错排问题的解法与应用
排列组合问题的解法第三计
每周一计第三计——排列组合问题的解法 解决排列组合问题要讲究策略，用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。 （一）.特殊元素、特殊位置的“优先安排法” 对于特殊元素的排列组合问题，一般先考虑特殊元素，再考虑其他元素的安排。在操作时，针对实际问题，有时“元素优先”，有时“位置优先”。 例1 ： 0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？ 解法一：(元素优先)分两类：第一类，含0：0在个位有 种，0在十位有 种； 第二类，不含0：有1 223A A 种。 故共有（ 24A ＋1123A A ）＋1223A A ＝３０种。 注：在考虑每一类时，又要优先考虑个位。 解法二：(位置优先)分两类：第一类，0在个位有 种；第二类，0不在个位，先从两个偶数中选一个 放个位，再选一个放百位，最后考虑十位，有 种。 故共有 练习：甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学选四人组队参加4*100m 接力赛，其中甲、乙不跑最后一棒，共有多少种不同的安排方法？（此题可有元素优先和位置优先两个角度两种解法，但位置优先则更简单） （二）．排除法 对于含有否定词语的问题，还可以从总体中把不符合要求的除去. 例２：５个人从左到右站成一排，甲不站排头，乙不站第二个位置，不同的站法有543543 2A A A -+=78种． （三）.相邻问题“捆绑法” 对于某些元素要求相邻．． 排列的问题，可先将相邻元素捆绑成整体并看作一个元素再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 例3： 5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 解：先把3个女生捆绑为一个整体再与其他5个男生全排列。同时，3个女生自身也应 全排列。由乘法原理共有6365A A 种。 （四）。不相邻问题“插空法” 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他可相邻元素排好，再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙之间插入即可（注意有时候两端的空隙的插法是不符合题意的） 例4： 5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？ 解：先排无限制条件的男生，女生插在5个男生间的4个空隙，由乘法原理共有 种。 注意：①分清“谁插入谁”的问题。要先排可相邻的元素，再插入不相邻的元素； ②数清可插的位置数；③插入时是以组合形式插入还是以排列形式插入要把握准。 例5： 马路上有编号为1、2、3、…、9的9盏路灯，现要关掉其中的三盏，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关两端的路灯，则满足要求的关灯方法有几种？ 解：由于问题中有6盏亮3盏暗，又两端不可暗，故可在6盏亮的5个间隙中插入3个暗的即可，有3 5 C 种。 （五）。定序问题选位不排 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先在总位置中选出顺序一定元素的位置而不参加排列，然后对其它元素进行排列。 例6： 5人参加百米跑，若无同时到达终点的情况，则甲比乙先到有几种情况？ 解：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有 种，再排列其它3人有 ，由乘法原理得共有 =60种。 1345240A A =5354A A 25C 3 3 A 25C 3 3A 24 A 1123A A 111233 A A A 2111423330 A A A A +=24A
几何应用题3类10道
几何应用题 类型一 与三角形有关的应用题 ↓1.如图①是写毛笔字时用于搁字帖的架子，方便临帖．当支架按如图①所示的方式放置时，人的视觉感受最舒服．如图①经测量，AB ＝BC ＝2，①ABC ＝36°，AD 平分①BAC 交BC 于点D ，则线段CD 的长为__ ___． 第1题图 3－5 【解析】①AB ＝BC ＝2，①ABC ＝36°，①①BAC ＝①C ＝72°，①AD 平分①BAC 交BC 于点D ，①①BAD ＝①CAD ＝36°，①①CAD ＝①ABC ，又①①C 是 公共角，①①ACD ①①BCA ，①CD CA ＝AC BC ，设CD ＝x ，则AC ＝AD ＝BD ＝2－x ，①x 2－x ＝2－x 2，解得x 1＝3＋5＞2，故舍去，x 2＝3－ 5.①线段CD 的长为3－ 5. ↓2.如图，书桌上的一种新型台历由一块主板AB 、一个架板AC 和环扣(不计宽度，记为点A )组成，其侧面示意图为①ABC ，已知AC ①BC ，AB ＝5 cm ，AC ＝4 cm ，现为了书写记事方便，需调整台历的摆放，将点C 移动到点C ′，此时①C ′＝30°，则移动的距离CC ′的长度约为________cm.(结果取整数，其中3≈1.732，21≈4.583)
