(完整word版)高数笔记(全)
第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
???∈∈=21)()(D x x g D x x f y
3.隐函数: F(x,y)= 0
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1
(y)
y=f -1
(x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1
)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),
则称f(x)在D 内单调增加( )；
若f(x 1)≥f(x 2),
则称f(x)在D 内单调减少( )；
若f(x 1)＜f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调增加( )；
若f(x 1)＞f(x 2),
则称f(x)在D 内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c 为常数)
2.幂函数： y=x n
, (n 为实数)
3.指数函数： y=a x
, (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x ∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
A
y
n
n =∞
→lim
称数列
{}n y 以常数A 为极限;
或称数列{}
n y 收敛于A.
定理: 若{}
n y 的极限存在
?{}n y 必定有界.
2.函数的极限：
⑴当
∞→x 时，)(x f 的极限：
A
x f A x f A x f x x x =????
?==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim
⑵当
0x x →时，)(x f 的极限：
A x f x x =→)(lim 0
左极限：
A
x f x x =-→)(lim 0
右极限：A x f x x =+→)(lim 0
⑶函数极限存的充要条件：
定理：
A
x f x f A x f x x x x x x ==?=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量：
+∞
=)(lim x f
称在该变化过程中
)(x f 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
,,
,
∞→+∞→-∞→x x x 00
0,,x x x x x x →→→+-
2．
无穷小量：
)(lim =x f
称在该变化过程中)(x f 为无穷小量。
3．
无穷大量与无穷小量的关系：
定理：)0)((,)
(1
lim 0)(lim ≠+∞=?=x f x f x f 4．
无穷小量的比较：
0lim ,0lim ==βα
⑴若0lim =α
β,则称β是比α较高阶的无穷小量；
⑵若c =α
βlim （c 为常数），则称β与α同阶的无穷小量；
⑶若
1lim =αβ，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若∞=α
βlim ,则称β是比α较低阶的无穷小量。
定理：若：
；，2211~~βαβα
则：
2
12
1
lim
lim
ββαα=
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则：
设：
n
n n z x y ≤≤ （n=1、2、3…）
且： a z y n n n n ==∞
→∞
→lim lim
则： a x n n =∞
→lim
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x 0的某个邻域内的一切点 （点x 0除外）有：
)
()()(x h x f x g ≤≤
且：
A
x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
则：A x f x x =→)(lim 0
㈣极限的运算规则
若：
B x v A x u ==)(lim ,)(lim
则：①
B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )]()(lim[
②
B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )]()(lim[
③B
A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim )0)((lim ≠x v 推论：①
)]()()(lim [21x u x u x u n ±±±Λ
)(lim )(lim )(lim 21x u x u x u n ±±±=Λ
②
)(lim )](lim[x u c x u c ?=?
③n
n
x u x u )]
([lim )](lim [=
㈤两个重要极限
1．1
sin lim 0=→x
x
x 或 1)()(sin lim 0)(=→x x x ??? 2．e x
x
x =+∞→)11(lim e x x
x =+→10)1(lim
§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性
1. 函数在
0x 处连续：)(x f 在0x 的邻域内有定义，
1o
0)]()([lim lim 000
=-?+=?→?→?x f x x f y x x
2
o
)()(lim 00
x f x f x x =→
左连续：
)
()(lim 00
x f x f x x =-→
右连续：)()(lim 00
x f x f x x =+→
2. 函数在
0x 处连续的必要条件：
定理：)(x f 在0x 处连续?)(x f 在0x 处极限存在
3. 函数在
0x 处连续的充要条件：
定理：)()(lim )(lim )()(lim 000
x f x f x f x f x f x x x x x x ==?=+-→→→
4. 函数在[]b a ,上连续：
)(x f 在
[]
b a ,上每一点都连续。
在端点
a 和
b 连续是指：
)()(lim a f x f a x =+→ 左端点右连续；
)()(lim b f x f b
x =-→ 右端点左连续。
a + 0
b - x 5. 函数的间断点：
若
)(x f 在0x 处不连续，则0x 为)(x f 的间断点。
间断点有三种情况：
1o
)(x f 在
x 处无定义；
2o
)
(lim 0
x f x x →不存在；
3o
)(x f 在
x 处有定义，且
)
(lim 0
x f x x →存在，
但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→。
两类间断点的判断： 1o 第一类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→都存在。
可去间断点：
)
(lim 0
x f x x →存在，但
)
()(lim 00
x f x f x x ≠→，或
)(x f
在
0x 处无定义。
2o 第二类间断点：
特点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞，
或)(lim 0
x f x x →振荡不存在。
无穷间断点：
)(lim 0
x f x x -→和
)
(lim 0
x f x x +→至少有一个为∞
㈡函数在0x 处连续的性质
1.
