立体几何中的存在性问题

高中数学立体几何存在性问题专题

1.（天津理17）如图，在三棱柱中，

是正方形的中心，，平面，且

（Ⅰ）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）设为棱的中点，点在平面内，且平面，求线段的

长．

本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分.

方法一：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点.

依题意得

（I）解：易得，

于是

所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为

（II）解：易知

设平面AA1C1的法向量，

则即

不妨令可得，

同样地，设平面A1B1C1的法向量，

则即不妨令，

可得

于是

从而

所以二面角A—A1C1—B的正弦值为

（III）解：由N为棱B1C1的中点，

得设M（a，b，0），

则

由平面A1B1C1，得

即

解得故

因此，所以线段BM的长为

方法二：

（I）解：由于AC因为平面AA1B1B，又H为正方形AA1B1B的中心，

可得

因此

（II）解：连接AC1，易知AC1=B1C1，

又由于AA1=B1A1，A1C1=A1=C1，

所以≌，过点A作于点R，

连接B1R，于是，故为二面角A—A1C1—B1的平面角.

在中，

连接AB1，在中，

，

从而

所以二面角A—A1C1—B1的正弦值为

（III）解：因为平面A1B1C1，所以

取HB1中点D，连接ND，由于N是棱B1C1中点，

所以ND又平面AA1B1B，

所以平面AA1B1B，故

又

所以平面MND，连接MD并延长交A1B1于点E，

则

由

得，延长EM交AB于点F，

可得连接NE.

在中，

所以

可得

连接BM，在中，

2.（浙江理20）

如图，在三棱锥中，，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；

（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。

本题主要考查空是点、线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空间想象能力和运算求解能力。满分15分。

方法一：

（I）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，

建立空间直角坐标系O—xyz

则，

，由此可得，所以

，即

（II）解：设

设平面BMC的法向量，

平面APC的法向量

由

得

即

由即

得

由

解得，故AM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

方法二：

（I）证明：由AB=AC，D是BC的中点，得

又平面ABC，得

因为，所以平面PAD，

故

（II）解：如图，在平面PAB内作于M，连CM，

由（I）中知，得平面BMC，

又平面APC，所以平面BMC平面APC。

在

在，

在

所以

在

又

从而PM，所以AM=PA-PM=3。

综上所述，存在点M符合题意，AM=3。

3.（重庆理19）

如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．

（Ⅰ）若，，求四面体的体积；

（Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值．

（I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC.

故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC，

即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，

且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=.

在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC，

由勾股定理易知

故四面体ABCD的体积

（II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG 设E为边AB的中点，则EF由（I）有DF⊥平面ABC，

故由三垂线定理知DE⊥AB.

所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60°

设

从而

因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，，

又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得

因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为

解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD，

平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz.

不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为

显然向量是平面ABC的法向量.

已知二面角C—AB—D为60°，

故可取平面ABD的单位法向量，

使得

设点B的坐标为，有

易知与坐标系的建立方式不合，舍去.

因此点B的坐标为所以

从而

故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)知识讲解

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如．1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形等）是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】 1. 在四棱锥E ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点.（Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：BD AE ；

立体几何中存在性问题教案.docx

教学背景分析立体几何中常出现点的存在性和位置待定的问题，以“是否存在”、“是否有”、“在何位置”教学等形式设问，以示结论有待于确定.文科主要涉及到平行与垂直的位置关系的考查，其中渗透反证内容法与分析法的解题思路，也是高考中的常见题型。2012 年北京市高考文科就考查了有关线面垂直的分析存在性问题，2016 年北京市高考文科就考查了有关线面平行的存在性问题。 1、进一步熟悉空间直线与直线、直线与平面和平面与平面平行的位置关系；理解并掌握线面平行和教学面面平行的判定定理及性质定理，会运用定理解决与平行有关的存在性问题；目标 2、通过对例题的分析，以及对问题的探究，会把空间问题转化为平面问题，尝试用不同的方法找到需要确定的点、线、面，初步形成解决存在性问题的思路及方法； 3、感受“线线问题、线面问题、面面问题”之间的转化，逐步体会逻辑推理的严谨性。学生情况学生在前面立体几何的复习过程中，基本掌握了线线、线面、面面平行的判定与性质，碰到证明问题有一定的思路，但碰到存在性问题多以猜想特殊点的方法去尝试解决，并没从深层次上思考为什么去找这个位置。另外前面的复习过程中由于对反证法并没有过多的强调，所以在碰到结论是不存在的情况时，还不会叙述，不会写解题格式。教学方法教学重点教学难点教学引导启发式线线平行、线面平行、面面平行的相互转化探索立体几何中（与平行有关的）存在性问题的解题思路，思考存在性问题的本质多媒体、几何画板课件辅助手段

