矩阵的对角化

摘要

矩阵的对角化指的是矩阵与对角矩阵相似，而形式最简单的对角矩阵在矩阵理论中占有重要地位，因此研究矩阵的对角化问题是很有实用价值的．矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。目前对于矩阵可对角化的条件，矩阵对角化的方法和矩阵对角化的运用都有了较为全面和深入的研究。在归纳总结前人的基础之上，先给出了与对角化相关的概念，其次讨论了矩阵对角化的几个等价条件，最后总结了一些有关矩阵对角化的应用。

关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化

Abstract

Matrix diagonalization refers similarity matrix and a diagonal matrix, The simplest form of a diagonal matrix plays an important role in matrix theory, Therefore Matrix diagonalization problem is very practical value.

Whether matrix diagonalization matrix is a very important property. To be similar to the necessary and sufficient condition for understanding keratosis, has been one of linear algebra learning difficulties. At present more comprehensive and in-depth study of the matrix can be diagonalized conditions, matrix methods and the use of matrix diagonalization diagonalization of everything. In summarizing the basis of their predecessors, with the first given diagonalization related concepts, followed by discussion of the matrix diagonalization of several equivalent conditions and, finally, the application of some of the matrix diagonalization.

Keywords: square; characteristic value; eigenvectors; diagonalization

目录

引言 (1)

一矩阵可对角化的概念 (2)

1.1 特征值、特征向量的概念 (2)

1.2 矩阵可对角化的概念 (2)

二矩阵可对角化的几个等价条件 (4)

2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明 (4)

2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤 (8)

三矩阵可对角化的应用 (9)

3.1具体矩阵对角化的求解过程 (9)

3.2矩阵对角化的应用 (13)

3.2.1在反求矩阵方面的应用． (13)

3.2.2 求方阵的高次幂 (14)

3.2.3 求行列式的值 (15)

3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限 (16)

3.2.5 在二次曲面上的一些应用 (17)

结论 (19)

致谢.............................................. 错误！未定义书签。参考文献.. (20)

引言

矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。

线性代数中矩阵是否可以对角化,是矩阵的一条很重要的性质。矩阵对角化也是《高等代数》和《线性代数》中矩阵理论这一部分的主要内容。人们对此研究得出了很多有用的结论。诸如一些充要条件：n阶方阵A可以对角化的充要条件是它有n个线性无关的特征向量；方阵A可以对角化的充要条件是它的最小多项式没有重根；还有复方阵A可以酉相似于对角形矩阵的充要条件是它为正规矩阵，此外,还有一些充分条件。然而,所有这些结论都相对比较抽象,特别是对于大学一年级的新生，抽象化的结论不便于学生的理解和记忆，因此,一些学生在学完《高等数学》和《线性代数》的相关知识后不久,便相继忘掉了一些重要的结论。但是,一个普遍的现象是这些学生对高中、初中的数学知识比较熟悉,且记忆深刻，因此,若能将一些大学数学知识和高中、初中的一些知识进行类比,则这些新的数学知识与理论便会易于理解和记忆。

在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。

一 矩阵可对角化的概念

1.1 特征值、特征向量的概念

定义1 设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换, 如果对于数域P 中的一个数0

λ存在一个非零向量ε使得ελε0=A ,那么0λ称为A 的一个特征值，而ε 称为A 的属于特征值0λ的一个特征向量。

求方阵A 的特征值与特征向量的步骤：

(1)由特征方程A E -λ=0求得A 的n 个特征值，设t λλλ,,,21 是A 的互异特征值,其重数分别为t n n n ,,,21 则n n n n t =+++ 21。

(2)求解齐次线性方程组()0=-X A E i λ()t i ,,2,1 =,其基础解系

s i i i p p p ,,,21 (t i n s i i ,,2,11 =≤≤，)就是A 所对应特征值i λ的线性无关的特征向量。

1.2 矩阵可对角化的概念

定义2 设A 是数域F 上一个n 阶方阵，如果存在数域F 上的一个可逆矩阵P ,使得

AP P 1-为对角形矩阵，那么就说矩阵A 可以对角化。

任意方阵A 的每一个特征值i λ都有一个与之相对应的特征向量i P 满足

i i i P AP λ=()n ,1,2

,i =，则这个方程可以写成 ()()n n P P P P P P A ,,,,,,2121 =??

