高考文科数学试卷及答案(江西)

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分． 第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分．

第I 卷

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．

2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效．

3．考试结束，临考员将试题卷、答题卡一并收回． 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

P(A+B)=P(A)+P(B) 24R S π=

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径

P(A·B)=P(A)·P(B)

如果事件A 在一次试验中发生的概率是 球的体积公式 P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 33

4R V π=

次的概率k n k k

n n P P C k P --=)1()( 其中R 表示球的半径

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合?--==∈<=A B A Z x x x I 则},2,1,2{},2,1{},,3|||{（ B ）= （ ）

A ．{1}

B ．{1，2}

C ．{2}

D ．{0，1，2} 2．已知==αα

cos ,32

tan 则

（ ） A ．

54 B ．－

5

4 C ．

15

4 D ．－

5

3

3．12

3)(x x +的展开式中，含x 的正整数次幂的项共有

（ ）

A ．4项

B ．3项

C ．2项

D ．1项

I

4．函数)

34(log 1

)(22-+-=

x x x f 的定义域为

（ ）

A ．（1，2）∪（2，3）

B ．),3()1,(+∞?-∞

C ．（1，3）

D ．[1，3]

5．设函数)(|,3sin |3sin )(x f x x x f 则+=为

（ ）

A ．周期函数，最小正周期为

3

2π

B ．周期函数，最小正周期为3

π

C ．周期函数，数小正周期为π2

D ．非周期函数

6．已知向量与则若,2

5

)(,5||),4,2(),2,1(=

?+=--= （ ）

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

7．将9个（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分组方法的种数为（ ） A ．70 B ．140 C ．280 D ．840 8．在△ABC 中，设命题,sin sin sin :

A

c

C b B a p ==命题q:△ABC 是等边三角形，那么命题p 是命题q 的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件

D ．既不充分又不必要条件

9．矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B —AC —D ，则四面体

ABCD 的外接球的体积为 （ ）

A ．

π12

125

B ．

π9125 C ．π6125

D ．

π3

125

10．已知实数a 、b 满足等式,)3

1

()21(b a =下列五个关系式：

①0

（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

11．在△OAB 中，O 为坐标原点，]2

,

0(),1,(sin ),cos ,1(π

θθθ∈B A ，则当△OAB 的面积达最大值

时，=θ

（ ）

A ．

6π B ．

4

π C ．

3

π D ．

2

π

12．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽

查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a , b

的值分别为（ ） A ．0,27,78 B ．0,27,83

C ．2.7,78

D ．2.7,83

第Ⅱ卷

注意事项： 第Ⅱ卷2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填在答题卡上. 13．若函数)2(log )(22a x x x f a ++

=是奇函数，则a = .

14．设实数x , y 满足的最大值是则x y y y x y x ,0

320420

2??

?

??≤->-+≤-- .

15．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA=PB=PC=BC ， 且2

π

=

∠BAC ，则PA 与底面ABC 所成角为

.

16．以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，k =-||||，则动点P 的轨迹为双曲线；

②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若),(2

1

+=则动点P 的轨迹为椭圆；

③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

④双曲线

135

192522

22=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）

已知函数b

ax x x f +=2

)(（a ，b 为常数）且方程f (x )－x +12=0有两个实根为x 1=3, x 2=4.

（1）求函数f (x )的解析式；

（2）设k>1，解关于x 的不等式；x

k

x k x f --+<2)1()(.

18．（本小题满分12分）

已知向量x f x x x x

?=-+=+

=)()),4

2tan(),42sin(2()),42

tan(,2cos 2(令π

ππ

. 求函数f (x )的最大值，最小正周期，并写出f (x )在[0，π]上的单调区间.

19．（本小题满分12分）

A 、

B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止.求掷硬币的次数不大于7次时游戏终止的概率.

20．（本小题满分12分）

如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，中，AD=AA 1=1，AB=2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D;

（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离； （3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC －D 的大小为

4

. 21．（本小题满分12分）

如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB. （1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程. 22．（本小题满分14分）

已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n －S n －2=3,2

3,1),3()21(211-==≥--S S n n 且求数列{a n }的通项公式.

2005年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

文科数学参考答案

一、选择题

1．D 2．B 3．B 4．A 5．A 6．C 7．A 8．C 9．C 10．B 11．D 12．A 二、填空题 13．

22 14．23 15．3

π

16．③④ 三、解答题

17．解：（1）将0124,32

21=+-+==x b

ax x x x 分别代入方程

得 ).2(2)(,218416939

2≠-=???=-=??????

?-=+-=+x x x x f b a b

a b

a 所以解得 （2）不等式即为

02)1(,2)1(222<-++---+<-x

k

x k x x k x k x x 可化为 即.0))(1)(2(>---k x x x

①当1

②当);,2()2,1(0)1()2(,22

+∞?∈>--=x x x k 解集为不等式为时 ③),()2,1(,2+∞?∈>k x k 解集为时当.

18．解：)4

2tan()42tan()42

sin(2cos 22)(π

ππ

--++

=?=x x x x

b a x f 12cos 22cos 2sin 22

tan

11

2tan 2tan 12tan 1)2cos 222sin 22(2cos 222-+=+-?-+++=x x x x x x x x x x

x x cos sin +==)4

sin(2π

+x .

所以2)(的最大值为x f ，最小正周期为]4,0[)(,2π

π在x f 上单调增加，]4

,0[π

上单调减少.

19．解：（1）设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数，

设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则??

?

??≤≤=+=-715||ξξn m n m ，可得：

.

