第一讲_天线原理概要

第二章天线的基本参数

实际的无线电系统中，天线位于射频前端（发射机或接收机）与自由空间之间。根据天线的位置，不妨将其定义表述为：将电路中的导行电磁波（简称“导波”）转化成空间中的自由辐射电磁波（或其逆过程）的装置。由于天线在系统中的特殊位置，它不可避免地具有一些独特性质：一方面，天线要实现与前端电路的匹配，必然具有常规导波元件的“电路特性”，如阻抗、匹配等；另一方面，天线又是一个开放结构，完成导行电磁波和自由传播电磁波的相互转换，具有“辐射特性”。所以必须从“电路特性参数”和“辐射特性参数”两个方面分别描述天线。

2.1 天线的电路特性参数

2.1.1 输入阻抗

顾名思义，天线的输入阻抗(Input Impedance就是天线馈电端输入电压与输入电流的比值。根据第一章的描述可知，完整的天线输入阻抗由辐射电阻Rr、损耗电阻Rloss和电抗X 三部分组成：

(2.1

辐射电阻表征的是天线辐射电磁波的本领，辐射电阻越大，则辐射能力越强；损耗电阻主要表征非理想介质、导体等引入的欧姆损耗；辐射电抗则表征没有辐射出去的、以电抗形式存储在天线近区场内的电磁能量——如果电抗值为正数，则呈感性，近区场的磁场储能占优势；反之呈现容性，近区场的电场储能占优势。

2.1.2 反射系数与驻波比

通常的射频系统的特性阻抗为50欧姆或75欧姆，因此天线的阻抗如果不是恰好等于这些数值，与系统相连时，输入到天线上的能量必然会出现反射。如何衡量天线的反射特性、与系统的匹配特性，就需要引入反射系数(Reflection Coefficient和驻波比(Standing Wave Ratio，SWR两个参数。

根据电磁场理论，假定天线的输入阻抗为Z L，系统的特性阻抗为Z0，则两者通过特性阻抗为Z0的传输线相连后（图2.1），向天线一侧看进去的反射系数为：

图2.1 天线反射系数的示意图

(2.2

工程中经常采用对数形式的反射系数，用分贝（dB）来描述，又称为“回波损耗”（Return Loss，简称RL）：

(2.3

工程中另一种常用的方法是采用“驻波比”来描述部件的匹配特性，其定义为：

(2.4

从上述指标的描述可知：回波损耗的值在0分贝到负无穷大分贝之间，回波损耗越大，表示匹配越差，反之则越好，0分贝表示“全反射”，负无穷大分贝表示“完全匹配”。由于实际测试仪器的动态范围有限，一般认为-40dB以下的回波损耗已没有太大的实际意义[1]；驻波比的数值在1到无穷大之间，驻波比为1，表示完全匹配；驻波比为无穷大表示全反射即完全失配。

一般工程中，通常要求天线的驻波比低于1.5（回波损耗低于-14dB），对于某些对反射特别敏感的系统（如：电视系统），为了保证传输质量，驻波比要求低于1.2；对于某些工作频带很宽的情况（比如带宽超过10:1的电磁兼容性测量系统），天线的驻波比可以适当放宽至2甚至2.5。一般情况下，天线驻波比过大意味着系统匹配性能不佳，可能会造成各种不必要的反射干扰、影响传输质量和系统性能：对于接收机，过大的驻波比会恶化整机的噪声性能；对于发射机，严重失配时甚至会烧坏末级功率放大器。因此一般情况下总是希望尽可能降低天线的驻波比。

