量子力学的基本概念和物理图象

量子物理的基本概念和物理图像

北京大学物理系甘子钊教授

二十世纪科学的一个最影响深远的进步是量子力学的发现。它整个改变了人们对物质世界和物质运动的观念。和相对论的发现相比，也许可以说，它影响的范围是更深刻和巨大的。但是，也许是由于理解量子力学的内容需要较多的数学工具，而且关于它的基本概念和物理图象，确实直到现在还存在许多重大的争议，还有各种不同的阐述的角度和方法。所以，面对一般公众和青少年的关于量子力学的读物比起关于相对论的要少得多。

有一位著名的科学家，诺贝尔奖金得主说过：“尽管许多科学家都在用量子力学，但是看来似乎谁都没有完全懂得量子力学”。伟大的爱因斯坦，他是相对论的主要发现者，也是对量子力学的发现起过重要作用的学者，可是他直到逝世都不能接受现在绝大多数科学工作者都接受的对量子力学的阐述，终其一生都认为量子力学现在还不是一个完全的科学理论。现在看来，围绕如何理解量子力学最基础部分的争论还要继续下去，不是很快会有定论的。

但是，在现代人的生活中，量子力学的具体影响是越来越大了：有人把半导体工业叫做量子力学产业，激光技术有一个名字就叫做量子电子学，现代的化学、材料科学、核能利用等也离不开量子力学，近十多年来，一类全新的技术，直接应用量子力学的原理来进行通信和计算正在兴起。总之，要给公众和青少年讲一讲量子力学的基本观念和物理图象似乎也是必要的。我是一个做具体的做物理教学和科学研究工作的人，对物理学的基本问题向来很少探讨，是属于只是“用”而“没有完全懂得量子力学”的那种人。这次接受了给同学们作一次有关科学发展的讲座的任务，便想试着来作一次尝试，不用太多的数学工具来阐述一下量子力学的基本观念。我知道对我来说这个任务是很困难的，甚至会发生许多错误。把这当作和大家一起谈谈心，交流交流认识或许是更合适的。

一．经典物理学对世界的规律性的描述

人们研究自然科学，总是基于有一种确信，确信自然界（物质世界）的运动发展是有规律的，世界的统一性就统一在规律性上。但是什么叫做有规律？这种规律性应该怎样表述？现代自然科学的第一个成熟的体系是牛顿力学。他给了人们一个规律性的典范。

我们同学都学习过牛顿的力学的基本规律，大家知道牛顿第二定律是：一个质量为m 的质点，受到外力F 的作用：

F = ma ; 力＝质量x 加速度；

加速度是速度随时间的变化率，速度是位置坐标随时间的变化率；用数学的语言说，速度是位置坐标对时间的一次微商，加速度是位置坐标对时间的二次微商，所以牛顿第二定律用数学来描述是：

v dt

dx =， F dt

x d m =22。 这是一个微分方程，牛顿为了发展他的力学的理论，也发展了关于微积分的基本理论。按照微积分的基本理论，如果我们知道，在开始时（即t=0）x (质点的位置)和v （质点的速度）的值，知道F (力)作为t 的函数（质点受到的力随时间的变化），就可以通过解这个微分方程得到以后任何时间（任何t>0）的x 和v 的值。按照牛顿的观念，一个质点在力学上看，它的运动状态就是它的位置和速度，所以，如果一个质点所受到的力知道了，它一开始时的运动状态知道了，它以后任何时间的运动状态也是完全确定的了。牛顿力学最先考虑的问题是天体的运动，比如,地球和各个行星围绕太阳的运动，他认为如果太阳对这些行星的作用力，这些行星相互之间的作用力都知道了；这些行星开始时的位置和速度也都知道了，以后任何时候这些行星的运动状态便完全是确定的了。牛顿就是从这些行星的运动轨道都是

椭圆的事实推断出行星和太阳之间，行星相互之间的万有引力定律；而后科学家们才在实验室中用精确的测量证实了这个万有引力定律。

我们在这里不是要具体讲牛顿的力学理论，而是要说它反映出牛顿对物质世界运动的规律性的基本观念。在牛顿看来，只要对一个力学系统的性质（在这里是组成系统的质点的质量），物质相互间的作用（各个质点间相互作用力），以及在t=0时系统的运动状态(对质点来说就是它们的位置和速度)了解了，以后任何时候系统的运动状态（就是任何时候这些粒子的位置和速度）便是完全确定的。牛顿认为世界的规律性就应该是这样的。可以说这是一个完全决定论（这是一个哲学的词汇，是一种对世界万物发展的规律性的看法）的规律观。

