浙江省杭州市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题 含解析

杭州市2018-2019学年高一下期末考试

数学试题

一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1.设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A. {1,5} B. {3,4}

C. {3,5}

D. {1,2,3,4,5}

【答案】B 【解析】 【分析】

补集：{}|,U C A x x A x U =∈?且

【详解】因为{}{}1,2,3,4,5,1,2,5U A ==，所以{}3,4U C A =,选B.

【点睛】本题主要考查了集合的运算，需要掌握交集、并集、补集的运算。属于基础题。

2.设函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()2x f x =，则()2f -=（ ） A. －4 B. 1

4

C. 14

-

D. 4

【答案】A 【解析】 【分析】

由奇函数的性质可得: ()()f x f x -=-即可求出

()2f -

【详解】因为()y f x =是定义在R 上的奇函数，所以()()()()22f x f x f f -=-?-=- 又因为当0x >时，()2x

f x =，所以()2

224f ==，所以()()224f f -=-=-，选A.

【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。2、在定义域上满足()()f x f x -=-。3、若定义域包含0，一定有()00f =。

3.函数1

()2x

f x x

=-

的零点所在的区间是（ ）

A. 1(0,)2

B. 1(,1)2

C. 3(1,)2

D. 3(,2)2

【答案】B 【解析】

()1220,12102f f ??==- ???

，故零点在区间1,12?? ???.

4.已知||1a =，||6b =，()2a b a ?-=，则向量a 与向量b 的夹角是（ ） A.

6

π

B.

4

π C.

3

π D.

2

π 【答案】C 【解析】

试题分析：由条件得22a b a ?-=，所以2

23cos

16cos a b a a b αα?=+==?=??，所以1cos 2α=

，即3

π

α=． 考点：向量的数量积运算．

5.若1

cos 63

πα??-= ???，则sin 3πα??+= ???（ ）

A. －

1

3

B.

13

22

D. 22

【答案】B 【解析】 【分析】

首先观察两个角之间的关系：6

3

2

π

π

π

αα-++

=

，因此

6

23a π

π

πα?

?-=

-+ ???

两边同时取余弦值即可。 【详解】因为

6

23π

π

παα?

?-=

-+ ???

所以1cos cos sin +62333ππππααα???????

?-=-+==

? ? ??????

?????

所以1sin 33

πα??

+

= ??

?，选B. 【点睛】本题主要考查了三角函的诱导公式。解决此题的关键在于拼凑出6

23a π

π

πα?

?-=

-+ ???

，再利用诱导公式（奇变偶不变、符号看象限）即可。

6.为了得到函数y sin 23x π?

?

=+

??

?

的图象，只需把函数sin 2y x =的图象（ ） A. 向左平移6π

个单位长度 B. 向右平移

6π

个单位长度 C. 向左平移3

π

个单位长度

D. 向右平移3

π

个单位长度

【答案】A 【解析】 【分析】 根据y sin 2sin 236x y x ππ????

??=+?=+ ? ????

??

???,因此只需把函数sin 2y x =的图象向左平移6π

个单位长度。

【详解】因为y sin 2sin 236x x ππ???

?

??=+

=+ ? ????

??

???，所以只需把函数sin 2y x =的

图象向左平移

6

π

个单位长度即可得y sin 23x π??

=+

??

?

，选A. 【点睛】本题主要考查就三角函数的变换，左加右减只针对x ，属于基础题。

7.设R a ∈，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则（ ） A. 2a ≤ B. 2a ≥ C. 52

a ≥

D. 5

2

a ≤

【答案】D 【解析】 【分析】

根据题意得不等式对应的二次函数()2

1f x x ax =-+开口向上，分别讨论0,0,0?=?>?<三种情况即可。

【详解】由题意得：当02a ?=?=±

当()()22

052251020222a a a a f f a a ?->??

??<-<≤??≥≥≤≤??

?

或或或或 当022a ?

2

a ≤

,选D. 【点睛】本题主要考查了含参一元二次不等式中参数的取值范围。解这类题通常分三种情况：

0,0,0?=?>?<。有时还需要结合韦达定理进行解决。

8.在ABC △中，若2

sin sin cos 2

C

A B =，则ABC △是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形

【答案】A 【解析】 【分析】

首先根据降幂公式把等式右边降幂你，再根据A B C π++=把C 换成A 与B 的关系，进一步化简即可。 【

详解】2

11

cos cos 222

C C =+，A B C π++=， ()()2

111111111

cos cos cos cos cos cos sin sin 2222222222

C C A B A B A B A B π??∴=+=+-+=-+=-+?? 111

sin sin cos cos sin sin 222

A B A B A B ∴=

-+ ()cos 1A B ∴-=

0,0A B ππ<<<<

()cos 1cos00A B A B A B ∴-==?-=?=,选A.

