线性代数试题及答案

线性代数（试卷一）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分） 1. 排列7623451的逆序数是_______。

2. 若

122

=a a a a ，则=1

030

322211211

a a a a 3. 已知n 阶矩阵A 、B 和C 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则CA

B =-1。

4. 若A 为n m ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充分要条件是

_________

5. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为

__2___________。 6. 设A 为三阶可逆阵，???

? ??=-1230120011

，则=*A 7.若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是

8.已知五阶行列式1

23453

2011

11111

1403

54321=D ，则=++++4544434241A A A A A 9. 向量α=(2,1,0,2)T

-的模（范数）______________

。 10.若()T

k 11=α与()T

121-=β正交，则=k

二、选择题（本题总计10分，每小题2分） 1. 向量组r ααα,,,21 线性相关且秩为s ，则(D) Ａ．s r = Ｂ．s r ≤

Ｃ．r s ≤ Ｄ．r s <

2. 若A 为三阶方阵，且043,02,02=-=+=+E A E A E A ，则=A (A)

Ａ．8 Ｂ．8-

Ｃ．

4 Ｄ．3

3．设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( d )

Ａ．)()(A R B R ≤ Ｂ．)()(A R B R <

Ｃ．)()(A R B R =

Ｄ．)()(A R B R ≥

4. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则

()

kA 等于_____。c

)(A *

kA )(B *

A k n

)(C *-A k

n 1

)(D *A

5. 设n 阶矩阵A ，B 和C ，则下列说法正确的是_____。

)(A AC AB = 则 C B = )(B 0=AB ,则0=A 或0=B )(C T

B A AB =)( )(D 2

))((B A B A B A -=-+

三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分,4-7每小题9分）

1. 计算n 阶行列式22221

=D 22222 22322 2

-n

n 2

222 。

2．设A 为三阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵，且2

1=A ，求*A A 2)3(1--.

3．求矩阵的逆

111211120A ?? ?=- ? ???

4. 讨论λ为何值时，非齐次线性方程组2

123123123

1x x x x x x x x x λλλλλ?++=?

++=??++=?

① 有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。

5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。

???

??=++=+++=+++5

221322431

43214321x x x x x x x x x x x 6.已知向量组()T 32011=α、()T

53112=α、()T

13113

-=α、

()T 94214=α、()T

52115=α，求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该

最大无关组线性表示．

7. 求矩阵???

??--=201034011A 的特征值和特征向量．

四、证明题（本题总计10分）

设η为b AX =()0≠b 的一个解，12

,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，

证明12

,,n r ξξξη-线性无关。

（答案一）

一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）

1~15；2、3；3、CA ；4、()n b A R A R ==),(；5、2；6、???

??123012001；7、()n A R <；8、0；9、3；10、1。.

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、D ；2、A ；3、D ；4、C ；5、B 三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）

1、

解：D

),,4,3(2n i r r i =-00021

00022 00122

03022-n 2

22-n ------3分 122r r - 00001

00022 - 0

0122

- 030

22--n 20022--n -------6分

)!2(2)2()3(21)2(1--=-?-????-?=n n n ----------8分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

解：（1）???

?? ??---????? ??-????? ??--=-1111111112412131121111111111

2A AB ------1分

????? ??---????? ??=222222222

602222464?

????

?=420004242------5分

（2）????? ??--????? ??--=-1711116102395113111311

2B A ?

???? ?

?-------=16128711

3084--------8分 3. 设A 为三阶矩阵，*

A 为A 的伴随矩阵，且21=

A ，求*A A 2)3(1--. 因*

A A ＝E E 2

1=A ，故411=

=-n A *A 3分 **

A A A

211==-A 5分 27164

34342322)3(3

-=??? ??-=-=-=--****

A A A A A 8分

4、解： ??

??? ??---=100111010011001001),(E A 1

2r r r r ++???

? ??---10111001101000100

1---3分 23r r +????? ??---112100011010001001)1()1()1(321-÷-÷-÷r r r ?