牛顿力学获得了伟大的成功，使人们深信自然规律就应该是牛顿这个观念的。在牛顿力学发展以后，以法拉第、麦克斯韦为代表的电学、磁学研究建立起来的电磁理论的基本观念也是这样的。麦克斯韦总结出一套描写电场和磁场以及电场和磁场如何与带电质点作用的方程式。如果在开始时（t=0），空间中每一点上的电场和磁场的大小和方向都给定了；空间中所有的带电粒子的初始位置和初始速度也都知道了；每个粒子的电荷和质量事先也都知道了，通过求解电磁场的麦克斯韦方程和粒子远动的牛顿方程，以后任何时刻空间每点的电场和磁场（例如电场强度和磁场强度的大小和方向）以及每个粒子的状态（它的位置和速度）都是完全确定的。所以他把电磁学的这个理论叫做电动力学。

当然实际上我们不可能把一个系统受到的所有作用都完全了解，也不可能对它开始的条件了解得完全清楚、精确。比如说，发射一个炮弹，如果我们知道炮弹射出炮筒口的速度和方向，炮弹所受到地球重力的作用，按照力学理论就可以计算出炮弹的轨迹，计算出它的落地点。当然更仔细的计算还应该引进其它一些因素，比如说空气的阻力，气流的扰动，炮弹本身的转动，炮架子的反冲等等。计算炮弹的轨迹是一门专门的学问，叫做弹道学。但是不管怎样考虑，最后实际测量到的落地点和计算结果总有一定的偏离。为什么会有偏离？就是

因为对各种因素和开始条件的知识总不可能百分之百的准确。例如即令在炮弹发射时没有风，但是实际上空气不会完全停止，总有一些弱的气流，说没有风，不过是等于说，平均起来没有一定方向流动的气流罢了。气流会使炮弹地落点向气流方向偏移，所以实际上看到的炮弹的落点就会是围绕计算出来的落点的一个分布。这就牵涉到另一个关于事物演变发展的规律的概念，叫做几率（也叫做概率，或然率…等等）的概念。

几率的概念听说最早起源于赌博，一个例子是掷骰子，一个骰子是一个对称的六面体，，每次把骰子掷下去，出来的是骰子的哪一面是随机的（不一定的），但如果掷骰子的次数多了，每一个面出现的次数就会近于总次数的六分之一。人们就说掷骰子是一个随机过程，每个面出现的几率是6

1。显然，每次掷骰子时，按照力学的规律，从掷骰子的初始条件和环境条件（抛出的高度，方向，骰子转动的速度，气流等等）是可以预见到结果是那一面出来的；但是由于对初始条件和环境条件不可能知道得那么具体和仔细，掌握得那么准确，结果就变成随机的了；但是掷骰子大量次数后，各种条件都会遇到，结果，出现哪一个面的数目就是是总次数的6

1了。 我们在中学都学过的基因学说也是一个易于理解的例子，孟德尔（G.Mendel ，1822－1884），这位生活在19世纪的修士，在经过十多年对豌豆的性状（例如种子的皮是平滑的还是皱褶的，花是紫色还是白色的，杆是高的还是矮的，…..等等）遗传的观察后，1865年他在发表的一篇文章中，提出遗传基因假说：他把豌豆分作纯种的和杂交的，纯种和纯种的豌豆交配后，下一代性状不变；比如说纯种的表皮平滑的豌豆种和同样表皮平滑的豌豆种交配的后代，表皮还是平滑的，表皮皱褶的和皱褶的交配还是皱褶的。如果把表皮平滑的纯种和表皮皱褶的纯种杂交，下一代的表皮还是平滑的。孟德尔把平滑和皱褶两种性状中的平滑叫做显性，把皱褶叫做隐性。他又发现如果把第一代杂交得到的这些种子（记住它们都是表皮平滑的）再交配，杂交的第二代便又有表皮平滑的，又有表皮皱褶的，而且。大体上说，