???

??

? ?

?n λλλ

2

1

, （1） 我们定义矩阵()n P P P P ,,,21 =,()n diag B λλλ,,,21 =则（1）式可写成PB AP =,若矩阵P 是可逆阵，则有()n diag B AP P λλλ,,,211 ==-

引理1 设A 、B 都是n 阶矩阵,则有秩()AB ≥秩()A +秩()n B - ① 证：

000

00

n n n n

n n E E B E B E A E E A

AB -????????

= ? ? ? ?--????

????0=00=+n

n E B E A AB E AB n AB

???? ? ?-???? +- =秩秩秩秩（）

秩

但

注：代数中称①式为Sylverster(薛尔佛斯特)公式

引理2 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，则矩阵A 的线性无关的特征向量的最大个数为()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

证明 设s λλλ,,,21 (n s ≤)为n 阶方阵A 的所有互异特征值，因为特征值

i λ()s ,1,2,i =相应的线性无关的特征向量的最大个数即为线性方程组()0=-X I A i λ的基

础解析所含向量的个数，所以特征值()n s s ≤λλλ,,,21 相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为()I A r n i λ--，()I A r n 2λ--，…，()I A r n s λ--，而矩阵A 的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A 线性无关的特征向的最大个数为

()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

引理3 设A 为n 阶方阵,s λλλ,,,21 是任意两两互异的数,则

()()()()()()()n s I A r I A r I A r I A I A I A r s s 1][2121---++-+-=---λλλλλλ 。

0++E B A B

A n A

B A B AB A B n

??≥ ???∴≥?≥- 秩秩+秩+秩（）秩秩秩秩秩

二 矩阵可对角化的几个等价条件

2.1 矩阵可对角化的充分必要条件及其证明

定理1 数域P 上n 阶方阵A 可对角化的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量。

证明（1）充分性 假设n P P P ,,,21 是矩阵

A 的n 个线性无关的特征向量，即有i i i P AP λ=()n ,1,2,i =,令矩阵()n P P P P ,,,21 =由特征向量n P P P ,,,21 组成，因为n P P P ,,,21 是线性无关的，

因此矩阵P 是非奇异矩阵，其逆矩阵记为1-P ，根据逆矩阵的定义有P P 1-=()

n P P P P P P 1

2111,,,--- ，另一方面，由i i i P AP λ=易知,()n AP AP AP AP ,,,21 = =()n

n P P P λλλ,,,2211 ,给此式左乘矩阵1

-P ，则有

n I AP P =-1????????

?

?n λλλ

2

1=??

?????

?

?

?n λλλ

2

1， 即充分性得证。

（2）必要性 令矩阵A 和对角形矩阵D 相似，即存在可逆矩阵P 使得D AP P =-1,则有

PD AP =,于是记P =(n P P P ,,,21 )，()T

n

d d d D ,,,21 =则PD AP =可以写成()n AP AP AP ,,,21 =(n n P d P d P d ,,,2211 )即有i i i P d AP =()n ,1,2,i =,这说明矩阵P 的列向量i P 是矩阵A 的特征向量，而已知P 是可逆阵，故P 的n 个列向量n P P P ,,,21 线性无关，必要性得证。