第2题图 5 【解析】过点A′作A′D①BC′，垂足为D，在①ABC中，①AC①BC，AB＝5 cm，AC＝4 cm，①由勾股定理得BC＝3 cm.当动点C移动至C′时，A′C′＝AC＝4 cm，在①A′DC′中，①①C′＝30°，①A′DC′＝90°，①A′D＝1 2A′C′＝2 cm，C′D＝3A′D＝2 3 cm.在①A′DB中，①①A′DB＝90°，A′B＝AB＝5 cm，A′D＝2 cm，①BD＝A′B2－A′D2＝21 cm，①CC′＝C′D＋BD－BC＝23＋21－3，①3≈1.732，21≈4.583，①CC′≈2×1.732＋4.583－3≈5.故移动的距离CC′的长约为 5 cm. 第2题解图 3.近年来由于旅游行业的带动，拉杆箱等物品的销售稳步提升．一款拉杆箱使用时的截面示意图如图所示，EC⊥CD，AG⊥地面MG，BF⊥AG于点F，CE与①O相切于点E，DE①MG，已知AB＝41 cm，BC＝50 cm，AF＝40 cm，CD ＝ 4.32 cm，EM为①O的直径且EM＝8 cm，则点A到地面的距离AG＝cm.
不定方程和解不定方程应用题经典
不定方程 ———研究其解法 方程，这个词对于同学们来说，再熟悉不过了，它在数学中占了很大的一个板块，许 多题目都可以通过方程来得到答案，那么自然而然，它的解法就尤为重要了。 然而，我今天想为大家介绍的是一种特殊的方程——不定方程，因为它往往有多个或无数个解，他的解法相对较多较难，以下就是关于不定方程的一些问题。 一、不定方程是指未知数的个数多于方程个数的方程，其特点是往往有不唯一的解。 二、不定方程的解法 1、筛选试验法 根据方程特点，确定满足方程整数的取值范围，对此范围内的整数一一加以试验，筛去不合理的值。 如：方程x ﹢y ﹢z = 100共有几组正整数解？ 解：当x = 1时y ﹢z = 99，这时共有98个解：(y ，z)为(1，98) (2，97)……(98，1)。 当x = 2时y ﹢z = 98，这时共有97个解：(y ，z)为(1，97) (2，96)……(97，1)。 …… 当 x = 98时，y ﹢z = 2，这时有一个解。 ∵ 98﹢97﹢96﹢ (1) 2 99 98?= 4851 ∴ 方程x ﹢y ﹢z = 100共有4851个正整数解。 2、表格记数法 如：方程式4x ﹢7 y =55共有哪些正整数解。 解： ∴ 方程4x ﹢7 y =55的正整数解有 x = 5 x = 12 y = 5 y = 1 3、分离系数法 如： 求7x ﹢2 y =38的整数解 解： y = 2 738X -=19-3x-21 x
令 t= 2 1 x x =2 t 则 y= 2 2738t ?-=19-7t 2t ＞0 19-7t ＞0 （t 为整）→ 2 7 5 ＞t ＞0 t=2，1 当 t=2时， x =2×2=4 x =4 y=19-7×2=5 y =5 当 t=1时， x =2×1=2 x =2 y=19-7×1=12 y=12 第四十周 不定方程 专题简析： 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x －3y ＝9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x －3y ＝9的解有： x ＝2.4 x ＝2.7 x ＝3.06 x ＝3.6 ……… y ＝1 y ＝1.5 y ＝2.1 y ＝3 如果限定x 、y 的解是小于5的整数，那么解就只有x ＝3，Y ＝2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。 解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。 对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。 解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。 例1． 求3x+4y ＝23的自然数解。 先将原方程变形，y ＝23－3x 4 。可列表试验求解： X=1 x=5 Y=5 y=2 练习一 1、 求3x+2y ＝25的自然数解。 2、 求4x+5y ＝37的自然数解。 3、 求5x －3y ＝16的最小自然数解。
排列组合问题教师版
二十种排列组合问题的解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理． 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理． 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =+++种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：12n N m m m =???种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事． 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或 是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类． 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 排法； 然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有1 4C 种排法； 最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有34A 种排法； ∴由分步计数原理得113 4 34288C C A = 443
