数值分析课程第五版课后习题答案

第一章 绪论（12）

1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*

****1)()(ln )(ln x x

x x x ， 相对误差为*

*

**

ln ln )

(ln )(ln x x x x r

δ

εε=

=

。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而n

x 的误差为n

n x x n

x

n x x n x x x **

1

***

%2%2)

()()()(ln *

?=='=-=εε，

相对误差为%2)

()

(ln )(ln ***

n x x x n

r

==

εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：

1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5

?=x 。 [解]1021.1*1

=x 有5位有效数字；0031.0*

2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*

4

=x 有5位有效数字；0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*

4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给

的数。

（1）*

4*2*1x x x ++；

[解]3

334*

4*2*11**

*4*2*1*1005.1102

1

10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=?

??? ????=++∑x x x x x f x x x e n

k k k εεεε；

（2）*

3*2

*1x x x ；

[解]5

2130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.0102

1)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(33

33334*3*2*1*2*3*1*1*3*21**

*

3*2*1*=?=?+?+?=??+??+??=++=???

?

????=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k k

εεεε；

（3）*4*2/x x 。

[解]5323

2

323*42*4*

2*2*41**

*4*2*1088654.0102

1)430.56(461.561021)430.56(461.561021)430.56(031.01021430.561)()()(1)()/(-----=?≈??=??=??+??=

+=???

?

????=∑x x x x x x x f x x e n k k k

εεε。 5、计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 允许的相对误差是多少？

[解]由3*3**3**)(3

4)

)(34

())(3

4(%1R R R r ππεπε==可知，

)()(4)()(34)(34%1))(34(**2***3*3*3**R R R R R R επεπππε?='

??

?

???=?=， 从而**

*

31%1)(R R ?=ε，故300131%1)()(*

***

*=?==R

R R r εε。 6、设280=Y ，按递推公式),2,1(783100

1

1Λ=-

=-n Y Y n n 计算到100Y ，若取982.27783≈（五位有效数字，）试问计算100Y 将有多大误差？

[解]令n Y 表示n Y 的近似值，n n n Y Y Y e -=)(*，则0)(0*=Y e ，并且由

982.27100

11?-

=-n n Y Y ，7831001

1?-=-n n Y Y 可知， )783982.27(1001

11-?--=---n n n n Y Y Y Y ，即

Λ=-?-=-?-=--)783982.27(1002

)()783982.27(1001)()(2*1**n n n Y e Y e Y e ，从

而982.27783)783982.27()()(0*100*-=--=Y e Y e ，

而3102

1982.27783-?≤

-，所以3100*1021

)(-?=Y ε。

7、求方程01562=+-x x 的两个根，使它至少具有四位有效数字（982.27783≈） [解]由78328±=x 与982.27783≈（五位有效数字）可知，

982.55982.2728783281=+=+=x （五位有效数字）。

而018.0982.2728783282=-=-=x ，只有两位有效数字，不符合题意。 但是22107863.1982

.551

783

28178328-?==

+=

-=x 。

8、当N 充分大时，怎样求?++12

11

N N

dx x ？ [解]因为N N dx x

N N

arctan )1arctan(11

12

-+=+?

+，当N 充分大时为两个相近数相减，设)1arctan(+=N α，N arctan =β，则αtan 1=+N ，βtan =N ，从而

1

1

)1(1)1(tan tan 1tan tan )tan(2++=++-+=+-=

-N N N N N N βαβαβα，

因此1

1

arctan 112

1

2++=-=+?

+N N dx x N N

βα。 9、正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ? [解]由)(2)(])[())((*****2*2**l l l l l εεε='=可知，若要求1))((2**=l ε，则

2001100212)

)(()(*

2***

*=?=

=

l l l εε，即边长应满足200

1

100±=l 。

10、设2

2

1gt S =

，假定g 是准确的，而对t 的测量有1.0±秒的误差，证明当t 增加时S 的绝对误差增加，而相对误差却减少。 [证明]因为****

**1.0)()()(

)(gt t gt t dt

dS S ===εεε， ***2****

**51)(2)(2

1)()

()(t t t t g t gt S S S r

====

εεεε，所以得证。 11、序列{}n y 满足递推关系),2,1(1101Λ=-=-n y y n n ，若41.120≈=y （三位有效数字），计算到10y 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？

[解]设n y 为n y 的近似值，n n n y y y -=)(*ε，则由?????-==-1

102

10n n y y y 与

???-==-1

1041.110n n y y y 可知，20

*

1021)(-?=y ε，)(1011---=-n n n n y y y y ，即 )(10)(10)(0*1**y y y n n n εεε==-，

从而82100*1010*1021

102110)(10)(?=??==-y y εε，因此计算过程不稳定。

12、计算6)12(-=f ，取4.12≈，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最好？

6

)

12(1+，3)223(-，

3

)

223(1+，27099-。

[解]因为1*1021)(-?=

f ε，所以对于6

1)

12(1

+=f ， 2

417

*11*10211054.61021)

14.1(6)4.1()(---?