2.2 天线的辐射特性参数

作为电磁波的辐射器或接收器，辐射特性才是天线的主要特性[2-3]。

2.2.1 方向图与波束宽度

顾名思义，天线的方向图就是天线辐射场的幅度随空间坐标的分布花样。像第一章中那样在球坐标下考察方向图，方向图是仰角θ、方位角φ的函数，是一个三维立体图。但是，三维立体图在工程应用中很不方便，因此绝大多数情况下采用将方向图投影到平面（水平面或者垂直面，一般还对其峰值进行归一化）上、通过考察其中某个截面的特性来研究天线的辐射特性，正如图2.2所示的那样，这种情形就跟从不同角度切开一只南瓜、观察其不同截面的形状是一样的道理。因此，如果没有特殊说明，通常所说的方向图都是指二维平面图。从直观图形上看，平面的方向图如同花瓣一样，因此又叫“波瓣图”。一般工程应用中，考察天线在两个主工作面（即沿着最大辐射方向“切开”方向图，分别截取的两个相互垂直的截面）的方向图即可较好地描述天线的辐射特性。

描述方向图最常用的参数就是波束宽度（或“波瓣宽度”，两者是等效的说法），它是指天线的方向图中，低于峰值电平（归一化为0dB）一定数值处所成夹角的宽度，通常分为3dB波束宽度和10dB波束宽度等，工程上一般将3dB波束宽度内的波束称为“主波束”或“主瓣”，因为辐射能量在这个范围内最集中；而主瓣以外的波瓣通常称为“旁瓣”、“副瓣”或者“尾瓣”。为了方便说明，图2.3中给出了某种天线的一个主工作面方向图，其最大辐射功率电平已经归一化（0dB），将功率电平下降至-3dB和-10dB处的波束角度分别称为3dB波束宽度（或称：半功率波束宽度、半功率张角）θ3dB和10dB波束宽度θ10dB，同样可以定义天线在另外一个主工

作面上的波束宽度φ3dB和φ10dB。

图2.2 立体方向图及其剖面

图2.3 波束宽度的示意图

2.2.2 天线的方向性系数

天线的方向特性是天线的重要特性，但是只用方向图来描述天线的方向特性是不够的，因为方向图只能表征一副天线在不同方位上的辐射花样，而无法比较不同天线在同一方向上辐射能量集中的程度。因此，就要引入“方向性系数”（Directivity）的概念，一般按照其大写英文字头将其记为“D”，其定义可描述为：在相同的辐射功率下，某天线产生于某点的功率通量密度（或电场强度之平方）与参考天线在同一位置上产生的功率通量密度（或电场强度之平方）的比值，称为该天线在该点方向的方向系数。这里所说的“参考天线”，一般是指第一章所述的、无方向性的理想点源，其辐射方向图为理想的球状，故又称“各向同性点源”（isotropic point source）。当然，物理上这种天线是不存在的（最近也有人声称得到这样的点源[4]，但实质上是不正确的，其结论很可能是测试错误或干扰造成的）。

根据上述定义，假定天线的辐射功率为Pr，理想点源天线的辐射功率为Pr0，天线在最大辐射方向的功率通量密度与场强分别为Sr和E r，理想点源天线的功率通量密度和场强分别为S0

和E0，就可以给出方向性系数D的数学表达式：

(2.5

上述定义是基于发射天线的角度而得到的，根据互易性，显然也能从接收天线的角度来定义方向性系数D，因此方向性系数D的定义还能表述为：在最大辐射方向的同一接收点接收场强相等的条件下，理想点源天线的辐射功率P0与天线的总辐射功率P r之比，称为该天线在该点的方向性系数：

(2.6

实际上天线在各个方向的辐射强度不同，故D的取值也是角度坐标的函数，在辐射最强的方向上取得最大值。一般不加特别说明的话，方向性系数D都是指最大辐射方向的方向性系数，因为一旦知道了方向图花样，其它方向上的方向性系数都能推算出来。根据式(2.5和(2.6，不难得到以下推论：

推论一：所有实际天线的方向性系数都大于1；

推论二：方向性系数与方向图花样的表面积成反比，意味着方向图的表面积越小，方向性系数越高。

因此，可以得到天线方向性系数的数学表达式。假定选取球坐标为参考坐标，以天线的中心为球心作一个包围天线的球面，其半径很大、使球面位于远区内，根据第一章的式(1.25和上述的推论二，对于F(θ=1的理想点源天线，天线在(θ, φ方向的方向性系数D可表示为：