课题：立体几何中与平行有关的存在性问题板书例题分析设计问题 3：方法总结：问题 6：教学步骤教学过程教师活动学生活动设计目的一、热身训练二、例题精讲判断下列命题是否正确，若不正确，请修改或添加条件使结论成立. ①若 a / /b,b，则 a / /； ②若 a / / ,b，则 a / /b ； ③若 m / / , n / / , m, n，则 / /； ④若/ / , a，则 a / /； ⑤若/ / , m, n，则 m / / n ．例题：如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 是梯形，AB∥ CD ，AB 1 CD . 2 问题 1：请指出图中的线面平行的位置关系并选择一组证明；问题 2：AD∥平面PBC吗为什么问题 3：过点A能做平面PBC 的平行线吗如果能，请在图中作出一条或两条直线并证明. 回忆、思考、小组讨论说明或操作演示为什么不正确，如何改正总结证明线线、线面、面面平行的证明方法以及相互关系 P D C A B 梳理平行的相关知识，为本节课的复习内容作铺垫，加强知识之间的联系检验学生对定理的理解程度为例题及问题的证明明确证明的思路培养学生学习的自主性训练学生如何说明结论不成立

以立体几何中探索性问题为背景的解答题(解析版)知识讲解

【名师综述】利用空间向量解决探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．下面借“题”发挥，透视有关立体几何中的探索性问题的常见类型及其求解策略，希望读者面对立体几何中的探索性问题时能做到有的放矢，化解自如． 1.以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学中创新型命题的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐．此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“是否存在”的问题的命题形式有两种情况：如果存在，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”的方法．求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解其存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本题把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数p 的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题转化为方程有无解的问题． 2.与“两异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角”有关的存在性问题，常利用空间向量法解决，可以避开抽象、复杂地寻找角的过程，只要能够准确理解和熟练应用夹角公式，就可以把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．事实说明，空间向量法是证明立体几何中存在性问题的强有力的方法．【精选名校模拟】 1. 在四棱锥ABCD E -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，⊥EC 底面ABCD ，F 为BE 的中点. （Ⅰ）求证：DE ∥平面ACF ；（Ⅱ）求证：AE BD ⊥；

高考数学立体几何中探索性问题

立体几何中探索性问题立体几何中的探索性问题立意新颖，形式多样，近年来在高考中频频出现，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，它是研究立体几何中的探索性问题的一个有力工具，应用空间向量这一工具，为分析和解决立体几何中的探索性问题提供了新的视角、新的方法．【例1】（2018?全国三模）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，90BAC ∠=?，1AA BC ⊥， 124AA AC AB ===，且11BC AC ⊥．（1）求证：平面1ABC ⊥平面11A ACC ；（2）设D 是11A C 的中点，判断并证明在线段1BB 上是否存在点E ，使得//DE 平面1ABC ．若存在，求二面角1E AC B --的余弦值．【解答】证明：（1）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是矩形，1AA AB ∴⊥，又1AA BC ⊥，AB BC B =，1AA ∴⊥平面ABC ，1A A AC ∴⊥．又1A A AC =，11AC AC ∴⊥．又11 BC AC ⊥，111BC AC C =，1 AC ∴⊥平面1ABC ，又1A C ?平面11A ACC ，∴平面1ABC ⊥平面11A ACC ．（2）当E 为1B B 的中点时，连接AE ，1EC ，DE ，如图，取1A A 的中点F ，连接EF ，FD ， //EF AB ，1//DF AC ，又EF DF F =，1AB AC A =， ∴平面//EFD 平面1ABC ，则有//DE 平面1ABC ．设点E 到平面1ABC 的距离为d ， AB AC ⊥，且1AA AB ⊥，AB ∴⊥平面11A ACC ，1AB AC ∴⊥， ∴1 1 22 BAC S =?= 1A A AC ⊥，AB AC ⊥，AC ∴⊥平面11A ABB ， 11//AC AC ，11AC ∴⊥平面11ABB ， ∴111 1118 2243323 C ABE ABE V S AC -?=??=????=，由118 3 E ABC C ABE V V --== ，解得1 88 3 33ABC d S =? == 以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，

