2021年九年级中考数学 压轴大题训练：函数中的动点问题
2021中考数学压轴大题训练：函数中的动点问
题
一、解答题（本大题共20道小题）
1. 如图，抛物线y＝ax2＋2x＋c(a≠0)经过点A(0，3)，B(－1，0)．请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为D，对称轴与x轴交于点E，连接BD，求BD的长；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MBC的面积是4？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2. 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．
（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；
（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；
（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．
图1 图2
3. 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A坐标为(4，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线的顶点为N，在x轴上找一点K，使CK＋KN最小，并求出点K的坐标；
(3)已知D是OA的中点，点P在第一象限的抛物线上，过点P作x轴的平行线，交直线AC于点F，连接OF，DF.当OF＝DF时，求点P的坐标．
4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3
4x＋m与x轴、y轴分别交于点A、点
B(0，－1)，抛物线y＝1
2x
2＋bx＋c经过点B，交直线AB于点C(4，n)．
(1)分别求m、n的值；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点D在抛物线上，且点D的横坐标为t(0＜t＜4)，DE∥y轴交直线AB于点E，点F在直线AB上，且四边形DFEG为矩形(如图)，若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式和p的最大值．
5. 如图，直线y＝－x＋3与x轴，y轴分别相交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的另一个交点为A，顶点为P，且对称轴为直线x＝2.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接PB、PC，求△PBC的面积；
(3)连接AC，在x轴上是否存在一点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
6. 如图，已知抛物线211(1)444
b
y x b x =
-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，
且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
7. 如图
1，在矩形ABCD 中，AB ＝m （m 是大于0的常数），BC ＝8，E 为线段
BC 上的动点（不与B 、C 重合）．连结DE ，作EF ⊥DE ，EF 与射线BA 交于点F ，设CE ＝x ，BF ＝y ．
（1）求y 关于x 的函数关系式；
（2）若m ＝8，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12
y m
=
，要使△DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？
8. 如图，已知
A 、
B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中
心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =． （1）求x 的取值范围；
（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值； （3）探究：△ABC 的最大面积？
9. 如图，直线
y ＝2x ＋6与反比例函数y ＝k
x (k ＞0)的图象交于点A (m ，8)，与x 轴
交于点B ，平行于x 轴的直线y ＝n (0＜n ＜6)交反比例函数的图象于点M ，交AB 于点N ，连接BM .
(1)求m 的值和反比例函数的解析式；
(2)观察图象，直接写出当x ＞0时不等式2x ＋6－k
x ＞0的解集；
(3)直线y＝n沿y轴方向平移，当n为何值时，△BMN的面积最大？最大值是多少？
10. 如图①，在平行四边形ABCD中，连接BD，AD＝6cm，BD＝8cm，∠DBC ＝90°，现将△AEF沿BD的方向匀速平移，速度为2cm/s，同时，点G从点D 出发，沿DC的方向匀速移动，速度为2cm/s.当△AEF停止移动时，点G也停止运动，连接AD，AG，EG，过点E作EH⊥CD于点H，如图②所示，设△AEF 的移动时间为t(s)(0＜t＜4)．
(1)当t＝1时，求EH的长度；
(2)若EG⊥AG，求证：EG2＝AE·HG；
(3)设△AGD的面积为y(cm2)，当t为何值时，y可取得最大值，并求y的最大值．
11. 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，0)、B(3，0)、C(0，－3)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A、B、C三点．
(1)求直线AC的解析式；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存在一点P，使得△BDP的周长最小？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
12. 把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与点E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10 cm.如图②，△DEF从图①的位置出发，以1cm/s的速度沿CB向△ABC 匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．
(1)用含t的代数式表示线段AP和AQ的长，并写出t的取值范围；
(2)连接PE，设四边形APEQ的面积为y(cm2)，试求出y的最大值；
(3)当t为何值时，△APQ是等腰三角形．
13. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－1
4x
2＋bx＋c经过点
A(－2，0)，B(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点C是抛物线与y轴的交点，连接BC、AC，设点P是抛物线上在第一象限内的点，PD⊥BC，垂足为点D.
