人教版八年级数学上册 【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习(word解析版)

人教版八年级数学上册 【几何模型三角形轴对称】试卷测试与练习（word 解

析版）

一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）

1．如图，在ABC 中，45ABC ∠=,AD ,BE 分别为BC ,AC 边上的高，连接DE ,过点

D 作DF D

E ⊥与点

F ，

G 为BE 中点，连接AF ，DG ．

（1）如图1，若点F 与点G 重合，求证：AF DF ⊥； （2）如图2，请写出AF 与DG 之间的关系并证明． 【答案】(1)详见解析;(2)AF=2DG,且AF ⊥DG,证明详见解析. 【解析】 【分析】

(1) 利用条件先△DAE ≌△DBF,从而得出△FDE 是等腰直角三角形,再证明△AEF 是等腰直角三角形,即可.

(2) 延长DG 至点M,使GM=DG,交AF 于点H,连接BM, 先证明△BGM ≌△EGD,再证明△BDM ≌△DAF 即可推出. 【详解】

解:（1）证明:设BE 与AD 交于点H..如图，

∵AD,BE 分别为BC,AC 边上的高, ∴∠BEA=∠ADB=90°. ∵∠ABC=45°,

∴△ABD 是等腰直角三角形. ∴AD=BD. ∵∠AHE=∠BHD, ∴∠DAC=∠DBH. ∵∠ADB=∠FDE=90°, ∴∠ADE=∠BDF.

∴△DAE≌△DBF.

∴BF=AE,DF=DE.

∴△FDE是等腰直角三角形.

∴∠DFE=45°.

∵G为BE中点,

∴BF=EF.

∴AE=EF.

∴△AEF是等腰直角三角形.

∴∠AFE=45°.

∴∠AFD=90°,即AF⊥DF.

（2）AF=2DG,且AF⊥DG.理由:延长DG至点M,使GM=DG,交AF于点H,连接BM,

∵点G为BE的中点,BG=GE.

∵∠BGM∠EGD,

∴△BGM≌△EGD.

∴∠MBE=∠FED=45°,BM=DE.

∴∠MBE=∠EFD,BM=DF.

∵∠DAC=∠DBE,

∴∠MBD=∠MBE+∠DBE=45°+∠DBE.

∵∠EFD=45°=∠DBE+∠BDF,

∴∠BDF=45°-∠DBE.

∵∠ADE=∠BDF,

∴∠ADF=90°-∠BDF=45°+∠DBE=∠MBD.

∵BD=AD,

∴△BDM≌△DAF.

∴DM=AF=2DG,∠FAD=∠BDM.

∵∠BDM+∠MDA=90°,

∴∠MDA+∠FAD=90°.

∴∠AHD=90°.

∴AF⊥DG.

∴AF=2DG,且AF⊥DG

【点睛】

本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于灵活运用性质.

2

．如图1，在平面直角坐标系中，点D （m ，m +8）在第二象限，点B （0，n ）在y 轴正半轴上，作DA ⊥x 轴，垂足为A ，已知OA 比OB 的值大2，四边形AOBD 的面积为12．

（1）求m 和n 的值．

（2）如图2，C 为AO 的中点，DC 与AB 相交于点E ，AF ⊥BD ，垂足为F ，求证：AF ＝DE ．

（3）如图3，点G 在射线AD 上，且GA ＝GB ，H 为GB 延长线上一点，作∠HAN 交y 轴于点N ，且∠HAN ＝∠HBO ，求NB ﹣HB 的值．

【答案】（1）4

2

m n =-??=?（2）详见解析；（3）NB ﹣FB ＝4（是定值），即当点H 在GB 的

延长线上运动时，NB ﹣HB 的值不会发生变化． 【解析】 【分析】

（1）由点D ，点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12，可列方程组，解方程组即可；

（2）由（1）可知，AD ＝OA ＝4，OB ＝2，并可求出AB ＝BD ＝25，利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ，并可得∠AEC ＝90°，利用三角形面积公式即可求证； （3）取OC ＝OB ，连接AC ，根据对称性可得∠ABC ＝∠ACB ，AB ＝AC ，证明△ABH ≌△CAN ，即可得到结论. 【详解】

解：（1）由题意()()218122

m n n m m --=??