几何应用题
九．几何应用题 几何应用问题是近几年来中考的一大考点，它是把几何知识与实际问题相结合的一类题 型，一般有这样几类：（一）三角形在实际问题中的应用；（二）几何设计问题；（三）折线 运动问题；（四）几何综合应用问题。解决这类问题时，应结合实际问题的背景，抽象出几 何模型，利用几何知识加以解决，然后再回到实际问题，进行检验、解释、反思，解题时应 特别注意数形结合、分类讨论等数学思想。 一、三角形在实际问题中的应用 例1．某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，∠ACB=90o，AC=80 米，BC=60米。 （1） 若入口E 在边AB 上，且A ，B 等距离，求从入口E 到出口C 的最短路线的长； （2） 若线段CD 是一条水渠，且D 点在边AB 上，已知水渠的造价为10元/米，则D 点在距A 点多远处时，此水渠的造价最低？最低造价是多少？ 分析：本题是一道直角三角形的应用问题，解决此题首 先要弄清等距离，最短路线，最低造价几个概念。 ．E 点在AB 上且与AB 等距离，说明E 点是AB 的中点，E 点到C 点的最短路线即为线段CE 。 ．水渠DC 越短造价越低，当DC 垂直于AB 时最短，此时造价最低。 本题考察了中点，点与点的距离，点与直线的距离，以及解直角三角形的知识。 解：（1）由题意知，从入口E 到出口C 的最短路线就是Rt △ABC 斜边上的中线CE 。 在Rt △ABC 中，AB= 10060802222=+=+BC AC （米）。 ∴CE=21AB=2 1×100=50（米）。 即从入口E 到出口C 的最短路线的长为50米。 （3） 当CD 是Rt △ABC 斜边上的高时，CD 最短，从而水渠的造价最低。 ∵CD ?AB=AC ?BC ，∴CD=(48100 8060=?=?AB BC AC 米）。 ∴AD=22224880-=-CD AC =64（米）。所以，D 点在距A 点64米的地方，水渠的造价 最低，其最低造价为48?10=480元。 例2．一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工 成一个面积最大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法分别如图1，图2所示，请 你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求。（加工损耗忽略不计，计算结果 中的分数可保留）。 B A D
不定方程的解法与应用
摘要 不定方程是初等数论的一个重要内容，在相关学科和实际生活中也有着广泛的应用．本文首先归纳了整数分离法、系数逐渐减小法和辗转相除法等几种常用的二元一次不定方程的解法；其次进一步讨论了求n元一次不定方程和二次不定方程整数解的方法；最后论述了不定方程在中学数学竞赛题、公务员行测试题和其他学科中的应用，并举例说明． 关键词：不定方程；二元一次不定方程；数学竞赛；公务员试题
Abstract The integral solutions of indeterminate equation solving method is an important content of elementary number theory, has been widely used in related disciplines and in real life. This paper summarizes the integer separation method, coefficient decreases and the Euclidean algorithm and several commonly used two element indefinite equation solution, secondly is further discussed. For n linear indeterminate equation and the method of two time indefinite equation integer solution, and finally discusses the indeterminate equation applied in secondary school mathematics, civil servants for test and other subjects, and illustrated with examples. Key words: i ndeterminate equation; two element indefinite equation; Mathematics contest; civil service examination.