定理2 设 n n P A ?=，则A 可以对角化的充分必要条件是： (1)A 的特征根都在数域P 内, (2)对A 的每个特征根λ,有

()k =--A E n λ秩，其中k 是λ的重数。

条件(2) 也可改述为：特征根λ的重数等于齐次线性方程组()0=-X A E λ的基础解系所含向量的个数(简称为代数重数等于几何重数)。

条件(2)还可改述为：令有()[]n A n r

i i =-∑=1-E λ秩，即属于A 的不同特征根的

线性无关的特征向量总数是n 。

条件(1)，(2)还可改述为:A 的属于不同特征值的特征子空间的维数之和等于n 。 证明 设r λλλ,,,21 是A 的所有不同的特征根,j jt j αα,,1 是齐次线性方程组

()0=-X A E j

λ()r j ,,2,1 =的一个基础解系，则A 的特征向量

r

r

rt r t t ααααα,,,,,,,,111111

一定线性无关。

如果n t t t r =+++ 21, 则A 有n 个线性无关的特征向量, 从而A 可以对角化。若A 可以对角化, 则属于A 的不同特征根的线性无关的特征向量总数一定是n 。若不然, 则由定理1可设A 的n 个线性无关的特征向量为n ηηη,,,21 ,设j η是属于特征根j λ的特征向量，则

j η可由j

t j j αα,,1

线性表出，从而可由向量组r r rt r t t ααααα,,,,,,,,111111 线性表出，于

是，rank{n ηηη,,,21 }≤rank{t tr t r αααα,,,,,,11111 }=n t t t r <+++ 21与

n ηηη,,,21 线性无关矛盾。

定理3 设A 是n 阶复矩阵, 则A 与对角形矩阵相似的充分必要条件是A 的最小多项式()λm 无重根。

证明 充分性 因())(λλn d m =无重根,由)(λi d |)(1λ+i d 知,A 的每个不变因子)(λi d 都不能有重根，从而特征矩阵A E -λ作为复数域上的λ矩阵,其初等因子全为一次式，故A 必与对角阵相似。

必要性 因A 与对角阵相似,特征矩阵A E -λ的初等因子必均为一次式,故最后一个不变因子()λn d 也只能是不同的一次因式之积，这就证明了最小多项式())(λλn d m =无重根。

此定理3所给出的判别矩阵与对角矩阵相似的条件,形式上还可削弱,我有:

定理4 设σ是n 维向量空间V 的一个线性变换，σ的矩阵可以对角化的充分必要条件是V 可以分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和。 证明 必要性 若σ可以对角化，则存在V 的一组基n ααα,,,21 使得σ在这 组基下的矩阵为

??

?????

? ?

?n λλλ

2

1， 令()()()n n L W L W L W ααα===,,,2211 ,则 n W W W V ⊕⊕⊕= 21， 事实上：

（1）V ∈?η，则n n k k k αααη+++= 2211，

又i i i W k ∈α()n ,1,2,i =, n W W W +++∈ 21η， 即n W W W V +++= 21。

（2）()n i i i W W W W W W ++++++∈?+- 1121ξ,()n ,1,2,i =，

i W ∈ξ且n i i W W W W W ++++++∈+- 1121ξ，

i ξξ=且n i i ξξξξξξ++++++=+- 1121,()n j W j j ,,2,1, =∈ξ ，

又j j W ∈ξ()n ,1,2,j =，j j j W L =ξ，()n ,1,2,j =,

i i n n i i i i L L L L L L ααααααξ=++++++=++-- 11112211,

即i i n n i i i i i i L L L L L L L ααααααα=+++-+++++-- 11112211又n ααα,,,21 线性无

关j L =0,()n ,1,2,j =, 即ξ=0。

充分性 若V 可分解为n 个在σ之下不变的一维子空间n W W W ,,,21 的直和,即

n W W W V +++= 21,设n W W W ,,,21 的基分别为n ηηη,,,21 则n ηηη,,,21 可构成V 的一组基。

令()()()n n n ηλησηλησηλησ===,,,222111 ，

σ在基n ηηη,,,21 下的矩阵为

??

?????

? ?