平滑的和皱褶的数目之比是1：3左右。他对杂交出现的性状分布做了解释，他说豌豆里对应于性状的是一对因子，如果把显性因子（表皮平滑）记做A, 隐性因子（表皮皱摺）记做a 。纯种的因子便是AA（表皮平滑纯种）或aa（表皮皱褶纯种）；交配的过程是把一对基因拆开，再分别配上。显然纯种拆开再交配得到的还是纯种。如果AA 和aa杂交，第一代出来的都只能是Aa , 它们都表现出显性。第二代便不同了，第二代是两个Aa 杂交，每个分裂为两部分因子A和a，各占1/2，交配起来应该有(1/2)×(1/2)=(1/4)的可能性是AA,表现是显性。同样(1/4) 是aa ，表现是隐性。还有（1/2）=(1/4)+(1/4)是Aa或aA,表现出来也是显性。所以，出现隐性性状的几率是1/4，出现显性性状的是3/4,两者的比是1：3，这便是实验看到的结果。

我们看到在这里，每个基本过程：A和A 结合得到是显性，A和a结合是显性，a和a 结合是隐性，这是完全决定性的，一点也不含糊，但是因为这里发生的大量的过程中，每次每个基因碰上哪样的基因，是随机的，只能预见一个可能性，也就是几率。如果一个结果可以通过不同过程达到，例如，A和a,或a和A，或A和A结合都得到显性，那么，出现这个显性的几率等于各个过程几率的和3/4。

研究几率的数学理论叫做几率论。19世纪科学界对几率的理解是和牛顿的力学以及经典的电磁理论的决定论观念没有矛盾的。他们认为基本的物理过程是决定论的，每一个物理过程的结果是没有任何含糊的。只是在处理大量类似的过程时，由于每一个具体的过程会有一些人们不可能彻底了解或控制的条件，所以结果会有一定的随机性。对大量的结果的统计会有一定的规律。十九世纪的科学家发展起来的统计力学也就是关于物质的分子运动的研究，是这个观念在物理学的体现，很显然，它和牛顿力学的基本精神是完全一致的，它的名字也反映了这点。

由于牛顿力学取得伟大的成功，而且它又有那样严格的体系，这种严格的决定论的观

念就成为一种世界观，成为人们对物质世界的规律的一种基础的观念。20世纪物理学的两个重大的革命：相对论的发现和量子力学的发现，前者动摇的是传统的对时间和空间的观念，但是它对自然界规律的观念还是严格的与经典力学一致的；量子力学的发现却从根本上动摇了这种观念。

二．粒子的波动性和怎样理解物质波

十九世界末，科学界的研究开始深入到原子的内部，科学家认识到，原子是由原子核和电子组成的，中间是一个带正电的原子核，外面是围绕着原子核运动的电子，有点像太阳系中行星围绕太阳运动一样。电子是带负电的粒子，就是到现在科学界还没有找到一个实验现象来证明电子有一定的大小，所以，电子还真的是非常合适用质点来描述的。可是按照十九世纪电磁学的理论，电子围绕原子核运动一定会辐射出电磁波来，于是电子的动能就会越来越小，它最后只好掉到原子核上去。但事实上却没有发生这样的事情。这就告诉人们，在原子内部这样微观的尺度上，运动规律是和过去牛顿和麦克斯韦等的理论(也就是经典的物理理论)不一样的。人类探索微观世界的规律的历史，也就是量子力学被发现的历史，是非常动人和有教益的，可惜由于时间有限的缘故，在这里没有可能来和大家一起回顾这段动人的故事了。

科学界探索微观世界规律的关键一步是在20世纪20年代，认识到电子这类微观粒子的行为同时具有粒子和波的特性。粒子的典型图象就是一棵棵飞驰的子弹，波的典型图象就是当一块石子投入水中时产生的一圈圈的水波。原来物理学界认为波是连续介质运动的一种方式，认为光是电磁场的波动。波有干涉、衍射这类现象，光波的干涉、衍射实验在中学物理课中我们都学习过了。1905年，爱因斯坦首先指出，光波在传播上是波动，但是在它和物质作用，交换能量和动量时，却是有粒子的特点。他提出，光波一方面是波，另一方面却