①是否存在点P，使线段PD的长度最大，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②当△PDC与△COA相似时，求点P的坐标．
14. 如图，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D 的坐标．
,
15. 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
16. 如图，抛物线233
384
y x x =--
+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧）
，与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标；
（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；
（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．
三个时，求直线l 的解析式．
17. 在直角梯形
OABC 中，CB //OA ，∠COA ＝90°，CB ＝3，OA ＝6，BA ＝35分
别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）求点B的坐标；
（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；
（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．
19. 如图
1，已知⊙O 的半径长为3，点A 是⊙O 上一定点，点P 为⊙O 上不同于
点A 的动点．
（1）当1tan 2
A =时，求AP 的长；
（2）如果⊙Q 过点P 、O ，且点Q 在直线AP 上（如图2），设AP ＝x ，QP ＝y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；
（3）在（2）的条件下，当4tan 3
A =时（如图3），存在⊙M 与⊙O 相内切，同时
与⊙Q 相外切，且OM ⊥OQ ，试求⊙M 的半径的长．
图1 图2 图3
20. 如图，已知一次函数
y ＝－x ＋7与正比例函数43
y x = 的图象交于点A ，且与
x 轴交于点B ．
（1）求点A 和点B 的坐标；
（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或
线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．
①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？
②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．
2021中考数学 压轴大题训练：函数中的动点问
题 -答案
一、解答题（本大题共20道小题）
1. 【答案】
(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A (0，3)，B (－1，0)， ∴???c ＝3a ＋2×（－1）＋c ＝0
解得?
??a ＝－1
c ＝3
∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3；
(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，B (－1，0)，
∴点D 的坐标是(1，4)，点E 的坐标是(1，0)， ∴DE ＝4，BE ＝2，
∴BD ＝DE 2＋BE 2＝42＋22＝25， 即BD 的长是25；
(3)假设在抛物线的对称轴上存在点M ，使得△MBC 的面积是4， 设点M 的坐标为(1，m )， ∵B (－1，0)，E (1，0)， ∴点C 的坐标为(3，0)， ∴BC ＝4，
∵△MBC 的面积是4， ∴S △MBC ＝BC ×|m |2＝4×|m |
2＝4， 解得m ＝±2，
即点M 的坐标为(1，2)或(1，－2)．
2. 【答案】
（1）QB ＝8－2t ，PD ＝43
t ．
（2）如图3，作∠ABC 的平分线交CA 于P ，过点P 作PQ //AB 交BC 于Q ，那么四边形PDBQ 是菱形．
图3
过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ＝BC ＝8．
在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，所以AB ＝10． 在Rt △APE 中，23cos 5
AE A AP
t
===，所以103
t =．
当PQ //AB 时，CQ CP CB
CA
=，即10
638
6
CQ -
=
．解得329CQ =．
所以点Q 的运动速度为3210169
3
15
÷=．
（3）以C 为原点建立直角坐标系．
如图4，当t ＝0时，PQ 的中点就是AC 的中点E (3，0)． 如图5，当t ＝4时，PQ 的中点就是PB 的中点F (1，4)． 直线EF 的解析式是y ＝－2x ＋6．
如图6，PQ 的中点M 的坐标可以表示为（62
t -，t ）．经验证，点M （62
t -，t ）
在直线EF 上．
所以PQ 的中点M 的运动路径长就是线段EF 的长，EF ＝25．
图4 图5 图6 考点伸展
第（3）题求点M 的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数： 当t ＝2时，PQ 的中点为(2，2)．
设点M 的运动路径的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，代入E (3，0)、F (1，4)和(2，2)，
得930,4,42 2.a b c a b c a b c ++=??++=??++=?
解得a ＝0，b ＝－2，c ＝6． 所以点M 的运动路径的解析式为y ＝－2x ＋6．
3. 【答案】
(1)∵抛物线y ＝ax 2－2ax ＋c 经过点A (4，0)，C (0，4)，
∴,40816???==+-c c a a 解得,4
21??