立体几何存在性问题解析

A B C D ， AB DC ， AB AD ⊥， 1AD =， AB ， E 是PA 的中点， F 在线段AB 上，且满足0CF BD ?=. 平面PBC PC B --的余弦值；）在线段PA 上是否存在点与平面PFC 所成角的余弦. 2．如图，已知长方形ABCD 中，, M 为DC 的中点。将ADM ? 沿AM 折起，使得平面ADM ⊥平面ABCM 。（1）求证：；（2是线段上的一动点，问点E 在何位置时，二面角的余弦值为55 。 3．如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为菱形且∠DAB =60°，O 为AD 中点. （Ⅰ）若P A =PD ，求证：平面POB ⊥平面P AD ；（Ⅱ）若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A =PD =AD =2，试问在线段PC 上是否存在点M ，使二面角M —BO —C 的大小为60°，如存在，求的值，如不存在，说明理由. 4．如图，在四棱锥中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱底面ABCD ，AB 垂直于AD 和BC ，M 为棱SB 上的点，，．（1）若M 为棱SB 的中点，求证：平面SCD ；（2）当时，求平面AMC 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点N 是线段CD 上的动点，MN 与平面SAB 所成的角为θ，求当取最大值时点N 的位置．

5．如图，在直三棱柱中，平面平面，且. （1）求证：；（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小. 6．如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．（1）当时，求异面直线与所成角的大小；（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围． 7．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点。（1）求证：；（2）当面积的最小值是9时，在线段上是否存在点，使与平面所成角的正切值为2？若存在？求出的值，若不存在，请说明理由

第九讲-立体几何中探索性问题的向量解法

立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 本节课主要研究：立体几何中的存在判断型和位置探究型问题等探索性问题。一、存在判断型 1、已知空间三点A （-2，0，2），B （-2，1，2），C （-3，0，3）.设a =AB ，b =AC ，是否存在存在实数k ，使向量k a +b 与k a -2b 互相垂直，若存在，求k 的值；若不存在，说明理由。解∵k a +b =k （0，1，0）+（-1，0，1）＝（-1，k ，1），k a -2b =（2，k ，-2），且(k a +b )⊥（k a -2b ）， ∴（-1，k ，1）·（2，k ，-2）=k 2 -4=0. 则k=-2或k=2. 点拨：第（2）问在解答时也可以按运算律做. (k a +b )(k a -2b )=k 2a 2-k a ·b -2b 2= k 2 -4=0，解得k=-2或k=2. 2、如图，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由. 解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ， ∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0， 0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ). ∴=(0，2b ，0)，=(2a ，2b ，-2atan θ)，=(a ，0，atan θ). ∵AB ·MN =(0，2b ，0)·(a ，0，atan θ)=0， ∴⊥.即AB ⊥MN. 若MN ⊥PC ，则·=(a ，0，atan θ)·(2a ，2b ，-2atan θ) =2a 2-2a 2tan 2θ=0. ∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1，θ＝45°. 即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线. 【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法.

立体几何中的存在性问题

立体几何中的存在性问题 1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1； (2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由． 2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1 2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点． (1)求证：OD ∥平面ABC ； (2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值； (3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． 3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小； (2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．立体几何中的存在性问题 1、如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知DC ＝DD 1＝2AD ＝2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC . (1)求证：D 1C ⊥AC 1； (2)问在棱CD 上是否存在点E ，使D 1E ∥平面A 1BD .若存在，确定点E 位置；若不存在，说明理由． 2．如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝1 2AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点． (1)求证：OD ∥平面ABC ； (2)求直线CD 和平面ODM 所成角的正弦值； (3)能否在EM 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由． 3、在如图所示的几何体中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，AA 1∥DD 1∥CC 1∥BE ，且AA 1＝AB ，D 1E ⊥平面D 1AC ，AA 1⊥底面ABCD . (1)求二面角D 1－AC －E 的大小； (2)在D 1E 上是否存在点P ，使得A 1P ∥平面EAC ，若存在，求D 1P PE 的值，若不存在，说明理由．