【点睛】本题主要考查了二倍角，两角和与差的余弦等，需熟记两角和与差的正弦余弦等相关公式，以及特殊三角函数的值是解决本题的关键，属于基础题。

9.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，()()1618n n n S n T +=+．若

n

n

a Z

b ∈，则n 的

取值集合为（ ） A. {1,2,3} B. {1,2,3,4} C. {1,2,3,5} D. {1,2,3,6}

【答案】D 【解析】 【分析】

首先根据()()1618n n n S n T +=+即可得出

n n

S T ，再根据前n 项的公式计算出n

n b a 即可。

【详解】

()()618

16181

n n n n S n n S n T T n ++=+?

=+ ()

()121211212121212626222n n n n n n n n n a a a a S n n b b b b T n n

----++∴=====++

n

n

a Z

b ∈ {}1,2,3,6n ∴∈，选D.

【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质，属于难题.等差数列的常用性质有： （1）通项公式的推广：()n m a a n m d =+-

（2）若{}n a 为等差数列， p q m n p q m n a a a a +=+?+=+；

（3）若{}n a 是等差数列，公差为d ，,2,k k m k m a a a ++ ，则是公差md 的等差数列；

10.设函数()()()

210lg 0x x f x x x ?+≤?=?>??，若关于x 的方程()()2

20f x af x -+=恰有6个不同的实数解，

则实数a 的取值范围为（ ） A. (2,2) B. (

22,3??

C. (3,4)

D. (224)，

【答案】B 【解析】 【分析】

首先令()f x t =，转化成220t at -+=在(]

0,2有两个解的问题根据函数解析式画出()f x t =的图像根据一元二次方程根的分别问题即可得a 的取值范围。 【详解】由题意得()f x 的图像如图

:

令()f x t =，因为()()2

20f x af x -+=恰有六个解，所以(]0,2t ∈。

即()(]

220,0,2g t t at t =-+=∈有两个不同的解，因此

()()022222020422323

00

20

a g a a a a a a g g ???< ??????<->?-?

???<-≤?<≤?<≤?? ?

????≥??>?≥??或，选B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合运用；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断．另外本题考了数学中比较主要的一种思想：换元法，即把等式或方程中的每一部分看成一个整体，这样简化计算。

二、填空题(共7小题,每小题5分,共36分)

11.向量(m,1),(1,3)a b ==-，且a b ⊥，则m =_____；||a b +=____． 【答案】 (1). 3 (2). 5【解析】 【分析】

根据向量垂直可得对应相乘相加等于0即可得m ，再根据向量的加法及摸长公式即可得a b +。 【详解】

303a b m m ⊥?-=?=

()4,2a b ∴+=-

(

24a b ∴+=+=【点睛】本题主要考查了向量的垂直，以及模的计算。属于基础题。

12.函数()sin 2x 4f x π??

=-

??

?

的最小正周期为_____；单调递增区间为_______． 【答案】 (1). π (2). 3[,

]()8

8

k k k Z π

π

ππ-++∈ 【解析】 【分析】 根据周期公式2T W π=即可得周期。根据余弦函数的单调增区间即可得()sin 24f x x π?

?=- ??

?的单调递增区间。

【详解】因为()sin 24f x x π??=- ??

?，所以

222T W πππ===， 因为3222,()2

4

2

8

8

k x k k x k k Z π

π

π

π

π

ππππ-

+≤-

≤

+?-

+≤≤

+∈， 所以增区间为3,()88k k k Z ππππ??-

++∈????

【点睛】本题主要考查了余弦函数的周期以及单调区间，属于基础题。

13.质点P 的初始位置为1(3,1)P ，它在以原点为圆心，半径为2的圆上逆时针旋转150°到达点2P ，则质点P 经过的弧长为__________；点2P 的坐标为________（用数字表示）． 【答案】 (1). 53

π

(2). (2,0)- 【解析】 分析】

根据弧长公式即可得出弧长，再根据旋转前以x 轴的夹角和旋转后以x 轴的角即可得出点2p 的坐标。

【详解】根据弧长公式可得：515023l r πα==?=

。1P 以x 轴的夹角为tan 30θθ?=?=，

所以旋转后点2P 刚好在x 轴的负半轴，所以2P 的坐标为()2,0-。 【点睛】本题主要考查了弧长公式，以及特殊三角函数值等，属于基础题。

14.设数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列．若159a a a π++=，则()28cos a a +=_______；若0n b >，且56474b b b b +=，则1210b b b =_______．

