提高题专题复习勾股定理练习题及答案
提高题专题复习勾股定理练习题及答案
一、选择题
1．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )
A ．8
B ．8.8
C ．9.8
D ．10
2．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为4+23，则所有钢条的总长为（ ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
3．如图，等边ABC ?的边长为1cm ，D ，E 分别是AB ，AC 上的两点，将ADE ?沿直线DE 折叠，点A 落在点'A 处，且点'A 在ABC ?外部，则阴影部分图形的周长为（ ）
A ．1cm
B ．1.5cm
C ．2cm
D ．3cm
4．在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD 的点A （0，﹣2）、点B （3m ，4m +1）（m ≠﹣1），点C （6，2），则对角线BD 的最小值是（ ） A ．2 B ．13C ．5
D ．6
5．在ABC 中，90C ∠=?，30A ∠=?，12AB =，则AC =（ ）
A ．6
B ．12
C ．62
D ．36．已知M 、N 是线段AB 上的两点，AM ＝MN ＝2，NB ＝1，以点A 为圆心，AN 长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM 长为半径画弧，两弧交于点C ，连接AC ，BC ，则△ABC 一定是( ) A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰三角形
7．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，90D ?∠=，4=AD ，3BC =．分别以点A ，
C为圆心，大于1
2
AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点
O．若点O是AC的中点，则CD的长为（）
A．22B．4 C．3 D．10
8．长度分别为9cm、12cm、15cm、36cm、39cm五根木棍首尾连接，最多可搭成直角三角形的个数为()
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）
A．17B．5C．2D．7
10．已知三角形的两边分别为3、4，要使该三角形为直角三角形，则第三边的长为
（）
A．5B7C．57D．3或4
二、填空题
11．我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，则S2的值是_________．
12．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为5 dm、3 dm和1 dm，A和B 是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是 dm．
13．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，矩形内一动点P使得S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，则
点P到点A、D的距离之和PA+PD的最小值为_____．
14．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°,以AC为斜边向外作等腰直角三角形COA，已知BC=8,OB=102,则另一直角边AB的长为__________.
15．如图，已知△DBC是等腰直角三角形，BE与CD交于点O，∠BDC=∠BEC=90°，
BF=CF ，若BC=8，OD=2，则OF=______.
16．如图，在ABC △中8,4,AB AC BC AD BC ===⊥于点D ，点P 是线段AD 上一个动点，过点P 作PE AB ⊥于点E ，连接PB ，则PB PE +的最小值为________.
17．《算法统宗》中有一道“荡秋干”的问题，其译文为：“有一架秋千，当它静止时，踏板上一点A 离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，点A 对应的点B 就和某人一样高，若此人的身高为5尺，秋干的绳索始终拉得很直，试问绳素有多长？”根据上述条件，秋干绳索长为________尺.
18．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90o，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．
19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐
标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．
20．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，底边BC 上的高AD ＝6cm ，腰AC 上的高BE ＝4m ，则△ABC 的面积为_____cm 2．
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ?都是等边三角形，7,3,2AD BD CD ===求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，在矩形ABCD 中，AB=8，BC=10，E 为CD 边上一点，将△ADE 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处． （1）求BF 的长； （2）求CE 的长．
23．如图，△ABC 中AC =BC ，点D ，E 在AB 边上，连接CD ，CE ．
(1)如图1，如果∠ACB =90°，把线段CD 逆时针旋转90°，得到线段CF ，连接BF ， ①求证：△ACD ≌△BCF ；
②若∠DCE =45°， 求证：DE 2=AD 2+BE 2；
(2)如图2，如果∠ACB =60°，∠DCE =30°，用等式表示AD ，DE ，BE 三条线段的数量关系，说明理由．
24．问题情境：综合实践活动课上，同学们围绕“已知三角形三边的长度，求三角形的面积”开展活动，启航小组同学想到借助正方形网格解决问题
问题解决：图（1）、图（2）都是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，操作发现，启航小组同学在图（1）中画出△ABC ，其顶点A ，B ，C 都在格点上，同时构造长方形CDEF ，使它的顶点都在格点上，且它的边EF 经过点A ，ED 经过点B ．同学们借助此图求出了△ABC 的面积．
（1）在图（1）中，△ABC 的三边长分别是AB ＝ ，BC ＝ ，AC ＝ ．△ABC 的面积是 ．
（2）已知△PMN 中，PM ＝17，MN ＝25，NP ＝13．请你根据启航小组的思路，在图（2）中画出△PMN ，并直接写出△RMN 的面积 ．
25．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，ABC ?，ADE ?，AFO ?均为等边三角形，A 在y 轴正半轴上，点0()6,B -，点(6,0)C ，点D 在ABC ?内部，点E 在
ABC ?的外部，32=AD ，30DOE ∠=?，OF 与AB 交于点G ，连接DF ，DG ，DO ，OE .