是一束微粒—“光子”，每个光子具有能量hν，ν是光波的频率（每单位时间电磁场振动的次数），h是一个普适的常数，叫做普朗克（Planck,德国物理学家）常数；具有动量hk，k是光波的波矢，是长度等于波长的倒数，方向是光波传播的方向的一个矢量。爱因斯坦的这个观念随后在实验上得到完全的证实。

1924年法国物理学家德布罗意提出，电子既是一个粒子，它同时也可以看做是波，波的频率ν＝E/h,E是电子的能量，h是普朗克常数，波的波矢就是k＝p/h，p是电子的动量。他认为用他的这个看法可以较好的理解在此之前丹麦科学家波尔提出的原子理论，这个理论当时和实验现象符合得很好。德布罗意的看法不久就得到实验直接证明：电子束打在晶体上，会出现和光打在晶体上类似的衍射干涉现象。最为明确的是电子束通过开在一个屏上的一个或一对狭缝，再打到屏后的照相板上出现的单缝和双缝衍射图象，和光束的单缝、双缝衍射图象完全是一样的。物理学家因此把电子这类“物质”粒子的波叫做德布罗意波，把德布罗意提出的粒子的能量和动量与德布罗意波的频率和波矢的关系叫做德布罗意关系。在德布罗意提出粒子的波动性后，薛定格把这个类比于光学中波动理论和几何光学理论，提出粒子的德布罗意波所应该满足的波动方程式，后来人们把这个方程叫做薛定格方程。薛定格方程把德布罗意的观点和当时波尔和海森堡等从另一角度提出来的，也可以解释原子物理现象的矩阵力学统一起来了，这便开始建立了量子力学。薛定格方程是描述物质的德布罗意波怎样随时间、空间变化的方程，在一定意义上说，求解薛定格方程就类似于求解牛顿力学的方程，是用来预言物理客体随时间演化的规律。物理学家们也用这个新的理论解释了一系列原子、分子和原子核的物理现象，得到了很显著的成功。

对光波来说，波是电磁场的波，波的振幅就是在空间这个点上周期变化的电磁场的振幅，光的强度是正比于电磁场的振幅的平方的。那么对电子来说，它的德布罗意波的振幅是什么意思呢？从前面说到的电子在单缝、双缝和晶体上衍射的实验现象，德国物理学家玻恩提出，

德布罗意波振幅的平方是在该处发现电子的几率密度。刚刚提出来时，人们一下子还没觉得这个想法隐含着多么严重的对原来的观念的挑战。但是随后认真的分析就显出这个严重性来了。为什么呢？

法国著名数学家和工程师傅立叶在19世纪就指出，一个随时间变化的过程可以分解为许多随时间周期性地变化地过程的叠加；数学上这叫做傅立叶分解。比如时间延续△t 的这样一个脉冲，就可以用频率范围为1/△t 的一组随时间周期变化的三角函数来叠加得到（换句话说，可以用频率范围为1/△t 的一组波来叠加得到）。同样，空间范围延续△x 的一个“峰”也可以用波数（等于波长的倒数）范围为1/△x 的波叠加得到。按德布罗意关系，波数相对于粒子的动量。所以如果说，找到粒子的几率集中在一个范围为空间尺度是△x 的区间中，这等于说，粒子空间坐标的范围是在尺度为△x 的区间里面，于是这个粒子的动量便是在范围h/△x 里面。粒子空间坐标的范围越小，动量的范围便越大。德国物理学家海森堡从这个分析得出一个结论：在量子力学中，粒子的坐标愈加确定，它的动量便愈加不确定，反过来动量愈加确定，坐标便愈加不确定，他用一个公式来表述：

2

h p x ≈?? ； 这里的h 就是前面说过的普朗克常数，△x 是粒子坐标的不确定范围，△p 是动量的不确定范围，人们把这个关系式叫做海森堡测不准关系。一个作实验的例子是：有一束平均速度为v(平均动量为p=mv,m 是粒子的质量)的粒子通过一个宽度为△x 的缝，△x 表示了对粒子位置的确定度；可是由于波动性，这束粒子通过狭缝会发生衍射，它从缝中出来的方向要散开，