?n λλλ

2

1， 即σ可以对角化。

定理5 设A 是数域F 上的一个n 阶矩阵，A 的特征根全在F 内，若n λλλ,,,21 是A 的全部不同的特征根，其重数分别为n r r r ,,,21 ，则A 可对角化的充要条件是秩

()j

j

i i

r A I =-∑≠λ()k ,1,2,j =。

证明 设A 可对角化，则存在可逆矩阵T ,使{}n n I I I diag AT T λλλ,,,22111 =-这里右边是分块对角矩阵，i I 为i r 阶单位阵，于是有

秩()???

?

??-∏≠j i i A I λ

=秩()????

?????? ??-∏≠-T A I T j i i λ1 =秩()?

??

? ??-∏≠-j i i AT T I 1

λ =秩{}???

?

??-∏≠j i k k i

I I I diag I λλλλ,,,,2211 =秩()()(){}???

? ??---∏≠j i k k i i I I I diag λλλλλλ,,,22111 =秩()???? ?

???????-∏≠j i j j i I diag 0,,0,,,0,0 λλ =j

r 。

反之，若秩()?

??

?

??-∏≠j i i A I λ=j r ，k ,1,2,j = 则反复用本文引理1可得：

()()n k A I r i j i j 2---≥∑≠λ秩

()()n k r n j

i i 2---≥∑≠

=j j

i i r r n =-∑≠，

于是有()A -∑≠I i j

i λ秩=()∑-i r n 。

从而()A I i -λ =i r n -()k ,1,2,i =，这样A 可对角化。

定理6 设A 为n 阶方阵,则A 可以对角化的充要条件为存在两两互异的s λλλ,,,21 使得()()()021=---I A I A I A s λλλ 。

证明 必要性 设n 阶方阵A 可以对角化,s λλλ,,,21 (n s ≤)为A 的所有互异特征值,

由引理2及定理1，从而A 有n 个线性无关的特征向量,即

()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21故

()()()()0121=---++-+-n s I A r I A r I A r s λλλ ，

再由引理3得()()()=---][21I A I A I A r s λλλ0， 从而有()()()021=---I A I A I A s λλλ。

充分性 设A 为n 阶方阵且存在两两互异的数s λλλ,,,21 使得

()()()021=---I A I A I A s λλλ，记为()A f =()()()I A I A I A s λλλ---21。

设λ为A 的特征值，则()()()()s f λλλλλλλ---= 21必为()A f 的特征值，从而()0=A f 。

所以()()()()021=---=s f λλλλλλλ ,因此矩阵A 的特征值的取值范围为

s λλλ,,,21 ，显然当I A i λ-可逆时，i λ不是A 的特征值；当I A i λ-可逆时，i λ是A 的

特征值。因为线性方程组()0=-X I A i λ的基础解系所含向量的个数()I A r n i λ--即为A 的特征值i λ()s ,1,2,i =的重数 (当I A i λ-可逆时, i λ不是A 的特征值,此时

()0=--I A r n i λ)。从而矩阵A 线性无关的特征向量的最大个数为

()()()I A r I A r I A r sn s λλλ------- 21。

再由引理3，当()()()021=---I A I A I A s λλλ时

()()()()n s I A r I A r I A r s 121-=-++-+-λλλ ，

所以 ()()()n I A r I A r I A r sn s =-------λλλ 21，即n 阶方阵A 有n 个线性无关的特征向量,从而A 可以对角化。

2.2 可对角化矩阵的相似对角阵的求法及步骤

具体步骤 设n n P A ?∈，求可逆矩阵n n P X ?∈，使AX X 1-为对角矩阵的步骤是: (1) 求矩阵A 的全部特征根；

(2) 如果A 的特征根都在数域P 内(否则A 不可对角化), 那么对每个特征根λ, 求出齐次线性方程组()0=-X A I λ的一个基础解系；

(3) 如果对每个特征根λ,()0=-X A I λ的基础解系所含解向量个数等于λ的重数(否则

A 不可对角化), 那么A 可对角化,以所有基础解系中的向量为列即得n 阶可逆阵X , 且

AX X 1-是对角阵, 而对角线上的元素是A 的全部特征根。

三 矩阵可对角化的应用

3.1具体矩阵对角化的求解过程 例1： 判断矩阵

321222361A -?? ?=-- ? ?-??