（1）求点A 的坐标；
（2）判断DF 与OE 的数量关系，并说明理由； （3）直接写出ADG ?的周长.
26．如图，在边长为2正方形ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G . ①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
27．已知n 组正整数：第一组：3，4，5；第二组：8，6，10；第三组：15，8，17；第四组：24，10，26；第五组：35，12，37；第六组：48，14，50；…
（1）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为71？若存在，请写出这组数；若不存在，请说明理由；
（2）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．
28．如图1，点E 是正方形ABCD 边CD 上任意一点，以DE 为边作正方形DEFG ，连接BF ，点M 是线段BF 中点，射线EM 与BC 交于点H ，连接CM ． （1）请直接写出CM 和EM 的数量关系和位置关系．
（2）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转45?，此时点F 恰好落在线段CD 上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由．
（3）把图1中的正方形DEFG 绕点D 顺时针旋转90?，此时点E 、G 恰好分别落在线段
AD 、CD 上，连接CE ，如图3，其他条件不变，若2DG =，6AB =，直接写出CM 的长度．
29．阅读下列材料，并解答其后的问题：
我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦?秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的
边分别为a、b、c，△ABC的面积为S＝()()()()
a b c a b c a c b b c a
+++-+-+-
．
（1）（举例应用）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且a＝4，b ＝5，c＝7，则△ABC的面积为；
（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB＝（26+42）m，BC＝5m，CD＝7m，AD＝46m，∠A＝60°，求该块草地的面积．
30．如图,在△ABC中,D是边AB的中点,E是边AC上一动点,连结DE,过点D作DF⊥DE交边BC于点F(点F与点B、C不重合),延长FD到点G,使DG=DF,连结EF、AG.已知
AB=10,BC=6,AC=8.
(1)求证:△ADG≌△BDF；
(2)请你连结EG,并求证:EF=EG；
(3)设AE=x,CF=y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围；
(4)求线段EF长度的最小值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案. 【详解】 ∵AP+CP=AC ，
∴AP BP CP ++=BP+AC ，
∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值， 设AH ⊥BC ，
∵56AB AC BC ===， ∴BH=3， ∴224AH AB BH =-=,
∵11
22
ABC
S BC AH AC BP =
?=?， ∴
11
64522BP ??=?, ∴BP=4.8，
∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8， 故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.
2．D
解析：D 【分析】
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3
AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，再用含a的式子表示出P1P3，P3P5，从而可求出a的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．
【详解】
解：如图，∵AP1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P1P2A=15°，
∴∠P2P1P3=30°，∴∠P1P3P2=30°，∴∠P3P2P4=45°，
∴∠P3P4P2=45°，∴∠P4P3P5=60°，∴∠P3P5P4=60°，
∴∠P5P4P6=75°，∴∠P4P6P5=75°，∴∠P6P5B=90°，
此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．
设AP1＝a，作P2D⊥AB于点D，
∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=1
2P1P2，∴P1D＝
3
2
a，
∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，
∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，
∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，
∴AP5=a+3a+a＝4+23，
解得，a＝2，
∴所有钢条的总长为2×5＝10，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．
3．D
解析：D
【分析】
根据折叠的性质可得AD=A'D，AE=A'E，易得阴影部分图形的周长为=AB+BC+AC，则可求得答案．
【详解】
解：因为等边三角形ABC的边长为1cm，所以AB=BC=AC=1cm，
因为△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A'处，所以AD=A'D，AE=A'E，
所以阴影部分图形的周长=BD+A'D+BC+A'E+EC=BD+AD+BC+AE+EC=AB+BC+AC=1+1+1=3（cm）．
故选：D．
【点睛】
此题考查了折叠的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用以及折叠前后图形的对应关系．
4．D
解析：D
【分析】
先根据B（3m，4m+1），可知B在直线y=4
3
x+1上，所以当BD⊥直线y=
4
3
x+1时，BD最
小，找一等量关系列关于m的方程，作辅助线：过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，利用三角形相似得BH2=EH?FH，列等式求m的值，得BD的长即可．
【详解】
解：如图,
∵点B(3m，4m+1)，
∴令
3
41
m x
m y
=
?
?
+=
?
