(新教材)人教A版高中数学必修第二册学案 统计导学案含配套练习及答案

9.1随机抽样

考点学习目标核心素养

抽样调查

理解全面调查、抽样调查、总体、个体、

样本、样本量、样本数据等概念

数学抽象

简单随机抽样

理解简单随机抽样的概念，掌握简单随机

抽

样的两种方法：抽签法和随机数法

数学抽象、逻辑推理分层随机抽样

理解分层随机抽样的概念，并会解决相关

问题

数学抽象、逻辑推理

问题导学

预习教材P173－P187的内容，思考以下问题：

1.全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量、样本数据的概念是什么？

2.什么叫简单随机抽样？

3.最常用的简单随机抽样方法有哪两种？

4.抽签法是如何操作的？

5.随机数法是如何操作的？

6.什么叫分层随机抽样？

7.分层随机抽样适用于什么情况？

8.分层随机抽样时，每个个体被抽到的机会是相等的吗？

9.获取数据的途径有哪些？

1.全面调查与抽样调查

（1）对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查Ｗ.

（2）在一个调查中，我们把调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体Ｗ.

（3）根据一定的目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况

作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查Ｗ.

（4）把从总体中抽取的那部分个体称为样本Ｗ. （5）样本中包含的个体数称为样本量Ｗ.

（6）调查样本获得的变量值称为样本的观测数据，简称样本数据. 2.简单随机抽样

（1）有放回简单随机抽样

一般地，设一个总体含有N （N 为正整数）个个体，从中逐个抽取n （1≤n

（2）不放回简单随机抽样

如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.

（3）简单随机抽样

放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样. （4）简单随机样本

通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. （5）简单随机抽样的常用方法

实现简单随机抽样的方法很多，抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

■名师点拨 （1）从总体中，逐个不放回地随机抽取n 个个体作为样本，一次性批量随机抽取n 个个体作为样本，两种方法是等价的.

（2）简单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样的公平性.

3.总体平均数与样本平均数 （1）总体平均数

①一般地，总体中有N 个个体，它们的变量值分别为Y 1，Y 2，…，Y N ，则称Y －

＝Y 1＋Y 2＋…＋Y N N ＝1N ∑N

i ＝1Y i

为总体均值，又称总体平均数.

②如果总体的N 个变量值中，不同的值共有k （k ≤N ）个，不妨记为Y 1，Y 2，…，Y k ，其中Y i 出现的频数f i （i ＝1，2，…，k ），则总体均值还可以写成加权平均数的形式Y －＝1N ∑k

i ＝1f i Y

i Ｗ.

（2）样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为n 的样本，它们的变量值分别为y 1，y 2，…，y n ，则称y －

＝

y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑n

i ＝1y i 为样本均值，又称样本平均数.在简单随机抽样中，我们常用样本平均数

y －

去估计总体平均数Y －.

4.分层随机抽样 （1）分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层Ｗ.

（2）比例分配

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.

5.分层随机抽样中的总体平均数与样本平均数

（1）在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M 和N ，抽取的样本量分别为m 和n .我们用X 1，X 2，…，X M 表示第1层各个个体的变量值，用x 1，x 2，…，x m 表示第1层样本的各个个体的变量值；用Y 1，Y 2，…，Y N 表示第2层各个个体的变量值，用y 1，y 2，…，y n 表示第2层样本的各个个体的变量值，则：①第1层的总体平均数和样本平均数分别为X －＝X 1＋X 2＋…＋X M M ＝1M ∑M

i ＝1X i ，x －＝x 1＋x 2＋…＋x m m ＝1m ∑m

i ＝1x i

.

②第2层的总体平均数和样本平均数分别为Y －Y 1＋Y 2＋…＋Y N N 1N ∑N

i ＝1

Y i

，y －

＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑n

i ＝1y i

.

③总体平均数和样本平均数分别为W －＝∑M

i ＝1X i ＋∑N

i ＝1Y i M ＋N ，w －＝∑m

i ＝1x i ＋∑n

i ＝1y

i

m ＋n

Ｗ.