排列组合的二十种解法情况总结
排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2 m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有34A 4 4 3
数学几何解题技巧
初中数学教学中几何解题思路分析 【摘要】平面几何在初中数学中一直占据着很重要的位置。而学生在对几何知识进行学习和掌握的过程中，最重要的一个部分就是能够应用到实践中进行解题。正像美国一位著名的数学家曾经所说过的那样：“数学这门学科，真正的组成部分就是问题和解题，在问题与解题中，解题就是数学的心脏所在。”学生在学习的过程中是否会解题，能否对一定的解题技巧与方法进行掌握对学生学习效果有直接的影响。对教师来说，学生对基本的解题能力进行掌握，也是“双基”教学的一个方面。在数学中对基本的解题方法和技巧进行注意，对学生的学习能力的提高无疑有着重要的促进作用，与此同时还能够对学生良好学习习惯的形成有推动作用。 【关键词】初中数学；教学；几何；解题思路； 对初中的几何教学来说，初中几何中的重要部分是解题技巧与规律教学。尤其是在初中几何的后期与复习阶段，通过对学生的几何解题技巧的培养，能够使学生对知识有系统性的掌握，同时能够培养其对知识进行灵活应用的能力。当然，处了解题技巧与规律的培养，还应该注意对学生思维能力的培养。只有思维能力得到提高，才能更好地掌握解题技巧与规律。下面我们通过具体的实例进行详细分析初中数学几何题的解题思路， 一、初中数学几何的解题技巧 1、对常见的题型与解题方法进行归纳总结 初中的几何题中，其实常见的题型并不多，所以这对经常见的几何题型与解题方法进行归纳与总结，是初中几何解题一个和实用的解题技巧。初中几何，证明题是最常见的，而证明题中，又以线段或角的一些关系的证明最为常见。对线段的关系的证明通常包括相等及其和差关系等的证明。在这些中，相等关系的证明是学生应该进行的基本掌握，对线段相等关系的证明，在思路与方法上常用的包括“三角形全等”、“比例线段”以及“等角对等边”和对中间量的过渡进行选取等思路。在这些方法中，“三角形全等”是最常用的，也是应该掌握的基本解题方法。对线段不等关系则一般常用“线段公理”，而对线段的和差及其它（如倍、分）关系，在解题过程中要注意使用截长、补短等技巧。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。 2、注意对辅助线进行添加和使用 在对初中几何进行解题的过程中，除了要对常用的解题方法与规律进行掌握外，还要对辅助线的添加与使用加以关注。在初中几何题中，当直接解题出现障碍使，添加辅助线是常见的解题技巧，往往会让人产生一种“柳暗花明又一村”的感觉。对常见技巧进行掌握，能有效提高学生的解题效率。下面我们通过一道例题详细进行分析几何证明题的解题方法及技巧： 如下图所示，已知：在ABC ?中，?=∠90C ，BC AC =,DB AD =,BF AE =,求证：DF DE =，
不定方程的求解方法汇总
不定方程的求解方法汇总 行测数量运算的考查中，不定方程是计算问题的常考题型，难度不大，易求解。但是想要快速正确的求解出结果，还是需要一些技巧和方法的。专家认为，掌握了技巧和方法，经过大量练题一定可以实现有效的提升，不定方程的题目必定成为你的送分题。 一、不定方程的概念 在学习之前，首先了解一下不定方程的概念：指对于一个方程或者方程组，未知数的个数大于独立方程的个数，便将其称为不定方程或者不定方程组。 在这里解释一下独立方程。看个例子大家便可以明白了: 4x+3y=26①,8x+6y=52② 因为①×2=②，相互之间可以进行转化得到，所以①、②两个式子并不是两个独立的方程，。 二、求解不定方程的方法 1、奇偶性 奇数+奇数=偶数奇数×奇数=奇数 偶数+偶数=偶数偶数×偶数=偶数 奇数+偶数=奇数奇数×偶数=偶数 性质：奇偶奇 7x为奇数，x也为奇数。x可能的取值有1、3、5。当x=1时，y=9，满足题干要求，凳子数量大于桌子数量，其余情况不符合要求，故答案选择B。
2、尾数法 当看到未知数前面的系数为0或者5结尾时，考虑尾数法。任何正整数与5的乘积尾数只有两种可能0或5。 性质：奇偶奇 5x 为奇数，则其尾数必定为5，则4y的尾数为4，y可能为1、6、11，这三种可能。但已知乙部门人数超过10人，则y=11,求得x=3,故答案选择C。 3、整除法 当未知数前面的系数与和或差有除1之外的公因数时，考虑用整除法。 4、特值法 当题目考察不定方程组，且一般情况下，求解(x+y+z)之和时考虑特值法。不定方程组拥有无数组解，而(x+y+z)的结果是唯一的，那么我们便可以随便找一组解代入即可。同时要使计算相对简单，便可以将系数较为复杂的未知数设为特值0，简化运算。
排列组合问题的解题方法与技巧的总结(完整版)
种。故不同插法的种数为：26A + 22A 16A =42 ，故选A 。 例7．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区 不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 种.（以数字作答） 解：由题意，选用3种颜色时，C 43种颜色，必须是②④同色，③⑤同色，与①进行全排列，涂色 方法有C 43A 33=24种4色全用时涂色方法：是②④同色或③⑤同色，有2种情况，涂色方法有 C 21A 44=48种所以不同的着色方法共有48+24=72种；故答案为72 六、混合问题--先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略． 例8．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4 人，则不同的分配方案共有（ ）种 A. B.3种 C. 种 D. 解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有 种方法,分配到三 个不同的路口的不同的分配方案共有： 种，故选A 。 例9．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出 3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共 有（） A ．24种 B ．18种 C ．12种 D ．6种