高考数学专题04 立体几何的探索性问题(第三篇)(原卷版)

备战2020年高考数学大题精做之解答题题型全覆盖高端精品第三篇立体几何专题04 立体几何的探索性问题【典例1】【2020届江苏巅峰冲刺卷】如图，在四棱锥P ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，∠ABC ＝∠BAD ＝90°，AD ＝AP ＝4，AB ＝BC ＝2，M 为PC 的中点．（1）求异面直线AP ，BM 所成角的余弦值；（2）点N 在线段AD 上，且AN ＝λ，若直线MN 与平面PBC 所成角的正弦值为4 5 ，求λ的值．【典例2】【2020届江西省赣州市高三上学期期末考试】如图，在平行四边形ABCD 中，2,4,60AB AD BAD ?==∠=，平面EBD ⊥平面ABD ，且 ,EB CB ED CD ==.

（1）在线段EA 上是否存在一点F ，使//EC 平面FBD ，证明你的结论；（2）求二面角A EC D --的余弦值. 【典例3】【北京市昌平区2020届高三期末】如图，在四棱锥P ABCD -中，P A ⊥平面ABCD ，CD ⊥AD ，BC ∥AD ，1 2 BC CD AD == . （Ⅰ）求证：CD ⊥PD ；（Ⅰ）求证：BD ⊥平面P AB ；（Ⅰ）在棱PD 上是否存在点M ，使CM ∥平面P AB ，若存在，确定点M 的位置，若不存在，请说明理由. 【典例4】【2019届陕西省西安中学高三下学期第十二次重点考试】在三棱锥P—ABC 中，PB ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，AB=PB =2，BC E 、G 分别为PC 、P A 的中点.

（1）求证：平面BCG ⊥平面P AC ；（2）假设在线段AC 上存在一点N ，使PN ⊥BE ，求 AN NC 的值；（3）在（2）的条件下，求直线BE 与平面PBN 所成角的正弦值【典例5】【浙江省丽水市2020届模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AD BC ∥，90ABC ∠=?，1AB BC ==，2PA AD ==．（1）求证：CD ⊥平面PAC ；（2）在棱PC 上是否存在点H ，使得AH ⊥平面PCD ？若存在，确定点H 的位置；若不存在，说明理由．【典例6】【江苏省苏州市实验中学2020届高三月考】直四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，90ABC ∠=?， E 、 F 分别为棱AB 、11B C 上的点，2AE EB =，112C F FB =.求证：（1）//EF 平面11AAC C ；（2）线段AC 上是否存在一点G ，使面EFG ⊥面11AAC C .若存在，求出AG 的长；若不存在，请说明理由. 【典例7】【山东省临沂市2019年普通高考模拟】如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，AD ⊥DE ，AF ＝DE ＝

2020-2021学年高考数学二轮复习：第2部分_八大难点突破_难点2_立体几何中的探索性与存在性问题_有答案

难点二立体几何中的探索性与存在性问题 (对应学生用书第65页) 数学科考试大纲指出，通过考试，让学生提高多种能力，其中空间想象能力是对空间形式的观察、分析、抽象的能力．要在立体几何学习中形成．立体几何中的探索性与存在性问题实质是对线面平行与垂直性质定理的考查．探究性与存在性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性与存在性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力． 1．对命题条件的探索探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么．对命题条件的探索常采用以下三种方法： (1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再给出证明； (2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性； (3)把几何问题转化为代数问题，探索出命题成立的条件．【例1】如图1，在四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝∠PAB ＝90°，BC ＝CD ＝12 AD ，E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90°. 在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由. 【导学号：56394092】

图1 [解] 在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB. 又EB?平面PBE，CM?平面PBE，所以CM∥平面PBE. (说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点) [思路分析] 证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法(若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解

