ＝90°， AB ＝AC ＝2，点 D 为 AC 的中

点，点 E 满足→

BE ＝31B →

C ，则→

AE · B →

D ＝

（2）（2017 ·宁波质检）已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则

D →

E ·C →

B 的值为 __________________ ；D →

E ·D →

C 的最大值为 .

考点二平面向量的夹角与垂直

【例 2】（1）（2016 ·全国Ⅱ卷）已知向量 a ＝（1，m ），b ＝（3，－2），且（a ＋b ）⊥b ，则 m ＝（

）

A.－8

B. －6

C.6

D.8

（2）若向量 a ＝（k ，3），b ＝（1，4），c ＝（2，1），已知 2a －3b 与 c 的夹角为钝角，则 k

的取值范围是 .

【训练 2】（1）（2016 ·全国Ⅲ卷）已知向量B →A ＝ 12， 23 ，B →

C ＝ 23，21 ，则∠ ABC ＝（

）

A.30°

B.45°

C.60°

D.120°

2 2 2

（2 ）（2016 ·全国Ⅰ卷）设向量 a ＝（ m ，1），b ＝（1 ，2），且| a ＋b | 2

＝ | a | 2

＋| b | 2

，则 m

＝ _____________________________________________________________________________ .

考点三平面向量的模及其应用

【例 3】（2017·云南统一检测）已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3，若|a | ＝2，|b |＝3，则 |2 a

|A →B | ＝6，| A →

D | ＝4，若点 M ，N 满

D ，

E 分别是边 AB ，BC 的中点，

A.－