3.1.1直线的倾斜角与斜率教学设计

3.1.1直线倾斜角与斜率的教学设计（第一课时）

莆田四中数学组陈冠峰一、内容及其解析

“直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始，直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、目标及其解析

1．三维目标

1、知识与技能：

（1）在直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素；

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（2）理解直线倾斜角和斜率的概念和关系。

2、过程与方法：

（1）结合实际，用实际问题带动数学学习；

（2）思维训练，借助图像帮助理解。

3、情感态度与价值观：

认识事物之间相互联系——用联系的观点看问题。

2.教学重点：直线的倾斜角和斜率概念。

3.教学难点：斜率概念的理解，直线倾斜角与斜率变化关系探究。

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三、问题诊断与分析

1．在初中，学生已经知道，两点确定一条直线，但就已知一点需要再增加什么量才能确定直线，以及如何来刻画这个量，对学生来说有点困难，所以在教学过程中可以引导学生先观察过一点的不同直线的倾斜程度不同，从中形成倾斜角的概念，再经过作图发现经过平面上的一个点和他的倾斜角可以确定直线的位置。

2．对斜率概念的理解是本节的难点，教学中通过日常生活的例子（坡度概念），充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念。

3.探究直线倾斜角与斜率变化关系是本节的另一个难点，教学中可以采用从特殊到一般的思想方法，先让学生观察特殊角的正切值表，发现并总结规律，随后利用几何画板展示直线倾斜角与斜率的变化过程，拓展到一般情况，加强学生思维训练，同时让学生感受到数学的自然性。

四、教学设计

（一）创设情境，引入新课

1596年3月31日生于法国小镇的一个贵族家庭。因家境富

裕从小多病，据说有一天，笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如

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此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比

较抽象的，能不能把几何图形和代数方程结合起来，也就是说能

不能用几何图形来表示方程呢要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。

突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来。一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。他想，可以把蜘蛛看作一个点。他在屋子里可以上，下，左，右运动，能不能把蜘蛛的每一个位置用一组数确定下来呢他又想，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的线作为数轴，那么空间中任意一点的位置就可以在坐标系上找到有顺序的数对。反过来，任意给一组有顺序的数，也可以在空间中找到一点与之对应，这就是坐标系的雏形。

平面解析几何是通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。

设计意图：了解解析几何的基本研究内容，同时，通过故事激发学生兴趣，拉近教师和学生之间距离。

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升高

（二）讲解新课

一、直线的倾斜角

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问题一：确定一条直线的位置要素是什么

设计意图：明确研究对象：探索确定直线位置的几何要素。

方法一：已知直线上的两点

方法二：一个点和一个方向

师生共同探究发现，过点P 直线有无数条，它们的倾斜程度不同。

设计意图：引导学生从倾斜程度不同方面研究过定点的不同直线，

从而发现直线上一点和直线的倾斜程度也能确定一条直线，为引出倾斜角的概念作铺垫。 倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴为基准，x 轴正方向与直线l 向上方向之间所成的角a 叫做直线l 的倾斜角。

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注：1. 当直线l 与x 轴平行或重合时，直线的倾斜角为0°；

2.倾斜角的取值范围是0180α?≤

问题二：1.平面上任何一条直线都有倾斜角吗它的倾斜角唯一吗

2.两条直线平行，倾斜角有何关系

3.两不重合的直线倾斜角相等，它们的位置关系如何

设计意图：使学生理解确定一条直线位置的几何要素是：直线上的一个点以及它的倾斜角，两者缺一不可。倾斜角刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度！

二、直线的斜率

问题三：除了倾斜角，日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量

设计意图：结合实际，用实际问题带动数学学习。

观察图片，回顾初中学过的“坡度（比）”的含义

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设计意图：从学生的现状出发，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法

从上面的研究，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度

设计意图：引导学生理解直线的倾斜程度除了用倾斜角表示外，还可以用倾斜角的正切值表示，体现了几何向代数的转化过程，由此引出斜率概念。

斜率：倾斜角不是90o 的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。常用k 表示，即k=tan α(α ≠ 90o )

