高中数学必修4《平面向量》说

平面向量说课稿

各位评委，老师们：大家好！

很高兴参加这次说课活动。这对我来说也是一次难得的学习和锻炼的机会，感谢各位老师来此予以指导。希望各位评委和老师们对我的说课内容提出宝贵意见。

我说课的内容是<平面向量>的教学，所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4，第二章，第一节。针对我校学生基础相对较好。我在进行教学设计时，也充分考虑到了这一点。

下面我从教材分析，教学目标的确定，教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。

一教材分析

(1)地位和作用

向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。

平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力，位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习。为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。

(2)教学结构的调整

教材在这一部分内容的教学为一课时，首先从重力、浮力、弹力这些既有大小，又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。为使学生更好地掌握这些基本概念，同时深化其认知过程和探究过程。在教学中我将教学的顺序做如下的调整：将本节教学中认知过程的教学内容适当集中，以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析，独立完成。

(3)重点，难点，关键

由于本节课是本章内容的第一节课，是学生学习本章的基础。为了本章后面知识的学习，首先必须掌握向量的概念，要抓住向量的本质：大小与方向。所以向量，相等向量的概念，向量的几何表示是这节课的重点。。本节课是为高一后半学期学生设计的，尽管此时的学生已经有了一定的学习方法和习惯，但根据以往的教学经验，多数学生对向量的认识还比较单一，仅仅考虑其大小，忽略其方向，这对学生的理解能力要求比较高，所以我认为向量概念也是这节课的难点。而解决这一难点的关键是多用复杂的几何图形中相等的有向线段让学生进行辨认，加深对向量的理解。

二教学目标的确定

根据本课教材的特点，新课标对本节课的教学要求，及学生身心发展的合理需要，我从三个方面确定了以下教学目标：

(1)基础知识目标：理解向量、零向量、单位向量、共线向量、平行向量、相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量。会根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

(2)能力训练目标：培养学生观察、归纳、类比、联想等发现规律的一般方法，培养学生观察问题，分析问题，解决问题的能力。

(3)情感目标：让学生在民主、和谐的共同活动中感受学习的乐趣。

三教学方法的选择

Ⅰ教学方法

本节课我采用了“启发探究式”的教学方法，根据本课教材的特点和学生的实际情况在教学中突出以下两点：

(1)由教材的特点确立类比思维为教学的主线

从教材内容看平面向量无论从形式还是内容都与物理学中的有向线段，矢量的概念类似。因此在教学中运用类比作为思维的主线进行教学。让学生充分体会数学知识与其他学科之间的联系以及发生与发展的过程。

(2)由学生的特点确立自主探索式的学习方法

通常学生对于概念课学起来很枯燥，不感兴趣，因此要考虑学生的情感需要，找一些学生感兴趣的题材来激发学生的学习兴趣，另外，学生都有表现自己的欲

望

，希望得到老师和其他同学的认可，要多表扬，多肯定来激励他们的学习热情。考虑到我校学生的基础较好，思维较为活跃，对自主探索式的学习方法也有一定的认识，所以在教学中我通过创设问题情境，启发引导学生运用科学的思维方法进行自主探究。将学生的独立思考，自主探究，交流讨论等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，突出学生的主体作用。

Ⅱ教学手段

本节课中，除使用常规的教学手段外，我还使用了多媒体投影仪和计算机来辅助教学。多媒体投影为师生的交流和讨论提供了平台;计算机演示的作图过程则有助于渗透数形结合思想，更易于对概念的理解和难点的突破。

四教学过程的设计

Ⅰ知识引入阶段---提出学习课题，明确学习目标

(1)创设情境——引入概念

数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。

由生活中具体的向量的实例引入：大海中船只的航线，中国象棋中”马”，”象”的走法，物理中的重力、浮力、弹力等。这些符合高中学生思维活跃，想象力丰富的特点，有利于激发学生的学习兴趣。

(2)观察归纳——形成概念

由实例得出有向线段的概念，有向线段的三个要素：起点，方向，长度。明确知道了有向线段的起点，方向和长度，它的终点就唯一确定。再有目的的进行设计，引导学生概括总结出本课新的知识点：向量的概念及其几何表示。(3)讨论研究——深化概念

在得到概念后进行归纳，深化，之后向学生提出以下三个问题：

①向量的要素是什么?

②向量之间能否比较大小?

③向量与数量的区别是什么?

