北邮通信网性能分析实验二MM1排队系统实验报告

《通信网理论基础》

实验二：二次排队问题——M/M/1排队系统的级联一、实验目的

M/M/1是最简单的排队系统，其假设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，服务时间是参数为μ的负指数分布，只有一个服务窗口，等待的位置有无穷多个，排队的方式是FIFO。

M/M/1排队系统的稳态分布、平均队列长度，等待时间的分布以及平均等待时间，可通过泊松过程、负指数分布、生灭过程以及Little公式等进行理论上的分析与求解。

本次实验的目标有两个：

?实现M/M/1单窗口无限排队系统的系统仿真，利用事件调度法实现离散事件系统仿真，并统计平均队列长度以及平均等待时间等值，以与理论分析结果进行对比。

?仿真两个M/M/1级联所组成的排队网络，统计各个队列的平均队列长度与平均系统时间等值，验证Kleinrock有关数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交

换机时，随机按负指数分布取一个新的长度的假设的合理性。

二、实验原理

1、M/M/1排队系统

根据排队论的知识我们知道，排队系统的分类是根据该系统中的顾客到达模式、服务模式、服务员数量以及服务规则等因素决定的。

设到达过程是一个参数为λ的Poisson过程，则长度为t的时间到达k个呼叫的概率

)(t P k 服从Poisson 分布，即

()()!k

t

k t P t k e

λλ-=

，?????????=,2,1,0k ，其中λ>0为

一常数，表示了平均到达率或Poisson 呼叫流的强度。设每个呼叫的持续时间为

i τ，服从

参数为μ的负指数分布，即其分布函数为

{}1,0t

P X t e t μ-<=-≥.服务规则采用先进

先服务的规则（FIFO ）。

在该M/M/1系统中，设

λρμ=

，则稳态时的平均队长为

[]1E N ρ

ρ=

-，顾客的平均等待时间为

1

T μλ=

-。

2、 二次排队网络

由两个M/M/1排队系统所组成的级联网络，顾客以参数为λ的泊松过程到达第一个排队系统A ，服务时间为参数为1μ的负指数分布；从A 出来后直接进入第二个排队系统B ，B

的服务时间为参数为

2μ的负指数分布，且与A 的服务时间相互独立。

在该级联网络中，如稳态存在，即

1λμ<且2λμ<，则两个排队系统相互独立，顾客

穿过网络的总时延为各个排队系统的时延之和，即

1211

T μλμλ=

+

--。

如将该模型应用于数据包穿越网络的平均时延的计算，假设数据包的包长服从负指数分布，平均包长为b ；排队系统A 的信道速率为

1

C ，B 的信道速率为

2

C 。为保证两次排队的

独立性，Kleinrock 假设数据包在从一个交换机出来后，进入下一个交换机时，随机按负指数分布取一个新的长度。

三、 实验容

1、 仿真时序图示例

本实验中的排队系统为当顾客到达分布服从负指数分布，系统服务时间也服从负指数分布，单服务台系统，单队排队，按FIFO 方式服务为M/M/1排队系统。

理论上，我们定义服务员结束一次服务或者有顾客到达系统均为一次事件。i

b 为第i

个任何一类事件发生的时间，其时序关系如下图所示。

t

b9150

b8t5

b7c3b6t4

b5c2b4t3

b3c1

b2t2b1t1D2

A3

A4

A5

D3

D4D5S3S4S1S2

A1

A2

b0t0

bi 第i 个任何一类事件发生的时间 ti 第i 个顾客到达类事件发生的时间 ci 第i 个顾客离开类事件发生的时间 Ai 为第i-1个与第i 个顾客到达时间间隔 Di 第i 个顾客排队等待的时间长度 Si 第i 个顾客服务的时间长度

顾客平均等待队长()Q n 及平均排队等待时间()d n 的定义为

1

011()()()T

n

i

i Q n Q n Q t dt R T T ===≈∑?