?? ??------11210001101000

1001---6分

故?

???

? ??------=-11201100

A -------8分（利用*-=A A A 11公式求得结果也正确。

） 5、解；???

?? ??=21111111),(λλλλλb A 13

231r

r r r r r λ--?????

??------322

2111011011λλλλλλλλλ23r r + ????

? ??-+-+---)1()1()1)(2(00110112

λλλλλλλλλλ---------3分

（1）唯一解：3),()(==b A R A R 21-≠≠λλ且 ------5分

（2）无穷多解：3),()(<=b A R A R 1=λ --------7分

（3）无解：),()(b A R A R ≠ 2-=λ --------9分（利用其他方法求得结果也正确。）

6、解：?????

??=522011113221111),(b A ?→?

r ?????

??---000003111052201--------3分 ???=--=++0022432431x x x x x x 基础解系为 ?

??-=01121ξ，??????? ??-=10122ξ-----6分 ???-=--=++3522432

431x x x x x x 令043==x x ，得一特解：????

?? ??-=0035η---7分故原方程组的通解为： ????

? ??-+??????? ??-+??????? ??-=++101201120035212211k k k k ξξη，其中R k k ∈21,---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给

分。）

7、解：特征方程2110430(2)(1)1

2A E λ

λλλλλ

---=

--=--- 从而1232,1λλλ=== (4分)

当12λ=时，由(2)0A E X -=得基础解系1(0,0,1)T

ζ=，即对应于12λ=的全部特征向量为11k ζ1(0)k ≠ (7

分)

当231λλ==时，由()0A E X -=得基础解系2(1,2,1)T

ζ=--，即对应于231λλ==的全部特征向量为

22k ζ2(0)k ≠

四、证明题（本题总计10 分）证：由12

,n r ξξξ-为对应齐次线性方程组0=AX 的基础解系，则12

,n r ξξξ-线性无关。(3分)

反证法：设12,,n r ξξξη-线性相关，则η可由12

,n r ξξξ-线性表示，即：r r ξλξλη++= 11 (6

分)

因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故η必是0=AX 的解。这与已知条件η为

b AX =()0≠b 的一个解相矛盾。(9分). 有上可知，12

,,n r ξξξη-线性无关。(10分)

(试卷二)

一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分） 1. 排列6573412的逆序数是．

2.函数()f x = 211

x x x

---中3x 的系数是． 3．设三阶方阵A 的行列式3A =,则*1

()A -= A/3 ． 4．n 元齐次线性方程组AX=0有非零解的充要条件是．

5．设向量(1,2,1)T

α=--，β=????

? ??-22λ正交，则λ= ．

6．三阶方阵A 的特征值为1，1-，2，则A ＝．

7. 设1

121021003A --?? ?=- ? ???

，则_________A *=.

8. 设A 为86?的矩阵，已知它的秩为4，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组的解空间维数为_____________．

9．设A 为n 阶方阵，且A ＝2 则1

*1()3

A A --

+= ． 10．已知20022311A x -?? ?= ? ???相似于12B y -??

? ??

，则=x ，=y ．

二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）

1. 设n 阶矩阵A 的行列式等于D ，则A －5等于． (A) (5)n

D - (B)-5D (C) 5D (D)1

(5)n D --

2. n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 .

(A) 矩阵A 有n 个线性无关的特征向量 (B) 矩阵A 有n 个特征值 (C) 矩阵A 的行列式0A ≠ (D) 矩阵A 的特征方程没有重根

3．A 为m n ?矩阵，则非齐次线性方程组AX b =有唯一解的充要条件是．

(A)(,)R A b m < (B)()R A m < (C)()(,)R A R A b n == (D)()(,)R A R A b n =< 4.设向量组A 能由向量组B 线性表示，则( ) (A)．)()(A R B R ≤

(B)．)()(A R B R <

(C)．)()(A R B R = (D)．)()(A R B R ≥ 5. 向量组12,,

,s ααα线性相关且秩为r ，则．

(A)r s = (B) r s < (C) r s > (D) s r ≤

三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）

1. 计算n 阶行列式: 22221

=D 22222 22322 2

-n

n 2

222 .