(2.7

很多工程中的实用天线常常具有轴对称的方向图（即：立体方向图是以某个截面的方向图，绕着天线所在轴线为参考轴而形成的旋转体），也就是方向性函数F(θ,φ=F(θ而与φ无关。对于这种情况式(2.7进一步可以化简为：

(2.8

从上述的定义和推导可见，方向性系数D与方向图之间有着密切的联系，如果天线的辐射能量散布在较大的空间立体角内，即主瓣较大、副瓣较多的情况下，式(2.7中的分母积分数值大，方向性系数就小；反之，如果波束很窄、副瓣很少，分母积分数值小，方向性就强。

为了更好说明波束与方向性系数的关系，这里进一步引入“波束立体角”(Beam solid angleΩ的概念，它实质上是方向性函数F(θ,φ围成的立体图形的表面积（对其最大值归一化），其量纲为平方度(square degree或立体弧度(steradian，即弧度rad的平方：

(2.9

于是对于理想点源天线，波束立体角就是球体的表面积对其最大值的归一化值，即4π；因此式(2.7可以写成：

(2.10

由前节的结论，一般只要知道天线在两个主工作面的方向图即可大致确定天线的辐射特性。如果忽略细小副瓣的效果，假定两个主工作面的半功率张角分别为θ3dB和φ3dB，则可得到[2-3]：

(2.11

于是，方向性系数D还可以写成：

(2.12

式(2.12常常在工程实践中估算天线的方向性系数。

2.2.4 天线的效率

天线的效率(efficiency是衡量天线将导行电磁波转化成辐射电磁波（或其逆过程）的有效程度，一般定义为辐射功率Pr与输入功率PA之比，即：

(2.13

输入功率等于辐射功率Pr与损耗功率Pl之和，即：

(2.14

而

(2.15

因此可得：

(2.16

显然，为了提高天线的效率，必须尽可能提高辐射电阻R r而降低损耗电阻R loss，损耗电阻主要来源于天线系统的热损耗、介质损耗和感应损耗。工程中为了降低损耗电阻，需要采用导电性好的金属材料、绝缘良好的介质材料等。

读者可能会提出疑问：天线还存在失配，因此还有反射损耗，计算效率时，是否需要考虑失配造成的影响？对于一般的窄带工作情况，均假定天线呈强谐振状态，通过外加匹配网络可实现与前端电路的良好匹配、将反射损耗调整得很小而忽略不计，故式(2.16的定义在窄带谐振的情况下是足够精确的。但是，对于天线工作频带很宽甚至超宽带的情况下，一般不宜、也难于采用匹配网络，则天线效率的计算和测量中还要考虑反射损耗的影响[5]，在这里就不再赘述了。

2.2.4 天线的增益系数

方向性系数表征天线的辐射能量集中程度，效率表征天线能量转换的能力，将两者结合成一个参数、同时表征天线这两种特性的总效益，这个参数就是天线的增益系数，简称“增益”（Gain），一般按照大写英文字头记为“G”。

与方向性系数一样，天线增益的衡量也采用理想点源作为比较的基准，并规定理想点源的效率为1、即没有损耗。与方向性系数不同之处是，衡量天线增益时是在输入功率相等的条件下将两者进行比较的。因此，天线的增益可以定义为：输入功率相同的条件下，天线在最大辐射方向上某一点的功率通量密度（或场强的平方）与理想点源天线在同一点处的功率通量密度（或场强的平方）之比，即：

(2.17

同样可从接收天线的角度来定义天线的增益：在天线最大辐射方向上的某一点，该天线与理想点源天线在该点产生的电场强度相等的条件下，理想点源天线的输入功率P0和该天线的输入