同时指出这就是本节课我们要研究和学习的主题。

Ⅱ知识探索阶段---探索平面向量的平行向量。相等向量等概念

(1)总结反思——提高认识

方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定零向量与任一向量平行．长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等．平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件。

(2)即时训练—巩固新知

为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，除了及时处理课本的练习外，我特地设计了一组即时训练题，通过学生的观察尝试，讨论研究，教师引导来巩固新知识。

［练习1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．

①向量与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝；

⑤若一个向量的模为零，则其方向是不确定的；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．

［练习2］下列命题正确的是( )

A．a与b共线，b与c共线，则a与c也共线

B．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量

D．有相同起点的两个非零向量不平行

Ⅲ知识应用阶段----共线向量，相等向量等概念的初步应用

在本阶段的教学中，我采用的是课本上一道典型的例题：在一个复杂图形中观察，辨认平行，相等的有向线段。选用本题的目的是让学生进行独立思考，自主探究，交流讨论等探索活动，加深对概念的理解和对难点的突破。

例如图所示，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量

OA OB OC相等的向量。

(同时思考：向量OA与FE相等么?向量OB与AF相等么?)

具体教学安排如下：

(1)分析解决问题

先引导学生分析解决问题。包括向量的概念，向量相等的概念。抓住相等向量概念的实质：两个向量只有当它们的模相等，同时方向又相同时，才能称它们相等。进而进行正确的辨认，直至最终解决问题。

(2)归纳解题方法

主要引导学生归纳以下两个问题：①零向量的方向是任意的，它只与零向量相

等; ②两个向量只要它们的模相等，方向相同就是相等向量。一个向量只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的，既向量是自由的。

Ⅳ学习，小结阶段---归纳知识方法，布置课后作业

本阶段通过学习小结进行课堂教学的反馈，组织和指导学生归纳知识，技能，方法的一般规律，为后续学习打好基础。

具体的教学安排如下：

(1)知识，方法小结在知识层面上我首先引导学生回顾本节课的主要内容，提醒学生要抓住向量的本质：大小与方向，对它们进行类比，加深对每个概念的理解。在方法层面上我将带领学生回顾探索过程中用到的思维方法和数学方法如：

类比，数形结合，等价转化等进行强调。

(2)布置课后作业

以上是我对这节课的教学设想，恳请各位老师批评，指正。

（注：本资料素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）

高中数学必修4知识点总结：第二章平面向量

高中数学必修4知识点总结第二章平面向量 16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+ ． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+ ； ②结合律：()() a b c a b c ++=++ ；③00a a a +=+= ． ⑸坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y +=++ ． 18、向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y = ，()22,b x y = ，则()1212,a b x x y y -=-- ．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1 212 ,x x y y A B=-- ． 19、向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ ． ①a a λλ= ； ②当0λ>时，a λ 的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ 的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ= ． ⑵运算律：①()()a a λμλμ= ；②()a a a λμλμ+=+ ；③() a b a b λλλ+=+ ． ⑶坐标运算：设(),a x y = ，则()(),,a x y x y λλλλ== ． 20、向量共线定理：向量() 0a a ≠ 与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ= ．设()11,a x y = ，()22,b x y = ，其中0b ≠ ，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠ 共线． 21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+ ．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基 b a C B A a b C C -=A -AB =B

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章三角恒等变换一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-．三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。（3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。（5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名，高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

(完整)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)

平面向量练习题一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是（） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为（） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是（） A 、－1 ，2 B 、－2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足（） A 、a 与b 的夹角等于－ B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于（） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（） A 、2 B 、3 C 、23 D 、二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标

人教A版高中数学必修四教案全

高中数学必修 4 教案 1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标

1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：教材P3面终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{ β | β = α + k ·360 ° ， k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o 正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角始边终边顶点 A O B

2015高中数学必修4第三章经典习题含答案

第三章经典习题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。满分150 分。考试时间120分钟。第Ⅰ卷(选择题共60分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的) 1．sin 2 π12－cos 2 π12的值为( ) A ．－1 2 B.1 2 C ．－3 2 D.32 [答案] C [解析] 原式＝－(cos 2 π12－sin 2 π12)＝－cos π6＝－32. 2．函数f (x )＝sin2x －cos2x 的最小正周期是( ) A.π23 B ．π C ．2π D ．4π [答案] B [解析] f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4)，故T ＝2π 2＝π. 3．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos(3π 2＋2θ)＝( ) A ．－429 B ．－79 C.429 D.79