?++-=??

解得4

2m n =-??=?

；

（2）如图2中，

由（1）可知，A （﹣4，0），B （0，2），D （﹣4，4）， ∴AD ＝OA ＝4，OB ＝2，

∴由勾股定理可得：AB ＝BD ＝5

∵AC＝OC＝2，

∴AC＝OB，

∵∠DAC＝∠AOB＝90°，AD＝OA，

∴△DAC≌△AOB（SAS），

∴∠ADC＝∠BAO，

∵∠ADC+∠ACD＝90°，

∴∠EAC+∠ACE＝90°，

∴∠AEC＝90°，

∵AF⊥BD，DE⊥AB，

∴S△ADB＝

1

2

?AB?AE＝

1

2

?BD?AF，

∵AB＝BD，

∴DE＝AF．

（3）解：如图，取OC＝OB，连接AC，根据对称性可得∠ABC＝∠ACB，AB＝AC，

∵AG＝BG，

∴∠GAB＝∠GBA，

∵G为射线AD上的一点，

∴AG∥y轴，

∴∠GAB＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠EBA，

∴180°﹣∠GBA＝180°﹣∠ACB，

即∠ABG＝∠ACN，

∵∠GAN＝∠GBO，

∴∠AGB＝∠ANC，

在△ABG与△ACN中，

ABH ACN

AHB ANC

AB AC

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ABH≌△ACN（AAS），

∴BF＝CN，

∴NB﹣HB＝NB﹣CN＝BC＝2OB，

∵OB＝2

∴NB﹣FB＝2×2＝4（是定值），

即当点H在GB的延长线上运动时，NB﹣HB的值不会发生变化．

【点睛】

本题属于三角形综合题，全等三角形的判定和性质，解题的关键是相结合添加常用辅助线，构造图形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．

3．已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．

（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；

（2）如图2，若∠AOB=120o，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析

【解析】

【分析】

(1)结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．

(2)结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．

【详解】

解：（1）结论：CF=CG；

证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，

∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；

（2）CF=CG.理由如下：如图，

过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，

∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120o，

∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∴∠AOC=∠BOC=60o（角平分线的性质）， ∵∠DCE=∠AOC ，

∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60o，

∴∠MCO=90o-60o =30o，∠NCO=90o-60o =30o， ∴∠MCN=30o+30o=60o， ∴∠MCN=∠DCE ，

∵∠MCF=∠MCN-∠DCN ，∠NCG=∠DCE-∠DCN ， ∴∠MCF=∠NCG ， 在△MCF 和△NCG 中，

CMF CNG CM CN

MCF NCG ∠=∠??

=??∠=∠?

∴△MCF ≌△NCG （ASA ），

∴CF=CG （全等三角形对应边相等）； 【点睛】

本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等 ．

4．在四边形 ABCD 中，E 为 BC 边中点.

（Ⅰ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，∠AED =90°，点 F 为 AD 上一点，AF =AB .求证：（1）△ABE ≌AFE ；（2）AD =AB +CD

（Ⅱ）已知：如图，若 AE 平分∠BAD ，DE 平分∠ADC ，∠AED =120°，点 F ，G 均为 AD 上的点，AF =AB ，GD =CD .求证：（1）△GEF 为等边三角形；（2）AD =AB +

1

2

BC +CD .

