郭硕鸿《电动力学》课后答案

电动力学答案

第一章 电磁现象的普遍规律

1. 根据算符?的微分性与向量性，推导下列公式：

B A B A A B A B B A )()()()()(??+???+??+???=??

A A A A )()(221

??-?=???A

解：（1）)()()(c c A B B A B A ??+??=??

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=c c c c

B A B A A B A B )()()()(??+???+??+???=

（2）在（1）中令B A =得：

A A A A A A )(2)(2)(??+???=??，

所以 A A A A A A )()()(21

??-??=???

即 A A A A )()(221

??-?=???A

2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：

u u f u f ?=

?d d )( ， u u u d d )(A A ??=??， u

u u d d )(A A ??=?? 证明： （1）z y x z

u f y u f x u f u f e e e ??+??+??=?)()()()(z y x z u u f y u u f x u u f e e e ??+??+??=d d d d d d u u

f z u y u x u u f z y x ?=??+??+??=d d )(d d e e e （2）z u A y u A x u A u z y x ??+??+??=??)()()()(A z

u u A y u u A x u u A z y x ??+??+??=d d d d d d u

u z u y u x u u A u A u A z y x z z y y x x d d )()d d d d d d (A e e e e e e ??=??+??+???++= （3）u

A u A u A z u y u x u u u z y x z y x d /d d /d d /d ///d d ??????=??e e e A z x y y z x x y z y

u u A x u u A x u u A z u u A z u u A y u u A e e e )d d d d ()d d d d ()d d d d (

??-??+??-??+??-??= z x y y z x x y z y

u A x u A x u A z u A z u A y u A e e e ])()([])()([])()([??-??+??-??+??-??= )(u A ??= 3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x 的距离，r 的方向规定为

从源点指向场点。

（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：

r r r /'r =-?=? ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-?=? ； 0)/(3=??r r ； 0)/(')/(33=?-?=??r r r r ， )0(≠r 。

（2）求r ?? ，r ?? ，r a )(?? ，)(r a ?? ，)]sin([0r k E ???及

)]sin([0r k E ??? ，其中a 、k 及0E 均为常向量。

（1）证明：222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=

○

1 r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1(r e e e =-+-+-=? r z z y y x'x r r z y x /])'()'()()[/1('r e e e -=------=? 可见 r r '-?=?

○2 3211d d 1r r r r r r r r -=?-=???

? ??=??? ??? 32'1'1d d 1'r r r r r r r r =?-=???

? ??=??? ??? 可见 ()()r r /1'/1-?=?

○

3 r r r r ??+??=??=??)/1()/1(])/1[()/(3333r r r r 0301d d 43=?-=+????? ??=

r r r r

r r r r ○4 r r r r ??+??=??=??33331)/1(])/1[()/(r

r r r 03334=+?-=r r r r r ， )0(≠r （2）解：

○13])'()'()'[()(=-+-+-???+??+??=??z y x z y x z z y y x x z

y x e e e e e e r ○2 0'''///=---??????=??z z y y x x z y

x z y

x

e e e r ○3 ])'()'()')[(()(z y x z y x z z y y x x z

a y a x a e e e r a -+-+-??+??+??=?? a e e e =++=z z y y x x a a a

○

4 r a r a a r a r r a )()()()()(??+???+??+???=?? 因为，a 为常向量，所以，0=??a ， 0)(=??a r ， 又0=??r Θ，a r a r a =??=??∴)()(

○

5 )]sin([)sin()()]sin([000r k E r k E r k E ???+???=??? 0E 为常向量，00=??E ，而k r k r k r k r k )cos()()cos()sin(?=???=??，