上海位育初级中学八年级数学上册第一单元《三角形》测试题(答案解析)
一、选择题
1．小李同学将10,12,16,22cm cm cm cm 的四根木棒首尾相接，组成一个凸四边形，若凸四边形对角线长为整数，则对角线最长为（ ）
A ．25cm
B ．27cm
C ．28cm
D ．31cm 2．如图，在ABC 中，55A ∠=?，65C =?∠，BD 平分ABC ∠，//D
E BC ，则BDE
∠的度数是（ ）
A ．50°
B ．25°
C ．30°
D ．35° 3．已知长度分别为3cm ，4cm ，xcm 的三根小棒可以摆成一个三角形，则x 的值不可能是（ ）
A ．2.4
B ．3
C ．5
D ．8.5 4．已知三角形的两边长分别为1和4，则第三边长可能是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6 5．如图，1∠等于（ ）
A ．40
B ．50
C ．60
D ．70 6．用下列长度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（ ） A ．2,2,4 B ．3,4,5 C ．1,2,3 D ．2,3,6 7．如图，在ABC ?中，AD 是ABC ?的角平分线，D
E AC ⊥，若
40,60B C ??∠=∠=，则ADE ∠的度数为（ ）
A ．30?
B ．40?
C ．50?
D ．60? 8．三角形的两条边长为3和7，那么第三边长可能是（ ） A ．1
B ．4
C ．7
D ．10 9．若多边形的边数由3增加到n （n 为大于3的正整数），则其外角和的度数（ ） A ．不变 B ．减少 C ．增加 D ．不能确定 10．如图，△ABC 中AC 边上的高是哪条垂线段．（ ）
A ．AE
B ．CD
C ．BF
D ．AF 11．如图，在五边形ABCD
E 中，AB ∥CD ，∠A ＝135°，∠C ＝60°，∠D ＝150°，则∠E 的大
小为（ ）
A ．60°
B ．65°
C ．70°
D ．75° 12．设四边形的内角和等于,a 五边形的外角和等于,b 则a 与b 的关系是（ ） A ．a b = B ．120a b =+
C ．180b a =+?
D ．360b a =+? 二、填空题
13．将一副直角三角尺所示放置，已知//AE BC ，则AFD ∠的度数是__________．
14．七边形的外角和为________．
15．过n 边形的一个顶点有9条对角线，则n 边形的内角和为______．
16．如图，若∠CGE=α，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．
17．如图：70B ∠=?，60A ∠=?，将ABC 沿一条直线MN 折叠，使点C 落到1C 位置，则12∠-∠=______．
18．ABC 中，,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，若=125CGB ∠?，则CFB ∠=______．
19．如图，在ABC 中，已知66ABC ∠=?，54ACB ∠=?，BE 是AC 上的高，CF 是AB 上的高，H 是BE 和CF 的交点，EHF ∠的度数是________．
20．如图，ABC 的角平分线OB 、OC 相交于点O ，40A ∠?＝，则BOC ∠＝______．
三、解答题
21．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=?．
（1）若60ADC ∠=?，求AEP ∠的度数；
（2）若38C ∠=?，求P ∠的度数．
22．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，且BE 、CE 交于点E ，∠ABC ＝∠ACE ．
（1）求证：AB//CE ；
（2）猜想：若∠A ＝50°，求∠E 的度数．
23．已知：如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AE 是角平分线，CD 是高，AE 、CD 相交于点F ．
（1）若∠DCB=48°，求∠CEF 的度数；
（2）求证：∠CEF=∠CFE ．
24．已知一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多180度．
（1）求这个多边形的边数；
（2）求这个多边形的对角线的总条数．
25．如图ABC 中，45B ∠=?，70ACB ∠=?，AD 是ABC 的角平分线，F 是AD 上一点EF AD ⊥，交AC 于E ，交BC 的延长线于G ．求G ∠的度数．
26．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的高和角平分线．
（1）已知∠B ＝40°，∠C ＝60°，求∠DAE 的度数；
（2）设∠B ＝α，∠C ＝β（α＜β）．请直接写出用α、β表示∠DAE 的关系式 ．
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一、选择题
1．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边的关系确定对角线的长度范围即可选择．
【详解】
如图，设10AB cm =，12BC cm =，16CD cm =，22AD cm =．
根据三角形三边关系可知
①101222AC AB BC cm <+=+=，162238AC AD CD cm <+=+=，故22AC cm <．
②102232BD AB AD cm <+=+=，121628BD BC CD cm <+=+=，故28BD cm <．