【答案】（Ⅰ）（1）证明见解析；（2）证明见解析；（Ⅱ）（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】

（Ⅰ）（1）运用SAS 证明△ABE ≌AFE 即可；

（2）由（1）得出∠AEB=∠AEF ，BE=EF ，再证明△DEF ≌△DEC （SAS ），得出DF=DC ，即可得出结论；

（Ⅱ）（1）同（Ⅰ）（1）得△ABE ≌△AFE （SAS ），△DGE ≌△DCE （SAS ），由全等三角形的性质得出BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ，进而证明△EFG 是等边三角形；

（2）由△EFG 是等边三角形得出GF=EE=BE=1

2

BC ，即可得出结论． 【详解】

（Ⅰ）（1）∵AE 平分∠BAD ， ∴∠BAE=∠FAE ， 在△ABE 和△AFE 中，

AB AF BAE FAE AE AE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△ABE ≌△AFE （SAS ）， （2）∵△ABE ≌△AFE ， ∴∠AEB=∠AEF ，BE=EF ， ∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE ， ∴FE=CE ，

∵∠AED=∠AEF+∠DEF=90°， ∴∠AEB+∠DEC=90°， ∴∠DEF=∠DEC ，

在△DEF 和△DEC 中，

FE CE DEF DEC DE DE ?

∠??

∠??＝＝＝， ∴△DEF ≌△DEC （SAS ）， ∴DF=DC ， ∵AD=AF+DF ， ∴AD=AB+CD ；

（Ⅱ）（1）∵E 为BC 的中点， ∴BE=CE=

1

2

BC ， 同（Ⅰ）（1）得：△ABE ≌△AFE （SAS ）， △DEG ≌△DEC （SAS ），

∴BE=FE ，∠AEB=∠AEF ，CE=GE ，∠CED=∠GED ， ∵BE=CE ， ∴FE=GE ，

∵∠AED=120°，∠AEB+∠CED=180°-120°=60°， ∴∠AEF+∠GED=60°， ∴∠GEF=60°， ∴△EFG 是等边三角形， （2）∵△EFG 是等边三角形， ∴GF=EF=BE=

1

2BC ， ∵AD=AF+FG+GD ， ∴AD=AB+CD+1

2

BC ． 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．

5．如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD ，AE=AC ，AF ⊥CB ，垂足为F ． （1）求证：△ABC ≌△ADE ； （2）求∠FAE 的度数； （3）求证：CD=2BF+DE ．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠FAE=135°；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】

（1）根据已知条件易证∠BAC=∠DAE ，再由AB=AD ，AE=AC ，根据SAS 即可证得△ABC ≌△ADE ；

（2）已知∠CAE=90°，AC=AE ，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠E=45°，由（1）知△BAC ≌△DAE ，根据全等三角形的性质可得∠BCA=∠E=45°，再求得∠CAF=45°，由∠FAE=∠FAC+∠CAE 即可得∠FAE 的度数；

（3）延长BF 到G ，使得FG=FB ，易证△AFB ≌△AFG ，根据全等三角形的性质可得AB=AG ，∠ABF=∠G ，再由△BAC ≌△DAE ，可得AB=AD ，∠CBA=∠EDA ，CB=ED ，所以AG=AD ，∠ABF=∠CDA ，即可得∠G=∠CDA ，利用AAS 证得△CGA ≌△CDA ，由全等三角形的性质可得CG=CD ，所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF ． 【详解】

（1）∵∠BAD=∠CAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=90°，∠CAD+∠DAE=90°， ∴∠BAC=∠DAE ， 在△BAC 和△DAE 中，

AB AD BAC DAE AC AE =??

∠=∠??=?

， ∴△BAC ≌△DAE （SAS ）； （2）∵∠CAE=90°，AC=AE ， ∴∠E=45°，

由（1）知△BAC ≌△DAE ， ∴∠BCA=∠E=45°， ∵AF ⊥BC ， ∴∠CFA=90°， ∴∠CAF=45°，

∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°； （3）延长BF 到G ，使得FG=FB ， ∵AF ⊥BG ， ∴∠AFG=∠AFB=90°，

在△AFB和△AFG中，

BF F

AFB AFG

AF AF

G

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△AFB≌△AFG（SAS），

∴AB=AG，∠ABF=∠G，

∵△BAC≌△DAE，

∴AB=AD，∠CBA=∠EDA，CB=ED，

∴AG=AD，∠ABF=∠CDA，

∴∠G=∠CDA，

在△CGA和△CDA中，

GCA DCA

CGA CDA

AG AD

∠=∠

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△CGA≌△CDA，

∴CG=CD，

∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF，

∴CD=2BF+DE．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，解决第3问需作辅助线，延长BF到G，使得FG=FB，证得△CGA≌△CDA是解题的关键．