（2）由于用第1层的样本平均数x －

可以估计第1层的总体平均数X －，用第2层的样本平均数y －

可以估计第2层的总体平均数Y －.因此我们可以用M ×x －＋N ×y －M ＋N ＝M M ＋N x －＋N M ＋N y

－估计总体平均数W －

.

（3）在比例分配的分层随机抽样中，m M ＝n N ＝m ＋n M ＋N ，可得M M ＋N x －＋N M ＋N y －＝m m ＋n x －

＋

n m ＋n y －＝w －.因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数w －

估计总体平均数W －.

6.获取数据的途径

获取数据的基本途径有：（1）通过调查获取数据；（2）通过试验获取数据；（3）通过观察获取数据；（4）通过查询获取数据

判断（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）高考考生的身体检查，是抽样调查.（ ）

（2）某养鱼专业户要了解鱼塘中鱼的平均质量，是抽样调查.（ ） （3）在简单随机抽样中，一次可以抽取多个个体.（ ） （4）抽签法和随机数法都是简单随机抽样.（ ）

（5）无论是抽签法还是随机数法，每一个个体被抽到的机会都是均等的.（ ） （6）在分层随机抽样的过程中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数及分层有关.（ ）

答案：（1）× （2）√ （3）× （4）√ （5）√ （6）× 抽签法中确保样本代表性的关键是（ ） A.制签 B.搅拌均匀 C.逐一抽取

D.抽取不放回

解析：选B.逐一抽取、抽取不放回是简单随机抽样的特点，但不是确保代表性的关键，一次抽取与有放回抽取（个体被重复取出可不算再放回）也不影响样本的代表性，制签也一样.

为了保证分层随机抽样时每个个体被等可能地抽取，必须要求（ ） A.每层等可能抽取 B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体数可以不一样多，但必须满足抽取n i ＝n ·N i

N （i ＝1，2，…，k ）个个体

（其中i 是层的序号，k 是总层数，n 为抽取的样本容量，N i 是第i 层中的个体数，N 是总体容量）

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

解析：选C.分层随机抽样时，在各层中按层中所含个体在总体中所占的比例进行抽样. A 中，虽然每层等可能地抽样，但是没有指明各层中应抽取几个个体，故A 不正确； B 中，由于每层的个体数不一定相等，每层抽取同样多的个体数，显然从总体来看，各层的个体被抽取的可能性就不相等了，因此B 也不正确；

C 中，对于第i 层的每个个体，它被抽到的可能性与层数i 无关，即对于每个个体来说，被抽取为样本的可能性是相同的，故C 正确；

D 显然不正确.

从一批零件中抽取10个，测得它们的长度（单位：cm ）如下： 22.36 22.35 22.33 22.35 22.37 22.34 22.38

22.36 22.32 22.35

由此估计这批零件的平均长度. 在此统计活动中：

（1）总体为 ； （2）个体为 ； （3）样本为 ； （4）样本量为 Ｗ.

答案：（1）这批零件的长度 （2）每个零件的长度 （3）抽取的10个零件的长度 （4）10

一个班共有54人，其中男同学、女同学之比为5∶4，若抽取9人参加教改调查会，则每个男同学被抽取的可能性为 ，每个女同学被抽取的可能性为 Ｗ.

解析：男、女每人被抽取的可能性是相同的，因为男同学共有54×5

9＝30（人），女同学

共有54×4

9

＝24（人），

所以每个男同学被抽取的可能性为530＝16，每个女同学被抽取的可能性为424＝1

6.

答案：16 1

6

总体、样本等概念辨析题

为了调查参加运动会的1 000名运动员的平均年龄，从中抽取了100名运动员进

行调查，下面说法正确的是（ ）

A.1 000名运动员是总体

B.每个运动员是个体

C.抽取的100名运动员是样本

D.样本量是100

【解析】 根据调查的目的可知，总体是这1 000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，样本量为100.故答案为D.