∵凸四边形对角线长为整数，
∴对角线最长为27cm ．
故选：B．
【点睛】
本题考查三角形的三边关系．熟知三角形两边之和大于第三边是解答本题的关键．2．C
解析：C
【分析】
根据三角形内角和求出∠ABC的度数，再根据角平分线和平行线的性质求角．
【详解】
解：在ABC中，
∠ABC=180°-∠A-∠B=180°-55°-65°=60°，
∠，
∵BD平分ABC
∠ABC=30°，
∴∠ABD=∠CBD=1
2
DE BC，
∵//
∠=∠CBD=30°，
∴BDE
故选C．
【点睛】
本题考查了三角形内角和、角平分线的意义和平行线的性质，准确识图并能熟练应用三角形内角和、角平分线和平行线的性质是解题关键．
3．D
解析：D
【分析】
先根据三角形的三边之间的关系求解1＜x＜7，从而可得答案．
【详解】
解：长度分别为3cm，4cm，xcm的三根小棒可以摆成一个三角形，
+，
∴-＜x＜43
43
∴＜x＜7，
1
x的值不可能是8.5.
故选：.D
【点睛】
本题考查的是三角形的三边之间的关系，掌握三角形的三边之间的关系是解题的关键．4．B
解析：B
【分析】
根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围．
【详解】
解：根据三角形的三边关系，设第三边的长为x，
∵三角形两边的长分别是1和4，
∴4-1＜x＜4+1，即3＜x＜5．
故选：B．
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系，关键是正确确定第三边的取值范围．
5．D
解析：D
【分析】
根据三角形外角的性质直接可得出答案．
【详解】
解：由三角形外角的性质，得
160=130
∠+??
∴∠=?-?=?
11306070
故选D．
【点睛】
本题考查了三角形外角的性质，比较简单．
6．B
解析：B
【分析】
根据构成三角形的条件，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
+=，不能构成三角形，故A错误；
解：A、224
+>，能构成三角形，故B正确；
B、345
+=，不能构成三角形，故C错误；
C、123
+<，不能构成三角形，故D错误；
D、236
故选：B．
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，解题的关键是掌握构成三角形的条件进行判断．
7．C
解析：C
【分析】
?的角平分线求得∠DAC，最后利用根据三角形内角和180?求出∠BAC，再由AD是ABC
直角三角形的两个锐角互余求出∠ADE ，问题得到解决．
【详解】
解：∵40,60B C ??∠=∠=，
∴BAC=180B-C=80∠?-∠∠?，
∵AD 是ABC ?的角平分线， ∴1DAC=BAC=402
∠∠?， ∵DE AC ⊥，
∴90DAC=50ADE ∠=?-∠?，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线定义，直角三角形的两个锐角互余，正确理解三角形中角之间的关系是解本题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．
【详解】
解：三角形的两条边长为3和7，设第三边为x ，
则第三边的取值范围是：7-3＜x ＜7+3，
解得，4＜x ＜10，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键． 9．A
解析：A
【分析】
利用多边形的外角和特征即可解决问题．
【详解】
解：因为多边形外角和固定为360°，所以外角和的度数是不变的．
故选：A ．
【点睛】
此题考查多边形内角与外角的性质，容易受误导，注意多边形外角和等于360°． 10．C
解析：C
【分析】
根据三角形的高的定义，△ABC 中AC 边上的高是过B 点向AC 作的垂线段，即为BF ．
【详解】
解：∵BF⊥AC于F，
∴△ABC中AC边上的高是垂线段BF．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角形的高的定义，关键是根据从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高解答．
11．D
解析：D
【分析】
先根据多边形的内角和公式求出五边形的内角和，根据AB∥CD得到∠B+∠C=180°，即可求出∠E的大小．
【详解】
解：由五边形的内角和公式得（5-2）×180°=540°，
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠E=540°-∠A-∠B-∠C-∠D=540°-135°-180°-150°=75°．
故选：D
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式，平行线的性质，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
12．A
解析：A
【分析】
根据多边形的内角和定理与多边形外角和即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形的内角和等于a，
∴a=（4-2）?180°=360°．
∵五边形的外角和等于b，
∴b=360°，
∴a=b．
故选：A．
【点睛】
本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和定理是解答此题的关键．
二、填空题
13．【详解】根据平行线的性质及三角形内角和定理解答【点睛】解：由三角板的性质可知