功率PA之比，即：

(2.18

由于理想点源天线的效率为1，因此其输入功率就等于其辐射功率，根据式(2.13，可得：

(2.19

由于增益是相对于理想点源来定义的，因此也可以采用对数的形式来表示，即：

(2.20

下标中的“i”是“各向同性”（isotropic）的英文字头，表示以各向同性（isotropic）点源为基准天线所得到的分贝值，在工程中也经常略去“i”而直接将天线增益写成“dB”。但如果基准天线不是理想点源，就必须加以说明而不能直接用“dB”表示天线的增益，例如：采用对称振子（dipole）作为基准天线，增益就应该是“dBd”，最后一个字母“d”不可省略。

2.2.5 天线的等效口径

有了前节波束宽度、方向性系数、效率和增益的基本概念，下面将引入天线“口径”（Aperture，也可以称为“口面”或“孔径”）的概念，这个概念在无线传播特性研究中有重要的

作用。

假设天线以最大辐射方向对准来波方向接收、且与前端负载完全匹配时，天线向负载输出的最大功率为PMAX，假设此功率是由一个与来波方向垂直、电场呈均匀分布的口面所接收到的，则该口面的面积Ae就称为天线的“等效口径”(Effective Aperture，一般又叫做“有效接收面积”。对于发射天线，完全可以根据互易性

来作出类似的定义。

以最简单的例子说明任意天线等效口径的定义。假定天线的等效口径为Ae，其上场强为EA，全部辐射功率集中在波束为Ω的立体角范围内，传播媒质的波阻

抗为Z，则天线辐射的最大功率PMAX为：

(2.21

其中为传播媒质的波阻抗。对于真空，Z=120π≈377欧姆。

假定天线全部功率在距离为r的远区产生均匀的远场Er，则辐射功率还能写成：

(2.22

而：

(2.23

于是可得：

(2.24

代入式(2.10，可得：

(2.25

由此可得等效口径与方向性系数的关系。假定天线是理想无耗的，则有：

(2.26

等效口径与天线口面的实际面积之比称为“口面效率”或者“口径效率”：

(2.27

式(2.25-26在实际工程中非常有用，后续还将用其推导著名的Friss传输公式，这个公式在无线通信链路预算中有着重要的地位和应用。

2.2.6 天线的极化

根据电磁学和光学的基本理论可知，电磁波（光波）的极化(polarization就是指合成电场强度的大小及其取向随时间变化的方式。通俗的说法，极化就是沿着电磁波传播的方向看过去，合成电场矢量的末端随时间变化而扫出的曲线轨迹，根据轨迹的不同，可以将波的极化分为线极化、圆极化和椭圆极化。作为电磁波的辐射器和接收器，天线的极化定义与电磁波的极化定义是一致的，更简单的表述就是指天线辐射时形成的电场强度方向，工程实际中，极化的方向可以根据天线的表面电流分布方向来判定。

很多情况下，为了保证天线的有效工作，收发天线的极化方式最好是一样（匹配）的，否则就会出现“极化失配”而造成可靠性的下降。为了定量说明极化匹配的程度，引入了“极化损耗因子”ρ的概念：

(2.28

和分别是来波电场（发射天线发射的电磁波电场方向）和接收天线电场所在方向的单位矢量，式(2.28实际上是两个矢量的内积运算，其结果就是两者之间的

夹角之余弦，亦即极化矢量之间的相关系数。可见，如果来波电场和接收电场矢量的方向一致、即两矢量之间夹角为零，极化方式完全匹配，没有极化损耗；如果极化方式之间相差夹角φp，则接收功率损失因子为cos2φp；如果两者夹角为90度（收、发矢量正交），则极化方式完全失配，功率损失因子为0，即无法接收到信号。图2.4给出了直观的情况：图2.4(a中两个天线具有同样的极化方式（如箭头方向所示），因此天线1发出的信号能够全部被天线2接收到（反之亦然），此乃谓之“极化完全匹配”；图2.4(b中两个天线的极化方式相互正交，天线1发出的信号不能被天线2接收到（反之亦然），则谓之“极化完全失配”。