解：黄瓜必选，故再选2种蔬菜的方法数是C32种，在不同土质的三块土地上种植的方法是A33， ∴种法共有C32A33=18，故选B． 七．相同元素分配--档板分隔法 例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？本题考查组合问题。 解一：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有2 C种插法，即有15种分 6 法。 2、解二：由于书相同，故可先按阅览室的编号分出6本，此时已保证各阅览室所分得的书不小于其编号，剩下的4本书有以下四种分配方案：①某一阅览室独得4本，有种分法；②某两个阅览室分别得1本和3本，有种分法；③某两个阅览室各得2本，有种分法；④某一阅览室得2本，其余两阅览室各得1本，有种分法.由加法原理，共有不同的分法3+=15种. 八．转化法: 对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解 。例11 高二年级8个班,组织一个12个人的年级学生分会,每班要求至少1人,名额分配方案有多少种? 分析此题若直接去考虑的话,就会比较复杂.但如果我们将其转换为等价的其他
函数和几何应用题及其答案
20、（2006湖南常德）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一高压输电的铁架， 小山的斜坡的坡度1: 3 i=，斜坡BD的长是50米，在山坡的坡底B处测得铁架顶端A的 仰角为45，在山坡的坡顶D处测得铁架顶端A的仰角为60． （1）求小山的高度； （2）求铁架的高度．3 1.73 ≈，精确到0.1米） 21、（2006福建泉州）一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个以AD为直径的半圆O，下部是一个矩形ABCD. ⑴当AD=4米时，求隧道截面上部半圆O的面积； ⑵已知矩形ABCD相邻两边之和为8米，半圆O的半径为r米. ①求隧道截面的面积S（米2）关于半径r（米）的函数关系式（不要求写出r的取值范围）； ②若2米≤CD≤3米，利用函数图象求隧道截面的面积S的最大值（π取3.14，结果精确到0.1米） A B D O r
22、（2006吉林长春）某商场门前的台阶截面积如图所示。已知每级台阶的席度（如CD ）均为0.3m ，高度（如BE ）均为0.2m 。现将此台阶改造成供轮椅行走的斜坡，并且设计斜坡的倾斜角∠A 为9°，计算从斜坡的起点A 到台阶前点B 的距离。（精确到0.1m ）。 （参考数据：16.09tan ,99.09cos ,16.09sin ≈≈≈ ） 5.某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元． （1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？ （2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？ （3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a 元，要使（2）中所有方案获利相同，a 值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？ 1.（1）如图1所示，在四边形ABCD 中，AC =BD ，AC 与BD 相交于点O ，E F 、分 别是AD BC 、的中点，联结EF ，分别交AC 、BD 于点M N 、，试判断OMN △的形状，并加以证明； （2）如图2，在四边形ABCD 中，若AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，分别与BA CD 、的延长线交于点M N 、，请在图2中画图并观察，图中是否有相等的角，若有，请直接写出结论： ； （3）如图3，在ABC △中，AC AB >，点D 在AC 上，AB CD =，E F 、分别是AD BC 、的中点，联结FE 并延长，与BA 的延长线交于点M ，若45FEC ∠=?，判断点M 与以AD 为直径的圆的位置关系，并简要说明理由． 图 1 图2 图3 E D B F E D A A B A C D E F M N O
10秒钟解不定方程的方法
