微积分的思想和方法
微积分的思想和方法
(部分讲义)
黄荣
第四讲
第四章定积分与不定积分
[教学目标]
1、了解定积分产生的历史、实际背景,理解定积分的概念,掌握定积分的性质;
2、理解原函数与不定积分的概念;
3、掌握不定积分性质与其本积分公式;
4、掌握定积分的牛顿一莱布尼兹公式;
5、了解定积分在实际问题中的应用;
6、了解简单微分方程的概念。
[重点难点]
定积分、不定积分的概念、牛顿一莱布尼兹公式。
[学习建议]
1、学习定积分概念时,应充分注意体现微积分的基本思想。
2、学员学习不定积分时,要注意加强练习,尽量做到掌握不定积分的计算方法。
3、牛顿一莱布尼兹公式,建立了微分和积分之间的联系,学员应适当练习,切实掌握。
4、为了掌握计算技能,学员必须做适当的练习。
[课时分配]
面授8课时,自学16 课时。
[面授辅导]
1、不定积分 1.1不定积分定义
1.1.1原函数
▲如果函数f(x)与f(x)定义在同一区间(a,b),并且处处都有:F1(x)=f(x)
或df(x)=f(x)dx
则称f(x)是f(x)的一个原函数。
下列是一些简单函数的原函数:
出数原函数
cosx sinx
sinx -cosx
ex ex
en xn+1
▲设函数f(x)与F(x)定义在同一区间(a,b) 内。苦F(x)是f(x)的一个原函数,则F(x)+c也是f(x)的原函数,c为常数。
例1:求2x的原函数F(x),且使F(2)=7。
解:∵ x2=2x
∴x2是2x的一个原函数。
2x的全体原函数为
F(x)=x2+c (c为常数)
F(2)=22+c=7
c=3
∴F(x)=x2+3为所求。
例2:求sinx的原函数F(x),且使F(0)=4。
解:由于 (-cosx)=sinx
因此-cosx就是 sinx的一个原函数。
sinx的全体原函数记为
F(x)=-cosx+c
依题意有:F(o)=-cosD+c=4
c=5
所求F(x)=-cosx+5
例3:求f(x)=x3-3x2+2x+7的原函数。
解:f(x)的一个原函数为
x4-x3+x2+7x
则f(x)的全部原函数为
F(x)= x4-x3+x2+7x+c (c为常数)
1.1.2不定积分定义
函数F(x)的原函数的全体称为f(x)的不定积分,记为 (x) dx。
其中称为积分号,x称的积分变量,(x) 称为被积函数。虽然 (x)dx=F(x)+c
(c为任意常数,称为积分常数)
注意:“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算。
例 1 已知自由落体的运动速度gt v =,求自由落体的路程公式。
解 设自由落体的路程公式为()t f s =。由导数的力学意义可知,速度gt
t f v ==)('。联想到gt gt =??? ??'221,并且常数的导数为0,所以gt C gt =??? ??+'221。于是路程公式为
()C gt t f s +==221 (C 为任意常数) 又因当0=t 时()00=s ,代入上式,可得0=C ,故所求的路程公式为 ()221gt t f s ==
该物理问题是已知速度求路程。抽象为数学问题,就是已知导数求原来的函数,这是求导数的逆运算。数学中的逆运算我们已经碰到过不少,比如相对于加法的减法,相对于乘法的除法,相对于乘方的开方等。这里需要解决两个问题:一是逆运算是否存在?二是如果逆运算存在的话,结论有几个?现在就来围绕这两个问题解决求导数(或微分)的逆运算问题。
首先我们要知道什么是原函数。
根据导数公式或微分公式,我们很容易得出一些简单函数的原函数。如
函数 原函数
x cos x sin
x sin x cos -
x e x
e
n x 111++n x n
从这些例子不难看出,x sin 是x cos 的原函数,)(sin C x +也是x cos 的原函数,这里C 是任意常数。于是产生这样一个问题:同一个函数究竟有多少原函数?
定理 设函数)(x f 与)(x F 定义在同一区间),(b a 内。若)(x F 是)(x f 的一个原函数,则C x F +)(也是)(x f 的原函数,这里C 是任意常数;而且C x F +)(包含了)(x f 的全部原函数。
证明 因为
)()(')')((x f x F C x F ==+
所以C x F +)(是)(x f 的原函数。
下面证明C x F +)(包含了)(x f 的一切原函数。而这只需证明,)(x f 的任一原函数 )(x G 必然有C x F +)(的形式。
证明 根据假设
)()('x f x G =,)()('x f x F =,
从而
0)()()(')('=-=-x f x f x F x G ,
由中值定理推理2得
C x F x G =-)()(,
故
C x F x G +=)()( 。
例1 求x 2的原函数)(x F ,且使7)2(=F 。
解 我们知道x x dx d 22=,因此2x 就是x 2的一个原函数,x 2的全体原函
数记为
)(x F =2x +C 。根据题意,我们求常数C 。
72)2(2=+=C F ,C =3 所以
)(x F =2x +3
例2 求x sin 的原函数)(x F ,且使4)0(=F 。
解 求解的思路同例1一样。我们知道x x dx d sin )cos (=-,因此x cos -就
是x sin 的一个原函数,x sin 的全体原函数记为)(x F =x cos -+C 。根据题意,
我们求常数C 。
410cos )0(=+-=+-=C C F ,C =5
所以
)(x F =x cos -+5
例3 求723)(23++-=x x x x f 的原函数
解 723)(23++-=x x x x f 的一个原函数为 x x x x x F 741)(2340++-=
则)(x f 的全部原函数为C x F x F +=)()(0(C 为常数)。
不定积分定义
定义 函数)(x f 的原函数的全体称为)(x f 的不定积分,记为 ?dx x f )(,
其中?称为积分号,x 称为积分变量,)(x f 称为被积函数。 由定理可知,如果知道了)(x f 的一个原函数)(x F ,则
C x F dx x f +=?)()(,
其中C 是一个任意常数,称为积分常数。
关于不定积分运算和微分运算
从不定积分的概念可知,“不定积分”与“求导数”、“求微分”互为逆运算:
[])(')(x f dx x f =?或?=dx x f dx x f d )()(;
反过来,
?+=C x F dx x F )()('或?+=C x F x dF )()(。
这就是说,若先积分后微分,则两者的作用互相抵消;若先微分后积分,则抵消后差一常数。
例4 求?xdx 2
解 ?xdx 2是指求x 2的一切原函数,所以
?xdx 2=C x
+2
不定积分的几何意义 作例4的函数族图,得到一曲线族,不定积分的几何意义就是曲线族。由一条曲线上下平移而得到。它们在同一点的切线斜率相等,如图所示。
[思考题]
(1)德.摩根说积分就是“回忆微分”,你能默想导数公式并列出相应的基本不定积分公式吗?
(2)你了解数学的三次危机吗?它们对你又何启示?
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