∠EAD=45°∠C=30°∠BAC=∠ADE=90°∵AE∥BC∴∠EAC=∠C=30°∴∠DAF=∠EAD-
∠EAC=
解析：75
【详解】
根据平行线的性质及三角形内角和定理解答．
【点睛】
解：由三角板的性质可知∠EAD=45°，∠C=30°，∠BAC=∠ADE=90°．
∵AE∥BC，
∴∠EAC=∠C=30°，
∴∠DAF=∠EAD-∠EAC=45°-30°=15°．
∴∠AFD=180°-∠ADE-∠DAF=180°-90°-15°=75°．
故答案为：75°．
本题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，平行线的性质：两直线平行同位角相等，同旁内角互补．三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°．
14．360°【分析】根据多边形的外角和等于360°即可求解；【详解】∵多边形的外角和都是360°∴七边形的外角和为360°故答案为：360°【点睛】本题考查了多边形的外角的性质掌握多边形的外角和等于36
解析：360°
【分析】
根据多边形的外角和等于360°即可求解；
【详解】
∵多边形的外角和都是360°，
∴七边形的外角和为360°，
故答案为：360°．
【点睛】
本题考查了多边形的外角的性质，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键；15．1800°【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线可得n-3=9求出n的值最后根据多边形内角和公式可得结论【详解】解：由题意得：n-3=9解得n=12则该n边形的内角和是：（12-2
解析：1800°
【分析】
根据n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线，可得n-3=9，求出n的值，最后根据多边形内角和公式可得结论．
【详解】
解：由题意得：n-3=9，解得n=12，
则该n边形的内角和是：（12-2）×180°=1800°，
故答案为：1800°．
【点睛】
本题考查了多边形的对角线和多边形的内角和公式，掌握n边形从一个顶点出发可引出
（n-3）条对角线是解题的关键．
16．2【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B∠D+∠E再根据邻补角表示出∠CGF然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解【详解】解：如图根据三角形的外角性质∠1=∠A
解析：2
【分析】
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B，∠D+∠E，再根据邻补角表示出∠CGF，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．
【详解】
解：如图，
根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠D+∠E，
∵∠3=180°-∠CGE=180°-α，
∴∠1+∠F+180°-α=180°，
∴∠A+∠B+∠F=α，
同理：∠2+∠C+180°-α=180°，
∴∠D+∠E+∠C=α，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α．
故答案为：2α
【点睛】
本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，准确识图是解题的关键．
17．100°【分析】由三角形内角和定理可求得∠C的度数又由折叠的性质求得∠C1的度数然后由三角形外角的性质求得答案【详解】解：如图∵∠B＝70°∠A＝60°∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°由折叠可知
解析：100°
【分析】
由三角形内角和定理，可求得∠C的度数，又由折叠的性质，求得∠C1的度数，然后由三角形外角的性质，求得答案．
【详解】
解：如图，∵∠B＝70°，∠A＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
由折叠可知：∠C1＝∠C＝50°，
∵∠3＝∠2+∠C 1
∠1=∠3+∠C ，
∴∠1=∠2+∠C 1+∠C ，
∴∠1﹣∠2＝2∠C =100°．
故答案为：100°．
【点睛】
此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理以及三角形外角等于和它不相邻的两个内角和的性质．此题难度适中，注意折叠中的对应关系，注意掌握转化思想的应用． 18．110°【分析】根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB 根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB 从而求出∠A 根据三角形高的定义可得
∠AEC=∠FDC=90°然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE
解析：110°
【分析】
根据三角形的内角和定理求出∠GBC ＋∠GCB ，根据角平分线的定义求出∠ABC ＋∠ACB ，从而求出∠A ，根据三角形高的定义可得∠AEC=∠FDC=90°，然后根据三角形的内角和定理求出∠ACE ，最后利用三角形外角的性质即可求出结论．
【详解】
解：∵=125CGB ∠?