狭缝愈窄，散开愈大。按德布罗意关系，这个散开表示它的动量不确定。如果做点具体的计算，就会得到通过缝的粒子的动量是围绕平均动量p，范围大致是h/（2△x）范围中的动量值。人们把这个关系式叫做海森堡测不准关系。这样一来，在量子力学的观念看来，粒子的位置和动量是不可能同时确定的，位置愈加确定，动量便愈加不确定，反过来也是一样。进一步的分析表明这个观念其实是普适的，不仅仅是动量和位置，其它的物理量（可以观测到的，用来表征这个物理对象的运动状态的量）也是一样。按量子力学，任何一个物理量都是不可能准确地测定的。而且，总是有一个和它对应的物理量，物理学家把两者叫做一对共轭的量，如果你希望把其中一个愈加确定，与它共轭的另一个就愈加不确定，两者的不确定度都满足类似于海森堡测不准关系。波尔把这样一个普遍的特点叫做互补原理，他认为这是自然界的一个普遍原理。

量子力学的基本方程是薛定格方程，但薛定格方程能告诉人们的只是表征物理对象的物理量出现的几率，不是物理量的精确值。如果我们把物理量出现在哪个值，比如说，电子打在为探测电子的位置的一块照相板上的某一处，叫做出现一个事件，那么求解薛定格方程能告诉人们的只是出现某一事件的几率，而不能告诉人们是否一定出现这个事件。所以，薛定格方程就和牛顿力学的方程的物理观念完全不一样了。

而且，更为不同的，薛定格方程解出来的是波函数，波函数的振幅的平方才是几率，所以物理学家把波函数的值叫做几率振幅，而不是几率。这样一来，量子力学处理几率的观念也和前面讲到的经典物理接受的几率完全不同。在传统的几率论中，用两种不同的途径实现同一事件的几率，是等于每条途径实现这个事件的几率的和。而量子力学则不同，用两种不同的途径实现同一事件的几率振幅等于每条途径实现这个事件的几率振幅的和。这个不同也带来非常严重的区别。

所以，连对量子理论的建立作出了巨大贡献的爱因斯坦也不能接受这点。他说：“上帝

不是掷骰子！”。终其一生，他都不认为量子力学是一个完全的理论，他认为一个完全的理论应该是和牛顿力学那样，应该是完全决定论的。一个不能完全确定地预言过程的结果的理论不应该是最基本的理论，就像在前面讲到的孟德尔的实验一样，只讲各种性状的豌豆交配的结果的几率的规律，而没认识到在这些几率规律背后的基因学说，就不是完全的、基本的理论。

在很长时间内，有人认为，量子力学的统计性（几率性）是描写大量粒子的，是由于某种不知道的作用的缘故,使得大量粒子的运动具有某种统计的结果。对每一个粒子而言，还是应该和牛顿力学的观念一样的，是完全确定的。但随着实验方法的改进，证明这个看法是不对的：拿粒子的衍射实验说，科学家曾经尝试过，用非常弱的粒子流来做这个实验，比如说，在做双缝衍射实验时，光束或电子束的强度（单位时间射来的光子或电子数）弱到这样的程度，使得几乎没有可能同时两个或两个以上光子或电子通过衍射屏；结果只要积累足够长时间，还是看到双缝衍射图象；科学家们再设计一个开关装置，它交替地在每个粒子通过时，会关住其中一个缝，最后看到是就两个单缝衍射图的叠加，而不是双缝衍射图像，好像粒子通过一个狭缝时，也会看见另一个狭缝到底是关着的还是开着的似的。所以，实验已经非常明确的回答:即使只是一个粒子，也是有波动性和粒子性的统一，量子力学波函数的统计解释并非是对大量粒子的结果。

也有的科学家对这个问题更深入的提出问题：他们认为量子力学实质上类似于没有提出基因理论以前的遗传学，在更深的层次，会有一个符合牛顿精神的理论，这个理论应该是完全决定论的。有人把这叫做隐参数理论。爱因斯坦实际上是这样想的，而提出粒子是波的德布罗意也是这样想的，他甚至在上世纪50－60年代，还和他的合作者提出过一些遵循这种思路的具体的方案。到七十年代，英国物理学家贝尔提出可以用实验来论证有没有这样做的可能？他在几个相当普遍的条件下，导出一个关系式，如果实验能证明这个关系不能成立，

就不会有可能找到这样的深层次的符合经典物理的决定论要求的理论。80年代初，几个研究组，用激光技术从实验证实了贝尔关系式是不成立的。这些实验表明隐参数理论是走不通的，产生了很大的影响。