【答案】 (1). 1

2

- (2). 32 【解析】 【分析】

根据等差数列的性质即可解决p q m n p q m n a a a a +=+?+=+即可解决第一空，根据对比数列的性质p q m n p q m n a a a a +=+??=?即可解决第二空。

【详解】因为列{}n a 为等差数列，159a a a π++=，所以5533

a a π

π=?=

，所以

()()28521

cos cos 2cos

32

a a a π+===-。又因为数列{}n

b 为等比数列0n b >，且56474b b b b +=，所以5656242b b b b =?=，所以()5

5121056232b b b b b ?===。

【点睛】本题主要考查了等差、等比数列的性质：在等差数列中有p q m n p q m n a a a a +=+?+=+，在等比数列中有p q m n p q m n a a a a +=+??=?，属于中等题。

15.若函数()sin 2cos2f x x a x =+，x ∈R 的图像关于6

x π

=-

对称，则a =________．

【答案】3

【解析】 【分析】

特殊值法：由()f x 的对称轴是6x π

=-，所以()30f f π??

=- ???

即可算出a

【详解】由题意得()f x 是三角函数

所以()sin 0cos0sin 2cos 233033f f a a a πππ??????

????=-

?+=?-+?-?=- ? ? ? ? ??????

?????

【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，需要记忆三角函数的基本性质：单调性、对称轴、周期、定义域、最值、对称中心等。根据对称性取特殊值法解决本题是关键。属于中等题。

16.已知0a >，0b >，若()469log log log a b a b ==+，则a

b

=______． 51

- 【解析】 【分析】

首先令()469log log log a b a b t ==+=，分别把,a b 解出来，再利用整体换元的思想即可解决。 【详解】令()469log log log 4,6,9t

t

t

a b a b t a b a b ==+=?==+=

所以2

2294691033t t

t t t t a b ??????

+=?+=?+-=?? ? ?????

????

令()203t

x x ??=> ???

，所以25110x x x -+-=?= 所以4251

63t

t t a b -??=== ???【点睛】本题主要考查了整体换元的思想以及对数之间的运算和公式法解一元二次方程。整体换元的思想是高中的一个重点，也是高考常考的内容需重点掌握。

17.设向量,,a b c 满足||1a =，||2b =，||3c =，0b c ?=．若12λ-≤≤，则|(1)|a b c λλ++-的最大值是________． 【答案】2101 【解析】 【分析】

令()1n b c λλ=+-，计算出n 模的最大值即可，当n 与a 同向时a n +的模最大。 【详解】令()1n b c λλ=+-，则()2

2

11318n b c λλλλ??=

+-=-??12λ-≤≤，所以当1λ=-，max 1310n ==，因此当n 与a 同向时a n +的模最大，

max 2101a n a n +=+=+

【点睛】本题主要考查了向量模的计算，以及二次函数在给定区间上的最值。整体换元的思想，属于较的难题，在解二次函数的问题时往往结合图像、开口、对称轴等进行分析。

三、解答题：（本大题共5小题，共74分）

18.已知集合{}

44A x a x a =-<<+，{

5B x x =>或}1x <-． （1）若1a =，求A

B ；

（2）若A B =R ，求实数a

的

取值范围．

【答案】（1）(3,1)--；（2）13a <<. 【解析】 【分析】

（1）把1a =等于带入集合中求交集即可。

（2）由A B R ?=，可知A B ?包含数轴上所有的实数，画出数轴分析即可。

【详解】（1）当1a =时，()3,5A =-，{51

}B x x x =<-或， 所以()3,1A B ?=--；

（2）因为A B R ?=，所以41

45

a a -<-??+>?，

解得：13a <<.

【点睛】本题主要考查了集合之间的运算，需要掌握集合的交集、并集、补集之间的运算，属于基础题。

19.已知公差不为0的等差数列{}n a 满足11a =．若5a ，2a ，1a 成等比数列． （1）求{}n a 的通项公式；

（2）设12n n n b a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

【答案】（1）21n a n =-；（2）221n

n S n =+-.

【解析】 【分析】

（1）根据对比中项的性质即可得出一个式子，再带入等差数列的通项公式即可求出公差。 （2）根据（1）的结果，利用分组求和即可解决。

【详解】（1）因为521,,a a a 成等比数列，所以2

215a a a =，

所以()2

141d d +=+，即22d d =， 因为0d ≠，所以2d =， 所以21n a n =-；

（2）因为1

212n n b n -=-+，

所以()(

)

1

113521222n n S n -=+++?+-+++

+，

()12112212n

n n +--=+

-， 221n n =+-.