[答案] C [解析] cos(3π2＋2θ)＝sin2θ＝2sin θcos θ＝2×223×13＝42 9. 4．若tan α＝3，tan β＝4 3，则tan(α－β)等于( ) A ．－3 B ．－1 3 C ．3 D.13 [答案] D [解析] tan(α－β)＝tan α－tan β 1＋tan αtan β＝3－43 1＋3× 43＝1 3. 5．cos 275°＋cos 215°＋cos75°·cos15°的值是( ) A.54 B.62 C.32 D ．1＋2 3 [答案] A [解析] 原式＝sin 2 15°＋cos 2 15°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝5 4. 6．y ＝cos 2x －sin 2x ＋2sin x cos x 的最小值是( ) A. 2 B ．－ 2 C ．2 D ．－2 [答案] B [解析] y ＝cos2x ＋sin2x ＝2sin(2x ＋π 4)，∴y max ＝－ 2. 7．若tan α＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)＝( )

(完整版)高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4知识点总结平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的， 0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案(完整版)

2020年人教版高中数学必修一全套精品教案（完整版）第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能 (1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号； (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点

重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景，揭示课题 1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知 1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；

(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥； (6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560 -+=的所有实数根； x x (8)不等式30 x->的所有解； (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义. 一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A，B，C，D，…表示，元素常用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维 1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数；

人教版高中数学必修4同步训练题及答案全册汇编

人教A版高中数学必修4同步训练目录 1-1-1 任意角 1-1-2 弧度制 1-2-0-1 任意角的三角函数的定义 1-2-1 单位圆中的三角函数线 1-2-2 同角三角函数的基本关系 1-3-1 诱导公式二、三、四 1-3-2 诱导公式五、六 1-4-1 正弦函数、余弦函数的图象 1-4-2-1 周期函数 1-4-2-2 正、余弦函数的性质 1-4-3 正切函数的性质与图象 1-5-1 画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 1-5-2 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用 1-6 三角函数模型的简单应用第一章综合检测题 2-1 平面向量的实际背景及基本概念 2-2-1 向量加法运算及其几何意义 2-2-2 向量减法运算及其几何意义 2-2-3 向量数乘运算及其几何意义 2-3-1 平面向量基本定理 2-3-2、3 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的坐标运算2-3-4 平面向量共线的坐标表示

2-4-1 平面向量数量积的物理背景及其含义2-4-2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2-5 平面向量应用举例第二章综合检测题 3-1-1 两角差的余弦公式 3-1-2-1 两角和与差的正弦、余弦 3-1-2-2 两角和与差的正切 3-1-3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 3-2-1 三角恒等变换 3-2-2 三角恒等式的应用第三章综合检测题高中数学必修四综合能力测试

能力提升一、选择题 1．给出下列四个命题，其中正确的命题有( ) ①－75°是第四象限角 ②225°是第三象限角 ③475°是第二象限角 ④－315°是第一象限角 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] D [解析] 由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D. 2．如果角α与x ＋45°具有同一条终边，角β与x －45°具有同一条终边，则α与β的关系是( ) A ．α＋β＝0 B ．α－β＝0 C ．α＋β＝k ·360°(k ∈Z ) D ．α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z ) [答案] D [解析] ∵α＝(x ＋45°)＋k ·360°(k ∈Z )， β＝(x －45°)＋k ·360°(k ∈Z )， ∴α－β＝k ·360°＋90°(k ∈Z )． 3．(山东潍坊模块达标)已知α与120°角的终边关于x 轴对称，则α 2 是( ) A ．第二或第四象限角 B ．第一或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角 [答案] A [解析] 由α与120°角的终边关于x 轴对称，可得α＝k ·360°－

新编人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换导学案

第三章三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

高中数学必修4平面向量知识点总结

高中数学必修4 平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ，a ；坐标表示法 ),(y x yj xi a 向量的大小即向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量向量0a 为单位向量｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为 b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 21 2 1y y x x 2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一

高中数学同步练习讲义(必修4全部视频)

江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷（江西师大附中使用）高三理科数学分析一、整体解读试卷紧扣教材和考试说明，从考生熟悉的基础知识入手，多角度、多层次地考查了学生的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力，立足基础，先易后难，难易适中，强调应用，不偏不怪，达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内，几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容，体现了“重点知识重点考查”的原则。 1．回归教材，注重基础试卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及，其中应用题与抗战胜利70周年为背景，把爱国主义教育渗透到试题当中，使学生感受到了数学的育才价值，所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际，操作性强。 2．适当设置题目难度与区分度选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题，都是综合性问题，难度较大，学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力，以及扎实深厚的数学基本功，而且还要掌握必须的数学思想与方法，否则在有限的时间内，很难完成。 3．布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察在选择题，填空题，解答题和三选一问题中，试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数，三角函数，数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体，立意于能力，让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。二、亮点试题分析 1．【试卷原题】11.已知,,A B C 是单位圆上互不相同的三点，且满足AB AC → → =，则A BA C →→ ?的最小值为（） A ．1 4- B ．12- C ．34- D ．1-