是否可以对角化。

解法一：

A 的特征多项式

A I -λ=1

63

222

123

+---+--λλλ =16123+-x x =()()422

--x x

解得A 的特征值是21=λ（2重），42-=λ（1重）， 对于特征根-4，求出齐次线性方程组

????

?

??=????? ??????? ??-------000363222127321x x x 的一个基础解系??

?

??-1,32,31，

对于特征根2，求出齐次线性方程组

????

?

??=????? ??????? ??-----000363242121321x x x 的一个基础解系()(){}1,0,1,0,1,2-，

由于基础解系所含解向量的个数等于对应的特征根的重数，所以A 可以对角化。取

???????

?

??--=10101321231T

那么

??

??? ??-=-2000200041

AT T

说明：这种方法相对来说比较简单和基础，也是常用方法。 解法二：

{()'

A E -λ，E}=3

2310010000122601002

001212100100(2)(4)121λλλλλλλ--???? ? ?-+-→- ? ? ? ?-+-+---????

故A 的特征值是2（二重）和-4． 当=2λ时

100001100001020012=00001200(2)(4)121000123λλλλ???? ? ?- ? ? ? ?-+-----????

得()'

2,1,0和()'

3,2,1--是A 属于2的特征向量．

当=4λ-时

100001100001020012=06001200(2)(4)121000123λλλλ???? ? ?-- ? ? ? ?-+----????

得()'

3,2,1-是A 属于-4的特征向量．

于是取

011122233T ??

?=-- ? ?-??

则

1200020004T AT -?? ?

= ? ?-??

．

解法三：

由上知2和-4是矩阵A 的全部互异的特征值，我们可以计算得到

()()72112100042222242000363363000A E A E --?????? ??? ?

+-=---= ??? ? ??? ?-??????

从而矩阵A 可以对角化．由于2是二重特征根，则矩阵A 的属于2的特征向量是矩阵A+4E 列向量组的前2列；矩阵A 的属于-4的特征向量是矩阵A-2E 列向量组的前一列．由此可得到可逆矩阵

721222363T ?? ?=-- ? ???

使得

1200020004T AT -?? ?

= ? ?-??

．

说明：相比起来这种方法在具体对角化的过程中运算量没有明显减少，但因其步骤简单，可以作为数学软件求解的理论依据．例如在Matlab 中求解特征值和矩阵相乘只分别需要eig （A ）和C=A*B 一行简单的代码即可完成．

上述三种方法各有利弊，在使用的时候须结合矩阵本身的特点加以区分对待，灵活把握．

例2：设21,λλ是两个不同的数，又n 阶矩阵A 满足()()021=--n n I A I A λλ，证明A 相似于对角阵

证明: 若01=-n I A λ，或02=-n I A λ则n I A 1λ=或n I A 2λ=结论显然成立。 故可设n n I A I A 21,λλ≠≠，此时首先证明21,λλ是A 的特证值。由于n I A 1λ≠，故有α，使得()01≠-=n I A λβ,又()()()00211==--=-ααλλβλn n n I A I A I A ，于是β是A 的属于特征值1λ的特征向量，同理2λ是A 的特征值。

又设t ηηη,,,21 是()01=-A X I n λ的基础解，因而是A 的属于1λ的线性无关的特征向量 ，设s ξξξ,,,21 是()02=-X I A n λ的线性无关的特征向量，故可知s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性无关，设α是任一n 维向量，有()n I 1λα-，令

1122λλλλ?? ?

? ? ?

?

? ? ???

2111λλα-=()12αλn I A -，2

121

λλα-=

()21αλn I A -，则有21ααα+=，()011=-αλn I A ，()022=-αλn I A ，因此有∑==

t

i i

i k 1

1η

α，j s

j j k ηα∑==1

2，故α可被

s t ξξξηηη,,,,,,,2121 线性表示，于是s t ξξξηηη,,,,,,,2121 为基，令

()s t P ξξξηηη,,,,,,,2121 =

则

?????????