注：（1）倾斜角是90o 的直线没有斜率

（2）倾斜角不是90o 的直线都有斜率，倾斜角不同，直线的斜率也不同。

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设计意图：明确可以用斜率表示直线的倾斜程度，因此：斜率也可以刻画平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度。

三、探究活动：直线的倾斜角与斜率的变化关系

复习初中学习的特殊角正切值，提示：当α是锐角时，ααtan )180tan(0-=-。

前进量升高量

坡度（比）=

引导学生仔细观察表格，发现规律：

（1）当00900<<α时，0>k ；

当090=α时，k 无意义；

当0018090<<α时，0

（2）当倾斜角互补时，斜率k 互为相反数。

；

（3）当00900<<α时，α增大，k 也增大；当0018090<<α时，α增大，k 也增大。 探讨：上述为特殊情况，一般情况下又如何

几何画板展示，任取一条过原点的直线，做直线1=x ，交已知直线于点N ，则点N 的纵坐标即为直线的斜率k ，转动直线，观察点N 纵坐标的变化情况，由此证实上述结论。若直线不过原点，根据平行直线倾斜角相等的结论，可以过原点做与已知直线平行的直线，转化为上述问题。

设计意图：渗透从特殊到一般的数学思想，先探究特殊情况，并观察总结规律，再通过数形结合，研究一般情况，得出结论。

四、例题讲解

例1 判断正误

（1）任一条直线都有倾斜角也都有斜率 （ ）

,

（2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 （ ）

（3）平行于X 轴的直线的倾斜角是00或0180 （ ）

（4） 因为平行于y 轴的直线的斜率不存在，所以平行于y 轴的直线的倾斜角不存在（ ）

（5）两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等（ ）

（6）两直线的倾斜角相等，则它们的斜率相等（ ）

例2 （1）直线1L 的倾斜角为060，求其斜率为（ ）

A ．33

B ．3

C ．3

3- D ．3- （2）已知直线2L 的斜率为3-，则其倾斜角大小为（ ）

]

A ．0120

B ．0150

C ．0135

D ．060

例3 已知过某点的倾斜角的取值范围，讨论直线斜率的变化情况。

（1）00450<<α （2）00135120<<α

思考：若0012060<<α，则倾斜角的取值范围如何

课堂练习：如图，直线1L 的倾斜角0130=α，直线12L L ⊥，

求1L 、2L 的斜率。

解： 1L 的倾斜角为0

30 ∴1L 的斜率3330tan tan 011=

==αk ~

2L 的倾斜角010212090=+=αα

∴2L 的斜率02120tan =k 360tan )60180tan(000-=-=-=

思考：直线1L 的倾斜角0

130=α，直线1L 、2L 相交所成角为060，判断两直线斜率情况。

五、课堂小结

1.本节课的收获

1、直线的倾斜角定义: 。

（１）特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定倾斜角 ＝；

（２）倾斜角的取值范围________ 。

2、直线的斜率的定义：。

（垂直于x轴的直线斜率）

3、对斜率k的定义及对斜率与倾斜角关系的理解

K=0时，倾斜角；k>0时，倾斜角；

k<0时，倾斜角．垂直于x轴的直线的倾斜角为。

2.本节课的启示

数形结合的思想，化归与转化的思想，特殊与一般的思想，事物之间的相互联系——用联系的观点看问题。

六、教学反思

本节课是高中解析几何的第一节课，通过本节课，让学生了解解析几何研究的基本内容和基本思想方法，同时，掌握直线倾斜角和斜率定义以及倾斜角和斜率变化关系，其中，由于学生还没有学习必修四的正切函数图象及性质，因此，直线倾斜角和斜率变化应该是本节课的难点所在，也是教学的重点。实际教学中，在讲解概念的同时，结合几何画板动态演示，效果较好，但由于学生基础较差，引导学生主动思考、发现问题的环节略显不足，需要以后的教学实践中多加注意、多想办法。