2．已知矩阵方程AX A X =+，求矩阵X ,其中220213010A ?? ?

= ? ???

3. 设n 阶方阵A 满足0422

=--E A A ,证明3A E -可逆，并求1

(3)

A E --.

4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系:

12341234

12342342323883295234

x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-++=??

-+--=-??--=-? 5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

123421234,1,3,5.2012αααα????????

? ? ? ?

==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????

6．已知二次型：3231212

32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=，

用正交变换化),,(321x x x f 为标准形，并求出其正交变换矩阵Q ．

四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）

设11b a =, 212b a a =+ ,

, 12r r b a a a =++

+, 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，

证明向量组r b b b ,,,21 线性无关.

(答案二)

一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）

1. 17

2. -2 3．13A 4．()R A n <5．2λ=-6．-27．116

A -或12110216003-??

??-??????

8．

29、21n

）（－10、2,0-==y x 二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2 分）1. A 2. A 3.C 4.D 5. B 三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10分）

1、

解：D

),,4,3(2n i r r i =-00021

00022 00122

03022

-n 2

22-n ------4分

122r r - 00001

00022 - 0

0122

- 030

22--n 20022--n -------7分

)!2(2)2()3(21)2(1--=-?-????-?=n n n ---------10分（此题的方法不唯一，可以酌情给分。）

2．求解AX A X =+，其中

220213010A ??

= ? ???

解：由AX A X =+得

()1

X A E A -=- (3分)

()120220,203213011010A E A ?? ?

-= ? ?-??

(6分)

100226010203001213r

-??

?- ? ?--??

(8分)

所以 2262

03213X -??

=- ? ?--??

(10分) 3．解：利用由0422

=--E A A 可得：0))(3(=-+-E E A E A --------5分即 E E A E A =+-))(3( ------7分故E A 3-可逆且)()

3(1

E A E A +=----------10分

4．求下列非齐次线性方程组的通解及所对应的齐次线性方程组的基础解系．

12341234

123412323

238832295234

x x x x x x x x x x x x x x x +++=??-++=??

-+--=-??--=-? 解：111

2321388()3219501234A b ?? ?- ?=

?---- ?---??1112301234001120

0000r ??

--- ?

(2分)

100210

10100011200000r ??

? ? ???

(4分)则有 142434

2102

x x x x x x +=??

-=??+=? (6分)

取4x 为自由未知量，令4x c =，则通解为：123421101210x x c x x -?????? ? ? ? ? ? ?=+ ? ? ?- ? ? ? ?

??????

c R ∈ (8分) 对应齐次线性方程组的基础解系为：21

11-??

? ? ?- ???

(10分)

5．求下列向量组的秩和一个最大无关组,并将其余向量用最大无关组线性表示．

123421234,1,3,5.2012αααα???????? ? ? ? ?

==== ? ? ? ? ? ? ? ?????????

解：

()

1234αααα=212321232123413501110111201201110000??

????

? ? ?--- ? ? ? ? ? ?---??

????

1101201110000??

? ? ? ? ???

(2分) 12,αα为一个极大无关组. (4分) 设 31122x x ααα=+， 41122y y ααα=+

解得 12121

x x ?

??=?，

1211

y y =??

=?. (8分) 则有 3121

2ααα=+， 412ααα=+

6 解 3

231212

32221321844552),,(x x x x x x x x x x x x f --+++=

f 的矩阵 ??

??????----=542452222

A (2分)A 的特征多项式 )10()1()(2---=λλλ?

(4分)

121==λλ的两个正交的特征向量 ??????????=1101p , ??????????-=1142p 103=λ的特征向量 ??

?????-=2213p

正交矩阵 ???

????