【答案】 D

此类题目要正确理解总体与个体的概念，要弄明白概念的实质，并注意样本与样本容量的不同，其中样本量为数目，无单位.

为了了解全年级240名学生的身高情况，从中抽取40名学生进行测量，

下列说法正确的是（）

A.总体是240

B.个体是每一个学生

C.样本容量是40名学生

D.样本量为40

解析：选D.本题调查的对象是“学生的身高”这一项指标，故A、B不正确.而样本量是数量，故C不正确.由此可见，研究此类问题首先要弄清楚所要调查的对象是什么.

简单随机抽样的概念

下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

（1）从无数个个体中抽取50个个体作为样本；

（2）仓库中有1万支奥运火炬，从中一次抽取100支火炬进行质量检查；

（3）某连队从200名党员官兵中，挑选出50名最优秀的官兵赶赴灾区开展救灾工作.

【解】（1）不是简单随机抽样.因为简单随机抽样要求被抽取的样本总体的个数是有限的.（2）不是简单随机抽样.虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”.（3）不是简单随机抽样.因为这50名官兵是从中挑选出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求.

要判断所给的抽样方法是否为简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点.

下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？

（1）某工厂的质检员从一袋30个螺母中一次性取出5个进行质量检测；

（2）某商品的市场调查员为了了解该商品在某日某超市的销售情况，在超市出口处随机向10个顾客询问是否购买了该商品；

（3）某班级有4个小组，每组共有12个同学.班主任指定每组坐在第一张桌子的8位同学为班干部；

（4）中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码.

解：简单随机抽样要求：被抽取的样本的总体个数确定且较少，抽取样本时要求逐个抽取，每个个体被抽取的可能性一样.所以（1）不是，因为是一次性抽取不是逐个抽取；（2）不是，被抽取的样本的总体个数不确定；（3）不是，班主任的指定不能保证班级里的每一个学生被抽取的可能性一样；（4）是，它属于简单随机抽样中的随机数法.

抽签法及随机数法的应用

某班有50名学生，要从中随机地抽出6人参加一项活动，请分别写出利用抽签法

和随机数法抽取该样本的过程.

【解】（1）利用抽签法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为01，02，03， (50)

第二步：将50个号码分别写在纸条上，并揉成团，制成号签.

第三步：将得到的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀.

第四步：从容器中逐一抽取6个号签，并记录上面的号码.

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.

（2）利用随机数法步骤如下：

第一步：将这50名学生编号，编号为1，2，3， (50)

第二步：用随机数工具产生1～50范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的学生进入样本.

第三步：重复第二步的过程，直到抽足样本所需人数.

对应上面6个号码的学生就是参加该项活动的学生.

（1）利用抽签法抽取样本时应注意以下问题：

①编号时，如果已有编号（如学号、标号等）可不必重新编号.（例如该题中50名同学，可以直接利用学号）

②号签要求大小、形状完全相同.

③号签要搅拌均匀.

④抽取号签时要逐一、不放回抽取.

（2）利用随机数法抽取样本时应注意的问题：如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，应剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需的人数.

从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请选用合适的方法确定这5架钢琴.

解：第一步，将20架钢琴编号，号码是0，1， (19)

第二步，将号码分别写在一张纸条上，揉成团，制成号签.

第三步，将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀.

第四步，从袋子中逐个不放回地抽取5个号签，并记录上面的编号.

第五步，所得号码对应的5架钢琴就是要抽取的对象.

分层随机抽样中的有关计算

（1）某单位共有老、中、青年职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，为了解职工身体状况，现采用分层随机抽样方法进行调查，在抽

取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工的人数为 Ｗ.

（2）某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

高一年级

高二年级

高三年级

泥塑 a b c 剪纸

x

y

z

其中x ∶y ∶z ＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的3

5，为了了解学生对

两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取 人.