10秒钟解不定方程的方法 一、不定方程常用解法汇总 1、利用奇偶性求解 自然数分为奇数和偶数，而加和、做差和乘积也存在一定规律： 奇数+奇数=偶数;偶数+偶数=偶数;奇数+偶数=奇数; 奇数×奇数=奇数;偶数×偶数=偶数;奇数×偶数=偶数。 例题1：x，y为自然数，2x+3y=22，求y=? A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】B。解析：22是偶数，2x是偶数，偶数加偶数才能得到偶数，所以3y一定是偶数，又因为3是奇数，所以只能是y为偶数，答案选B。 2、利用尾数法求解 适用环境：一个未知数系数尾数是5或0。 例题2：现有139个同样大小的苹果往大、小两个袋子中装，已知大袋每袋装17个苹果，小袋每袋装10个苹果。每个袋子都必须装满，则需要大袋子的个数是? A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】C解析：设需要大袋子x个，小袋子y个，得到17x+10y=139，由于小袋子每袋装10个苹果，所以无论有多少个小袋子，所能装的苹果数的尾数永远为0，即10y的尾数为0;而大袋每袋装17个苹果，17x的尾数为9，所以x的尾数为7，选C。 3、利用整除特性求解 适用环境：等式右边的常数和某个未知数系数能被同一个数整除(1除外)，即有除了1以外的公约数。 例3：x，y为自然数，3x+4y=129，求y=? A.11 B.12 C.13 D.14 【答案】B。解析：发现129和x的系数3都能被3整除，所以4y也必定被3整除，而4不能被3整除，所以只能y被3整除，答案选B。 二、真题演练 1、超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个? A.3 B.4 C.7 D.13 【答案】D解析：此题条件比较单一，没有直接可以利用的数量关系。因此，要优先考虑方程法，利用方程来理清数量间的特殊关系。 设大包装盒有x个，小包装盒有y个，则12x+5y=99，其中x、y之和为十
初一上册几何应用题
初一上册几何应用题 1. （2010 年福建省晋江市）已知：如图，有一块含30°的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等腰直角三角板ODC 的斜边OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB 3 . 1若双曲线的一个分支恰好经过点 A ，求双曲线的解析式；2若把含30°的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x 轴重叠，点 A 落在点A′ ，试求图中阴影部分的面积结果保留π . y A 答案：解：1 在RtOBA 中，∠AOB 30°，AB 3 ，B OB cot ∠AOB ，D AB ∴OB AB cot 30° 3 3 ，O C A’ x ∴点A 3 3 3 设双曲线的解析式为y k k ≠ 0 x k 9 3 y ∴3 3 ，k 9 3 ，则双曲线的解析式为y A 3 x B 2 在RtOBA 中，∠AOB 30°，AB 3 ， D AB 3 sin ∠AOB ，sin 30°，OA OA ∴OA 6 . O C A’ x 由题意得：∠AOC 60°，60 π 6 2 S 扇形AOA 6π 360 在RtOCD 中，∠DOC 45°，OC OB 3 3 ，2 3 6 ∴OD OC cos 45° 3 3 . 2 2 2 1 13 6 27 ∴S ODC OD 2 . 2 2 2 4 27 6π ∴S阴＝S扇形AOA S ODC 42. （2010 年青岛）小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB，AB＝80 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户 C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数）A 3 3 7 11 （参考数据：sin 37 ≈ ，，，≈ o tan37 o s in 48 ≈ o tan48 ≈ ）
(完整版)解排列组合应用题的解法技巧
解排列组合应用题的解法?技巧 引言： 1、本资料对排列、组合应用题归纳为8种解法、13种技巧 2、解排列组合问题的“16字方针”：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合 一般先选再排，即先组合再排列，先分再排。弄清要完成什么样的事件是前提，解决这类问题通常有三种途径（1）以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素 （2）以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置即采用“先特殊后一般”的解题原则 （3）先不考虑附加条件，计算岀排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数前两种方式叫直接 解法，后一种方式叫间接（剔除）解法注：数量不大时可以逐一排出结果。 3、解排列组合问题的依据是：分类相加（每类方法都能独立地完成这件事，它是相互独立的，一次的且 每次得岀的是最后的结果，只需一种方法就能完成这件事），分步相乘（一步得岀的结果都不是最后的结果，任何一步都不能独立地完成这件事，只有各个步骤都完成了，才能完成这件事，各步是关联的），有序排列, 无序组合. （一）排列组合应用题的解法 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目 中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一.运用两个基本原理二.特殊元素（位置）优先三.捆绑法四.插入法五. 排除法六.机会均等法七.转化法八.隔板法 一.运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们 都要考虑在记数的时候进行分数或分步处理。 