?--=32

23121322312

1312

340Q 8分) 正交变换y Q x =：标准形2

3222110y y y f ++=

四、证明题（本题总计 10分）若设,2121211,,,r r a a a b a a b a b +++=+== 且向量组r a a a ,,,21 线性无关，证明向量组r b b b ,,,21 线性无关. 证明：设存在12λ,λ,,λr R ∈，

使得 1122r r b +b ++b =0λλλ

也

即

1121212()()0

r r a a a a a a λλλ+++

++= 化

简

得

12122()()0r r r r a a a λλλλλλ+++++++

又因为

12,,

a a a 线性无关，则1220

r r r λλλλλλ++

+=??++=??

??=?

(8分)解得

120r λλλ==== 所以，12r b , b ,

, b 线性无关.

（试卷三）

一、填空题（本题总计20分，每小题2分）

1、按自然数从小到大为标准次序，则排列(2)(22)

2n n -的逆序数为

2、设4阶行列式4a b c d d

a c d

D b d c a a

，则11213141A A A A +++= 3、已知1103027002A ?? ?= ? ???

，则()1

*A -=

4、已知n 阶矩阵A 、B 满足A B BA +=，则()1

E B --=

5、若A 为n m ?矩阵，则齐次线性方程组A =x 0只有零解的充分必要条件是

6、若A 为n m ?矩阵，且()3min{,}R A n m =<，则齐次线性方程组A =x 0的基础解系中包

含解向量的个数为

7、若向量()123T α=-与向量()11T

βλ=正交，则λ=

8、若三阶方阵A 的特征多项式为2(1)(1)A E λλλ-=-+-，则A =

9、设三阶方阵1223A αγγ?? ?= ? ???、12B βγγ?? ?

= ? ???

，已知6A =，1B =，则A B -=

10、设向量组123,,ααα线性无关，则当常数l 满足时，向量组

213213,,l αααααα---线性无关.

二、选择题（本题总计10分，每小题2分）

1、以下等式正确的是( )

Ａ．???

??=???? ??d c b a k d kc b ka

Ｂ．

c b a k

kc kb ka =

Ｃ．????

??=????

??++d c b a d c

d b c a Ｄ．

b c d

d c b a = 2、 4阶行列式det()ij a 中的项11334422a a a a 和24311342a a a a 的符号分别为（）

Ａ．正、正Ｂ．正、负Ｃ．负、负

Ｄ．负、正

3、设A 是m n ?矩阵，C 是n 阶可逆阵，满足B ＝AC. 若A 和B 的秩分别为A r 和B r ，则有( )

Ａ．A B r r >

Ｂ．A B r r < Ｃ．A B r r =

Ｄ．以上都不正确

4、设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( )

Ａ．有无穷多解

Ｂ．有唯一解

Ｃ．无解

Ｄ．无法判断解的情况

5、已知向量组1234,,,αααα线性无关，则以下线性无关的向量组是（）

Ａ．12233441,,,αααααααα++++ Ｂ．12233441,,,αααααααα---- Ｃ．12233441,,,αααααααα+++- Ｄ．12233441,,,αααααααα++--

三、计算题（本题总计60分，每小题10分）

1．求矩阵1124-??

= ???

A 的特征值和特征向量．

2．计算1n +阶行列式

01111

110

0010

n n n

a a D a a +-=

3．已知矩阵010100001A ?? ?= ? ???，100001010B ?? ?= ? ???，143201120C -?? ?

=- ? ?-??

，且满足AXB C =，求

矩阵X.

4．求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

1234512345

23451234513233226054335

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??

+++=??+++-=? 5．已知矩阵1211

1214642246

3979A ---?? ?

= ?--- ?

--??

，求矩阵A 的列向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．

6．已知A 为三阶矩阵，且2A =-，求()1

*1312A A -??

???

四、证明题（本题总计10分）

设向量组12,,

,n ααα中前1n -个向量线性相关，后1n -个向量线性无关，试证：

（1）1α可由向量组231,,,n ααα-线性表示；（2）n α不能由向量组121,,

,n ααα-线性表示.