，
∴y=4
3
x+1，
∴B在直线y=4
3
x+1上，
∴当BD⊥直线y=4
3
x+1时，BD最小，
过B作BH⊥x轴于H，则BH=4m+1，
∵BE在直线y=4
3
x+1上，且点E在x轴上，
∴E(?3
4
，0)，G(0，1)
∵F是AC的中点
∵A(0，?2)，点C(6，2)，∴F(3，0)
在Rt△BEF中，
∵BH2=EH?FH，
∴(4m+1)2=(3m+3
4
)(3?3m)
解得：m1=?1
4
(舍)，m2=
1
5
，
∴B(3
5
，
9
5
)，
∴=6，
则对角线BD的最小值是6；
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，三角形相似的判定，圆形与坐标特点，勾股定理等知识点.本题利用点B的坐标确定其所在的直线的解析式是关键．
5．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的性质求出BC，根据勾股定理计算，得到答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=1
2
AB=6，
由勾股定理得，=
故选：D．
【点睛】
本题考查的是直角三角形的性质、勾股定理，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
6．B
解析：B
【分析】
依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．
【详解】
如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形就是直角三角形．
7．A
解析：A 【分析】
连接FC ，根据基本作图，可得OE 垂直平分AC ，由垂直平分线的性质得出=AF FC ．再根据ASA 证明FOA BOC ???，那么==3AF BC ，等量代换得到==3FC AF ，利用线段的和差关系求出==1FD AD AF -．然后在直角FDC ?中利用勾股定理求出CD 的长． 【详解】
解：如图，连接FC ，则=AF FC ．
AD BC ∵∥，
FAO BCO ∴∠=∠． 在FOA ?与BOC ?中， FAO BCO OA OC
AOF COB ∠=∠??
=??∠=∠?
， ()FOA BOC ASA ∴???，
3AF BC ∴==，
3FC AF ∴==，431FD AD AF =-=-=．
在FDC ?中，
90D ?∠=，
222CD DF FC ∴+=， 22213CD ∴+=，
22
CD
∴=．
故选A．
【点睛】
本题考查了作图﹣基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度适中．求出CF与DF是解题的关键．
8．B
解析：B
【解析】
试题分析：解：∵92=81，122=144，152=225，362=1296，392=1521，
∴81+144=225，225+1296=1521，即92+122=152，152+362=392，
故选B．
考点：勾股定理的逆定理
点评：本题难度中等，主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容．
9．A
解析：A
【解析】
试题解析：作AD⊥l3于D，作CE⊥l3于E，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°
又∠DAB+∠ABD=90°
∴∠BAD=∠CBE，
{
BAD CBE
AB BC
ADB BEC
∠=∠
=
∠=∠
，
∴△ABD≌△BCE
∴BE=AD=3
在Rt△BCE中，根据勾股定理，得25+9=34，
在Rt△ABC中，根据勾股定理，得342=217.
故选A．
考点：1.勾股定理；2.全等三角形的性质；3.全等三角形的判定．
10．C
解析：C 【分析】
根据勾股定理和分类讨论的方法可以求得第三边的长，从而可以解答本题． 【详解】
由题意可得，当3和4为两直线边时，第三边为：2243+＝5， 当斜边为4时，则第三边为：2243-＝7， 故选：C 【点睛】
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理和分类讨论的数学思想解答．
二、填空题
11．
103． 【解析】
试题解析：将四边形MTKN 的面积设为x ，将其余八个全等的三角形面积一个设为y ， ∵正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 1+S 2+S 3=10， ∴得出S 1=8y+x ，S 2=4y+x ，S 3=x ， ∴S 1+S 2+S 3=3x+12y=10，故3x+12y=10， x+4y=
103
， 所以S 2=x+4y=
103
． 考点：勾股定理的证明． 12．【解析】
试题分析：将台阶展开，如图，
331312,5,AC BC =?+?==222169,AB AC BC ∴=+=13,AB ∴=即蚂蚁爬行的最
短线路为13.dm
考点：平面展开：最短路径问题． 13．2 【分析】
根据S △PAD ＝
1
3
S 矩形ABCD ，得出动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，作A 关于直线l 的对称点E ，连接DE ，BE ，则DE 的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE 中，由勾股定理求得DE 的值，即可得到PA+PD 的最小值． 【详解】
设△PAD 中AD 边上的高是h ． ∵S △PAD ＝1
3
S 矩形ABCD ， ∴
1
2 AD ?h ＝13AD ?AB ， ∴h ＝
2
3
AB ＝4， ∴动点P 在与AD 平行且与AD 的距离是4的直线l 上，
如图，作A 关于直线l 的对称点E ，连接BE ，DE ，则DE 的长就是所求的最短距离．
在Rt △ADE 中，∵AD ＝8，AE ＝4+4＝8， DE 22228882AE AD ++=
即PA +PD 的最小值为2 ． 故答案2． 【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P 所在的位置是解题的关键． 14．12 【分析】
延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE.证?BCO ?∠EAO ，再证三角形BOE 是等腰直角三角形，利用勾股定理可得()()
2
2
2210210220BO EO +=+=，可得AB=BE-AE.