高中数学必修4第二章平面向量公式及定义

平面向量公式 1、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则. AB+BC=AC. a+b=(x+x',y+y'). a+0=0+a=a. 向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a；结合律：(a+b)+c=a+(b+c). 2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.0的反向量为0 AB-AC=CB.即“共同起点,指向被减” a=(x,y) b=(x',y') 则 a-b=(x-x',y-y'). 4、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣. 当λ＞0时,λa与a同方向；当λ＜0时,λa与a反方向；当λ=0时,λa=0,方向任意. 当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0. 注：按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0. 实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩. 当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来的∣λ∣倍；当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上缩短为原来的∣λ∣倍. 数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb). 向量对于数的分配律（第一分配律）：(λ+μ)a=λa+μa. 数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λ b. 数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b.②如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ. 3、向量的的数量积定义：已知两个非零向量a,b.作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 定义：两个向量的数量积（内积、点积）是一个数量,记作a?b.若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉；若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣. 向量的数量积的坐标表示：a?b=x?x'+y?y'. 向量的数量积的运算律 a?b=b?a（交换律）；

高中数学必修4知识总结(完整版)

高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠．

高中数学必修一第三章知识点总结

1 第三章函数的应用一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函))((D x x f y ∈=0)(=x f x 数的零点。 ))((D x x f y ∈=2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数 )(x f y =0)(=x f 的图象与轴交点的横坐标。 )(x f y =x 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数0)(=x f ?)(x f y =x ?有零点． )(x f y =3、函数零点的求法：（代数法）求方程的实数根；○10)(=x f （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起○2)(x f y =来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数仅有一个零点。 (0)y kx k =≠②反比例函数没有零点。(0)k y k x = ≠③一次函数仅有一个零点。 (0)y kx b k =+≠④二次函数． )0(2 ≠++=a c bx ax y （1）△＞０，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有2 0(0)ax bx c a ++=≠x 两个交点，二次函数有两个零点．（2）△＝０，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有2 0(0)ax bx c a ++=≠x 一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．（3）△＜０，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，2 0(0)ax bx c a ++=≠x 二次函数无零点． ⑤指数函数没有零点。(0,1)x y a a a =>≠且⑥对数函数仅有一个零点1. log (0,1)a y x a a =>≠且⑦幂函数，当时，仅有一个零点0，当时，没有零点。 y x α =0n >0n ≤5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把转化成 ()f x ，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数（基本初等函数），这另()0f x =12,y y 个函数图像的交点个数就是函数零点的个数。 ()f x 6、选择题判断区间上是否含有零点，只需满足。(),a b ()()0f a f b <7、确定零点在某区间个数是唯一的条件是:①在区间(),a b ()f x 上连续，且②在区间上单调。()()0f a f b <(),a b 8、函数零点的性质：从“数”的角度看：即是使的实数； 0)(=x f

高中数学人教版必修4全套教案

第1，2课时1.1．1 任意角教学目标（一）知识与技能目标理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念. （二）过程与能力目标会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角的集合的书写．（三）情感与态度目标 1．提高学生的推理能力； 2．培养学生应用意识．教学重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．教学难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写．教学过程一、引入： 1．回顾角的定义 ①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. ②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．二、新课： 1．角的有关概念： ①角的定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形． ②角的名称： ③角的分类： ④注意： ⑴在不引起混淆的情况下，“角α ”或“∠α ”可以简化成“α ”； ⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°； ⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角． ⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度? 2．象限角的概念： ①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么正角：按逆时针方向旋转形成的角零角：射线没有任何旋转形成的角始边终边顶点 A O B 负角：按顺时针方向旋转形成的角

角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？例2．在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第几象限的角． ⑴ 60°； ⑵ 120°； ⑶ 240°； ⑷ 300°； ⑸ 420°； ⑹ 480°；答：分别为1、2、3、4、1、2象限角． 3．探究：终边相同的角的表示：所有与角α终边相同的角，连同α在内，可构成一个集合S ＝{β|β=α+k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整个周角的和．注意： ⑴ k ∈Z ⑵ α是任一角； ⑶ 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．终边相同的角有无限个，它们相差 360°的整数倍； ⑷ 角α + k ·720 °与角α终边相同，但不能表示与角α终边相同的所有角．例3．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相等的角，并判断它们是第几象限角． ⑴－120°；⑵640 °；⑶－950°12＇．答：⑴240°,第三象限角；⑵280°,第四象限角；⑶129°48＇,第二象限角；例4．写出终边在y 轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) ．解:{α | α = 90°+ n ·180°,n ∈Z}．例5．写出终边在x y 上的角的集合S,并把S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素β写出来． 4．课堂小结 ①角的定义； ②角的分类： ⑵ B 1 y ⑴ O x 45° B 2 O x B 3 y 30° 60o