立体几何存在性问题

立体几何存在性问题
未命名
一、解答题 1．在多面体
中，底面
是梯形，四边形
形，
，
，面
面，
.
.
（1）求证：平面
平面；
是正方
（2）设为线段上一点，
，试问在线段上是否存在一点，使得
平面，若存在，试指出点的位置；若不存在，说明理由?
（3）在（2）的条件下，求点到平面的距离.
2．如图，四棱锥
中，底面
是直角梯形，
，
，
，侧面是等腰直角三角形，
，平面
平面
，点分别是棱
上的点，平面平面
（Ⅰ）确定点的位置，并说明理由；
（Ⅱ）求三棱锥
的体积.
3．如图，在长方体
中，
，点在棱上，
，

点为棱的中点，过的平面与棱为菱形.
交于，与棱交于，且四边形
(1)证明：平面
平面
；
(2)确定点的具体位置（不需说明理由）,并求四棱锥
的体积.
4．如图 2，已知在四棱锥
中，平面
平面，底面为矩形.
（1）求证：平面
平面；
（2）若 5．如图，三棱锥点．
的三条侧棱两两垂直，
，试求点到平面的距离. ，，分别是棱，的中
（1）证明：平面
平面；
（2）若四面体的体积为，求线段的长．
6．如图，在四棱锥
中，
，
，
，
.

立体几何中的存在性问题

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高中数学立体几何存在性问题专题１.（天津理17) 如图，在三棱柱中, 是正方形的中心, ，平面,且 (Ⅰ）求异面直线ＡC 与A1B1所成角的余弦值; （Ⅱ）求二面角的正弦值; （Ⅲ)设为棱的中点,点在平面内,且平面,求线段的长. 本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面垂直、二面角等基础知识，考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.满分13分．方法一:如图所示,建立空间直角坐标系,点Ｂ为坐标原点. 依题意得（Ｉ）解:易得, 于是所以异面直线AC 与A1B1所成角的余弦值为 (II)解：易知设平面AA1Ｃ１的法向量, 则即不妨令可得，同样地,设平面Ａ1Ｂ１C1的法向量, 111ABC A B C -H 11AA B B 122AA =1C H ⊥11AA B B 1 5.C H =111A AC B --N 11B C M 11AA B B MN ⊥11A B C BM (22,0,0),(0,0,0),(2,2,5)A B C -111(22,22,0),(0,22,0),(2,2,5)A B C 11(2,2,5),(22,0,0)AC A B =--=-11111142cos ,,3||||322AC A B AC A B AC A B ?= ==??2.3111(0,22,0),(2,2,5).AA AC ==--(,,)m x y z =11100m A C m AA ??=???=??2250,220.x y z y ?--+=??=??5,x =(5,0,2)m =(,,)n x y z =

立体几何中的开放探索性问题(教师版)教师版)2014.10.06

立体几何中的开放探索性问题数学开放性题是近年高考命题的一个新的亮点，其解法灵活且具有一定的探索性，这类题型按解题目标的操作模式分为：规律探索型，问题探究型，数学建模型，操作设计型，情景研究型．如果是未知的是解题假设，那么就称为条件开放型；如果是未知的是解题目标，那么就称为结论开放型；如果是未知的是解题推理，那么就称为策略开放型．当然，作为数学高考试题中开放题其＂开放度＂是比较弱的，如何解答立体几何中的这类问题，还是通过实际例子加以说明．一、规律探索型例1．1111ABCD A BC D - 是单位正方体,黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行,每走完一条棱称为”走完一段”. 白蚂蚁的爬行路线是111AA A D →→ , 黑蚂蚁的爬行路线是 1AB BB →→ ,它们都依照如下规则:所爬行的第n+2段与第n 段所在直线必须是异面直线, 设黑白两个蚂蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处,这时黑白两个蚂蚁的距离是多少? D 1C 1 规则黑蚂蚁的爬行路线是11D D D DA →→，走6段又回到出发点A 。故而它们的周期为6。20052005段后停止在正方体的B 顶点处，白蚂蚁走完2005 这类题为操二、操作设计型例2．（Ⅰ）给出两块面积相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚线标示在图1、图2中，并作简要说明；（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；（Ⅲ）（附加题）如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明．【分析】本题主要考查空间想象能力、动手操作能力、探究能力和灵活运用所学知识解决现实问题的能力．通过数学科的高考，倡导重视数学应用，是从1993年开始的，已经经历了十个年头．这些年来，尽管数学科高考中有关数学应用的试题存在这样那样的缺陷，但是它所倡导的加强数学学科与社会实际和生产实际的联系，引导考生置身于现实社会大环境中，关心身边的数学问题，具有良好的导向，也促进了中学数学教学加强数学应用的研究，推动数学教学改革．这种命题方向得到数学教育界的普遍肯定．回顾这些年来高考中有关数学应用的问题，所涉及的知识面上还存在