围绕量子力学提出来的物质波的本质，以及量子力学这样一种对规律的观念，是从量子力学一开始诞生就争论不休的，到现在也不能认为是了结了；因为贝尔关系式也是有条件的，证明了它不成立，也只是说明在这些条件下，量子力学不可能有一种符合经典物理的要求的深层次的理论，也还没有完全排除在另外的意义下的可能。不过实践上量子力学的伟大成功使得多数物理学家都相信量子力学的解释是对的，用这样的解释去处理问题，而不去深究这些带有“哲学性”的问题。我个人也是和这些人一样的。同时我总以为，关于自然规律的观念，为什么就一定要像牛顿力学那样呢？未来总是有某种不确定性的看法为什么就不能接受呢？

三．“测量”的涵义，纠缠态

波函数的概率理解，带来了许多与经典物理不同的观念。同学们在学习原子构造是常常会看到“电子云”这个字眼和图象。比如说原子中电子是处在p态，从波函数振幅的平方来说，它是像一个哑铃似的一团“云雾”，可是，前面我们讲过，波函数振幅的平方代表的是电子在空间的几率密度，也就是在空间这点附近一个小体积中找到这个电子的几率除以小体积得到的值。所以它不能理解为是有许许多多处在不同位置的电子，而只能理解为许许多多不同位置的电子状态的“叠加”。所以，假如我们能有一个“探针”（例如一束有很高能量的电子，它的束流的直径很小）去找在某一位置上的电子（其实就是去“射击”这团电子云），假如在某一个位置上找到了（也就是说“打中”了一个，比如把它打出来了）。可是这

样做的结果也就改变了这个原子中电子的状态。换句话说，在量子力学中，描写粒子状态的是它的波函数，而“测量”任何一个物理量是对波函数做一个“操作”（也就是对它进行一个作用），操作的结果也就改变了原来的波函数，也就是改变了原来粒子的状态，所以，这便带来了认识论上一些问题，有的人就从这里得到一些哲学上的结论。我们不来停留在这些哲学上的争论，而来叙述实际上的一些与经典图象很不相同的地方。

提出薛定格方程的薛定格，他提出过一个很有趣的例子，说明量子力学的观念和经典物理有多么大的不同。他说：如果我们想象有一只猫，关在一个密闭的箱子里。箱子里放有一个剧毒的瓶子，瓶子的开口被一个放射源控制着，这个控制源处在一个量子力学状态，有1/2的几率发射粒子，1/2的几率保持不发射的状态；如果处在发射粒子状态，装着剧毒的瓶子就开口，猫便死了，如果处在不发射的状态，瓶子不打开，猫便是活的猫。所以可以说，猫处在量子态：

2121

21

ψψ+ ，

这里1ψ是活猫，2ψ是死猫；如果我们（指外界的观测）打开箱子来看，这时有1/2的几率见到一个活猫，1/2的几率看见一个死猫；薛定格便问，如果不去看这个猫，那么这个猫是死的还是活的，量子力学的观点是猫就是上述波函数，既不是活，也不是死！经典物理的观念则是死便是死，活便是活！薛定格的这个例子是很有名的：叫做薛定格猫。事实上确实有这种态存在，比如说，一个在一定条件下的超导环状器件，它的状态就可以是上述类似的态：1/2的几率有一个顺时针的电流，1/2的几率有一个逆时针的同样大小的电流，这个电流是一个可以用仪器测出来的电流，也就是说，是宏观量。如果不去“测”这个器件的电流（换句话说，是没有一个作用去和这个电流相互作用），这个态就真是这样一个既不是有顺时针也不是有逆时针电流的状态。这是实验上很明确的。

假如我们讨论两个粒子构成的一个系统，按照量子力学，这个系统的状态就应该由一

个有两组坐标的函数

),(21x x ψ

来描述，x 1和x 2分别是粒子1和2的坐标。假如是由三个粒子构成的系统，状态的波函数就是

);,,(321x x x ψ

如此等等。这些波函数的振幅的平方的物理意义是几率密度，比如说

212

21),(v v x x δδψ 是在（x 1，x 2）附近小范围δV 1和δV 2中找到粒子1和粒子2的几率。爱因斯坦提出，假如两个粒子形成的系统的波函数，不能变成两个只有一组坐标变量的函数的乘积，也就是说， ),(21x x ψ不能写成 )()(2211x x ψψ，从物理上这相当于说在x 1附近找到粒子1的几率是和粒子2在哪有关；后人把这种粒子系统叫做“纠缠”态，或者说，粒子1和2“纠缠”了。爱因斯坦指出这样的状态的物理量测量会出现从经典物理的观念看不可接受的情况。