2018年新人教A版高中数学必修4全册同步检测含答案解析

2018年新人教A版高中数学必修四全册同步检测目录第1章1.1-1.1.1任意角第1章1.1-1.1.2弧度制第1章1.2-1.2.1任意角的三角函数第1章1.2-1.2.2同角三角函数的基本关系第1章1.3第1课时诱导公式二、三、四第1章1.3第2课时诱导公式五、六第1章1.4-1.4.1正弦函数、余弦函数的图象第1章1.4-1.4.2第1课时正、余弦函数的周期性与奇偶性第1章1.4-1.4.2第2课时正、余弦函数的单调性与最值第1章1.4-1.4.3正切函数的性质与图象第1章1.5函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象第1章1.6三角函数模型的简单应用第1章章末复习课第1章单元评估验收(一) 第2章2.1平面向量的实际背景及基本概念第2章2.2-2.2.2向量减法运算及其几何意义第2章2.2-2.2.3向量数乘运算及其几何意义第2章2.3-2.3.1平面向量基本定理第2章2.3-2.3.3平面向量的坐标运算

第2章2.3-2.3.4平面向量共线的坐标表示第2章2.4-2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义第2章2.4-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角第2章2.5平面向量应用举例第2章章末复习课第2章单元评估验收(二) 第3章3.1-3.1.1两角差的余弦公式第3章3.1-3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式第3章3.1-3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式第3章3.2简单的三角恒等变换第3章章末复习课第3章单元评估验收(三) 模块综合评价

第一章三角函数 1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角 A级基础巩固一、选择题 1．已知A＝{第二象限角}，B＝{钝角}，C＝{大于90°的角}，那么A、B、C关系是() A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A C D．A＝B＝C 解析：钝角大于90°，小于180°，故B C，选项B正确．答案：B 2．若角α的终边经过点M(0，－3)，则角α() A．是第三象限角 B．是第四象限角 C．既是第三象限角，又是第四象限角 D．不是任何象限的角解析：因为点M(0，－3)在y轴负半轴上，所以角α的终边不在任何象限．答案：D 3．若α是第四象限角，则－α一定在() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限解析：因为α是第四象限角，所以k·360°－90°＜α＜k·360°，k∈Z. 所以－k·360°＜－α＜－k·360°＋90°，k∈Z，

高中数学必修4第二章平面向量教案完整版93323

高中数学必修4第二章平面向量教案（12课时) 本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系. 向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题. 本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些基本概念. （让学生对整章有个初步的、全面的了解.）第1课时 §2.1 平面向量的实际背景及基本概念教学目标： 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量. 2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力. 教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念. 教具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. 分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有方向、 A B C D

高一数学必修4同步作业全套练习(绝对精版)

1.1.1 任意角学案班级姓名学号课前扫描： 1、角可以看成由一条射线绕其端点旋转而形成的，旋转开始时的射线叫做角的，终止时的射线叫做角的，射线的端点叫做角的。规定按逆时针方向旋转形成的角叫；按顺时针方向旋转形成的角叫；如果一条射线没有作任何旋转，我们认为这时形成了一个角，并把这个角叫。 2、在直角坐标系中讨论角时，使角的顶点与重合，角的始边与重合，这时角的终边（端点除外）在第几象限，就说这个角是；如果角的终边在坐标轴上，则认为此角。 3、终边相同的角有个；相等的角的终边一定，但终边相同的角不一定。 4、所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S = ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。课后作业：一、选择题： ★1、下列各角中，与角330 的终边相同的角是（） A 、510 B 、150 C 、150- D 、390- ★2、下列命题中正确的是（） A 、终边相同的角都相等 B 、第一象限的角都比第二象限的角小 C 、第一象限的角都是锐角 D 、锐角都是第一象限的角 ★3、与130 角终边相同的角是（） A 、()590360k k Z -+?∈ B 、()130360k k Z -+?∈ C 、()()13021180k k Z ++?∈ D 、()650360k k Z +?∈ ★★4、若α是第二象限角，则180α- 是（） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限二、填空题： ★5、在0 到360 范围内与381- 终边相同的角是，在360- 到720 范围内与381- 终边相同的角有个，分别是。 ★★6、终边在x 轴上角的集合是，终边在y 轴上角的集合是，终边在第一象限的角的集合是。