立体几何存在性问题

立体几何中的存在性问题 1、如图，已知直三棱柱111ABC A B C -，90ACB ∠=o ，E 是棱1CC 上动点，F 是AB 中点，2==BC AC ，41=AA . （Ⅰ）求证：CF ⊥平面1ABB ；（Ⅱ）当E 是棱1CC 中点时，求证：CF ∥平面1AEB ；（Ⅲ）在棱1CC 上是否存在点E ，使得二面角1A EB B -- 的大小是45o ，若存在，求CE 的长，若不存在，请说明理由. 2、如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥面ABCD ，BD 交AC 于点E ，F 是PC 中点，G 为AC 上一点。（Ⅰ）求证：BD ⊥FG ；（Ⅱ）确定点G 在线段AC 上的位置，使FG//平面PBD ，并说明理由； (Ⅲ)当二面角B-PC-D 的大小为 23 π 时，求PC 与底面ABCD 所成角的正切值。 G F E A P

3、在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=o ，1AB AD PD ===，2CD =. （Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ；（Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=u u u r u u u r ，试确定λ的值，使得二面角 Q BD P --为45o 4、如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA C C ⊥底面ABC ，11 2,AA AC AC AB BC ====, 且AB BC ⊥,O 为AC 中点. （Ⅰ）证明：1A O ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求直线1A C 与平面1A AB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在1BC 上是否存在一点E ，使得//OE 平面1A AB ，若不存在，说明理由；若存在，确定点E 的位置. A B C D E P 1 A B C O A 1 B 1

立体几何中的存在性问题--文科

立体几何中的存在性问题如图，四棱锥,,P ABCD AB AD CD AD PA ABCD -⊥⊥⊥中,底面， 22PA AD CD AB ====，M PC 为的中点. （1）求证：BM PAD 平面 ; （2）在侧面PAD 内找一点N ，使MN PBD ⊥平面 2.如图，已知正方形ABCD 的边长为2，中心为O ，设 PA ⊥平面ABCD ，EC ∥PA ，且PA =2.（1）当CE 为多少时，PO ⊥平面BED ；

3. 如图，三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥面ABC，BC⊥AC，BC=AC=2，AA1=3，D为AC的中点. （Ⅰ）求证：AB1//面BDC1；（Ⅱ）在侧棱AA1上是否存在点P，使得 CP⊥面BDC1？并证明你的结论. 4. 如图，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA = AD = CD = 2AB = 2，M为PC的中点. （1）求证：BM∥平面PAD；（2）平面PAD内是否存在一点N，使MN⊥平面PBD？若存在，确定N的位置，若不存在，说明理由；

5.直三棱柱A 1B 1C 1—ABC 的三视图如图所示，D 、E 分别为棱CC 1和B 1C 1的中点。（1）求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；（2）在AC 上是否存在一点F ，使EF ⊥平面A 1BD ，若存在确定其位置，若不存在，说明理由. 6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面A B C D 为直角梯形，且//AD BC ， 90ABC PAD ∠=∠=?，侧面PAD ⊥底面ABCD . 若1 2 PA AB BC AD === . （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）侧棱PA 上是否存在点E ，使得//BE 平面PCD ？若存在，指出点E 的位置并证明，若不存在，请说明理由； A B P C D

