全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总及答案
全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总及答案
一、一元二次方程
1．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．
【解析】
【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.【详解】
（1）证明：
∵（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0，
∴x2﹣7x+12﹣m2=0，
∴△=（﹣7）2﹣4（12﹣m2）=1+4m2，
∵m2≥0，
∴△＞0，
∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的一个根是2，
∴4﹣14+12﹣m2=0，解得m=±，
∴原方程为x2﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，
即m的值为±，方程的另一个根是5．
【点睛】
此题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式与根的关系是关键.
当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
当△=b2-4ac＜0时，方程没有实数根.
2．计算题
（1）先化简，再求值：
2
1
x
x-
÷（1+
2
1
1
x-
），其中x=2017．
（2）已知方程x2﹣2x+m﹣3=0有两个相等的实数根，求m的值．
【答案】（1）2018；（2）m=4
【解析】
分析：（1）根据分式的运算法则和运算顺序，先算括号里面的，再算除法，注意因式分解的作用；
（2）根据一元二次方程的根的判别式求解即可.
详解：（1）2
1
x x -÷（1+211x -） =2221111
x x x x -+÷-- =()()22111x x x x x
+-?- =x+1，
当x=2017时，原式=2017+1=2018
（2）解：∵方程x 2﹣2x+m ﹣3=0有两个相等的实数根，
∴△=（﹣2）2﹣4×1×（m ﹣3）=0，
解得，m=4
点睛：此题主要考查了分式的混合运算和一元二次方程的根的判别式，关键是熟记分式方程的运算顺序和法则，注意通分约分的作用.
3．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．
（1）当a=﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；
（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．
【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4
【解析】
分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；
（2）根据判别式即可求出a 的范围；
（3）根据根与系数的关系即可求出答案．
详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；
（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54
a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，
222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．
∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ????+-+-=????，把
22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：
a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．
点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．
4．解方程：2332302121x x x x ????--= ? ?--????
． 【答案】x=
15
或x=1 【解析】
【分析】 设321
x y x =
-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321
x y x =
-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3, ∴3121x x =--或3321
x x =-． 解得x=15
或x=1． 经检验：x=15
或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=
15或x=1． 【点睛】
考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．
5．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．
（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】（1）5；（2）180
【解析】
【分析】
（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；
（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．
【详解】
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：
x+1+（x+1）x ＝36，
解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；