以下我们用一个容易理解的方案来说明爱因斯坦的论述：实验物理学家可以产生一对正负电子，假设这对正负电子相互运动是角动量为零的状态；现在如果这对正负电子相互作用导致“湮没”了，也就是它们两者中和了，结果会出来一对光子；在一个对原来正负电子对的质心是静止的坐标系来看，出来的这对光子就应该是一个向左，一个向右，能量相等的一对；而且由于总的角动量为零，所以，光子的量子态是有1/2几率左旋，1/2几率右旋（左旋和右旋是光波电矢量方向和光子转播方向的关系的描述，因为这对下面讲的内容并无直接关系，这里就不对它们的意思做解释了）。所以光子的量子态是是既不左旋又不右旋的光。设想在这两个光子产生出来有一段时间了，如果在左边对光作一个测量，比如使用一个只许左旋的光通过的滤光片，于是测到有1/2几率左旋光子，结果，尽管右边我们没碰它，但右边的就一定是右旋的。反过来如果左边得到右旋的，那么右边便会是左旋的。换句话说左

边做的局域的测量，会对右边的局域的测量结果有影响，不管离得多远，这一对“纠缠”了光子永远是一个整体。爱因斯坦认为这个是说明了量子力学的不完全性。在前一节末尾，我们已经讲到英国物理学家贝尔的提议，他提议的实验是以爱因斯坦的这个论述为对象的。实验证实，爱因斯坦的想法在一定意义上是不正确的，局域的经典的论述是否定不了量子力学的。但是关于“纠缠”态的探讨，成了目前发展量子通信和计算技术的主要动力。

四．粒子和场，实物和相互作用

牛顿的力学中是把实物和实物间的相互作用区分开的，天体是实物，它们之间的相互作用是重力场。电磁学中引入了带电物体之间的相互作用是电场，磁体之间、电流之间的相互作用是磁场。麦克斯韦从电磁感应定律出发，认为电场和磁场是相互联系的，电场随时间变化会产生磁场，磁场随时间变化会引起电场，引入了电磁场，电磁场传递电和磁的相互作用。光是电磁波，是用波动的方式在空间传播的电磁场。

前面讲到过，普朗克和随后的爱因斯坦，认识到光既有波动性，也有粒子性，光束也可以看作是一束光子，光子和实物粒子似的，有能量和动量，但它是以光的速度在运动的，而按照相对论，实物粒子的速度永远达不到光速。我们也讲到，德布罗意就是类比于光子，认为实物的粒子（例如电子），也既有粒子性，也有波动性。德布罗意提出这个观念是发现量子力学的一个主要步骤。所以，很自然地从量子力学建立开始，人们就努力去把量子力学对待电子等微观粒子的观念和物理图象应用来处理光子，也就是处理电磁场，发展电磁场的量子力学。人们叫它作量子电动力学。由于光子是以光速运动的粒子，所以处理它的理论一定要和爱因斯坦的狭义相对论结合起来，因此发展量子电动力学一定同时要发展相对论性的量子力学，它和普通的量子力学比较，就好比牛顿力学和爱因斯坦的狭义相对论的关系。从上

世纪的20年代到四十年代末，相对论量子力学和量子电动力学发展起来了，取得许多实验证实。是一个完全成熟了的科学理论。但是，和前面讲到的普通的量子力学一样，它的基本观念和传统的经典物理有很大的区别。比如说和位置和动量是互补的，不可能要求同时确定得很精确一样，在量子电动力学中，空间同一点上得电场和磁场强度也是不可能同时确定的。只有在一定的时间或空间范围内的平均值才可以确定。这便和经典的电动力学有了本质的分别，对电磁场，人们也只能有不确定的、几率型的描述。