【解析】 （1）设该单位老年职工人数为x ，由题意得3x ＝430－160，解得x ＝90.则样本中的老年职工人数为90×

32

160

＝18. （2）法一：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3

5，

故“剪纸”社团的人数占总人数的2

5，

所以“剪纸”社团的人数为800×2

5

＝320；

因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝3

10，

所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×3

10＝96.

由题意知，抽样比为50800＝1

16

，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×1

16＝6.

法二：因为“泥塑”社团的人数占总人数的3

5，

故“剪纸”社团的人数占总人数的2

5

，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×2

5＝20.

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为

y x ＋y ＋z ＝32＋3＋5＝3

10

，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×3

10＝6.

【答案】 （1）18 （2）6

分层随机抽样中有关计算的方法

（1）抽样比＝该层样本量n 总样本量N ＝该层抽取的个体数

该层的个体数

.

（2）总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层抽取的个体数之比.

对于分层抽样中求某层个体数，或某层要抽取的样本个体数，都可以通过上面两个等量关系求解.

1.为了调查城市PM

2.5的情况，按地域把48个城市分成大型、中型、小型三组，相应的城市数分别为8，16，24.若用分层随机抽样的方法抽取12个城市，则应抽取的中型城市数为（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6

解析：选 B.根据分层随机抽样的特点可知，抽样比为1248＝1

4

，则应抽取的中型城市数为16×14

＝4.

2.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层随机抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，则应抽取超过45岁的职工 人.

解析：抽样比为25∶200＝1∶8，而超过45岁的职工有80人，则从中应抽取的个体数为80×1

8

＝10.

答案：10

样本平均数的求法

（1）甲在本次飞镖游戏中的成绩为8，6，7，7，8，10，9，8，7，8.求甲在本次

游戏中的平均成绩.

（2）在了解全校学生每年平均阅读多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6.已知甲、乙两同学抽取的样本合在一起组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本均值.

【解】 （1）甲在本次游戏中的平均成绩为6＋3×7＋4×8＋9＋10

10＝7.8.

（2）合在一起后的样本均值为10×5＋8×610＋8

＝50＋4818＝49

9.

在分层随机抽样中，如果第一层的样本量为m ，平均值为x ；第二层的样本量为n ，平均值为y ，则样本的平均值为mx ＋ny

m ＋n

.

某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况，从甲、乙、丙3个班中，

按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间（单位：h ），数据如下.

甲 6 6.5 7 7.5 8 乙 6 7 8 9 10 11 12 丙

3

4.5

6

7.5

9

10.5

12

13.5

（1（2）估计这个学校高一的学生中，一周的锻炼时间超过10个小时的百分比； （3）估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间.

解：（1）由题干中的表格可知，按分层随机抽样的方法从甲、乙、丙3个班中分别抽取5个，7个，8个学生.故三个班学生人数之比为5∶7∶8.

（2）由题意知，抽取的20个学生中，一周的锻炼时间超过10小时的有5人，故一周的锻炼时间超过10个小时的百分比为5

20

＝25%.

（3）从甲班抽取的5名学生的总时间为6＋6.5＋7＋7.5＋8＝35. 从乙班抽取的7名学生的总时间为6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＝63.

从丙班抽取的8名学生的总时间为3＋4.5＋6＋7.5＋9＋10.5＋12＋13.5＝66. 则

35＋63＋665＋7＋8

＝164

20＝8.2. 即这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2小时.

1.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性（ ） A.与第几次抽样有关，第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性都相等 C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性要大些 D.每个个体被抽中的可能性无法确定

解析：选B.在简单随机抽样中，每一个个体被抽中的可能性都相等，与第几次抽样无关. 2.若对某校1 200名学生的耐力做调查，抽取其中120名学生，测试他们1 500米跑的成绩，得出相应的数值，在这项调查中，样本是指（ ）

A.120名学生

B.1 200名学生

C.120名学生的成绩

D.1 200名学生的成绩

解析：选C.本题抽取的是120名学生的成绩，因此每个学生的成绩是个体，这120名学生的成绩构成一个样本.