连续函数的四则运算：
设
)()(lim 00
x f x f x x =→，
)
()(lim 00
x g x g x x =→
1o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ±=±→
2o
)
()()]()([lim 000
x g x f x g x f x x ?=?→
3o )
()()()(lim 000x g x f x g x f x x =→
??
? ??≠→0)(lim 0x g x x
2.
复合函数的连续性：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
)]
([)(lim ),
()(lim 0)
(000
x f u f x x x u x x ????==→→
则：)]
([)](lim [)]([lim 00
x f x f x f x x x x ???==→→
3.
反函数的连续性：
)(),
(),
(001
x f y x f x x f y ===-
)
()(lim )()(lim 01
1
00
y f y f x f x f y y x x --→→=?=
㈢函数在
],[b a 上连续的性质
1.最大值与最小值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定存在最大值与最小值。
m
-M
0 a b x
2. 有界定理：
)(x f 在],[b a 上连续?)(x f 在],[b a 上一定有界。 3.介值定理：
)(x f 在],[b a 上连续?在),(b a 内至少存在一点
ξ，使得：c f =)(ξ，
其中：
M
c m ≤≤
x
x
推论：
)(x f 在
]
,[b a 上连续，且
)(a f 与)(b f 异号
?
在
),(b a 内至少存在一点ξ，使得：0)(=ξf 。
4.初等函数的连续性：
初等函数在其定域区间内都是连续的。 第二章 一元函数微分学
§2.1 导数与微分 一、主要内容 ㈠导数的概念
1．导数：
)(x f y =在0x 的某个邻域内有定义，
x x f x x f x y
x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000
0)()(lim 0x x x f x f x x --=→ 0
0)(0x x x x dx
dy x f y ===
'='
2．左导数：
00)
()(lim )(0x x x f x f x f x x --='-
→- 右导数：0
00)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='+
→+
定理：
)(x f 在0x 的左（或右）邻域上连续在
其内可导，且极限存在；
则：
)
(lim )(0
0x f x f x x '='-→-
（或：
)(lim )(0
0x f x f x x '='+→+）
3.函数可导的必要条件：
定理：
)(x f 在0x 处可导?)(x f 在0x 处连续
4. 函数可导的充要条件：
定理：
)(00
x f y x x '='
=存在)()(00x f x f +-'='?，
且存在。
5.导函数：
),(x f y '=' ),(b a x ∈
)(x f 在),(b a 内处处可导。 y )(0x f '
6.导数的几何性质：
y ?
)(0x f '
是曲线
)(x f y =上点 x ?
()00,y x M 处切线的斜率。 o x 0
㈡求导法则
1.基本求导公式：
2.导数的四则运算： 1o
v u v u '±'='±)（
2o
v u v u v u '?+?'='?)（
3o
2v v u v u v u '?-?'='
??
?
?? )0(≠v 3.复合函数的导数：
)]([),
(),(x f y x u u f y ??===
dx
du du dy dx dy ?=，或 )()]([})]([{x x f x f ???'?'=' ☆注意
})]([{'x f ?与)]([x f ?'的区别：
})]([{'x f ?表示复合函数对自变量x 求导；
)]([x f ?'表示复合函数对中间变量)(x ?求导。
4.高阶导数：
)(),(),
()3(x f x f x f 或'''''
)4,3,2(,])([)()
1()
(Λ='=-n x f
x f
n n
函数的n 阶导数等于其n-1导数的导数。 ㈢微分的概念 1.微分：
)(x f 在x 的某个邻域内有定义，
)()(x o x x A y ?+??=?
其中：
)(x A 与x ?无关，)(x o ?是比x ?较高
阶的无穷小量，即：0
)(lim 0=??→?x
x o x
则称)(x f y =在x 处可微，记作：
x x A dy ?=)(
dx x A dy )(= )0(→?x
2.导数与微分的等价关系：
定理：
)(x f
在
x 处可微)(x f ?在x 处可导，
且：
)()(x A x f ='
3.微分形式不变性：
du
u f dy )('=
不论u 是自变量，还是中间变量，函数的
微分
dy 都具有相同的形式。
§2.2 中值定理及导数的应用 一、主要内容 ㈠中值定理
1.罗尔定理:
)(x f 满足条件:
.