在量子电动力学中，实物粒子之间的电磁相互作用被理解为交换光子。比如一个电子对另外一个电子有排斥力，推动它们相互离开；在电磁学中是解释为根据库仑定律，两个带电粒子间有作用力，方向是沿着两个粒子的连线，同号相斥，异号相吸。在量子电动力学中，就理解为相互交换光子，光子带去能量和动量，推动着相互离开。具体说其中一个过程就是第一个粒子放出一个动量为q的光子，自己的动量减少了q,传过去被第二个粒子吸收，这个粒子的动量增加q；许许多多这些过程叠加在一起，成为电子间的相互作用。交换光子的过程有些是“实”的，就是说能够用物理测量来观察到这个光子的，比如说，一个高速运动的电子，在有外力使它改变速度时，会发射出光子；而光子打到一个电子上会使电子改变速度；发射光子和吸收光子都是满足能量和动量守恒的。这种过程已经在实验上完全证实。但是有一类交换过程是“虚”的。交换的光子是不能用物理测量来观察到的，比如电子间的静电相互作用，它们交换的光子是纵向偏振的，这是实际测量中没有的光子，因为大家知道，在空间传播的电磁波都是横向偏振的（偏振是指电磁波中电场的方向，电场垂直于传播方向的叫横向偏振，平行的叫纵向偏振），但是产生静电作用的光子却是纵向偏振的。两个粒子交换“虚”光子时，能量守恒只是在最后的结果上体现出来，对其中每一个交换说，并没有保持的要求；这从量子力学来看也是很自然的，因为量子力学中能量是表现为德布罗意波的频率，确定频率的精确性和观察时间的区间是联系的，时间区间越短，频率便愈加不确定，

所以，能量和时间区间也构成海森堡关系。“虚”光子的存在时间太短，就是发生这样情况的一种理解。但是从经典物理的观念这却很难接受。

按照量子电动力学，实物粒子和光子是可以相互转换的，一个γ光子（γ射线，是原子核发射的一种射线，它是一种波长很短的电磁波，也就是波长很短的光）在一定条件下可以转变成一对正负电子，反过来，一对正负电子合起来会变成一个γ光子，过程也都符合能量和动量守恒。这也是实验上完全证实了的事实。实物和场（在经典物理中它是表示相互作用的）的相互转换是一件全新的实物。而且，在量子电动力学中，真空的概念和经典物理是十分不同的。经典物理中，真空就是什么也没有，而量子电动力学认为真空是电磁场的基态，就是能量最低的状态，充满了各种各样的“虚”的过程，而且在一定条件下，这些“虚”的过程还会有“实”的表现。如果我们找来两块金属板，把它们平行地摆着，中间隔着一段真空。就会测量到即令两块板上一点电荷也没有，它们之间还会有一种吸引力；这种吸引力不像库仑力，随两板间距离地增大下降得很快，虽然很微弱，但确实是可以测量到的。这种力的来源就是真空的特殊物理效应：真空中会发生“虚”的涨落，产生出“虚”的光子，这些“虚”的光子会“虚”的产生正负电子，电子的电荷会在两边的金属板上感应出现电荷，于是两块板间出现了吸引力；计算出来的力与实验符合得很好。这不是“从无到有”吗？所以，没有经典物理中的“真空‘，也就是我们通常观念中“一无所有”的真空，有的只是场的基态，而且是充满了各种涨落、各种“虚”过程和“虚”粒子的一个区域。

如果说量子力学的建立是人类探索原子结构层次时得到的自然规律，那么，从上世纪20年代以来对原子核内部结构层次的探索，就像一位著名物理学家曾经有点惋惜地说的：”量子力学居然还是正确的！”对核子间的相互作用的探索发现了物质间除了电磁相互作用外，还有弱相互作用和强相互作用，加上牛顿提出的物质间的重力（万有引力）的相互作用，现在人们理解到的就是这样四种。按照它们在目前我们人类处的条件下这些作用的强度来排序:重力，弱作用，电磁作用，强作用。除了重力外，其它三种都可以有点类似于量子电动力学那样来描述：实物粒子加上传递相互作用的粒子，实物粒子和传递相互作用的粒子也是可以相互转换的。描述的基本概念和图象都是量子力学的概念和图象。限于时间，这里就不展开来介绍这几种作用了。

总之，量子力学的建立是人类对于物质和物质的运动的观念的革命性变革。它除了带来了一系列重大的技术应用，使社会生产和生活发生了巨大的变革以外，也是人类对自然界的认识的一个极其深刻的变革。