例1: n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有C0种结果；1个人通过，有c n种结果，……； n个人通过，有C；种结果。所以一共有C： C n C：2n种可能的结果。 解法2 :用分步记数的原理。第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这 样，……，第n个人也是这样。所以一共有2n种可能的结果。 例2:同室四人各写了一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（） （A） 6 种（B）9 种（C）11 种（D）23 种 解：设四个人分别为甲、乙、丙、丁，各自写的贺年卡分别为a、b、c、d o 第一步，甲取其中一张，有3种等同的方式； 第二步，假设甲取b，则乙的取法可分两类： （1）乙取a，则接下来丙、丁的取法都是唯一的， （2）乙取c或d （2种方式），不管哪一种情况，接下来丙、丁的取法也都是唯一的。 根据加法原理和乘法原理，一共有 3 （1 2） 9种分配方式。
排列组合的二十种解法总结
超全的排列组合解法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。 教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力。 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题。 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有2m 种不同的方法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事。 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置。 先排末位共有13C ，然后排首位共有1 4C ， 最后排其它位置共有3 4A ， 由分步计数原理得113 4 34288C C A =。 4 4 3
不定方程的解法
基本介绍编辑本段 不定方程是数论的一个分支，它有着悠 久的历史与丰富的内容。所谓不定方程是指解的范围为整数、正整数、有理数或代数整数的方程或方程组，其未知数的个数通常多于方程的个数。 古希腊数学家丢番图于三世纪初就研究过若干这类方程，所以不定方程又称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是历史上最活跃的数学领域之一。不定方程的内容十分丰富，与代数数论、几何数论、集合数论等等都有较为密切的联系。1969 年，莫德尔较系统地总结了这方面的研究成果。 2 发展历史编辑本段
希腊的丢番图早在公元3 世纪就开始研究不定方程，因此常称不定方程为丢番图方程。Diophantus ，古代希腊人，被誉为代数学的鼻祖，流传下来关于他的生平事迹并不多。今天我们称整系数的不定方程为「Diophantus 方程」，内容主要是探讨其整数解或有理数解。他有三本著作，其中最有名的是《算术》，当中包含了189 个问题及其答案，而许多都是不定方程组（变量的个数大于方程的个数）或不定方程式（两个变数以上）。丢番图只考虑正有理数解，而不定方程通常有无穷多解的。 研究不定方程要解决三个问题：①判断何时有解。②有解时决定解的个数。③求出所有的解。中国是研究不定方程最早的国家，公元初的五家共井问题就是一个不定方程组问题，公元5 世纪的《张丘建算经》中的百鸡问题标志中国对不定方程理论有了系统研究。秦九韶的大衍求一术将不定方程与同余理论联系起来。百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何”。设x，y，z 分别表鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为不定方程组的非负整数解x，y，z，这是一个三元不定方程组问题。 3 常见类型编辑本段
排列组合应用题的解法
排列组合应用题的解法 湖北省京山县第五高级中学高二（3） 李敏 排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。 一、运用两个基本原理 加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。 例1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？ 分析1：用分类记数的原理：没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。 分析2：用分步记数的原理：第一个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。 二、特殊元素（位置）用优先法 把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 例2：6人站成一排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？ 分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。 