0)(,),().()(3;),(2],[10.0.
0.='????
??=ξξf b a b f a f b a b a 使得存在一点内至少在内可导在上连续；在
o
2.
a
b a f b f f b a b a b a --=
'????)
()()(),(),(2],[10
ξξ，使得：在一点内至少存在内可导；在上连续，在
㈡罗必塔法则：（∞
∞
,
型未定式） 定理：
)(x f 和)(x g 满足条件：
1o
）或）
或∞=∞=→→(0)(lim (0)(lim x g x f a
x a
x ；
2o 在点a 的某个邻域内可导，且
0)(≠'x g ；
3o
）（或∞=''∞→,)()(lim )(A x g x f a x
则：）
（或∞=''=∞→∞→,)()(lim )()(lim )()(A x g x f x g x f a x a x
☆注意：1o 法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。 2o 若不满足法则的条件，不能使用法则。
即不是
型或
∞∞型时，不可求导。
3o 应用法则时，要分别对分子、分母 求导，而不是对整个分式求导。
4o 若
)(x f '和)(x g '还满足法则的条件，
可以继续使用法则，即：
）（或∞=''''=''=∞→∞→∞→A x g x f x g x f x g x f a x a x a x )
()(lim )()(lim )()(lim )()()(
5o 若函数是
∞-∞∞?,0型可采用代数变
形，化成
或∞
∞型；若是
0,0,1∞
∞型可
采用对数或指数变形，化成
或∞
∞型。
㈢导数的应用
1． 切线方程和法线方程：
设：
),(),
(00y x M x f y =
切线方程：
))((000x x x f y y -'=-
法线方程：)0)((),()
(1
0000≠'-'-=-x f x x x f y y 2． 曲线的单调性： ⑴
),(0
)(b a x x f ∈≥'内单调增加；在),()(b a x f ?
),(0
)(b a x x f ∈≤'内单调减少；在),()(b a x f ?
⑵
),(0
)(b a x x f ∈>'内严格单调增加；在),(b a ?
),(0
)(b a x x f ∈<'内严格单调减少。在),(b a ?
3.函数的极值： ⑴极值的定义：
设
)(x f 在),(b a 内有定义，0x 是),(b a 内的一点；
若对于
x 的某个邻域内的任意点
x x ≠，都有：
)]
()()[()(00x f x f x f x f ≤≥或
则称
)(0x f 是)
(x f 的一个极大值（或极小值），
称0x 为)
(x f 的极大值点（或极小值点）。
⑵极值存在的必要条件：
定理：
0)()(.2)()(.1000
00
=??
??
'x f x f x f x f 存在。存在极值
x 称为
)
(x f 的驻点
⑶极值存在的充分条件： 定理一：
是极值点。是极值；时变号。过不存在；或处连续；在0000000
00
)()(.3)(0)(.2)(.1x x f x x f x f x f x x f ?
??
???
''='
当x 渐增通过0x 时，)(x f 由（+）变（-）；
则
)
(0x f 为极大值；
当
x
渐增通过
x 时，
)(x f 由（-）变（+）
；则)(0x f 为极小值。
定理二：
是极值点。是极值；存在。；0000
00
)()(.20)(.1x x f x f x f ??
??''='
若
)(0<''x f ，则
)
(0x f 为极大值；
若
)(0>''x f ，则
)
(0x f 为极小值。
☆注意：驻点不一定是极值点，极值点也不一定是驻点。 4．曲线的凹向及拐点：
⑴若
()b a x x f ,,0)(∈>''；则)(x f 在),(b a 内是上凹的（或凹的）
，（∪）；
⑵若
()b a x x f ,,0)(∈<''；则)(x f 在),(b a 内是下凹的（或凸的），（∩）；
⑶
()的拐点。
为称时变号。过，)()(,)(.20)(.10000
00
x f x f x x x f x f ????