高中数学立体几何经典常考题型

高中数学立体几何经典常考题型题型一:空间点、线、面的位置关系及空间角的计算空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明，一般出现在解答题的第(1)问，解答题的第(2)问常考查求空间角，求空间角一般都可以建立空间直角坐标系，用空间向量的坐标运算求解. 【例1】如图，在△ABC 中，∠ABC ＝ π4 ，O 为AB 边上一点，且3OB ＝3OC ＝2AB ，已知PO ⊥平面ABC ，2DA ＝2AO ＝PO ，且DA ∥PO. (1)求证：平面PBD ⊥平面COD ； (2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值. (1)证明 ∵OB ＝OC ，又∵∠ABC ＝π 4， ∴∠OCB ＝π4，∴∠BOC ＝π 2. ∴CO ⊥AB. 又PO ⊥平面ABC ， OC ?平面ABC ，∴PO ⊥OC. 又∵PO ，AB ?平面PAB ，PO ∩AB ＝O ， ∴CO ⊥平面PAB ，即CO ⊥平面PDB. 又CO ?平面COD ， ∴平面PDB ⊥平面COD. (2)解以OC ，OB ，OP 所在射线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设OA ＝1，则PO ＝OB ＝OC ＝2，DA ＝1. 则C(2，0，0)，B(0，2，0)，P(0，0，2)，D(0，－1，1)， ∴PD →＝(0，－1，－1)，BC →＝(2，－2，0)，BD →＝(0，－3，1).

设平面BDC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴?????n ·BC →＝0，n · BD →＝0，∴???2x －2y ＝0，－3y ＋z ＝0，令y ＝1，则x ＝1，z ＝3，∴n ＝(1，1，3). 设PD 与平面BDC 所成的角为θ，则sin θ＝????? ? ??PD →·n |PD →||n | ＝??????1×0＋1×（－1）＋3×（－1）02＋（－1）2＋（－1）2×12＋12＋32＝222 11. 即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211. 【类题通法】利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系. 第二步：确定点的坐标. 第三步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步：计算向量的夹角(或函数值). 第五步：将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步：反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【变式训练】如图所示，在多面体A 1B 1D 1-DCBA 中，四边形AA 1B 1B ，ADD 1A 1，ABCD 均为正方形，E 为B 1D 1的中点，过A 1，D ，E 的平面交CD 1于F . (1)证明：EF ∥B 1C . (2)求二面角E -A 1D -B 1的余弦值. (1)证明由正方形的性质可知A 1B 1∥AB ∥DC ，且A 1B 1＝AB ＝DC ，所以四边形A 1B 1CD 为平行四边形，从而B 1C ∥A 1D ，又A 1D ?面A 1DE ，B 1C ?面A 1DE ，于是B 1C ∥面A 1DE.又B 1C ?面B 1CD 1，面A 1DE ∩面B 1CD 1＝EF ，所以EF ∥B 1C.

2021新高考数学二轮总复习专题突破练18立体几何中的翻折问题及探索性问题含解析

专题突破练18 立体几何中的翻折问题及探索性问题 1.(2020河北石家庄5月检测,18)如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=AC=4,D,E分别是AC,AB边上的中点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C=A1D,如图 2. (1)求证:平面A1CD⊥平面A1BC; (2)求直线A1C与平面A1BE所成角的正弦值. 2. (2020贵州贵阳适应性训练,19)如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为正方形,且平面PAD⊥平面ABCD,F为棱PD的中点. (1)在棱BC上是否存在一点E,使得CF∥平面PAE?并说明理由; (2)若PA=PD=AB,求直线AF与平面PBC所成角的正弦值.

3.(2020浙江台州模拟,19)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=BC=3,AA1=2.以AB,BC 为邻边作平行四边形ABCD,连接DA1和DC1. (1)求证:A1D∥平面BCC1B1; (2)在线段BC上是否存在点F,使平面DA1C1与平面A1C1F垂直?若存在,求出BF的长;若不存在,请说明理由. 4.(2020云南昆明一中模拟,19)图1是由边长为4的正六边形AEFBCD,矩形DCGH组成的一个平面图形,将其沿AB,DC折起得几何体ABCD-EFGH,使得CG⊥AD,且平面EFGH∥平面ABCD,如图2. (1)证明:在图2中,平面ACG⊥平面BCG; (2)设M为图2中线段CG上一点,且CM=1,若直线AG∥平面BMD,求图2中的直线BM与平面AHB 所成角的正弦值.

5.(2020北京通州一模,18)如图1,已知四边形ABCD 为菱形,且∠A=60°,取AD 中点为E.现将四边形EBCD 沿BE 折起至EBHG ,使得∠AEG=90°,如图2. (1)求证:AE ⊥平面EBHG ; (2)求二面角A-GH-B 的余弦值; (3)若点F 满足AF ????? =λAB ????? ,当EF ∥平面AGH 时,求λ的值. 6.