3.（2019·广西钦州市期末考试）某中学共有1 000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（ ）

A.20

B.25

C.30

D.35

解析：选D.高一年级抽取的人数为3501 000

×100＝35.故选D.

4.在调查某中学的学生身高时，利用分层抽样的方法抽取男生20人，女生15人，得到了男生身高的平均值为170，女生身高的平均值为16

5.试估计该中学所有学生的平均身高是多少？

解：20×170＋15×16520＋15

＝5 87535＝16767.即该中学所有学生的平均身高为16767.

[A 基础达标]

1.在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析，在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是（ ）

A.总体

B.个体

C.样本量

D.从总体中抽取的一个样本

解析：选A.根据题意，结合总体、样本、个体、样本量的定义可知，5 000名居民的阅读时间的全体是总体.

2.下列调查的样本合理的是（ ）

①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁；

②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况；

③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况；

④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各随机抽取3名学生进行调查. A.①② B.②④ C.①④

D.③④

解析：选B.①中样本不具有代表性、有效性，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系；③中样本缺乏代表性；而②④是合理的样本.

3.从一群玩游戏的小孩中随机抽出k 人，一人分一个苹果，让他们返回继续游戏.过了一会

儿，再从中任取m 人，发现其中有n 个小孩曾分过苹果，估计参加游戏的小孩的人数为（ ）

A.kn

m B.k ＋m －n C.km n

D.不能估计

解析：选C.设参加游戏的小孩有x 人，则k x ＝n m ，x ＝km

n

.

4.（2019·河北省枣强中学期末考试）某中学高二年级共有学生2 400人，为了解他们的身体状况，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生为（ ）

A.1 260人

B.1 230人

C.1 200人

D.1 140人

解析：选D.设女生总人数为x 人，由分层随机抽样的方法，可得抽取女生人数为80－42＝38（人），所以802 400＝38

x

，解得x ＝1 140.故选D.

5.（2019·河北省石家庄市期末考试）某单位有老年人27人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况的某项指标，需从他们中取一个容量为36的样本，则老年人、中年人、青年人依次抽取的人数是（ ）

A.7，11，19

B.7，12，17

C.6，13，17

D.6，12，18

解析：选D.由题意，老年人27人，中年人54人，青年人81人的比例为1∶2∶3，所以抽取人数：

老年人：1

6×36＝6，

中年人：2

6×36＝12，

青年人：3

6×36＝18.

故选D.

6.为了考察某地6月份最高气温的情况，随机抽取了5天，所得数据约为29，29，31，30，31，则该地6月份最高气温的平均值约为 Ｗ.

解析：29＋29＋31×2＋305＝30.

答案：30

7.（2019·四川省遂宁市期末考试）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为 Ｗ.

解析：用分层随机抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为200× 2 000

3 500＋2 000＋

4 500

＝40.

答案：40

8.（2019·福建省三明市期末质量检测）某校为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层随机抽样的方法，从高一、高二、高三学生中抽取一个300人的样本进行调查，已知高一、高二、高三学生人数之比为k ∶5∶4，抽取的样本中高一学生为120人，则k 的值为 Ｗ.

解析：由题意可得，120300＝k k ＋5＋4，解得k ＝6.

答案：6

9.某电视台举行颁奖典礼，邀请20名港台、内地艺人演出，其中从30名内地艺人中随机选出10人，从18名香港艺人中随机挑选6人，从10名台湾艺人中随机挑选4人.试用抽签法确定选中的艺人，并确定他们的表演顺序.

解：第一步：先确定艺人：（1）将30名内地艺人从1到30编号，然后用相同的纸条做成30个号签，在每个号签上写上这些编号，然后放入一个不透明的箱子中摇匀，从中抽出10个号签，则相应编号的艺人参加演出.（2）运用相同的办法分别从10名台湾艺人中抽取4人，从18名香港艺人中抽取6人.