''=''
5。曲线的渐近线：
⑴水平渐近线：
的水平渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f A y A x f A x f x x =??????==+∞→-∞
→
⑵铅直渐近线：
的铅直渐近线。
是或若)()(lim )(lim x f C x x f x f C x C
x =??????∞=∞=+-→→
第三章 一元函数积分学
§3.1 不定积分 一、主要内容
㈠重要的概念及性质：
1．原函数：设：
D x x F x f ∈),
(),(
若：
)()(x f x F ='
则称)(x F 是)(x f 的一个原函数，
并称C x F +)(是)(x f 的所有原函数,
其中C 是任意常数。
2．不定积分：
函数
)(x f 的所有原函数的全体，
称为函数
)(x f 的不定积分；记作：
?+=C
x F dx x f )()(
其中：)(x f 称为被积函数；
dx x f )(称为被积表达式；
x 称为积分变量。
3. 不定积分的性质：
⑴
[])
()(x f dx x f ='
?
或：
[]dx
x f dx x f d )()(=?
⑵
C x f dx x f +='?
)()(
或：
C
x f x df +=?)()(
⑶
?+++dx x f x f x f n
)]()()([2
1
Λ
???+++=dx x f
dx x f dx x f n
)()()(21Λ
—分项积分法
⑷
??=dx
x f k dx x kf )()( (k 为非零常数)
4.基本积分公式：
㈡换元积分法： ⒈第一换元法：（又称“凑微元”法）
?
'dx x x f )()]([????
=)
()]([x d x f ??凑微元
C
t F dt t f x t +==??
=)()()
(?令
C
x F x t +=?
=)]([)
(??回代
常用的凑微元函数有：
1o
)(1
)(1b ax d a
ax d a dx +== )
0,(≠a b a 为常数，
2o
)
()
1(1111
1b ax d m a dx m dx x m m m
++=+=++
为常数）（m
3o
)
(1)(b ae d a
e d dx e x
x
x
+==
)1,0(),(ln 1≠>=a a a d a
dx a x
x
4o
)(ln 1
x d dx x
=
5o
)(sin cos )(cos sin x d xdx x d dx =-=
)(cot csc )(tan sec 2
2x d xdx x d xdx -==
6o
)
(arccos )(arcsin 112
x d x d dx x
-==-
)cot ()(arctan 11
2x arc d x d dx x
-==+
2.第二换元法：
???
==)
()]([)()
(t d t f dx
x f t x ???令
?+='=C t F dx t f t )()]([)(??
C
x F x t +=-=?
-)]([1
)
(1??反代
第二换元法主要是针对含有根式的被积函数，
其作用是将根式有理化。 一般有以下几种代换：
1o
0,,>=t n t x n
为偶数时
(当被积函数中有
n
x 时)
2o
2
0),cos (,sin π
≤
≤==t x a x t a x 或
(当被积函数中有
2
2x
a -时)
3o
)0(,0),cot (,tan 22π
π≤<<≤==t t t a x t a x 或
高数课本课后必做习题
《高等数学》（同济六版）基础复习教材基础练习题范围完整版（数学二） 2015-03-17 文都-汤家凤 第一章函数与极限 习题1—5（P49） 1（1）~（（14） 习题1—6（P56） 1（1）~（6）、2（1）~（4）、4（1）~（5） 习题1—7（P59） 4（1）~（4） 习题1—8（P64） 3（1）~（4）、4 习题1—9（P69） 3（1）~(7)、4（1）~（6） 习题1—10（P74） 1、2、3、5 总习题一（P74） 2、3（1）（2）、9（1）~（6）、10、11、12、13。 第二章导数与微分 习题2—1 5、6、7、8、9（1）~（6）、11、13、14、15、16、17、18、19、20 习题2—2 2（1）~（10）、3（1）~（3）、5、6（1）~（10）、7（1）~（10）、8（1）~（10）、10（1）~（2）、11（1）~（10）、13、14 习题2—3 1（1）~（12）、3（1）~（2）、4、10（1）~（2） 习题2—4 1（1）~（4）、2、3（1）~（4）、4（1）~（4）、5（1）~（2）、6、7（1）~（2）、8（1）~（4） 习题2—5 2、3（1）~（10）、4（1）~（8） 总习题二 1、2、3、6、7、8（1）~（5）、9（1）~（2）、11、12（1）~（2）、13、14。 第三章微分中值定理与导数的应用 习题3—1 1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14 习题3—2 1（1）~（16）、2 习题3—3 1、3、4、5、7、10（1）~（3） 习题3—4 1、2、3（1）~（7）、5（1）~（5）、6、8（1）~（4）、9（1）~（6）、10（1）~（3）、12、13、14 习题3—5 1（1）~（10）、2、4（1）~（3）、8、9、10、16
高等数学同济第七版7版下册习题 全解
数，故 /, =Jj( x2 + y1)3d(j =2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)： 从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 )JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr +jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，， A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的WK域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"
jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第一章 函数 习题 函数 一、填空题：略. 二、略. 三、图略. 四、图略；0，2，6-. 五、1.函数)(x f 与)(x g 不相同； 2.函数)(x f 与)(x g 是同一个函数. 六、3)2(log t y a +=. 七、1. 1,2,sin ,log +====x w v v u u y w a ； 2. 1,lg ,,arcsin -=== =x w w v v u u y ； 3. 1e ,,cos 2-===x v v u u y ； 4. 12,ln ,cos ,2 2+-====x x w w v v u u y . 第二章 极限与连续 习题一 极限的概念 一、判断题：略. 二、图略；)(lim 0 x f x →=0. 三、(1))(x f 无定义,2)1(=g ,3)1(=h ； (2)2)(lim 1=→x f x ；2)(lim 1=→x g x ；2)(lim 1 =→x h x . 四、左极限0)(lim 0=-→x f x ；右极限1)(lim 0 =+→x f x ；函数在0=x 处的极限不存在. 五、（1）2)(lim 1=-→x f x ；1)(lim 1=+→x f x ；)(lim 1 x f x →不存在； （2）=- →)(lim 23x f x 49)(lim 23 = +→x f x ；49)(lim 2 3=→x f x ； （3）4)(lim 2=-→x f x ；8)(lim 2 =+→x f x ；)(lim 2x f x →不存在. 习题二 极限的四则运算 一、求下列极限 1. 30； 2. 17； 3. 40； 4. 41 ． 二、x x ++210；1． 三、求下列极限 1. 12-； 2. 0； 3. 4； 4. 61 ． 四、求下列极限 1. 32 ； 2. 32 ． 五、1． 六、1-． 习题三 两个重要极限 一、求下列极限 1. 1； 2. 16； 3. 241 ；4. 1；5. 1；6. 8． 二、求下列极限 1. 3e ； 2. 2e -； 3. 9e ； 4. 2e 1 ． 习题四 无穷小与无穷大 一、1. ∞→x ； 2. -→0x ． 二、1. +-→1x 及+∞→x ； 2. ∞→x ． 三、1. 1-→x ； 2. 1→x ． 四、求下列极限 1. 0； 2. 0． 五、234sin x x 是比高阶的无穷小． 六、提示：由极限运算及等价无穷小定义． 习题五 函数的连续与间断 一、选择题：略. 二、2=a . 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的 关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷 小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点 的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 高等数学公式大全 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ， 代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法： 为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程： ) 1,0()()(2))((0)(,0)() ()(1)()()(≠=+? +?=≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。 应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(2 2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 第一章函数与极限（考研必考章节，其中求极限是本章最重 要的内容，要掌握求极限的集中方法） 第一节映射与函数（一般章节） 一、集合（不用看）二、映射（不用看)三、函数(了解） 注：P1--5 集合部分只需简单了解 P5--7不用看 P7--17 重点看一下函数的四大性态：单调、奇偶、周期、有界 P17--20 不用看 P21 习题1.1 1、2、3大题均不用做 4大题只需做（3）（5）（7）（8） 5--9 均做 10大题只需做（4）（5）（6） 11大题只需做（3）（4）（5） 12大题只需做（2）（4）（6） 13做14不用做15、16重点做 17--20应用题均不用做 第二节数列的极限（一般章节本章用极限定义证的题目考纲不作要求，可不看） 一、数列极限的定义（了解）二、收敛极限的性质（了解） P26--28 例1、2、3均不用证 p28--29 定理1、2、3的证明不用自己证但要会理解 P30 定理4不用看 P30--31 习题1-2 1大题只需做（4）（6）（8） 2--6均不用做 第三节（一般章节）（标题不再写了对应同济六版教材标题） 一、（了解）二、（了解） P33--34 例1、2、3、4、5只需大概了解即可 P35 例6 要会做例7 不用做 P36--37 定理2、3证明不用看定理3’4”完全不用看 p37习题1--3 1--4 均做5--12 均不用做 第四节（重要） 一、无穷小（重要）二、无穷大（了解） p40 例2不用做 p41 定理2不用证 p42习题1--4 1做 2--5 不全做 6 做 7--8 不用做 第五节(注意运算法则的前提条件是各自存在) p43 定理1、2的证明要理解 p44推论1、2、3的证明不用看 p48 定理6的证明不用看 p49 习题1--5 1题只需做(3)(6)(7)(8)(10)(11)(13)(14) 2、3要做4、5重点做6不做 