???=-=c a
∴抛物线的解析式为y ＝－1
2x 2＋x ＋4； (2)∵y ＝－12x 2＋x ＋4＝－12(x －1)2
＋92 ∴N (1，9
2)，
如解图①，作点C 关于x 轴的对称点C ′，
解图①
则C ′(0，－4)，连接C ′N 交x 轴于点K ，则K 点即为使CK ＋KN 最小的K 点
位置．设直线C ′N 的解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，将点C ′(0，－4)，N (1，9
2)代入，得
?????b ＝－4k ＋b ＝92，解得???
??k ＝
172b ＝－4
，
∴直线C ′N 的解析式为y ＝17
2x －4， 令y ＝0，即172x －4＝0，解得x ＝8
17， ∴点K 的坐标为(8
17，0)；
(3)如解图②，过F 作FM ⊥x 轴于M ，
解图②
∵D 是OA 的中点， ∴D (2，0)， ∵OF ＝DF ， ∴OM ＝MD ， ∴M (1，0)， ∴点F 的横坐标是1.
设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋n ， 将点A (4，0)，C (0，4)代入， ∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋4， ∴点F 的坐标为(1，3)， 设P (t ，－1
2t 2＋t ＋4)，则
－1
2t 2＋t ＋4＝3，解得t ＝1＋3或t ＝1－3(舍去)， ∴点P 的坐标为(1＋3，3)．
4. 【答案】
(1)∵直线y ＝3
4x ＋m 与y 轴交于点B (0，－1)，∴m ＝－1， ∴直线解析式为y ＝3
4x －1， ∵直线经过点C (4，n )， ∴n ＝34×4－1＝2；
(2)∵抛物线经过点C 和点B ， ∴?????12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1， 解得?????b ＝－
54c ＝－1
， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－5
4
x －1；
(3)∵点D 的横坐标为t (0＜t ＜4)，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ， ∴D (t ，12t 2－54t －1)，E (t ，3
4t －1)， ∴DE ＝34t －1－(12t 2－54t －1)＝－12t 2
＋2t ， ∵DE ∥y 轴，
∴∠DEF ＝∠ABO ，且∠EFD ＝∠AOB ＝90°， ∴△DFE ∽△AOB ， ∴DF OA ＝EF OB ＝DE AB ，
在y ＝34x －1中，令y ＝0可得x ＝43，
∴A (4
3，0)， ∴OA ＝4
3，
在Rt △AOB 中，OB ＝1， ∴AB ＝53，∴DF 43
＝EF 1＝DE
53
，
∴DF ＝45DE ，EF ＝3
5DE ，
∴p ＝2(DF ＋EF )＝2×(45＋35)DE ＝145DE ＝145(－12t 2＋2t )＝－75t 2＋285t ＝－7
5(t －2)2＋28
5(0＜t ＜4)，
∵－75＜0，∴当t ＝2时，p 有最大值285.
5. 【答案】
(1)∵y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴相交于B 、C 两点， ∴C (0，3)，B (3，0)， ∵抛物线的对称轴为：x ＝2，
∴可设二次函数的解析式为：y ＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 把B (3，0)、C (0，3)两点代入，得,430??
?+=+=k a k
a ，解得，,11
???=-=a k ∴抛物线的解析式为：y ＝(x －2)2－1，即y ＝x 2－4x ＋3； (2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴P (2，－1)，
又∵B (3，0)、C (0，3)，
∴PC ＝2242+＝52，PB ＝212-322
=+）（，
BC ＝23183322==+，
又∵PB 2＋BC 2＝2＋18＝20，PC 2＝20， ∴PB 2＋BC 2＝PC 2， ∴△PBC 是直角三角形．
∴S PBC △＝12PB ·BC ＝1
2×2×23＝3；
(3)设存在点Q (m ，0)，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， 易证∠ABC ＝∠ABP ＝45°，∴Q 点在B 点左边，则m <3， 于是AB ＝2，BC ＝23，BQ ＝3－m ，BP ＝2， ①当BQ
BA BP
BC =时，△QBP ∽△ABC ，
则2
2323=-m
，解得，m ＝7
3，
∴Q (7
3，0)；
②当BP
BA BQ
BC =时，△PBQ ∽△ABC ，
则m
-=322
23，解得，m ＝0，
∴Q (0，0)，
故存在点Q ，使得以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似．Q 点的坐标为Q (7
3，0)或Q (0，0)．
6. 【答案】