(a (b

图2.4 天线极化完全匹配和极化完全失配示意图，（a）完全匹配；（b）完全失配，箭头表示电场方向

实际应用中，由于材料、工艺的非理想性，天线上不可能只有一种极化方式，总会激发起不同方向上的电流分布，由于电流分布强弱的不同，不同极化的强度也不一样，总有一种或两种极化分量占优势。因此，工程中通常将天线主要的极化方式称为“主极化”或“同极化”（co-polarization，一般记作“co-pol”），而将与之正交、幅度较弱的极化方式称为“交叉极化”（cross-polarization，一般记作“x-pol”）。根据极化方式的分类，线极化方式中的“垂直极化”和“水平极化”互为交叉极化分量，而圆极化方式中的“左旋圆极化”和“右旋圆极化”互为交叉极化分量。通常情况下，总是要求交叉极化越小越好。如何抑制交叉极化特性将在本书后续章节中继续探讨。

根据上述讨论，很容易想到利用不同极化方式正交的特性，采用一副具有两种极化特性的天线，可以在同一频率、同一编码方式、同一时间内实现信息的传输，有效增加电磁波携带信息的能力，从而增加通信系统的容量。显然，对于这样的双极化天线（天线具有两个主要极化方式），两种极化方式之间的隔离度越大，则不同极化通道的串扰越小，通信的性能就越好，这就是“极化多址”或者“极化分集”技术。目前极化分集技术已经被广泛应用在陆地蜂窝移动通信中，通过将一对具有+45°和-45°极化方向的线天线组合成双极化天线、同时工作在收发双工模式下，可以大大节省了每个小区的天线数量。

对于圆极化天线的应用场合（如GPS系统），很多时候还采用“轴比”(Axial Ratio来衡量极化的纯度。圆极化波是由两个幅度相等、相位差90度、空间上相互正交的线极化波合成的，可见其维持条件是相当苛刻的，因此一般情况下都得不到纯正的圆极化波而只能得到椭圆极化波，即合成电场矢量的末端扫出的轨迹是一个椭圆（如图2.5所示）。椭圆长轴OA和短轴OB之比，就是“轴比”，一般取其大写英文字头简记为AR：

图2.5 极化椭圆

(2.29

经常也会采用分贝值来表示轴比，即：

(2.30

可见，对于理想的圆极化波，轴比为1、即0dB；而对于理想的线极化波，轴比为0，即无穷大dB。当然实际上的电磁波都是椭圆极化波，工程上一般要求圆极化天线的轴比不高于3dB，也有放宽到6dB的情况。关于椭圆极化、圆极化波的更多讨论及其参数测量可以参见文献[6]；此外，由于辐射电磁波的振幅都是复数，因此还能像研究导行电磁波要采用“阻抗圆图”那样、相应地引入“极化圆图”来加以描述[6]，这里就不加赘述

了。

2.2.7 天线的带宽

不管是天线的电路参数还是辐射参数，它们都是工作频率f的函数。这就意味着天线具有一定的工作频率范围，在此范围内，天线能保持相对稳定的电特性，而在此范围外，天线的各种性能会恶化甚至畸变、而不能正常工作。因此，天线的带宽（Bandwidth）取决于天线的频率响应特性以及对天线各种参数提出的要求。工程中所说的“天线带宽”，通常情况下包括“阻抗带宽”、“方向图带宽”、“增益带宽”、“轴比带宽”等不同含义，这些带宽的定义分别叙述如下：

（1）阻抗带宽：一般指天线驻波比或回波损耗不高于某一数值（比如驻波比不高于2，或回波损耗不高于-10dB）的工作频带；

（2）方向图带宽：一般指方向图形状保持相对稳定特性的工作带宽，比如对金属振子天线，将最大辐射方向保持在垂直于振子轴线的方向的稳定工作带宽称为“方向图带宽”；

（3）增益带宽：一般指某个特定方向或波束范围内增益波动不超过某一数值（例如3dB）的工作频带；

（4）轴比带宽：一般指某个特定方向或波束范围内，天线的轴比不超过某一数值的工作频带。

可见，从不同的天线参数可以得到相应的天线带宽。如果对几个电性能参数同时提出了要求，应该取几种带宽中最窄的一种作为天线的真实带宽，也就意味着天线的真实带宽是不同性能参数带宽的交集、而不是并集，即与“最短木板决定木桶的最大容量”是一个道理。