'

=e f f e ，有一位有效数字； 对于32)223(-=f ，

1112*22*102

11012.01021)4.123(6)4.1()(---?

=e f f e ，没有有效数

字； 对于3

3)

223(1+=

f ，

23

14

*33*10211065.21021)

4.123(6)4.1()(---?

'

=e f f e ，有一位有效数字；

对于270994-=f ，111*44*102

11035102170)4.1()(?

=--e f f e ，没有

有效数字。

13、)1ln()(2--=x x x f ，求)30(f 的值。若开平方用六位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式)1ln()1ln(22-+-=--x x x x 计算，求对数时误差有多大？

[解]因为9833.298991302==-（六位有效数字），4*102

1

)(-?=

x ε，所以

2

44

2**11*102994.0102

1

9833.293011021

)13030(1

)()()(---?=??-=

??---='=x e f f e ，

6

44

2**22*108336.0102

1

9833.293011021

11

)()()(---?=??+=

??-+-='=x x x e f f e 。

14、试用消元法解方程组???=+=+210102110

2101x x x x ，假定只有三位数计算，问结果是否

可靠？

[解]精确解为1

102

10,110101*********--=-=x x 。当使用三位数运算时，得到

1,121==x x ，结果可靠。

15、已知三角形面积c ab s sin 21=

，其中c 为弧度，2

0π

<

c

c

b b a a s s ?+?+?≤?。 [解]因为

c c ab b c a a c b x x f s n

k k k ?+?+?=???=?∑

=cos 2

1

sin 21sin 21)()(1

， 所以c

c b b c c c c b b c c c ab c

c ab b c a a c b s

s ?+?+?≤?+?+?=

?+?+?=

?tan sin 2

1cos 2

1

sin 21sin 21。

第二章 插值法（40-42）

1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令

??

????????????=----n

n n n n n

n n x x x x x x x x x x x x x V ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ212110*********),,,,(，证明)(x V n 是n 次多项式，它的根是121,,,-n x x x Λ，且)())(,,,(),,,,(101101110------=n n n n n x x x x x x x V x x x x V ΛΛΛ。

[证明]由

∏∏∏∏-=---=-=-=--?=-?-=1

11011

101

0110)

(),,,()

()(),,,,(n j j n n n j j n i i j j i n n x x x x x V x x x x x x x x V ΛΛ可得求证。

2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。

[解]3

72365)1(34)23(21)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)

)(())(())(())(())(()

)(()(2221202102

21012012010210

2-

+=-++--=+-+-?

+------?-+-+-+?

=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。

3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。

X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln

-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144

[解]若取5.00=x ，6.01=x ，

则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则

604752

.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(01011010

1-=---=--?---?-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，

从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-?=L 。 若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，

693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则

217097.2068475.404115.2)

2.09.0(541

3.25)2

4.0(3147.69)3.01.1(8145

5.45)5.0

6.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()

6.05.0)(4.05.0()

6.0)(4.0()69314

7.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0)

)(())(())(())(())(()

)(()(22221202102

21012012010210

2-+-=+--+-?++-?-=----?

-+----?

-+----?

-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，

从而

61531984

.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-?+?-=L 。

4、给出οο900,cos ≤≤x x 的函数表，步长ο)60/1(1='=h ，若函数具有5位有效数字，研究用线性插值求x cos 近似值时的总误差界。

[解]设插值节点为h x x x x +=<<010，对应的x cos 值为10,y y ，函数表值为

10,y y ，则由题意可知，5001021-?≤

-y y ，511102

1

-?≤-y y ，近似线性插值多项式为0

101101

1)(x x x x y x x x x y x L --+--=，所以总误差为 ()100

101110100100101110100101111,,)()())((2cos )

()())((!2)

()

()()()()()()(x x x x x x y y x x x x y y x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x f x L x L x L x f x L x f x R ∈---+---+---

=---+---+--''=-+-=-=ξξ

ξ，从而

5

555520

1051015100

101110100101047.3102

11094.621102114400121102142110211021

))((21))((cos 21

)(-------?=?+??=?+?=?+≤--?