其中，

i

R 为在时间区间

1[,]

i i b b -上排队人数

i

q 乘以该区间长度

1()

i i b b --。

11()()n

i

i d n D n D n ===∑

i

D 为第i 个顾客排队等待时间。

2、 仿真设计算法

（1）利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流。

（2）对每个排队系统，分别构建一个顾客到达队列和一个顾客等待队列。顾客到达后，首先进入到达队列的队尾排队，并检测是否有顾客等待以及是否有服务台空闲，如果无人等待并且有服务员空闲则进入服务状态，否则顾客将进入等待队列的队尾等待。

（3）产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间。

（4）当服务员结束一次服务后，就取出等待队列中位于队头的顾客进入服务状态，如果等待队列为空则服务台空闲等待下一位顾客的到来。

（5）顾客结束A系统的服务后，立即进入B系统排队等待服务。

（6）由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段排队的人数。

（7）在排队网络达到稳态时，计算顾客平均系统时间以及平均队长。

3、仿真结果分析

（1）分析仿真数据，统计顾客的平均系统时间与平均队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。

（2）验证Kleinrock假设的合理性。——假设包长不变，即二次排队不独立，统计平均值与理论值的相近程度。

4、仿真结果分析

分析仿真数据，统计顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差，分析与理论计算结果的吻合程度，验证仿真程序的正确性。

四、实验要求

1.两人一组，利用MATLAB实现排队网络的仿真模拟。

2.统计给定λ和μ条件下系统的平均队长和平均系统时间，与理论结果进行比

对。

3.统计单个系统的平均队长和平均系统时间随λ

μ的变化曲线。

五、仿真模拟和理论仿真结果的对比

1.仿真设计算法（主要函数）

利用负指数分布与泊松过程的关系，产生符合泊松过程的顾客流，产生符合负指数分布的随机变量作为每个顾客的服务时间：

ArriveInterval=-log(rand(1,SimNum))/Lambda;%到达时间间隔

ServeInterval=-log(rand(1,SimNum))/Mu;%服务时间

ArriveTime(1)=ArriveInterval(1);%顾客到达时间

时间计算

SystemTime=LeaveTime-ArriveTime; %各顾客的系统时间

WaitTime=SystemTime-ServeInterval;%各顾客的等待时间

由事件来触发仿真时钟的不断推进。每发生一次事件，记录下两次事件间隔的时间以及在该时间段排队的人数：

TimePoint=[ArriveTime,LeaveTime];%系统中顾客数随时间的变化

ArriveFlag=zeros(size(TimePoint));%到达时间标志

CusNumAvg=sum(CusNumStart.*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end); %系统中平均顾客数

SysCusNum=zeros(size(TimePoint));

QueLengthAvg=sum([0 QueLength].*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end);%系统平均

等待队长

ArriveTime 每个顾客的到达时间LeaveTime 每个顾客的离开时间ArriveInterval 顾客的到达时间间隔ServeInterval 每个顾客的服务时间ArriveNum 到达总人数

SimNum 仿真人数

SystemTime 每个人的系统时间SystemTimeAvg 平均系统时间

WaitTime 排队等待时间

WaitTimeAvg 平均排队等待时间SysCusNum 系统中的顾客人数IntervalTime 事件间隔时间

CusNumStart 系统中的顾客数？CusNumAvg CusNum_avg系统中的平均顾客数QueLengthAvg QueLength_avg平均等待队长2.算法的流程图

设置Lambda=0.5，Mu=0.9，顾客的平均等待时间与顾客的平均等待队长，计算其方差如下：

从上表可以看出，通过这种模型和方法仿真的结果和理论值十分接近，增加仿真顾客数时，可以得到更理想的结果。当仿真人数超过100000人时，仿真结果与理论结果已经十分接近。在误差允许的围，认为相符。

实验结果截图如下（SimNum分别为100、1000、10000、100000）

100人仿真结果与理论结果对比

1000人仿真结果与理论对比

10000人仿真结果与理论结果对比

100000人仿真结果与理论对比

1000000人仿真结果与理论结果对比

4.实验源代码

语言：matlab

代码：

clear;

clc;

%M/M/1排队系统仿真

SimNum=input('请输入仿真顾客总数SimNum='); %仿真顾客总数；Lambda=input('请输入到达率Lambda='); %到达率Lambda

Mu=input('请输入服务率Mu='); %到达率Mu

ArriveTime=zeros(1,SimNum);

LeaveTime=zeros(1,SimNum);

ArriveNum=zeros(1,SimNum);

LeaveNum=zeros(1,SimNum);

ArriveInterval=-log(rand(1,SimNum))/Lambda;%到达时间间隔ServeInterval=-log(rand(1,SimNum))/Mu;%服务时间

ArriveTime(1)=ArriveInterval(1);%顾客到达时间

ArriveNum(1)=1;

for i=2:SimNum

ArriveTime(i)=ArriveTime(i-1)+ArriveInterval(i);