第二步：确定演出顺序：确定了演出人员后，再用相同的纸条做成20个号签，上面写上1到20这20个数字，代表演出的顺序，让每个演员抽一张，每人抽到的号签上的数字就是这位演员的演出顺序，再汇总即可.

10.某单位有2 000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各岗位中的人数情况如下表所示：

管理 技术开发 营销 生产 合计 老年 40 40 40 80 200 中年 80 120 160 240 600 青年 40 160 280 720 1 200 合计

160

320

480

1 040

2 000

（1（2）若要开一个有25人参与的讨论单位发展与薪金调整方案的座谈会，则应怎样抽选出席人？

解：（1）用分层随机抽样法，并按老年职工4人，中年职工12人，青年职工24人抽取. （2）用分层随机抽样法，并按管理岗位2人，技术开发岗位4人，营销岗位6人，生产岗位13人抽取.

[B 能力提升]

11.某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是（ ）

A.4

B.5

C.6

D.7

解析：选C.四类食品的种数比为4∶1∶3∶2，则抽取的植物油类的种数为20×1

10

＝2，抽取的果蔬类的种数为20×

2

10

＝4，二者之和为6种，故选C. 12.（2019·湖南省张家界市期末）我国古代数学算经十书之一的《九章算术》中有一“衰分”问题“今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣 人”.

解析：今有北乡八千七百五十人，西乡七千二百五十人，南乡八千三百五十人，凡三乡，发役四百八十七人，则西乡遣487×7 2508 750＋7 250＋8 350

＝145（人）.

答案：145

13.某单位200名职工的年龄分布情况如图所示，现要从中抽取40名职工作为样本.

若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取 名.

解析：由题意知，40岁以下年龄段的职工人数为200×50%＝100.若用分层随机抽样法，则应从40岁以下年龄段的职工中抽取40

200

×100＝20（名）.

答案：20

14.某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的1

4，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解

各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定：

（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； （2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

解：（1）设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为a 、b 、c ，

则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x ＝10%，

解得b ＝50%，c ＝10%， 故a ＝100%－50%－10%＝40%，

即游泳组中，青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%、50%、10%. （2）游泳组中，

抽取的青年人人数为200×3

4×40%＝60（人）；

抽取的中年人人数为200×3

4×50%＝75（人）；

抽取的老年人人数为200×3

4

×10%＝15（人）.

即游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60人，75人，15人.

[C 拓展探究]

15.为了对某课题进行讨论研究，用分层随机抽样的方法从三所高校A ，B ，C 的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表（单位：人）.

（1）求x ，y ；

（2）若从高校B 相关人员中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程.

解：（1）分层随机抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有x 54＝1

3?x ＝18，

3654＝y

3

?y ＝2.故x ＝18，y ＝2. （2）总体和样本量较小，所以应采用抽签法，过程如下： 第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36； 第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次不放回地抽取2个号码，并记录上面的编号；

第四步，把与号码相对应的人抽出，即可得到所要的样本.

9．2 用样本估计总体 9．2.1 总体取值规律的估计

9．2.2总体百分位数的估计

考点学习目标核心素养

频率分布表、频率分布直方图

会画一组数据的频率分布表、

频

率分布直方图

直观想象、数据分析用样本估计总体

会用频率分布表、频率分布直方

图、条形图、扇形图、折线图

等对总体进行估计

直观想象、数据分析总体百分位数的估计

掌握求n个数据的第p百分位数

的方法

数学抽象、数学运算

问题导学

预习教材P192－P202的内容，思考以下问题：

1．绘制频率分布表和频率分布直方图有哪些步骤？

2．频率分布直方图有哪些特征？

3．如何求n个数据的第p百分位数？

1．频率分布表、频率分布直方图的制作步骤及意义

2．百分位数

(1)定义：一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．

(2)计算步骤：计算一组n个数据的第p百分位数的步骤：

第1步，按从小到大排列原始数据．

第2步，计算i＝n×p%．

第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直方图的高表示取某数的频率．()

(2)直方图的高表示该组上的个体在样本中出现的频率．()