【详解】
如图，延长BA 至E ，使AE=BC ，并连接OE. 因为三角形COA 是等腰直角三角形 所以CO=AO,∠AOC=∠BOC+∠AOB=90° 因为∠ABC=90°，∠AOC=90°， 所以∠BAO+∠BCO=180°, 又∠BAO+∠OAE=180° 所以∠BCO=∠OAE 所以?BCO ?∠EAO 所以BO=EO, ∠BOC=∠EOA 所以，∠BOE=∠EOA+∠AOB=90° 所以三角形BOE 是等腰直角三角形 所以BE=(
)(
)
2
2
22102
102
20BO EO +=+=
所以AB=BE-AE=20-8=12 故答案为：12 【点睛】
考核知识点：全等三角形，勾股定理.构造全等三角形是关键.
15．10
【分析】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，先根据等腰直角三角形的性质得出DC 的值，再用勾股定理求出OE 的值，然后根据中位线定理得出FG 的的值，最后再根据勾股定理得出OF 的值即可. 【详解】
过点F 作FG ⊥BE ，连接OF 、EF ，如下图所示：
∵DBC ?是等腰直角三角形，且BF CF =，8BC =
∴
DC DB ===
∵OD =
∴OC DC OD =-=
∴OB =设OE x =， ∵∠BEC=90°
则()2
222OC OE BC OB OE -=-+
∴17
OE =
∴EC ==
∵BF CF =，FG ⊥BE ，∠BEC=90°
∴12FG EC =
=
∴BE BO OE =+=
∴12GO GE OE BE OE =-=
-=
∴OF =【点睛】
本题主要考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形、中位线定理、勾股定理等，综合度比较高，准确作出辅助线是关键.
16【分析】
根据题意点B 与点C 关于AD 对称，所以过点C 作AB 的垂线，与AD 的交点即点P ，求出CE 即可得到答案 【详解】
∵8,AB AC AD BC ==⊥ ∴点B 与点C 关于AD 对称
过点C 作CE ⊥AB 于一点即为点P ，此时PB PE +最小 ∵8,4,AB AC BC AD BC ===⊥ ∴BD=2
在Rt △A BC 中， AD ==∵S △ABC=
11
22
BC AD AB CE ??=??
∴42158CE ?= 得15CE = 故此题填15
【点睛】
此题考察最短路径，根据题意找到对称点，作直角三角形，利用勾股定理解决问题 17．5 【分析】
设绳索x 尺，过点B 向地面及AO 作垂线BE 、BC ，构成直角三角形OBE ，利用勾股定理求出x 的值 【详解】
如图， 过点B 作BC ⊥OA 于点C ，作BD 垂直于地面，延长OA 交地面于点D 由题意知AD=1，BE=5，BC=10 设绳索x 尺，则OA=OB=x ∴OC=x+1-5=x-4
在Rt △OBC 中，OB 2=OC 2+BC 2 ∴2
2
2
(4)10x x =-+ 得x=14.5（尺） 故填14.5
,
【点睛】
此题考察勾股定理的实际运用，理解题意作辅助线构建直角三角形是解题关键.
1871
【分析】
分别找到两个极端,当M 与A 重合时，AP 取最大值，当点N 与C 重合时，AP 取最小，即可求出线段AP 长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M 与A 重合时，AP 取最大值，此时标记为P 1，由折叠的性质易得四边形AP 1NB 是正方形，在Rt △ABC 中，2222AB=AC BC =54=3--， ∴AP 的最大值为A P 1=AB=3
如图所示，当点N 与C 重合时，AP 取最小，过C 点作CD ⊥直线l 于点D ，可得矩形ABCD ，∴CD=AB=3，AD=BC=4， 由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt △PCD 中，2222PD=PC CD =43=7--， ∴AP 的最小值为AD PD=47-线段AP 长度的最大值与最小值之差为(1AP AP=347=71-- 71 【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索. 19．5【分析】
如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ，先证明△ANP ≌△MNG （AAS ），再根据勾股定理求出PN 的值，即可得到线段PG 的长度． 【详解】
如图，作PA ∥y 轴交X 轴于A ，PH ⊥x 轴于H ．GM ∥y 轴交x 轴于M ，连接PG 交x 轴于N ．