【点睛】本题主要考查了等差数列通项式，以及等差中项的性质。数列的前n 的求法，求数列前n 项和常用的方法有错位相减、分组求和、裂项相消。

20.设函数()()cos sin 6f x x x x π??=+ ??

?∈R ．

（1）求6f π??

???

； （2）求函数()y f x =在区间0,2π??????

上的值域．

【答案】（1）34；（2）30,4??

????

. 【解析】 【分析】 （1）把6

x π

=

直接带入，或者先化简()f x

（2）化简()f x 得()11sin 2264f x x π?

?=

++ ???，，根据0,2x π??∈????

求出26x π+的范围即可解决。

【详解】（1）因为())

11

cos sin cos

cos sin

cos26

64

4

f x x x x x x π

π?

?

=+=++ ??

?，

()11sin 2264f x x π?

?=

++ ??

?， 所以364

f π??=

???； （2）当0,

2x π??

∈????时，72,666x πππ+∈，

所以1sin 2,162x π????

+

∈- ????

???

，

所以()30,4

f x ??

∈????

.

【点睛】本题主要考查了三角函数的问题，对于三角函数需要记住常考的一些性质：图像、周期、最值、单调性、对称轴等。属于中等题。

21.在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若2cos 2a B b c +=. （1）求角A 的度数；

（2）当2a =时，求AB AC ?uu u r uuu r

的取值范围． 【答案】（1）3

π；（2）(]0,2. 【解析】 【分析】

（1）根据余弦定理即可解决。 （2）根据向量的三角形法则即可解决。 【详解】（1）因为2cos 2a B b c +=，

所以得222

222a c b a b c ac

+-?+=，

所以222a b c bc =+-， 所以1

cos 2A =

，因为0A π<<所以3

A π=； （2）取BC 的中点D ，则2A

B A

C A

D +=，AB AC CB -=，

所以()

()

()()

()()

2

2

2

2

2

2

24,2AB

AB AC AC

AD AB AB AC AC

CB +?+=-?+=

所以2

2

2

14

CB AB AC AD AD ?=-=-，

22

2

2

2

22

2222cos 832

AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC π

+=+-??=+-?≥∴+≤

2222222248AB AC AB AC AB AC AB AC =+-?>+∴<+≤

从而由平行四边形性质有222442()(8,16]13AD AB AC AD +=+∈∴<≤故(]0,2AB AC ?∈.

【点睛】本题主要考查了余弦定理以及向量的三角形法则，其中第二问用了完全平方以及加减消元的思想，是本题的一个难点。解决本题的关键是画一个三角形结合三角形进行分析。

22.已知函数()2

()340f x ax x a =-+>．

（1）若()y f x =在区间[]0,2上的

最小值为

5

2

，求a 的值； （2）若存在实数m ，n 使得()y f x =在区间[],m n 上单调且值域为[],m n ，求a 的取值范围．

【答案】（1）32；（2）11315,,116416????

?????????

. 【解析】 【分析】

（1）根据二次函数单调性讨论即可解决。

（2）分两种情况讨论，分别讨论单调递增和单调递减的情况即可解决。 【详解】（1）若3022a <<，即34a >时，min 3954242y f a a ??

==-

= ???

， 解得：3

2

a =， 若

322a ≥，即304

a <≤时，()min 52422y f a ==-=，

解得：9

8

a =（舍去）.

（2）（ⅰ）若()y f x =在[],m n 上单调递增，则3

2m n a

<…，

则22

3434am m m an n n

?-+=?-+=?， 即,m n 是方程2440ax x -+=的两个不同解，所以16160a ?=->，即01a <<， 且当3422x a a

=

>时，要有2440ax x -+≥， 即2

3344022a a a ????-+≥ ? ?????

，可得1516a ≥， 所以

15

116

a ≤<； （ⅱ）若()y f x =在[],m n 上单调递减，则32m n a

<≤

， 则2234(1)34(2)am m n an n m ?-+=?-+=?

，

两式相减得：2

m n a

+=， 将2m n a =

-代入（2）式，得22

240an n a

-+-=， 即,m n 是方程2

2240ax x a -+-=的两个不同解，

所以24440a a ?

??=--> ??

?，即304a <<，

且当3422x a a =

<时要有2

2240ax x a

-+-≥， 即2

33224022a a a a ????-+-≥ ? ?????

，可得1116a ≥， 所以

113164

a ≤<， （iii ）若对称轴在[],m n 上，则()f x 不单调，舍弃。 综上，11315,,116416a ????

∈????

?????

. 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合问题，在解决二次函数问题时需要关注的是单调性、对称轴、最值、开口、等属于中等偏上的题。