初中数学 24.1 圆教案

24．1 圆

教学目标

1、知识与技能：了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、 弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．

2、过程与方法

（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动． 了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．

（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．

（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中， 让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．

3．情感、态度与价值观

经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．

教学重点：1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其运用．

2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等及其运用．

3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．

4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 °的圆周角所对的弦是直径及其运用．5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

教学难点

1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．

2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导， 并运用它解决一些实际问题．3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．

第一课时

24.1.1圆

本节课主要让学生自学为主，明确圆的两种定义、弦、弧等概念，澄清“圆是圆周而非

圆面”、“等弧不是长度相等的弧”等模糊概念。

教学过程：

一、引入：通过图片展示圆在生产、生活中的应用。

二、探索新知：

展示自学成果，有同学介绍圆的定义及相关概念。

思考1、车轮为什么做成圆形的？

思考2、为什么说“直径是圆中最长的弦”？试说说你的理由.

思考3、判断正误：1）、弦是直径；

2）半圆是弧；

3）过圆心的线段是直径；

4）过圆心的直线是直径；

5)半圆是最长的弧；

6 )直径是最长的弦；

7)圆心相同，半径相等的两个圆是同心圆;

8 )半径相等的两个圆是等圆；

9）等弧就是拉直以后长度相等的弧。

练习：P80

三、归纳小结：有学生自己讨论，老师完善。

四、布置作业：

五、课后反思：

本节课采用学生预习之后尝试回忆的方法来上课。感觉学生的积极性较高。

第二课时

教学内容

1．圆的有关概念．

2．垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧及其它们的应用．

教学目标

了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重难点、关键

1．重点：垂径定理及其运用．

2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

教学过程

一、新课引入：1、如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪里？

2、赵州桥主桥拱的半径是多少？

问题：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？（幻灯片2）

二、探索新知

活动1、不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?由此你能得到圆的什么特性？（借助教具----事先准备好没有圆心的圆）（幻灯片3）

（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径， 我能找到无数多条直径．

2．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．

因此，我们可以得到：

活动2、请同学按下面要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1

）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由． （老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．

（2）AM=BM ，AC BC =，AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分AB 及ADB ． 这样，我们就得到下面的定理：

说明：老师用几何画板演示，证明由学生完成 进一步，我们还可以得到结论：

活动3、火眼金睛（幻灯片4、5、6、7、8）

1、下列图形是否具备垂径定理的条件？

2、垂径定理的几个基本图形。

3、轻松过关。

小结：解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结

半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。（记在书上）

活动4、你现在能解决赵州桥的问题了吗？

例1．（幻灯片11）如图，一条公路的转弯处是一段圆弦（即图中CD ，点O 是CD 的圆心， 其中CD=600m ，E 为CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF=90m ，求这段弯路的半径．

分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握． 解：如图，连接OC

设弯路的半径为R ，则OF=（R -90）m ∵OE ⊥CD

∴CF=12CD=1

2

×600=300（m ）

根据勾股定理，得：OC 2=CF 2+OF 2 即R 2=3002+（R -90）2 解得R=545 ∴这段弯路的半径为545m ．

三、巩固练习

教材P82练习1、2

四、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

2．垂径定理及其推论以及它们的应用．

事实上：根据垂径定理与推论可知：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：

①经过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣

弧。那么，由五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论。

3．解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或连接圆心和弦的中点，连结半径等辅助线，为应用垂径定理和勾股定理创造条件。

五、布置作业P87习题24.1第1、8、9题

六、课后反思

1、将垂径定理及推论分解为1、

2、

3、

4、5几条来分析，效果较好。

2、一节课讲不完，必须加一节习题课。

第三课时

教学内容

1．圆心角的概念．

2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等， 那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．教学目标

了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．

通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等

圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题． 重难点、关键

1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．

2．难点与关键：探索定理和推导及其应用． 教学过程

一、复习引入

1、我们学过圆有哪些性质？

答：圆是轴对称图形；垂径定理及推论。垂径定理的证明利用了圆的轴对称性。 2、那么圆还具有什么样的对称性呢？据此我们又有什么新的发现？ 二、探索新知

活动1、绕圆心转动一个圆，你有什么发现？答：圆具有旋转不变性 如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

试一试：判别下列个图中的角是不是圆心角？（幻灯片2）

活动2（用课前准备好的圆和扇形）、请同学们按下列要求作图并回答问题：

如图所示的⊙O 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′OB ′将圆心角∠AOB 绕圆心O 旋转到∠A ′OB ′的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？

AB =''A B ，AB=A ′B ′

B '

理由：∵半径OA 与O ′A ′重合，且∠AOB=∠A ′OB ′ ∴半径OB 与OB ′重合

∵点A 与点A ′重合，点B 与点B ′重合 ∴AB 与''A B 重合，弦AB 与弦A ′B ′重合 ∴AB =''A B ，AB=A ′B ′

因此，在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在等圆中，相等的圆心角是否也有所对的弧相等，所对的弦相等呢？ 请同学们现在动手作一作．

（学生活动）老师点评：如图1，在⊙O 和⊙O ′中， 分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′得到如图2，滚动一个圆，使O 与O ′重合，固定圆心，将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

(1) (2) 你能发现哪些等量关系？说一说你的理由？

我能发现：AB =''A B （根据圆的旋转不变性），AB=A /B /．（根据两点确定一条直线） 现在它的证明方法就转化为前面的说明了， 这就是又回到了我们的数学思想上去呢──化归思想，化未知为已知，因此，我们可以得到下面的定理：