6．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且

PA=PE，PE交CD于F

（1）证明：PC=PE；

（2）求∠CPE的度数；

（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）90°（3）AP=CE

【解析】

【分析】

(1)、根据正方形得出AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，结合PB=PB得出△ABP ≌△CBP，从而得出结论；(2)、根据全等得出∠BAP=∠BCP，∠DAP=∠DCP，根据PA=PE得出∠DAP=∠E，即∠DCP=∠E，易得答案；(3)、首先证明△ABP和△CBP全等，然后得出PA=PC，

∠BAP=∠BCP，然后得出∠DCP=∠E，从而得出∠CPF=∠EDF=60°，然后得出△EPC是等边三角形，从而得出AP=CE.

【详解】

(1)、在正方形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=45°，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP ≌△CBP（SAS），∴PA=PC，∵PA=PE，

∴PC=PE；

(2)、由（1）知，△ABP≌△CBP，∴∠BAP=∠BCP，∴∠DAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E，∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，即∠CPF=∠EDF=90°；

(3)、AP＝CE

理由是：在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABP=∠CBP，

在△ABP和△CBP中，又∵ PB=PB ∴△ABP≌△CBP（SAS），

∴PA=PC，∠BAP=∠DCP，

∵PA=PE，∴PC=PE，∴∠DAP=∠DCP，∵PA=PC ∴∠DAP=∠E，∴∠DCP=∠E

∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF=180°﹣∠DFE﹣∠E，

即∠CPF=∠EDF=180°﹣∠ADC=180°﹣120°=60°，∴△EPC是等边三角形，∴PC=CE，

∴AP=CE

考点：三角形全等的证明

7．已知：平面直角坐标系中，点A（a，b）的坐标满足|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0．

（1）如图1，求证：OA是第一象限的角平分线；

（2）如图2，过A作OA的垂线，交x轴正半轴于点B，点M、N分别从O、A两点同时出发，在线段OA上以相同的速度相向运动（不包括点O和点A），过A作AE⊥BM交x轴于点E，连BM、NE，猜想∠ONE与∠NEA之间有何确定的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，F是y轴正半轴上一个动点，连接FA，过点A作AE⊥AF交x轴正半轴于点E，连接EF，过点F点作∠OFE的角平分线交OA于点H，过点H作HK⊥x轴于点K，求

2HK+EF的值．

【答案】（1）证明见解析（2）答案见解析（3）8

【解析】

【分析】

（1）过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM,

根据非负数的性质求出a、b的值即可得结论；

（2）如图2，过A作AH平分∠OAB，交BM于点H，则△AOE≌△BAH，可得AH＝OE，由已知条件可知ON=AM，∠MOE＝∠MAH，可得△ONE≌△AMH，∠ABH＝∠OAE，设BM 与NE交于K，则∠MKN＝180°﹣2∠ONE＝90°﹣∠NEA，即2∠ONE﹣∠NEA＝90°；（3）如图3，过H作HM⊥OF，HN⊥EF于M、N，可证△FMH≌△FNH，则FM＝FN，同理：NE＝EK，先得出OE+OF﹣EF＝2HK，再由△APF≌△AQE得PF＝EQ，即可得

OE+OF＝2OP＝8，等量代换即可得2HK+EF的值．

【详解】

解：（1）∵|a﹣b|+b2﹣8b+16＝0

∴|a﹣b|+（b﹣4）2＝0

∵|a﹣b|≥0，（b﹣4）2≥0

∴|a﹣b|＝0，（b﹣4）2＝0

∴a＝b＝4

过点A分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M、N，则AN＝AM

∴OA平分∠MON

即OA是第一象限的角平分线

（2）过A作AH平分∠OAB，交BM于点H

∴∠OAH＝∠HAB＝45°

∵BM⊥AE

∴∠ABH＝∠OAE

在△AOE 与△BAH 中

OAE ABH

OA AB AOE BAH ＝＝∠∠??=??∠∠?