?

?

?=-22

1

1

1

λλλλ AP P 。

例3：设

1-1-1-11-1-1-11A ?? ?= ? ???

335f x x x -+()=,()B f A =， 问B 能否相似于对角阵，

若能相似于对角阵，求可逆矩阵P ，使得1P AP -是对角阵； 若不能相似于对角阵，请说明理由。

解：求A 的特征值、特征向量，

21

11

=1

1

1=+1

1

1

E A λλλλλλ----（1）(-2), 故

1231==2λλλ-=，。

当23==2λλ时由(2)=0E A X -，即

123111111=0111x x x ???? ??? ??? ???????

得23==2λλ对应的线性无关特征向量()2=1-10T

ξ，()3=10-1T

ξ 因A =ξλξ，则B =(A)()f f ξξλξ=.

故3()25B f A A A E ==-+的特征向量()i f λ其中

11=()-1=6f f μλ=（），233==f ()(2)9f μμλ==

而对应的特征向量仍是123ξξξ，，， 故存在可逆矩阵P ，

()12

3111==1-1010-1P ξξξ??

?

? ???

有

1600090009P AP -?? ?

= ? ???

3.2矩阵对角化的应用

本节探讨矩阵对角化在以下几个方面的应用． 3.2.1在反求矩阵方面的应用．

已知n 级矩阵A 的特征值和特征向量反求矩阵A 时，若矩阵A 可对角化，则有简单的方法．事实上，当n 级矩阵A 可对角化时，存在由矩阵A 的n 个线性无关的特征向量组成的可逆矩阵T ，使得1T AT B -=,其中B 是由A 的所有特征值组成的对角矩阵，则1A TBT -= 即为所求．

例4 :设3阶实对称矩阵A 的特征值为1λ=-1，2λ=1，3λ=1．

对应于1λ的特征向量为1P =()'

1,1,0,求矩阵A ．

分析：由矩阵可对角化的条件知，实对称矩阵A 是可对角化的，为了得到可逆矩阵P ,还需求出对应于2λ=1，3λ=1的两个线性无关的特征向量，这还要利用到实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交的这一性质．

解：设对应于2λ=1，3λ=1的特征向量为()'

3,2,1x x x =?，它应与特征向量1P 正交，即

0·1x +2x +3x =0。得到基础解系为()'

20,0,1=?和()'

31,1,0-=?，它们即是对应于2λ=1，3λ=1

的线性无关的特征向量． 取

P =(1P ,3,2??)=????? ??-101101010,B =???

?

? ??-100010001，

则AP P 1-=B ．于是

A =1-PBP =???

?

?

??--010100001．

3.2.2 求方阵的高次幂

求方阵的高次幂k A （k 为正整数），若直接计算 32,A A ,按归纳法来寻求k A 的规律有时是很困难的．若矩阵A 可对角化，计算矩阵A 的高次幂k A 就有简单的方法．事实上，若有1T AT B -=,其中

()12120

000,,,00

n n B diag λλλλλλ???

??

???? ?

=

=??? ?

????????????

??????

有1A TBT -=, 则有

()()()()()1111111k k A TBT TBT TB T T B T T T T BT TB T -------=???=???= ，

而

k B =()12,,,k k k n diag λλλ???。

则有

k A =120

00

000k k k n T λλλ?????

?

???

? ????????????? ? ?????

?1

-T ． 例5 设

460350361A ?? ?=-- ? ?--??

,

求100A ． 解：由

???

?

? ??-+--=-16305306

4λλλλA E =()()212+-λλ=0

得A 得特征值为

2,1,1321-===λλλ．

对于特征值1,121==λλ解方程组()0=-X A E ,

得到两个对应的线性无关的特征向量为()()'

2'

11,0,0,0,1,2?-=?．

对于23-=λ，解方程组()02=--X A E ,得到对应的特征向量为()'

31,1,1--=?．

令

(),110101102,,321???