同样，还可以得到：

在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等， 所对的弧也相等． （幻灯片3）

练习1：P83。1（前3

小题有学生口答，第四小题由学生自行证明）（幻灯片4） 归纳可：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中，只要有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。

'

A A

'

例1（P83）、如图1，在⊙O 中，弧AB=弧AC ，∠ACB=60°， 求证∠AOB=∠BOC=∠AOC 。 （学生板演）（幻灯片5）

例2．已知：如图2，AB 、CD 是⊙O 的弦，且AB 与CD 不平行，M 、

N 分别是AB 、CD 的中点，AB=CD ，那么∠AMN 与∠CNM 的大小关系是

什么？为什么？（幻灯片6）

练习2、3、4（幻灯片7、8、9） 总结：证明等弧常用的方法 （1）重合； （2）垂径定理；

（3）相等的圆心角所对的弧相等，相等的弦所对的弧相等。 三、归纳总结（学生归纳，老师点评） 本节课应掌握： 1．圆心角概念．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都部分相等，及其它们的应用． 四、布置作业

教材P87习题24.1复习巩固2、3，综合运用11，拓广探索13. 六、课后反思：

在用重合证明圆心角、弧、弦的关系时，必须讲清重合、相等的理论根据，切不可似是而非、想当然。

第四课时

教学内容

1．圆周角的概念．

2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弦所对

的圆心角的一半．

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．

教学目标

1．了解圆周角的概念．

2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都等于这条弧所对的圆心角的一半．

3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90 °的圆周角所对的弦是直径．

4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．

设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．

重难点、关键

1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．

2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．

3．关键：探究圆周角的定理的存在．

教学过程

一、复习引入

（学生活动）请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫圆心角？

2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？

老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等， 那么它们所对的其余各组量都分别相等．

刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．（幻灯片2）

二、探索新知

O B

A

C

E https://www.360docs.net/doc/9f5662591.html,

F

A

C

问题：如图所示的⊙O ，我们在射门游戏中，设E 、F 是球门， 设球员们只能在EF 所在的⊙O 其它位置射门，如图所示的A 、B 、C 点．通过观察，我们可以发现像∠EAF 、∠EBF 、∠ECF 这样的角，它们的顶点在圆上， 并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题． 1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？ 2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？ 3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？ （学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言． 老师点评：

1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．

2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．

3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．（幻灯片3、幻灯片4）

活动1、辩一辩 图中的∠CDE 是圆周角吗? 活动2、几何画板探究同弧所对的圆周角和圆心角的关系。

活动3、在⊙O 上任取一个圆周角∠BAC ，将圆对折，使折痕经过圆心O 和∠BAC 的顶点A 。看一看有几种情形？我们来证明各种情形下两者的关系。（幻灯片7）

下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化， 并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”

（1）设圆周角∠ABC 的一边BC 是⊙O 的直径，如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO

C

D

E

C D

E

C

D

E

C

D

E

∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO ∴∠AOC=∠ABO ∴∠ABC=

1

2

∠AOC （2）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的两

侧，那么∠ABC=1

2

∠AOC 吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．

老师点评：连结BO 交⊙O 于D 同理∠AOD 是△ABO 的外角，∠COD 是△BOC 的外角， 那么就有∠AOD=2∠ABO ，∠DOC=2∠CBO ，因此∠AOC=2∠ABC ．

（3）如图，圆周角∠ABC 的两边AB 、AC 在一条直径OD 的同

侧，那么∠ABC=1

2

∠AOC 吗？请同学们独立完成证明．

老师点评：连结OA 、OC ，连结BO 并延长交⊙O 于D ，那么∠AOD=2∠ABD ，∠COD=2∠CBO ，而∠ABC=∠ABD -∠CBO=

12∠AOD -1

2

∠COD=

1

2

∠AOC 现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB ′C ， 同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．

从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（幻灯片9）

活动4：思考：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等吗?请证明。（幻灯片10） 进一步，我们还可以得到下面的推导：

推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 活动5、巩固练习（幻灯片11—幻灯片15）

活动6、拓展：思考；一条弧所对的圆周角与它所对的圆内角和圆外角有怎样的大小关系？（幻灯片16）

C

三、归纳小结（学生归纳，老师点评）

本节课应掌握：

1．圆周角的概念；

2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等， 都相等这条弧所对的圆心角的一半；

3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．

四、布置作业

1．教材P87习题24.1复习巩固4 综合运用12

五、课后反思：1利用练习的机会，讲解了“圆内角、圆外角”；

2、进入圆以来，习题难度大为增加，难以按教参上的课时划分来完成教学任务。

第五课时

教学内容：圆内接四边形及其性质。

教学过程：

一、复习引入：概念：1、在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．相等的圆周角所对的弧相等。

2、半圆（或直径）所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径．（幻灯片2（））练习：（幻灯片

3、4）

二、探索新知：

观察1：三角形：圆内接三角形；

圆：三角形的外接圆（幻灯片5）

观察2：四边形：圆内接四边形

圆：四边形的外接圆（幻灯片6）

定理：圆内接四边形的对角互补（幻灯片7）

C

例2 如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB

的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．（幻灯片8）

说明：让学生板演

求证：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

（幻灯片9）说明：启发学生用两种方法证明。

三、归纳小结：

四、布置作业：

五、课后反思：由于时间关系，一些提法没有讲清楚，比如：弧所对的圆心角、弧所对的圆周角、弦所对的圆心角、弦所对的圆周角以及弧所含的圆周角等。上述概念，只要学生会认真读题，仔细看图，也不难理解，准备利用讲解试卷时再强化。