ArriveNum(i)=i;

end

LeaveTime(1)=ArriveTime(1)+ServeInterval(1);%顾客离开时间LeaveNum(1)=1;

for i=2:SimNum

if LeaveTime(i-1)

LeaveTime(i)=ArriveTime(i)+ServeInterval(i);

else

LeaveTime(i)=LeaveTime(i-1)+ServeInterval(i);

end

LeaveNum(i)=i;

end

SystemTime=LeaveTime-ArriveTime; %各顾客的系统时间SystemTimeAvg=mean(SystemTime);

WaitTime=SystemTime-ServeInterval;%各顾客的等待时间WaitTimeAvg=mean(WaitTime);

TimePoint=[ArriveTime,LeaveTime];%系统中顾客数随时间的变化TimePoint=sort(TimePoint);

ArriveFlag=zeros(size(TimePoint));%到达时间标志

SysCusNum=zeros(size(TimePoint));

temp=2;

SysCusNum(1)=1;

for i=2:length(TimePoint)

if (temp<=length(ArriveTime))&&(TimePoint(i)==ArriveTime(temp)) SysCusNum(i)=SysCusNum(i-1)+1;

temp=temp+1;

ArriveFlag(i)=1;

else

SysCusNum(i)=SysCusNum(i-1)-1;

end

end

%系统中平均顾客数计算

IntervalTime=zeros(size(TimePoint));

IntervalTime(1)=ArriveTime(1);

for i=2:length(TimePoint)

IntervalTime(i)=TimePoint(i)-TimePoint(i-1);

end

CusNumStart=[0 SysCusNum];

CusNumAvg=sum(CusNumStart.*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end);%系统中平均顾客数

QueLength=zeros(size(SysCusNum));

for i=1:length(SysCusNum)

if SysCusNum(i)>=2

QueLength(i)=SysCusNum(i)-1;

else

QueLength(i)=0;

end

end

QueLengthAvg=sum([0 QueLength].*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end);%系统平均等待队长

%仿真图

figure(1);

set(1,'position',[0,0,1000,700],'Color',[1 1 1]);

subplot(2,2,1);

% title('各顾客到达时间和离去时间');

stairs([0 ArriveNum],[0 ArriveTime],'r');

hold on;

stairs([0 LeaveNum],[0 LeaveTime],'g');

legend('到达时间','离去时间');

hold off;

title('各顾客到达时间和离去时间');

xlabel('顾客数');

ylabel('时间');

subplot(2,2,2);

stairs(TimePoint,SysCusNum,'r')

title('系统等待队长分布');

xlabel('时间');

ylabel('队长');

subplot(2,2,3);

stairs([0 ArriveNum],[0 WaitTime],'r');

hold on;

stairs([0 LeaveNum],[0 SystemTime],'g');

hold off;

title('各顾客在系统中的等待时间和系统时间');

legend('等待时间','系统时间');

xlabel('顾客数');

ylabel('时间');

%仿真值与理论值比较

disp(['理论平均系统时间SystemTimeAvg=',num2str(1/(Mu-Lambda))]);

disp(['理论平均等待时间WaitTimeAvg=',num2str(Lambda/(Mu*(Mu-Lambda)))]);

disp(['理论系统中平均顾客数CusNumAvg=',num2str(Lambda/(Mu-Lambda))]);

disp(['理论系统中平均等待队长QueLengthAvg=',num2str(Lambda*Lambda/(Mu*(Mu-Lambda)))]);

disp(['仿真平均系统时间SystemTimeAvg=',num2str(SystemTimeAvg)])

disp(['仿真平均等待时间WaitTimeAvg=',num2str(WaitTimeAvg)])

disp(['仿真系统中平均顾客数CusNumAvg=',num2str(CusNumAvg)]);

disp(['仿真系统中平均等待队长QueLengthAvg=',num2str(QueLengthAvg)]);

六、单个系统的平均队长和平均系统时间随λ/μ的变化曲线

1.实现原理

默认仿真人数为100000人，μ为0.5，故只需要λ变化就可以使得λ/μ都变化。主函数调用功能函数的平均队长和平均系统时间的结果进行绘图。此实验中，λ去0.1~0.8，故λ/μ取值围是0.2~1.6。

2.仿真算法

主函数：

Mu=0.5;

Lambda=0.1:0.001:0.8;

x=2.*Lambda;