， ∴△AOE ≌△BAH （ASA ） ∴AH ＝OE

在△ONE 和△AMH 中

OE AH NOE MAH ON AM =??

∠∠??=?

＝， ∴△ONE ≌△AMH （SAS ） ∴∠AMH ＝∠ONE 设BM 与NE 交于K

∴∠MKN ＝180°﹣2∠ONE ＝90°﹣∠NEA ∴2∠ONE ﹣∠NEA ＝90° （3）过H 作HM ⊥OF ，HN ⊥EF 于

M 、N

可证：△FMH ≌△FNH （SAS ） ∴FM ＝FN 同理：NE ＝EK ∴OE+OF ﹣EF ＝2HK

过A 作AP ⊥y 轴于P ，AQ ⊥x 轴于Q 可证：△APF ≌△AQE （SAS ） ∴PF ＝EQ ∴OE+OF ＝2OP ＝8 ∴2HK+EF ＝OE+OF ＝8 【点睛】

本题考查非负数的性质，平面直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质.

8．如图，在ABC ?中，903, 7C AC BC ∠=?==，，点D 是BC 边上的动点，连接

AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ． （1）填空：ABC ?的面积等于 ；

（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；

（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．

【答案】（1）21

2

；（2）证明见解析；（3）32【解析】 【分析】

（1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；

（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；

（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1

()2

AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可． 【详解】

解：（1）903, 7C AC BC ∠=?==，

∴112137222ABC

S

AC BC =

?=??=， 故答案为：21

2

（2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ， ∴∠EMA=∠END=90°， 又∵∠ACB=90°， ∴∠MEN=90°， ∴∠MED+∠DEN=90°， ∵△ADE 是等腰直角三角形 ∴∠AED=90°，AE=DE ∴∠AEM+∠MED=90°， ∴∠AEM=∠DEN ∴在△AEM 与△DEN 中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE

∴△AEM≌△DEN（AAS）

∴ME=NE

∴点E在∠ACB的平分线上，

即CE是ACB

∠的平分线

（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，

∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN

∴AM=DN，

即AC-CM=CN-CD

在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）

∴CM=CN

∴CN=1

() 2

AC CD

+，

又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，

∴CE=

2

2()

2

CN AC CD

=+，

当AC=3，CD=CO=1时，

CE=2

(31)22

+=

当AC=3，CD=CB=7时，

CE=2

(37)52

+=

∴点E的运动路程为：522232

-=，

【点睛】

本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．

9．如图，在ABC ?中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 2

3

BD CD = ，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;

(2)动点 P 从点 O 出发，沿线段 OA 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 A 运动，动点 Q 从 点 B 出发沿射线BC 以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q 两点同时出发，当点 P 到达 A 点时，,P Q 两点同时停止运动.设点 P 的运动时间为 t 秒，POQ ?的面积为 S ，请用含t 的式子表示 S ，并直接写出相应的 t 的取值范围;

(3)在(2)的条件下，点 F 是直线AC 上的一点且 CF BO =.是否存在t 值，使以点

,,B O P 为顶 点的三角形与以点 ,,F C Q 为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条

件的 t 值; 若不存在，请说明理由.

【答案】（1）5；（2）①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，t 的取值范围是

102t <<

；②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-，，t 的取值范围是1

52

t <≤；（3）存在，1t =或5

3

. 【解析】 【分析】

（1）只要证明△AOE ≌△BCE 即可解决问题；

（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q 在线段BD 上时，QD=2-4t ，②当点Q 在射线DC 上时，DQ=4t-2时；

（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ 时，BOP ≌△FCQ ．②如图3中，当OP=CQ 时，△BOP ≌△FCQ ； 【详解】

解：（1）∵AD 是高，∴90ADC ∠= ∵BE 是高，∴90AEB BEC ∠=∠=

∴90EAO ACD ∠+∠=，90EBC ECB ∠+∠=， ∴EAO EBC ∠=∠ 在AOE ?和BCE ?中，

EAO EBC AE BE

AEO BEC

∠=∠

?