∴∠GBC ＋∠GCB=180°－∠CGB=55°
∵,ABC ACB ∠∠的角平分线交于点G ，
∴∠ABC=2∠GBC ，∠ACB=2∠GCB
∴∠ABC ＋∠ACB
=2∠GBC ＋2∠GCB
=2（∠GBC ＋∠GCB ）
=110°
∴∠A=180°－（∠ABC ＋∠ACB ）=70°
∵,AB AC 边上的高,CE BD 相交于点F ，
∴∠AEC=∠FDC=90°，
∴∠ACE=180°－∠AEC －∠A=20°
∴CFB ∠=∠FDC ＋∠ACE=110°
故答案为：110°．
【点睛】
此题考查的是三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高和角平分线，掌握三角形内角和定理、三角形外角的性质、三角形的高的定义和角平分线的定义是解题关键． 19．120°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数再由三角形外角的性质即可得出结论【详解】解：∵∠ABC=66°∠ACB=54°∴∠A=60°∵CF 是AB 上
解析：120°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠A 的度数，再根据CF 是AB 上的高得出∠ACF 的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：∵∠ABC=66°，∠ACB=54°，
∴∠A=60°，
∵CF 是AB 上的高，
∴在△ACF 中，∠ACF=180°-∠AFC-∠A=30°，
在△CEH 中，∠ACF=30°，∠CEH=90°，
∴∠EHF=∠ACF+∠CEH=30°+90°=120°．
故答案为120°．
【点睛】
本题考查的是三角形内角和定理及三角形外角的性质、三角形的高线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
20．【分析】根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数【详解】解：∵OBOC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线∴∠OBC+∠O
解析：110?．
【分析】
根据三角形的角平分线定义和三角形的内角和定理求出∠OBC+∠OCB 的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BOC 的度数．
【详解】
解：∵OB 、OC 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=
111()222
ABC ACB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ∵∠A=40°， ∴∠OBC+∠OCB=
1(18040)2
??- =70°， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）
=180°-70°
=110°．
故答案是110．
【点睛】
本题主要利用角平分线的定义和三角形内角和定理求解，熟记概念和定理是解题的关键．
三、解答题
21．（1）72?；（2）40?．
【分析】
（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=
12ADC ∠ ，然后利用三角形外角的性质即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，所以∠A+∠C=2∠P ，即可得解．
【详解】
解：（1）∵DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP=∠PDF=12
ADC ∠， ∵60ADC ∠=?，
∴30ADP ∠=?，
∴304272AEP ADP A ∠=∠+∠=?+?=?；
（2）∵BP 平分∠ABC ，DP 平分∠ADC ，
∴∠ADP=∠PDF ，∠CBP=∠PBA ，
∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP ，
∠C+∠CBP=∠P+∠PDF ，
∴∠A+∠C=2∠P ，
∵∠A=42°，∠C=38°，
∴∠P=12
（38°+42°）=40°． 【点睛】
本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．
22．（1）见解析；（2）25°
【分析】
（1）根据角平分线的定义得到∠ECD=∠ACE ，得到∠ABC=∠ECD ，根据平行线的判定定理证明结论；
（2）根据三角形的外角性质、角平分线的定义计算，得到答案．
【详解】
（1）证明：∵CE 平分∠ACD ，
∴∠ECD ＝∠ACE ，
∵∠ABC ＝∠ACE ，
∴∠ABC ＝∠ECD ，
∴AB∥CE；