?

?

??---=???=T

则

?

???

? ??------=-021*******

T ,1200010001-?????

??-=T T A ,

故

100A =????

? ??------=?

????

??--122120121202222200010001101100101

1001011001100

T T ．

3.2.3 求行列式的值

对于具体给出的行列式，我们常利用行列式的性质对行列式进行初等变换，将其化为三角行列式直写出其值，或者化为含0较多的行列式，进而按行（列）

展开降低行列式的阶数．求行列式的方法有很多，应针对不同的行列式类型采用最简便的方法．而计算抽象方阵的行列式时，主要是利用行列式的性质及行列式的计算公式．若抽

象方阵可对角化，求其行列式有简单的方法．

例6 设A 是n 阶方阵，n 2,,4,2???是A 的n 个特征值．E 是一个n 阶单位方阵．计算行列式E A 3-的值．

解：已知n 阶方阵A 有n 个互异的特征值，而由矩阵可对角化的条件知，n 阶方阵A

可对角化的．故存在可逆矩阵T 使得1-T AT=B=diag ()n 2,,4,2???．于是

()E B T T AT T T E A T T E A T E A 333331111-=-=-=-=-----

=()32,,1,1-???-n diag =()32311-?????-n ．

3.2.4求一些具有线性递推关系组的数列的通项和极限

对于一类具有线性递推关系组的数列，可利用矩阵来表示出递推关系，然后利用矩阵对角化的方法，可得到数列的通项.若数列有极限，进而求出数列的极限．

例7 已知βα==11,b a 。2

,2111n n n n n n b

a b b a a +=+=+++()???=,2,1n ．证明n n a ∞→lim 及n n b ∞→lim 存

在且相等，并求出极限．

证明：将递推关系化简为,4

3

41,212111n n n n n n b a b b a a +=+=++再改写为矩阵的形式：

???

? ???????

?

??=???=???? ????????

??=???? ??++1111434

12121434

12121

b a b a b a n

n n n n ． 记

1122134

4A ?? ?=

? ? ???

． 由0=-A E λ求得矩阵A 的特征值为1,4

1

21==λλ．

分别对应的特征向量为()()'11,122'

1=-=X X ,取()???

? ??-==111221

X X X ．则

,10041,3231313111

--???

? ??=????

?

?

??-=X X A X 于是得到

???? ??????

? ?????? ??=???? ??-++1111110041b a X X b a n

n n =???? ???????

?

??+?+

?-+?-+?βα324131314131324231314231n n n n ． 故

βα???

??+?-+???? ??+?-=+3242313142311n n n a ，

βα???

??+?+???? ??+?-=+324

2313142311n n n b ．

于是n n a ∞→lim =β3

2

31+?=n n b ∞→lim ．

3.2.5 在二次曲面上的一些应用

设()AX X x x x f n '21,,,=???是n 元实二次型，那么f =1或f =0表示什么样的二次曲面呢？若把此二次曲面对应的矩阵化为对角矩阵，即作直角坐标变换使得这个二次曲面的方程在新坐标下不含有交叉项，就可看出它是什么二次曲面．

例8 设二次曲面在直角坐标系I 的方程为

01844223231212

32221=-++---x x x x x x x x x ．

试问：这是什么二次曲面？ 解：令

()=321,,x x x f 184422323121232221=++---x x x x x x x x x ,

则对应的的矩阵

122224242A -??

?=-- ? ?-??

由

()()0722

4

2

42

2

2

21

2

=+-=+---+--=-λλλλλλA E

得A 的特征值221==λλ,73-=λ．

可求出221==λλ对应的特征向量为()()'

2'

11,0,2,0,1,2=-=P P ．将其正交化得

()'

110,1

,2-==?P ,()()'

11112221,54,52,,??

?

??=????-=?P P ;