立体几何中的探索性问题精编WORD版

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立体几何中的探索性问题立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般设问方式是“是否存在?存在给出证明，不存在说明理由”．解决这类试题，一般根据探索性问题的设问，首先假设其存在，然后在这个假设下进行推理论证，如果通过推理得到了合乎情理的结论就肯定假设，如果得到了矛盾就否定假设． 8如图,在四棱锥P–ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=1，AD=√3，点F是PB的中点，点E在边BC上移动． (1)点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置关系，并说明理由． (2)求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF． (3)当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45。? 拓展提升 (1)开放性问题是近几年高考的一种常见题型．一般来说，这种题型依据题目特点，充分利用条件不难求解． (2)对于探索性问题，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在． 9如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的√2倍，P 为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD． (2)若SD⊥平面PAC，求二面角P-AC-D的大小． (3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC?若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．如图所示，在正方体ABCD—A l B l C 1 D l 中，M,N分别是AB，BC中点． (1)求证：平面B 1MN⊥平面BB 1 D 1 D； (2)在棱DD 1上是否存在点P，使BD 1 ∥平面PMN，若有，确定点P 的位置；若没有，说明理由．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=√2，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，0为AD中点． (1)求证：PO⊥平面ABCD； (2)求异面直线PB与CD所成角的大小： (3)线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD3若存在，求出AQ：DQ的值；若不存在，请说明理由．立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势.

立体几何中探索性问题

B 立体几何中探索性问题的向量解法高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决。立体几何引入空间向量后，可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时，更可以发挥这一优势. 一.存在判断型例1.正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E,F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B ．如图1. (1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由； (2)求二面角E DF C --的余弦值； (3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP DE ⊥？证明你的结论. 例2.如图(2)，已知矩形ABCD ，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，∠PDA 为θ ，能否确定θ，使直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线?若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由. 解：以点A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz.设|AD|=2a ，|AB|=2b ，∠PDA=θ.则A(0，0，0)、B(0，2b ，0)、C(2a ，2b ，0)、D(2a ，0，0)、P(0，0，2atan θ)、M(0，b ，0)、N(a ，b ，atan θ). ∴AB =(0，2b ，0)，PC =(2a ，2b ，-2atan θ)，MN =(a ，0，atan θ). ∵AB ·MN =(0，2b ，0)·(a ，0，atan θ)=0，∴AB ⊥MN .即AB ⊥MN. 若MN ⊥PC ，则·=(a ，0，atan θ)·(2a ，2b ，-2atan θ) =2a 2-2a 2tan 2θ=0.∴tan 2θ=1，而θ是锐角. ∴tan θ=1， θ＝45°.即当θ=45°时，直线MN 是直线AB 与PC 的公垂线. 【方法归纳】对于存在判断型问题，解题的策略一般为先假设存在，然后转化为“封闭型”问题求解判断，若不出现矛盾，则肯定存在；若出现矛盾，则否定存在。这是一种最常用也是最基本的方法. 二.位置探究型如图所示PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E 是PB 的中点，与夹角的余弦值为 3 3 .(1)建立适当的空间坐标系，写出点E 的坐标。 (2)在平面PAD 内是否存在一点F ，使EF ⊥平面PCB ？解析：⑴以DA 、DC 、DP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 间直角坐标系，设P （0,0,2m ）.则A(2,0,0)、B(2,2,0)、E(1,1,m)，从而AE =(-1,1,m),DP =(0,0,2m). AE DP = ??,cos 3 3 2222 2= +m m m ，得m=1. 所以E 点的坐标为(1,1,1).（2）由于点F 在平面PAD 内，故可设F(z x ,0,)，由EF ⊥平面PCB 得：0=?CB EF 且0=?PC EF ，即10)0,0,2()1.1,1(=?=?---x z x .00)2,2,0()1.1,1(=?=-?---z z x 。所以点F 的坐标为（1,0,0）,即点F 是DA 的中点时，可使EF ⊥平面PCB. 【方法归纳】点F 在平面PAD 上一般可设DP t t 21+=?、计算出21, t t 后，D 点是已知的，即可求出F 点。 A B C D E F A B C D E F