第六节极限存在准则(重要) 两个重要极限(重要两个重要极限要会证明 p50 准则1的证明要理解 p51 重要极限一定要会独立证明(经典重要极限) p53另一个重要极限的证明可以不用看 p55--56柯西极限存在准则不用看 p56习题1--7 1大题只做(1)(4)(6) 2全做3不用做4全做，其中(2)(3)(5)重点做 第七节(重要） p58--59 定理1、2的证明要理解 p59 习题1--7 全做 第八节（基本必考小题） p60--64 要重点看第八节基本必出考题 p64 习题1--8 1、2、3、4、5要做其中4、5要重点做 6--8不用做 第十章重积分9 5 y 2 D2 -1 O i T -2 图 10 - 1 数，故 /, = Jj( x 2 + y 1 ) 3 d(j = 2jj ( x2 + y 1 )3 dcr. fh i)i 又由于 D 3关于 ; t 轴对称，被积函数 ( / + r2) 3关于 y 是偶函数，故jj( x2 + j2 ) 3dcr = 2j( x2+ y2) 3 da =2/ 2 . Dy 1)： 从而得 /, = 4/ 2 . ( 2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意： 如果积分区域关于 ^ 轴对称，而被积函数 / ( x, y) 关于 y 是奇函数，即 fix, -y) = -f(x,y) , PJ jf/ ( x, y)da = 0； D 如果积分区域 D 关于： K 轴对称，而被积函数 / ( x， y) 关于： c 是奇函数，即 / ( ~x, y) = - / ( 太， y) ，则 = 0. D ? 3. 利用二重积分定义证明： ( 1 ) jj da = ( 其 中 ( 7 为的面积 ) ； IJ (2) JJ/c/( X , y) drr = Aj | y’ ( A: ， y) do■ ( 其 中 A ：为常数 ) ； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中/) = /)! U /) 2，， A 为两个 I) b \ lh 尤公共内点的 WK 域 . 证 ( 丨 ) 由于被 枳函数. / U, y) = 1 , 故山 二 t 积分定义得n " 9 6 一、 《高等数学》 (第七版 )下册习题全解 jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A 第一章函数 习题函数 一、 填空题：略? 二、 略? 三、 图略? 四、 图略；0 , 2, 6. 五、 1.函数f(x)与g(x)不相同;2?函数f(x)与g(x)是同一个函数 六、 y iog a (2 t)3. 七、1. y log a u, u sin v,v 2w ,w x 1 ； 2. y arcsinu,u 一 v,v lgw,w x 1 ； 2 x . 3. y cos u, u v ,v e 1 ； 4. y 2 . 2 u ,u cosv, v ln w,w x 2x 1. 第二■ 章 极限与连续 习题一 极限的概念 、判断题：略. 、图略；lim f (x) =0. x 0 (1) f(x)无定义,g(1) 2,h(1) 3 ； 习题二极限的四则运算 、求下列极限 1 1.30； 2.17 ； 3.40 ； 4.— ? 4 、?10 x 2 x ； 1. 四、 五、 ⑵ lim f(x) 2 ； lim g(x) 2 ； lim h(x) 2 . x 1 左极限lim f(x) 0 ;右极限lim 0 f (x) 1 ;函数在x 0处的极限不存在. (1) lim x 1 f(x) 2 ； lim f(x) x 1 1 ； limf(x) 不存在; x 1 (2) lim 3 x - 2 f(x) 9 lim f (x) 3 x - 2 9 ；li 叫 f (x)-； x 3 4 2 (3) lim x 2 f(x) 4 ； lim x f(x) 8 ； lim f (x)不存在. x 2 四、求下列极限 2 1. - 3 五、1. 六、1. 习题三 两个重要极限 、求下列极限 1. 1 ; 2. 16 ； 3. 1 ；4. 1 ； 5. 1 ； 6. 8. 24 、求下列极限 3 2 c 9 1 1.e ； 2. e ; 3. e ； 4.—. e 习题四无穷小与无穷大 一、1. x ；2. x 0 . 二、1. x 1及x ；2. x . 三、1. x 1 ； 2. x 1 . 四、求下列极限 1.0 ; 2. 0 . 五、 sin 3 x 是比4x 2高阶的无穷小. 六、 提示：由极限运算及等价无穷小定义. 习题五函数的连续与间断 一、 选择题：略. 二、 a 2. 三、 1.可去间断点是x 1 ； 2. x 7为函数的第二类间断点； x 1为函数的跳跃间断 点 四、 求下列极限 1 1 1. 0 ; 2. ； 3. ; 4. 4. 2 2 五、 1,4为函数的定义区间，即为函数的连续区间 . 、求下列极限 1. 12; 2. 0 ; 3. 4 ; 4.-. 6 2.2. 学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰 高等数学（一）上 公式总结 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式： 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (9) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (12) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理）， 并会应用这些性质。 【教学重点与难点】 本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。 【教学内容】 第一节映射与函数 一、映射 1.