初中数学《最短路径问题》典型题型复习

初中数学《最短路径问题》典型题型

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A ，B 在直线L 的两侧，在L 上求一点P ，使得PA+PB 最小。

解：连接AB,线段AB 与直线L 的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线段最短.）

二、 两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A 、B 提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A 、B 到它的距离之和最短．

解：只有A 、C 、B 在一直线上时，才能使AC +BC 最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A ′，然后连接A ′B ，交“街道”于点C ，则点C 就是所求的点．

三、一点在两相交直线内部

例：已知：如图A 是锐角∠MON 内部任意一点，在∠MON 的两边OM ，ON 上各取一点B ，C ，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A 关于OM ，ON 的对称点A ′，A ″；连接A ′，A ″，分别交OM ，ON 于点B 、点C ，则点B 、点C 即为所求

分析：当AB 、BC 和AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小

例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M,

则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。

A· B

M

N

E

证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC

在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB

所以抽水站应建在河边的点D 处，

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上

摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？

作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ，

则CM+MN+CN 最短

例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。

作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G .H ，

则CG+GH+DH 最短

四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？ （5或4）

·

·

C

D

A

B E

a

四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只

蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）

A．7 B． C．D．5

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：将圆柱体展开，连接A、C，

∵==?π?=4，BC=3，

根据两点之间线段最短，

AC==5．故选D．

五、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了

然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长

方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则

需要爬行的最短路径长为（）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一，

故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；

所以最短路径长为cm．

例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的

四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处

最短距离为（）

A．4.8 B． C．5 D．

分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

解：有两种展开方法：

①将长方体展开成如图所示，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==；

②将长方体展开成如图所示，连接A 、B ，则AB=

=5＜

；

所以最短距离 5

例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树 米之外才是安全的．

分析：根据题意构建直角三角形ABC ，利用勾股定理解答．

解：如图，BC 即为大树折断处4m 减去小孩的高1m ，则BC=4﹣1=3m ，AB=9﹣4=5m ， 在Rt △ABC 中，AC=

=

=4．

例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD 平行且＞AD ，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A 处，到达C 处需要走的最短路程是 米．（精确到0.01米）

分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答． 解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽， ∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．

于是最短路径为：

=2.60米．

例：如图，AB 为⊙O 直径，AB=2，OC 为半径，OC ⊥AB,D 为AC 三等分点，点P 为OC 上的动点，求AP+PD 的最小值。 分折：作D 关于OC 的对称点D ’，于是有PA+PD ’≥AD ’,

（当且仅当P 运动到P o 处，等号成立，易求AD ’

。 六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程

将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案

例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径

r=2

，若一只小蚂蚁从A 点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A 点，则蚂蚁爬行的最短路线长是 （结果保留根式）

小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长， 根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则， 则2×π×2=

， 解得：n=90°，

由勾股定理求得它的弦长AA

n ×π×8 180

一、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之

间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值. 例：如图，在正方形ABCD 中，点E 为AB 上一定点， 且BE=10,CE=14,P 为BD 上一动点，求PE+PC 最小值。

分析：作E 关于BD 对称点E ’，E ’在AB 上， 有PE+PC=PE ’+PC ≥E ’C 易求E ’C=26。

二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD 周长最短时,求

m

n

。 分折:因AB 长为定值,四边形周长

最短时有BC+CD+DA 最短,作B 关于y 轴对称点B ’, A 关于x 轴对称点A ’,

DA+DC+BC=DA ’+DC+B ’C ≥B ’A ’(当D,C 运动到AB 和x 轴y 轴的交点时等号

成立),易求直线A ’B ’解折式y= 23x

+73,C0(0,73),D0(-72,0),此时m n =- 23

三、题中出现三个动点时。

在求解时应注意两点：

(1)作定点关于动点所在直线的对称点,

(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.

例：如图，在菱形ABCD 中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P 分别为AB,BC,AC 上动点,求PE+PF 最小值

分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,

PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求

E0F=

例：如图，∠AOB=45，角内有一动点P ，PO=10，在AO，BO上有两动点Q，

R，求△PQR周长的最小值。

分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。

于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，

由对称性易知△P1OP2为等腰RT△

,OP=OP1=OP2=10,P1P2=

总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定

点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

1、运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

2、利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．