全等三角形解题方法

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全等三角形解题方法

略说全等三角形解题方法证明三角形全等的基本思路在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。

如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边用“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边用“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。

上述可归纳为：? ? S (用SSS ) ?S ? ? ? A(用SAS ) S? ? A ? S (用SAS ) ? ? A(用AAS 或ASA) ? ? 证明三角形全等的方法１、平移法构造全等三角形例１如图１所示，四边形 ABCD 中， AC 平分∠DAB ，若 AB> AD ， DC = BC ，求证：∠B + ∠D = 180° 。

分析：利用角平分线构造三角形，将∠D 转移到∠AEC ，而∠AEC 与∠CEB 互补，∠CEB = ∠B ，从而证得∠B + ∠D = 180° 。

主要方法是：“线、角进行转移”。

证明：在 AB 上截取 AE =AD ， D C在 ?ADC 与 ?AEC 中，? AD = AE ? ?∠DAC = ∠EAC ? AC = AC ?∴ ?ADC ≌ ?AEC （SAS）∴ ∠D = ∠AEC , DC = CE , ∵ DC = BC , ∴ CE = BC ，∴ ∠CEB = ∠B , ∵ ∠CEB + ∠AEC = 180° , ∴ ∠B + ∠D = 180° . ２、翻折法

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构造全等三角形例２如图２所示，已知 ?ABC 中， AC =AE图１BBC ，∠ACB = 90° ， BD 平分∠ABC ，求证：AB = BC + CD 。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 证明：∵BD 平分∠ABC ，将 ?BCD 沿 BD 翻折后，点 C 落在 AB 上的点 E ，则有 BE = CE ，B在 ?BCD 与 ?BED 中，? BC = BE ? ?∠CBD = ∠EBD ? BD = BD ?∴ ?BCD ≌ ?BED （SAS）∴ ∠DEA = ∠ACB = 90° , CD = DE , ∵ 已知 ?ABC 中， AC = BC ，∠ACB = 90° ，∴ ∠A = 45° , ∴ ∠EDA = ∠A = 45° , ∴ DE = EA , ∴ AB = BE + EA = BC + CD 。

3、旋转法构造全等三角形、例 3 如图 3 所示，已知点 E 、 F 分别在正方形 ABCD 的边ECD图2AADBC 与 CD 上，并且 AF 平分∠EAD ，求证： BE + DF = AE 。

分析：本题要证的 BE 和 DF 不在同一条直线上，因而要设法分析将它们“组合”到一起。

可将 ?ADF 绕点 A 旋转90° 到 ?ABG ，则?ADF ≌ ?ABG ， BE = DF ，从而将 BE + BG 转化为线段FGE ，再进一步证明 GE = AE 即可。

证明略。

4、延长法构造全等三角形、例 4 如图 4 所示，在 ?ABC 中，∠ACB = 2∠B ，GB图3EC∠BAD = ∠DAC ，求证： AB = AC + CD 。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长分析一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。

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本题可延长 AC 至 E ，使 AE = AB ，构造ABD图4C E?ABD ≌ ?AED ，然后证明 CE = CD ，就可得 AB = AC + CD 。

5、截取法构造全等三角形、例 5 如图 5 所示，在 ?ABC 中，边 BC 上的高为 AD ，又∠B = 2∠C ，求证： CD = AB + BD 。

分析：欲证明 CD = AB + BD ，可以在 CD 上截取一线段等分析于 BD ，再证明另一线段等于 AB 。

如果截取 DE = BD （如图所ABDE图5C

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 示），则 ?ADE 可认为而 ?ADB 沿 AD 翻折而来，从而只需证明 CE = AE 即可。

证明略。

构造全等三角形解题的技巧全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。

友情提示：证明三角形全等的方法有 SAS、SSS、AAS、ASA、HL （Rt△）。

一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1 如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：∠B：∠C=2：1。

证法一：在线段 AC 上截取 AE=AB，连接 DE。

在△ABD 和△AED 中，∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，∴△ABD △AED。

∴DE=DB，∠B=∠AED。

∵AB+BD=AC，∴AE+DE=AC。

又∵AE+CE=AC，∴DE=CE。

∴∠C=∠EDC。

∵∠AED=∠C+∠EDC，∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。

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∴∠B：∠C=2：1。

图1 证法二：延长 AB 到 F，使 BF=BD，连接 DF。

∴∠F=∠BDF。

∵∠ABC=∠F+∠BDF，∴∠ABC=2∠F。

∵AB+BD=AC，∴AB+BF=AC，即 AF=AC。

在△ADF 和△ADC 中，∵AF=AC，∠1=∠2，AD=AD，∴△ADF △ADC。

∴∠F=∠C。

又∵∠ABC=2∠F，∴∠ABC=2∠C，即∠ABC：∠C=2：1。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 图2 点评：见到角平分线时，既可把△ABD 沿 AD 折叠变成△AED，也可把△ACD 沿 AD 折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：如图3，△ABC 中，AN 平分∠BAC，CN⊥AN 于点 N，M 为BC 中点，若 AC=6，AB=10，求 MN 的长。

图3 提示：延长 CN 交于 AB 于点 D。

则△ACN △ADN，∴AD=AC=6。

又 AB=10，则 BD=4。

可证为△BCD 的中位线。

∴ 。

点评：本题相当于把△ACN 沿 AN 折叠成△AND。

二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2 如图4，AD 为△ABC 中 BC 上的中线，BF 分别交 AC、AD 于点 F、E，且 AF=EF，求证：BE=AC。

图4 证明：延长 AD 到 G，使 DG=AD，连接 BG。

∵AD 为 BC 上的中线，∴BD=CD，在△ACD 和△GBD 中，∵AD=DG，∠ADC=∠BDG，BD=CD，∴△ACD △GBD。

∴AC=BG，∠CAD=∠G。

∵AF=EF，∴∠CAD=∠AEF。

∴∠G=∠AEF=∠BEG，

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