2.2.8 其它常用的天线参数

采用上述最基本的参数已经能比较全面地描述天线的基本特性。但是，不同的应用场合下有时还会采用其它的参数来描述天线的特性，这些常见的参数包括天线的行波比、前后比、有效长度等。下面简单叙述这些参数的基本定义。

行波比(Traveling Wave Ratio是驻波比的倒数，是天线的电路特性参数之一，过去常用于描述天线的阻抗匹配特性。由式(2.4可得行波比TWR的表达式：

(2.31

可见行波比的数值范围在0-1之间，行波比为1，表示完全匹配；行波比为0，表示全反射即完全失配。

天线的前后比（Front-Back Ratio）等于天线的主瓣与尾（背）瓣电平最大值之比，也就是衡量天线尾瓣大小的指标之一。在陆地蜂窝移动通信中，这个指标是非常重要的。因为天线的尾瓣会产生不必要的“越区覆盖”，引起不同小区之间的相互干扰而导致切换关系混乱、造成掉话。一般工程中要求天线的前后比越大越好，陆地蜂窝移动通信中要求的典型值为25-

30dB。

天线的有效长度（Effective Length）又被称为“等效长度”（图2.6），对于垂直于地面的天线，又称“等效高度”或“有效高度”，它是一个将天线在最大辐射方向的电场强度与天线馈电点电流联系起来的一个参量，其含义是保持天线在最大辐射方向的电场强度不变的条件下，假设天线上的电流为均匀分布时、天线的等效长度。这个概念在中波、短波天线的近似分析计算中用得比较多，详细的介绍可参见文献[7]。

图2.6 天线的有效长度

2.3 工程实例

为了更好地让读者了解天线的基本参数，本节通过一个移动通信天线的实际例子，说明工程应用中的典型天线性能参数。

一般的移动通信基站天线包括全向天线和定向天线，全向天线主要是多节串联结构的弗兰克林天线或喜连川天线[1]，一般用于业务量、容量较低的场合，多见于郊区大区制的基站；定向天线主要是半波振子阵列或空气介质微带贴片阵列天线，增益较高，水平面方向图的半功率张角有多种指标：65度、90度和120度，用于一般的城乡地区覆盖。表2.1给出了一个典型GSM900频段移动通信天线的技术指标参数：