?+--??+---≤---+---+--≤

h x x x x x x x x x x x x x x x x y y x x x x y y x x x x x R ξ。

5、设3,2,1,0=+=k kh x x k ，求)(max 22

0x l x x x ≤≤。

[解])3)()((max 21

)()2()

3)()((max

))()(()

)()((max

)(max 00030003

2120231023

030303

0h x x h x x x x h h h h h x x h x x x x x x x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x x -----=

------=------=≤≤≤≤≤≤≤≤。

令

)

34()383()43()

3)()(()(02

20

30

2

020

2

03

000x h hx x x h h x x x h x x h x x h x x x x x f ++-++++-=-----=，则

)383()43(23)(202

002h h x x x h x x x f ++++-='，从而极值点可能为

h

x h h x h h x x h x h x x 3

7

437)43(6

)

383(12)43(4)43(200202

0200±+=±+=

++-+±+=，又因为

30)20714(271

375371374)374(h h h h h x f -=--?-?-=-+

， 30)71420(27

1

357371374)374(h h h h h x f +-=-?+?+=++

， 显然)3

7

4()374(00h x f h x f ++≤-+

，所以 277710)71420(27

121)374(21)(max 3

30

323

0+=+=++=

≤≤h h h x f h x l x x x 。 6、设),,1,0(n j x j

Λ=为互异节点，求证：

1）),,1,0()(0n k x x l x k

n

j j

k j Λ=≡∑=；

2）),,2,1()()(0

n k x x l x x k

n

j j k j Λ=≡-∑=；

[解]1）因为左侧是k x 的n 阶拉格朗日多项式，所以求证成立。

2）设k x y y f )()(-=，则左侧是k x y y f )()(-=的n 阶拉格朗日多项式，令x y =，即得求证。

7、设[]b a C x f ,)(2∈且0)()(==b f a f ，求证)(max )(8

1

)(max 2x f a b x f b x a b x a ''-≤≤≤≤≤。

[解]见补充题3，其中取0)()(==b f a f 即得。

8、在44≤≤-x 上给出x e x f =)(的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使截断误差不超过610-，问使用函数表的步长h 应取多少？

[解]由题意可知，设x 使用节点h x x -=10，1x ，h x x +=12进行二次插值，则

插值余项为

()201112102,)],()[)](([6

))()((!

3)

()(x x h x x x x h x x e

x x x x x x f x R ∈+----=

---'''=

ξξξ

，

令)()3(3)]()[)](([)(2211221213111h x x x h x x x x h x x x x h x x x f -+-+-=+----=，则)3(63)(22112h x x x x x f -+-='，从而)(x f 的极值点为h x x 3

3

1±

=，故39

32)331()331(33)(max 2

0h h h h x f x x x =-?+?=

≤≤，而 3

43422739326)(max 6)(20h e h e x f e x R x x x =≤≤≤≤ξ，要使其不超过610-，则有

63

41027

3-≤h e ，即222

2

6

210472.010389.74863.310243---?=?≈?≤e

e h 。 9、若n n y 2=，求n y 4?及n y 4δ。

[解]n

n n n n n n

n n n n n n n n n j j

n j j n j j

n n y y y y y y j y E j y I E y 22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1()(12344132231404

044

044

4

=+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=???

? ??-=???? ??-=-=?++++++++=-+=-∑∑。

2

222122

1122413211204

024024

021

)4(214

2

121

4

22282242322162242624244)1(34)1(24)1(14)1(04)1(4)1(4)1(4)1()(--------++--++=-+=-=---

=+?-?+?-?=+?-?+?-=???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-+???? ??-=???

? ??-=???? ??-=???

? ??-=-=∑∑∑n n n n n n n n n n n n n n n n j j

n j j n j j j n

j

j j

n n y y y y y y j y E j y E E

j y E E y δ。 10、如果)(x f 是m 次多项式，记)()()(x f h x f x f -+=?，证明)(x f 的k 阶差分

)0()(m k x f k ≤≤?是k m -次多项式，并且0)(=?+x f l m （l 为正整数）。

[证明]对k 使用数学归纳法可证。 11、证明k k k k k k g f g f g f ?+?=?+1)(。 [证明]

k

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k g f g f g g f g f f g f g f g f g f g f g f g f ?+?=-+-=-+-=-=?++++++++++1111111111)()()(。

12、证明∑∑-=+-=?--=?1

1001

n k k k n n n k k k f g g f g f g f 。

[证明]因为

01

111

1111

110

11

)()]()([)

(g f g f g f f g f f g g g f f g g f f g g f

n n n k k k k k n k k k k k k k n k k k k k n k k k n k k k

-=-=-+-=?+?=?+?∑∑∑∑∑-=++-=+++-=+-=+-=，故得证。

13、证明：01

2y y y n n j j ?-?=?∑-=。

[证明]01

110

2)(y y y y y n n j j j n j j ?-?=?-?=?∑∑-=+-=。

14、若n n n n x a x a x a a x f ++++=--1110)(Λ有n 个不同实根n x x x ,,,21Λ，证明

???-=-≤≤='-=∑

1

,20,

0)(11

n k a n k x f x n n

j j k j

。 [证明]由题意可设∏=-=---=n

i i n n n x x a x x x x x x a x f 1

21)()())(()(Λ，故