QueLengthAvg=zeros(size(Lambda));

SystemTimeAvg=zeros(size(Lambda));

for i=1:700

[QueLengthAvg(i),SystemTimeAvg(i)]=LengthTime(Lambda(i)); end

%仿真图

figure(1);

set(1,'position',[0,0,1000,700],'Color',[1 1 1]);

subplot(1,2,1);

stairs(x,QueLengthAvg,'b')

title('平均队长分队和λ/μ的图像');

xlabel('λ/μ');

ylabel('平均队长');

subplot(1,2,2);

stairs(x,SystemTimeAvg,'y')

title('平均系统时间随λ/μ的分布');

xlabel('λ/μ');

ylabel('平均系统时间');

功能函数：

function [QueLengthAvg ,SystemTimeAvg]=LengthTime(Lambda) %Mu默认为0.5

%输入Lambda返回平均队长和平均系统时间

%lambda/Mu就是2*lambda

SimNum=100000;

Mu=0.5;

ArriveTime=zeros(1,SimNum);

LeaveTime=zeros(1,SimNum);

ArriveNum=zeros(1,SimNum);

LeaveNum=zeros(1,SimNum);

ArriveInterval=-log(rand(1,SimNum))/Lambda;%到达时间间隔ServeInterval=-log(rand(1,SimNum))/Mu;%服务时间

ArriveTime(1)=ArriveInterval(1);%顾客到达时间

ArriveNum(1)=1;

for i=2:SimNum

ArriveTime(i)=ArriveTime(i-1)+ArriveInterval(i);

ArriveNum(i)=i;

end

LeaveTime(1)=ArriveTime(1)+ServeInterval(1);%顾客离开时间LeaveNum(1)=1;

for i=2:SimNum

if LeaveTime(i-1)

LeaveTime(i)=ArriveTime(i)+ServeInterval(i);

else

LeaveTime(i)=LeaveTime(i-1)+ServeInterval(i);

end

LeaveNum(i)=i;

end

SystemTime=LeaveTime-ArriveTime; %各顾客的系统时间SystemTimeAvg=mean(SystemTime);

TimePoint=[ArriveTime,LeaveTime];%系统中顾客数随时间的变化TimePoint=sort(TimePoint);

ArriveFlag=zeros(size(TimePoint));%到达时间标志

SysCusNum=zeros(size(TimePoint));

temp=2;

SysCusNum(1)=1;

for i=2:length(TimePoint)

if (temp<=length(ArriveTime))&&(TimePoint(i)==ArriveTime(temp)) SysCusNum(i)=SysCusNum(i-1)+1;

temp=temp+1;

ArriveFlag(i)=1;

else

SysCusNum(i)=SysCusNum(i-1)-1;

end

end

IntervalTime=zeros(size(TimePoint));

IntervalTime(1)=ArriveTime(1);

for i=2:length(TimePoint)

IntervalTime(i)=TimePoint(i)-TimePoint(i-1);

end

QueLength=zeros(size(SysCusNum));

for i=1:length(SysCusNum)

if SysCusNum(i)>=2

QueLength(i)=SysCusNum(i)-1;

else

QueLength(i)=0;

end

end

QueLengthAvg=sum([0 QueLength].*[IntervalTime 0] )/TimePoint(end);%系统平均等待队长

3.实验结果

4.实验结论

从上图可以看出，排队的平均队长和平均系统时间跟λ/μ的取值有直接的关系。当λ/μ<1时，排队人数很少，几乎为0。当λ/μ>1时，出现了转折，排队人数直线上升。建议实际排队系

统中尽量使得λ/μ小于1。

七、遇到的问题及解决方法

1．实验最初设定的人数太少，与理论结果有较大的误差，经过把参数修改为较大的数值之后，就解决了。

2.仿真人数设置过多后，比如1000 0000人后，matlab就会崩溃了。所以数值不能设置的太大。

3.排队过程不是很清楚，实验参数设定不好确定。最后通过把到达，离去的时间都设置为一个TimePoint，最后完成了排队时间和人数的计算。

八、实验心得

这是一个非常有趣的实验，平时的排队过程，我们通过实验完成仿真，并与理论结果进行对比。在这个实验中，我重新认识了排队过程，到达，离去都作为一个事件去推动。通过本次实验，对matlab有了更深的认识，更加认识到了通信网性能分析课程的重要性，为将来的学习打下坚实的基础。