表2.1移动通信基站定向天线的基本性能

技术参数性能指标

增益（Gain）16dBi

频率范围（Frequency Range）870 --- 960 MHz

极化方式Polarization Slant ± 45°（倾斜± 45°）

端口隔离度Isolation between ports >30 dB

65°

水平面-3dB 功率角

Horizontal Plane -3dB Power Beam-width

垂直平面-3dB 功率角

8°

Vertical Plane -3dB Power Beam-width

水平面-10dB Power Beam-width

125°

Horizontal Plane -10dB Power Beam-width

阻抗Impedance 50 Ohm

回波损耗Return Loss 870-960 MHz <-16 dB

前后比Front to Back Ratio >25 dB

端口最大输入功率（Max Input Power per port）150 W

电调倾角（Electrical Down tilt） 1 to 10°

下倾角精度（Down tilt Setting Accuracy）± 0.5°

可见移动通信基站天线的电性能参数比较多，基本要求为：功率容限为150W，为了与50欧姆的馈线直接相连，天线的阻抗应接近50欧姆，回波损耗低于-16dB，即驻波比低于1.4，达到良好的匹配；水平面波束的半功率张角为65度，表明这种天线用于由六个扇区（sector）组成的小区（cellular）；为了实现一定的覆盖范围，需要采用波束下倾技术，这里所采用的是电调下倾（Electrical Down tilt）、范围为1-10度、精度为±0.5度；为了有效避免波束下倾而产生对其它小区的干扰（所谓“邻小区干扰”），垂直面波束必须足够窄，典型值不超过8度；-10dB波束宽度的指标则要根据相邻扇区干扰最小的原则来设计；在保证波束要求的情况下，天线的增益约为16dBi；极化方式为± 45°双极化，每个极化单元之间的隔离度不低于30dB，表明为了保证系统的容量，极化纯度要求很高。

除了前述的基本电性能指标以外，由于天线在很多应用场合下的工作环境非常恶劣、甚至极端，因此还要综合考虑天线的其它指标，包括非线性指标（如：三阶互调）、温度性能指标（如：工作温度的上下限）、机械性能指标（如：抗震动性、风阻等）以及电化学特性（如：耐酸碱腐蚀、抗盐雾腐蚀）等。

不过，从上面的例子可以看出，设计一个成熟可用的天线，首先还是要满足本章所述的基本电性能指标，如何根据这些性能参数和指标要求设计合格的天线，就已经是一项充满挑战的问题，将在后续章节继续探讨。

2.4 Friis公式及其应用

在详细介绍了天线的基本参数后，就可以详细探讨天线对无线通信链路性能的影响。通过引入等效口径的概念，就更有助于描述这种特性、解释著名的Friis传输公式。Friis传输公式是由Harald T. Friis于1946年提出的，它常常用于估算无线通信链路中天线（一般假定无耗且匹配）的接收电平，因此在无线电波传输特性的研究中得到广泛的应用。

图2.7无线传输链路示意图

假设如图2.7所示的无线通信系统中，发射机的发射功率为Pt，发射天线的等效口径为Aet，接收机与发射机之间的距离为r，接收天线的等效口径为Aer。假定所有天线都是无耗匹配的，且发射天线是各向同性的，则接收天线处的功率密度为：

(2.32

如果发射天线的增益为Gt，则有：

(2.33

于是接收天线所能捕获的功率为：

(2.34

又根据式(2.26，可知：

(2.35

代入式(2.34可得：

(2.36

这就是著名的Friis传输公式，式中所有量的单位都采用国际单位制。

根据这个公式可以推导出自由传播空间中的路径损耗公式。路径损耗L可以根据式(2.36来确定。根据λf=c，其中c为自由传播空间中的光速、约等于3×108m，f为工作频率，单位为Hz，对(2.36两侧取对数、将其转化成分贝值，则有：

(2.37

其中的就是自由空间中的路径损耗，表征的是频率为f的电磁波在自由空间中传播过距离r以后的损耗。当然，把距离r的量纲从km改为m，它还可以写成以下形式：

(2.38

Friis公式和路径损耗公式在无线通信链路预算中有着重要的应用。一般来说，蜂窝移动通信包括“上行”(Up和“下行”(Down两条链路(Link，它们都有自己的发射功率损耗和路径衰落。对于上行链路，从移动台到基站的限制因素是基站的接受灵敏度；对于下行链路，从基站到移动台的主要限制因素是基站的发射功率。通过优化上下行之间的平衡关系，才能使小区覆盖半径内，有较好的通信质量。下面通过一个例子，说明如何进行无线链路预算。

对于下行链路，假定P MS_RX为移动台接收到的功率，P TX_BTS为BTS的输出功率，L BTS_LOSS 为BTS的跳线、耦合器、双工器等天馈部件的损耗，G BS_TX为基站发射天线的增益， G MS_RX为移动台接收天线的增益， L POL_LOSS为双极化天线的极化损耗，L DOWN_PATH为下行链路的路径损耗，则有：