（试卷四）

一、填空题（本题总计16分，每小题2分）

1、按自然数从小到大为标准次序，则排列13(21)24(2)n n -的逆序数为

2、4阶行列式41248

1111

1416

1525125

D =

= 3、已知1110029002A -??

= ? ???

，*A 为A 的伴随矩阵，则()1*A -=

4、已知n 阶方阵A 和B 满足BA A B =+，则()1

E B --=

5、已知A 为m n ?矩阵，且()min{,}R A r m n =<，则以A 为系数矩阵的齐次线性方程组

A =x 0的基础解系中包含解向量的个数为

6、已知四维列向量()T

31521=α、()T

1051102=α、()T

11143-=α，且

()()()x x x +=++-321523ααα，则=x

7、把向量()1022T

α=-单位化得

8、若三阶方阵A 的特征多项式为2()(1)(1)f λλλ=-+-，则2A E -=

二、选择题（本题总计14分，每小题2分）

1、已知,,,,a b c d k R ∈，则以下等式正确的是( )

Ａ．???

? ??=???? ??d c b a k d kc b ka

Ｂ．

c b a k

kc kb ka =

Ｃ．????

??=????

??++d c b a d c

d b c a Ｄ．

b c d

d c b a = 2、设A 和B 为n 阶方阵，下列说法正确的是（）

Ａ．若AB AC =，则B C = Ｂ．若0AB =，则0A =或0B =

Ｃ．若0AB =，则0A =或0B = Ｄ．若0A E -=，则A E = 3、设A 是m n ?矩阵，且()R A m n =<，则非齐次线性方程组A =x b ( ) Ａ．有唯一解Ｂ．有无穷多解Ｃ．无解Ｄ．无法判断解的情况 4、向量组的秩就是向量组的（）

Ａ．极大无关组中的向量Ｂ．线性无关组中的向量Ｃ．极大无关组中的向量的个数Ｄ．线性无关组中的向量的个数 5、已知n 阶方阵A 、B 和C 满足ABC=E ，其中E 为n 阶单位矩阵，则1

-=( )

Ａ．11

A C -- Ｂ．AC Ｃ．CA

Ｄ．1

C A --

6、设A 为三阶方阵，*

A 为A 的伴随矩阵，且41

A ，则=--*A A 3)4(1（）Ａ．27

Ｂ．2716-

Ｃ．21 Ｄ．2

7、已知n 元齐次线性方程组A =x 0的系数矩阵的秩等于n-3，且123,,ααα是A =x 0的三个

线性无关的解向量，则A =x 0的基础解系可为（）Ａ．122331,,αααααα+++ Ｂ．312123,,αααααα+++ Ｃ．122331,,αααααα---

Ｄ．122331,,αααααα++-

三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7每小题9分）

1．计算n 阶行列式

n x a a

a a x a

a D a a

a a a a

= 2．已知三阶方阵100110111A -?? ?=- ? ?-??，求21

(2)(4)A E A E ---

3．已知矩阵121210110A ?? ?=- ? ???，010210021B ?? ?

= ? ???

，求AB BA -.

4．求下列非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系及此方程组的通解

1212341

2345

22153223

x x x x x x x x x x +=??

+++=??+++=? 5．判定向量组123(2,1,1,1),(0,3,2,0),(2,4,3,1)T T T

ααα=--=-=--的线性相关性。

6．已知矩阵112222011

21102421123A ??

= ?--

???

，求矩阵A 的秩及列向量组的一个最大无关组. 7．已知211020413A -?? ?= ? ?-??

，求可逆阵P ，使得1

P AP -为对角阵.

四、证明题（本题总计10分）

设η为非齐次线性方程组Ax b =的一个解，12

,,r ξξξ为对应齐次线性方程组的基础解系.试

证：向量组12,,,

,r ηξξξ线性无关。