?

=

?

?∠=∠

?

∴AOE

?≌BCE

?

∴5

AO BC

==；

（

2）∵

2

3

BD CD

=，=5

BC

∴=2

BD，=3

CD，

根据题意，OP t

=，4

BQ t

=，

①当点Q在线段BD上时，24

QD t

=-，

∴2

1

(24)2

2

S t t t t

=-=-+，t的取值范围是

1

2

t<<.

②当点Q在射线DC上时，42

QD t

=-，

∴2

1

(42)2

2

S t t t t

=-=-，t的取值范围是

1

5

2

t<≤

（3）存在．

①如图2中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ=OP，

∴5-4t═t，

解得t=1，

②如图3中，当OP=CQ时，∵OB=CF，∠POB=∠FCQ，∴△BOP≌△FCQ．

∴CQ=OP，

∴4t-5=t，

解得t=

53

． 综上所述，t=1或5

3

s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】

本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

10．如图，ABC ?是等腰直角三角形，090BAC ∠=，点D 是直线BC 上的一个动点（点

D 与点B C 、不重合），以AD 为腰作等腰直角AD

E ?，连接CE .

（1）如图①，当点D 在线段BC 上时，直接写出,BC CE 的位置关系，线段,BC CD ，

CE 之间的数量关系；

（2）如图②，当点D 在线段BC 的延长线上时，试判断线段BC ，CE 的位置关系，线段

,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图③，当点D 在线段CB 的延长线上时，试判断线段,BC CE 的位置关系，线段

,,BC CD CE 之间的数量关系，并说明理由.

【答案】（1）见解析；（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由见解析；（3）

,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由见解析

【解析】 【分析】

（1）根据条件AB=AC ，∠BAC=90°，AD=AE ，∠DAE=90°，判定△ABD ≌△ACE （SAS ），利用两角的和即可得出BC CE ⊥；利用线段的和差即可得出BC CE CD =+；

（2）同（1）的方法根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出BD=CE ，∠ACE=∠ABD ，从而得出结论；

（3）先根据SAS 证明△ABD ≌△ACE ，得出ADB AEC ∠=∠，BD CE =，从而得出结论． 【详解】

（1）∵△ABC 、△ADE 是等腰直角三角形， ∴AB＝AC ，AE ＝AD ， 在△△ABD 和△ACE 中

90AB AC BAC DAE AD AE ??

∠∠=????

＝＝＝ ， ∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠B ＝∠ACE ，BD=CE, 又∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B+∠ACB=90?,

∴∠ACE +∠ACB=90?,即BC CE ⊥， ∵BC=BD+CD, BD=CE ， ∴BC CE CD =+；

（2）BC CE ⊥，CE BC CD =+，理由如下： ∵ABC ?、ADE ?是等腰直角三角形， ∴0

,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=， ∴BAC DAC DAE DAC ∠+∠=∠+∠ 即BAD CAE ∠=∠, 在ABD ?和ACE ?中

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠=∠???

＝＝ ∴()ABD ACE SAS ??? ∴BD CE = ∵BD BC CD =+ ∴CE BC CD =+， ∴ABD ACE ∠=∠， ∵090ABD ACE ∠+∠= ∴090ACE ACB ∠+∠= ∴BC CE ⊥.

（3）,BC CE CD BC CE ⊥=+，理由如下： ∵ABC ADE ??、是等腰直角三角形，

∴0

,,90AB AC AD AE BAC DAE ==∠=∠=，

∴BAC BAE DAE BAE ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠， 在ABD ?和ACE ?中

AB AC BAD CAE AD AE ??

∠=∠???

＝＝ ∴()ABD ACE SAS ???，

∴ADB AEC ∠=∠，BD CE =， ∵CD BD BC =+， ∴CD CE BC =+，

∵090ADE AED ∠+∠=，即090ADB CDE AED ∠+∠+∠= ∴090AEC CDE AED ∠+∠+∠=， ∴090DCE ∠=，即BC CE ⊥. 【点睛】

考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质的运用，解题关键是根据利用两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等判定三角形全等．