(2.39

同样地，对于上行链路，假定P BTS_RX为基站接收到的功率，P TX_MS为移动台的输出功率，

L BTS_LOSS为BTS的跳线、耦合器、双工器等天馈部件的损耗，G BS_RX为基站接收天线的增益；

G MS_TX为移动台发射天线的增益，L POL_LOSS为双极化天线的极化损耗，L UP_PATH为下行链路

的路径损耗，G TA为塔顶放大器的增益，则有：

(2.40

根据互易定理，即对于任一移动台，上行路损等于下行路损，即：

(2.41

假定设计时的系统余量为M ，移动台的恶化余量为D，基站的恶化余量为D BTS，移动台的接收机灵敏度为MS sense，基站的接收机灵敏度为BTS sense， L other为建筑物、车辆、人体等引入的其它损耗，则对于无线覆盖区内的任一点应有：

(2.42

(2.43

上下行链路平衡的目的是调整基站的发射功率，使得覆盖区的边缘（也就是离基站最远的点）能满足：

(2.44

于是，得到了基站的最大发射功率的计算公式：

(2.45

由此就可以实现无线链路的预算，调控基站的发射功率，为进一步确定无线网络的覆盖、优化基站的布局和参数等后续工作提供基础。实际上，陆地移动通信的电波传播环境是非常恶劣和复杂的，关于这方面的电波传播模型研究已经很多，常用的模型包括Okumura（奥村）模型和COST-231模型[8-10]等。

2.5 本章小结

本章首先从电路参数特性、辐射参数特性两个方面，比较详细地介绍了天线的基本参数；然后通过一个移动通信天线的工程实例，说明了这些参数的含义和应用；最后介绍了著名的Friis传输公式、自由空间路径损耗公式和无线链路预算的基本方法。本章内容为后续章节探讨天线的具体设计和应用打下了基础。

*相关补充知识：相位方向图与相位中心

众所周知，电场是矢量、既有方向又有大小，除了幅度方向图以外，对应地应该还有“相位方向图”、即空间电场的相位分布花样函数。前述章节讨论的方向图描述的只是空间电场的幅度分布，严格来说，应该称为

“幅度方向图”。由于相位是个相对值，故相应的零相位参考点就是所谓的“相位中心”。打个不严格的比方，相位中心就好比是一族球面光源的球心，事实上，实际天线的相位中心是工作频率的函数，其位置总是随着天线的工作频率改变而变化，而且很多情况下与天线的物理中心并不重合。

一般情况下，相位方向图测试比幅度方向图严格得多、也困难得多。对一般情况下的通信天线，相位方向图的要求并不很严格。但是，相位方向图在雷达、高性能抛物面通信天线的馈源设计中非常重要，因为馈源的相位中心和相位方向图将直接决定整个天线口面的幅相分布，如果馈源设计不合理，就难以得到满足要求的波束而影响通信性能。

本章参考文献：

[1] 胡树豪，实用射频技术，北京：电子工业出版社，2003.

[2] [美]J. D. Kraus著，章文勋译，天线（第三版，上册），北京：电子工业出版社，2004年.

[3] [美]C. A. Balanis著，天线原理与设计（中文版），电子工业出版社，1988年

[4] E. S. Pires, G. Fontgalland, R. M. do Valle et al, Proposal of a new compact isotropic antenna, IEEE

International Symposium on Electromagnetic Compatibility, 2006, vol.1, 125 – 128.

[5] Hans G. Schantz, The art and science of ultra-wideband antennas, Artech House INC., Boston, MA: USA,

2005.

[6] 林昌禄，天线测量技术，成都：成都电讯工程学院出版社，1987年.

[7] 林昌禄，吴为公等著，近代天线设计，北京：人民邮电出版社，1990年.

[8] 吴志忠，移动通信无线电波传播，北京：人民邮电出版社，2002年.

[9] 张业荣, 竺南直, 程勇，蜂窝移动通信网络规划与优化，北京: 电子工业出版社, 2003年.

[10] [美]Henry L.Bertoni 著，顾金星等译，现代无线通信系统电波传播，北京：电子工业出版社，2002

年.