（2）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD＝∠ABC+∠A，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝1
2∠ACD﹣1
2
∠ABC＝1
2
∠A＝25°．
【点睛】
本题考查的是三角形的外角性质及平行线的判定、角平分线的定义，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
23．（1）66°；（2）见解析
【分析】
（1）依据CD是高，∠DCB=48°，即可得到∠B=42°，进而得出∠BAC=48°，再根据AE是角
平分线，即可得到∠BAE=1
2
∠BAC=24°，进而得出∠CEF的度数；
（2）根据已知条件可得∠ACD=∠B，∠BAE=∠CAE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CFE=∠CEF．
【详解】
（1）∵CD是高，∠DCB=48°，
∴∠B=42°，
又∵∠ACB=90°，
∴∠BAC=48°，
又∵AE是角平分线，
∴∠BAE=1
2
∠BAC=24°，
∴∠CEF=∠B+∠BAE=42°+24°=66°；
（2）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACD+∠BAC=∠B+∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠CFE是△ACF的外角，∠CEF是△ABE的外角，
∴∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，
∴∠CFE=∠CEF．
【点睛】
本题主要考查了三角形角平分线的定义，三角形内角和定理以及三角形的外角性质的运用，解题时注意：同角的余角相等．
24．（1）9；（2）27
【分析】
（1）利用多边形的外角和为360°，根据内角和与外角和的关系及多边形内角和公式求出边数即可得答案；
（2）根据多边形对角线条数公式计算即可得答案．
【详解】
（1）设多边形的边数为n ，
∵多边形的外角和为360°，内角和比它的外角和的3倍还多180度，
∴此多边形的内角和为360°×3+180°=1260°，
∴（n-2）×180°=1260，
解得：n=9，
答：这个多边形的边数是9．
（2）由（1）可知此多边形为9边形，
∴从一个顶点可引出对角线9-3=6（条），
∴这个多边形的对角线的总条数为6×9÷2=27（条），
答：这个多边形的对角线的总条数为27条．
【点睛】
本题考查了多边形的内角与外角、多边形的对角线，掌握多边形的内角和定理、多边形的对角线的条数的计算公式是解题的关键．
25．12.5?
【分析】
根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得出∠ADC 的度数，再根据垂直定义以及三角形的内角和即可得出∠G 的度数．
【详解】
解：∵∠B ＝45°，∠ACB ＝70°，AD 是ABC 的角平分线，
∴∠BAC ＝2∠CAD ＝65°，
∴∠ADC ＝180°﹣70°﹣32.5°＝77.5°，
∵EF ⊥AD ，
∴∠G ＝180°﹣90°﹣77.5°＝12.5°．
【点睛】
本题主要考查了三角形的内角和定理以及角平分线的定义，难度适中．
26．（1）10?；（2）
1122
βα- 【分析】
（1）根据三角形的内角和求出∠BAC 的度数，得到∠BAE 的度数，求出∠AED 的度数，根据AD 是高线，求得答案；
（2）根据三角形的内角和求出∠BAC 的度数，得到∠BAE 的度数，求出∠AED 的度数，根据AD 是高线，求得答案．
【详解】
（1）∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，
∴∠BAC=18080B C ?-∠-∠=?，
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=1402
BAC ∠=?， ∴∠AED=∠B+∠BAE=80?,
∵AD 是高线，
∴AD ⊥BC ，
∴∠DAE=9010AED ?-∠=?；
（2）∵∠B ＝α，∠C ＝β，
∴∠180180BAC B C αβ=?-∠-∠=?--,
∵AE 平分∠BAC ，
∴∠BAE=121902B C ?-
∠-∠=121902
αβ?-- ∴∠AED=∠B+∠BAE=121902B C ?+∠-∠=121902
αβ?+- ∵AD 是高线，
∴AD ⊥BC ， ∴∠DAE=190212AED C B ?-∠=
∠-∠=1122βα-， 故答案为：
1122βα-． 【点睛】
此题考查三角形的基础知识，三角形的角平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的高线，直角三角形两锐角互余，熟练掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．