因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在中间四个位置的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：=480（种） 三、相邻问题用捆绑法 对于要求某几个元素必须排在一起的问题，可用“捆绑法”：即将这几个元素看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素内部再进行排列。 例3：5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同排法？ 分析：把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有种，然后女生内部再进行排列，有种，所以排法共有：=4320（种）。 四、相离问题用插空法 元素相离（即不相邻）问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两端的空中。 例4：7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？
排列组合的二十种解法(最全的排列组合方法总结)
教学目标 1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。 2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。提高学生解决问题分析问题的能力 3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题. 复习巩固 1.分类计数原理(加法原理) 完成一件事，有n 类办法，在第1类办法中有1m 种不同的方法，在第2类办法中有 2m 种不同的方 法，…，在第n 类办法中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 2.分步计数原理（乘法原理） 完成一件事，需要分成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有： 种不同的方法． 3.分类计数原理分步计数原理区别 分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。 分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件． 解决排列组合综合性问题的一般过程如下: 1.认真审题弄清要做什么事 2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。 3.确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素. 4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有14C 最后排其它位置共有3 4A 由分步计数原理得113 434288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有 多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元 素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522 522480A A A =种不同的 排法
例谈几何应用题的解法
例谈几何应用题的解法 山东 戴桂生 张同军 全日制义务教育数学新课程标准对数学建模提出了明确要求。标准强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”数学建模对初中学生来说是难点，强化数学建模的能力，不仅能使学生更好地掌握数学基础知识，学会数学的基本思想和方法。但许多同学在数学建模时不得法，导致失分严重。下面结合具体例题，分类解析与几何图形有关的应用题的求解策略. 一. 与直线有关的应用问题 例1. 为保护环境，市政府计划在连结A 、B 两居民区的公路北侧1 500m 的海边修建一座污水处理厂，设计时要求该污水处理厂到A,B 两居民区的距离相等． (1)若要以1：50 000的比例尺画设计图,求污水处理厂到公路的图上距离； (2)在图中画出污水处理厂的位置P. 解：(1)设图上污水处理厂到公路的距离为x m,则有5000011500=x .解得x=0.03(m)=3(cm). (2)因为要求污水处理厂到A,B 两居民区的距离相等，所以污水处理厂的位置应在线段AB 的垂直平分线的正北方向,并且到线段AB 的距离为3cm ．如图6所示． 点拨：该应用比例尺计算时应注意设未知数时,未知数的单位要与题中已知的长度单位统一. 二.与三角形有关的应用问题 例2. 如图，小明想测量校园一棵不可攀的树的高度，由于无法直接度量 A 、 B 两点间的距离，请你用学过的数学知识按以下要求设计一种测量方案． （1)画出测量图案； (2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）； (3)计算A 、B 间的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）． 解；如果是在晴朗的白天测量，可借鉴一面小镜子侧量． (1)测量图案如右图所示． (2)测量步骤：①量出CA=a ，在C 处放一个小镜子；②沿AC 向后退，直至能在小镜中看到树尖B 时停止；③量出CD=b ，侧量者的目高DE=c.(3)根据光学中的“入射角＝反射角”可知∠DCE ＝∠ACB,从而有Rt △DCE ∽Rt △ACB,∴ CD AC DE AB =,即b a c AB =,解得AB=b ac .如果是阴天，可使用专业测量仪器进行测量． (1)侧量图案如右图所示.