映射概念 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 高等数学(同济第七版)上册-知识点总结 第一章 函数与极限 一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较 设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。 （2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 （3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小 当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则 准则 1. 单调有界数列极限一定存在 准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式 公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式 当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则 侯风波版《高等数学》练习答案 第一章函数 习题函数 一、填空题：略. 二、略. 三、图略. 四、图略；?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，?Skip Record If...?. 五、1.函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?不相同；2.函数?Skip Record If...?与?Skip Record If...?是同一个函数. 六、?Skip Record If...?. 七、1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?. 第二章极限与连续 习题一极限的概念 一、判断题：略. 二、图略；?Skip Record If...?=0. 三、(1)?Skip Record If...?无定义,?Skip Record If...?,?Skip Record If...?； (2)?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?. 四、左极限?Skip Record If...?；右极限?Skip Record If...?；函数在?Skip Record If...?处的极限不存在. 五、（1）?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?不存在； （2）?Skip Record If...??Skip Record If...?；?Skip Record If...?； （3）?Skip Record If...?；?Skip Record If...?；?Skip Record If...?不存在. 习题二极限的四则运算 一、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?． 二、?Skip Record If...?；1． 三、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?． 四、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?． 五、?Skip Record If...?． 六、?Skip Record If...?． 习题三两个重要极限 一、求下列极限 1. ?Skip Record If...?； 2. ?Skip Record If...?； 3. ?Skip Record If...?； 4. ?Skip Record If...?； 5. ?Skip Record If...?； 6. ?Skip Record If...?． 二、求下列极限 此文档分为两部分：高等数学公式（13页）和补充的三角函数公式（7页）。 声明：源材料来自网络，自己稍加整理。 第一部分：高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 《高等数学》课程说明 一、课程性质、任务 《高等数学》是高职院校相关专业的一门重要的基础课。通过教学，使学生掌握一元及多元微积分、常微分方程、级数等基础知识，学会用运动和变化的观点思考问题，拓展学生分析问题和处理问题的能力；初步学会应用数学思想和方法去分析、处理某些实际问题。 二、课程在专业中的地位和作用 《高等数学》是研究自然科学和工程技术的重要工具之一，是提高学生文化素质和学习有关专业知识的重要基础。本课程要使学生在学习初等数学的基础上进一步学习和掌握高等数学的基础知识和思维方式，为学生学习专业基础课和相关专业课程提供必需的数学基础知识和数学工具。 三、课程教学目标和基本教学要求 教学目标： 重视与高中（职高）知识的衔接及各专业知识的必需，以掌握概念，强化应用为重点，贯彻拓宽基础、强化能力、立足应用的原则。教学内容应由浅入深、由易到难，循序渐进，既兼顾数学本身的系统性，又要贯彻理论联系实际的原则，强调应用性和实用性。逐步培养学生具有初步抽象概括问题的能力、一定的逻辑推理能力、比较熟练的运算能力以及自学能力。 教学要求： 1、在重点讲清基本概念和基本方法的基础上，适度淡化基础理论的严密论证和推导，加强与实际联系较多的基础知识和基本方法教学。注重基本运算的训练，简化过分复杂的计算和变换； 2、结合数学建模突出“以应用为目的，以必需够用为度”的教学原则，加强对学生应用意识、兴趣、能力的培养；让学生学会利用常用的数学软件，完成必要的计算、分析或判断；教学过程中，逐步使用现代教学手段，尽量结合使用电子教案进行日常教学； 3、教学中以极限、导数、积分、微分方程及应用等知识为主线，着力培养学生利用数学原理和方法消化吸收概念和原理的能力。侯风波版高等数学练习答案
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