7,5:;7,6,11,6;5,5,00,5的取值为所以时或当时或当ξξξ==========n m n m n m n m

.64

9645322)21(2)21(2)7()5()7(7

155=+=+?==+==≤C P P P ξξξ

20．解法（一）

（1）证明：∵AE ⊥平面AA 1DD 1，A 1D ⊥AD 1，∴D 1E ⊥A 1D

（2）设点E 到面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC=CD 1=5，AD 1=2， 故.2

1,231==

??ACE C AD S S 而 .31,23121,3

1

31111=∴?=?∴?=?=

∴??-h h h S DD S V C AD AEC AEC D

（3）过D 作DH ⊥CE 于H ，连D 1H 、DE ，则D 1H ⊥CE ， ∴∠DHD 1为二面角D 1—EC —D 的平面角. 设AE=x ，则BE=2－x

,

,,1,.

1,4

,211x EH DHE Rt x DE ADE Rt DH DHD DH D Rt =?∴+=?=∴=

∠?中在中在中在ΘΘπ

.

4

,32.

32543.54,3122π

的大小为二面角时中在中在D EC D AE x x x x x x CE CBE Rt CH DHC Rt ---=∴-=?+-=+∴+-=?=?

解法（二）：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x,y,z 轴，建立空间直角坐标系，设AE=x ，则A 1（1，0，1），D 1（0，0，1），E （1，x ，0），A （1，0，0）C （0，2，0）

（1）.,0)1,,1(),1,0,1(,1111D DA x D DA ⊥=-=所以因为即DA 1⊥D 1E.

（2）因为E 为AB 的中点，则)0,2,1(),1,1,1(),0,1,1(1--=D E 从而.

??

?=+-=+-?????=?=?=-=002,00

),,,().1,0,1(111c a b a AD c b a ACD AD 也即则的法向量为设平面, )2,1,2(,2=???==n c

a b

a 从而得，所以点E 到平面AD 1C 的距离为 .3

1

32121=-+=

?=

h （3）设平面D 1EC 的法向量),,(c b a =，∴),1,0,0(),1,2,0(),0,2,1(11=-=-=DD D x

由???=-+=-??????=?=?.0)2(0

2,

0,01x b a c b D 令b=1, ∴c=2,a =2－x ， ∴).2,1,2(x -= 依题意.2

25

)2(22

2

|

|||4

cos

211=

+-?=

?=

x DD n π

∴321+=x （不合，舍去），.322-=x

∴AE=32-时，二面角D 1—EC —D 的大小为

4

π

. 21．解：（1）设M （y 2

0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0) 则直线MF 的斜率为－k ，

).(200y x k y y ME -=-∴的方程为直线

?????=-=-∴x

y y x k y y 2

2

00)(由消0)1(002

=-+-ky y y ky x 得 2

200)1(,1k ky x k ky y F F -=∴-=解得

).(2142

)1()1(11020

2

2

022000定值y k ky k k ky k ky k ky k ky x x y y k F E F E EF

-=-=+-

--+-

-=--=∴

所以直线EF 的斜率为定值

（2）,1,45,90==∠=∠k MAB EMF 所以时当ο

ο

).(2

00y x k y y ME -=-∴的方程为直线

).1,)1((,02022

00y y E x

y y x y y --?????=-=-得由 同理可得)).1(,)1((02

0y y F +-+

设重心G （x , y ），则有???

???

?-=+--+=++=+=++-+=++=33)1()1(33323)1()1(300002

0202020y y y y x x x x y y y y x x x x F E M F E M

).3

2(2729120>-=

x x y y 得消去参数 22．解：方法一：先考虑偶数项有：1212222)2

1(3)2

1

(3---?-=-?=-n n n n S S 32324222)2

1(3)21(3----?-=-?=-n n n n S S ………

.)2

1(3)21(23324?-=-?=-S S

).

1()2

1

(2]

)41

(2121[4411)

41(21213]

21)21()21()21[(3]

)21

()21()21[(312332123321222≥+-=?--=--?-=++++-=+++-=∴-----n S S n n n n n n n n ΛΛ

同理考虑奇数项有：.)21

(3)21(3221212n n n n S S ?=-=---

22223212)2

1

(3)21(3----?=-?=-n n n n S S

………

.)2

1

(3)21(32213?=-?=-S S

.

1).

1()2

1

(34))21(2()21(2).

1()2

1

(34))21(2()21(2).

1()2

1

(2])21()21()21[(31112122122221222121222222112==≥?+-=--+-=-=≥?-=+---=-=∴≥-=++++=∴----++-+S a n S S a n S S a n S S n n n n n n n n n n n n n n n n Λ

综合可得???

?????+-?-=--.

,)21(34,,)2

1(3411为偶数为奇数n n a n n n

方法二：因为),3()2

1

(31112≥-?=++=-----n a a a a S S n n n n n n n 所以

两边同乘以n

)1(-，可得：

.)2

1

(3)21()1(3)1()1(1111----?-=-?-?=---n n n n n n n a a

令).3()2

1(3,)1(11≥-?-=-∴-=--n b b a b n n n n n n 所以,)2

1(311---?-=-n n n b b

,)2

1

(3221----?-=-n n n b b

………

,)2

1

(3223-?-=-b b

2

11)

21(41413])2

1()2

1

()21[(32

22

2

12-?-?-=+++-=∴---n n n n b b b Λ ).3()2

1

(32312≥?+-

=-n b n

???

???

??+-?-=?-?+--=-=∴≥?+-=?+--=∴-=-=-=-=∴-=--=-===-----.,)21(34,,)21(34)2

1

()1(3)1(4)1().1()2

1

(34)21(32325.

2

5

)1(,1)1(,

2

5

123,1131

1122211112211为偶数为奇数又n n b a n b a b a b S S a S a n n n n n n n n n n n Θ