(3)直方图的高表示取某组上的个体在样本中出现的频数与组距的比值．()

(4)直方图的高表示取该组上的个体在样本中出现的频率与组距的比值．()

解析：要注意频率分布直方图的特点．在直方图中，纵轴(矩形的高)表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组距上的矩形的面积．

答案：(1)×(2)×(3)×(4)√

一个容量为80的样本中数据的最大值是140，最小值是51，组距是10，则应将样本数据分为()

A．10组B．9组

C．8组D．7组

解析：选B.极差为140－51＝89，而组距为10，故应将样本数据分为9组．将容量为100的样本数据按由小到大排列分成8个小组，如表所示，但第3组被墨汁污染，则第三组的频率为()

组号 1 2 3 4 5 6 7 8

频数10 13 14 15 13 12 9

A.0.14

C．0.03 D．0.10

解析：选A.第三组的频数为100－(10＋13＋14＋15＋13＋12＋9)＝14.故第三组的频率为14

100＝0.14.

(2019·四川省绵阳市教学质量测试)某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90，110)的约有____________辆．

解析：由图可知，时速在区间[80，90)，[110，120)的频率为(0.01＋0.02)×10＝0.3，所以时速在区间[90，110)的频率为1－0.3＝0.7.

所以时速在区间[90，110)的车辆数为400×0.7＝280.

答案：280

频率分布表、频率分布直方

图、频率分布折线图的绘制

角度一频率分布表、频率分布直方图的绘制

为考查某校高二男生的体重，随机抽取44名高二男生，实测体重数据(单位：kg)如下：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48

将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图．

【解】以4为组距，列表如下：

分组频率累计频数频率

[41.5，45.5) 2 0.045 5

[45.5，49.5) 7 0.159 1

[49.5，53.5) 8 0.181 8

[53.5，57.5) 16 0.363 6

[57.5，61.5) 5 0.113 6

[61.5，65.5) 4 0.090 9

[65.5，69.5) 2 0.045 5

(1)在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系： ①若极差组距为整数，则极差组距

＝组数；

②若极差组距不为整数，则极差组距

的整数部分＋1＝组数．

(2)组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本量越大，所分组数越多．

角度二 频率分布直方图的应用

为了了解高一年级学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，

将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组的频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？ (3)样本中不达标的学生人数是多少？ (4)第三组的频数是多少？

【解】 (1)频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为4

2＋4＋17＋15＋9＋3

＝0.08.

又因为第二小组的频率＝第二小组的频数

样本量，

所以样本容量＝第二小组的频数第二小组的频率＝12

0.08

＝150.

(2)由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为17＋15＋9＋3

2＋4＋17＋15＋9＋3

×100%＝88%.

(3)由(1)(2)知达标率为88%，样本量为150，不达标的学生频率为1－0.88＝0.12. 所以样本中不达标的学生人数为150×0.12＝18(人)． (4)第三小组的频率为17

2＋4＋17＋15＋9＋3＝0.34.

又因为样本量为150，

所以第三组的频数为150×0.34＝51.

频率分布直方图的应用中的计算问题

(1)小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率； (2)各小长方形的面积之和等于1；

(3)频数样本量＝频率，此关系式的变形为频数频率

＝样本量，样本量×频率＝频数． 某厂对一批产品进行抽样检测，如图是抽检产品净重(单位：克)的频率分

布直方图，样本数据分组为[76，78)，[78，80)，…，[84，86]．若这批产品有120个，估计其中净重大于或等于78克且小于84克的产品的个数是( )

A ．12

B ．18

C ．25

D ．90

解析：选D.净重大于或等于78克且小于84克的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75，所以在该范围内的产品个数为120×0.75＝90.

条形统计图

为了丰富校园文化生活，某校计划在午间校园广播台播放“百家讲坛”的部分内

容．为了了解学生的喜好，抽取若干名学生进行问卷调查(每人只选一项内容)，整理调查结果，绘制统计图如图所示．