现代控制理论第4章1

第四章Lyapunov稳定性分析

主要内容

4.1概述

4.2介绍Lyapunov意义下的稳定性定义

4.3Lyapunov稳定性定理，非线性系统的稳定性分析4.4线性定常系统的Lyapunov稳定性分析

线性定常系统的稳定性分析方法很多。然而，对于非线性系统和线性时变系统，这些稳定性分析方法实现起来可能非常困难，甚至不可能。Lyapunov稳定性分析是解决非线性系统稳定性问题的一般方法。

4.1 概述

在该著作中，Lyapunov研究了平衡状态及其稳定性、运动及其

稳定性、扰动方程的稳定性，得到了系统的给定运动(包括平衡状态)的稳定性，等价于给定运动(包括平衡状态)的扰动方程之原点(或零解)的稳定性。

),(t x f x

=&)(t x φ=e x x =)(t x φ=e x x =),~(~~t x f x

=&1892年，俄国数学力学家亚历山大·米哈依诺维奇·李亚普诺夫(A.M.Lyapunov ) (1857-1918)，以其天才条件和精心研究，创造性地发表了其博士论文“运动稳定性的一般问题”，给出了稳定性概念的严格数学定义，并提出了解决稳定性问题的方法，从而奠定了现代稳定性理论的基础。

在上述基础上，Lyapunov提出了两类解决稳定性问题的方法，即Lyapunov第一法和Lyapunov第二法。

第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，

即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；

第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，转而构造一个Lyapunov函数，研究其正定性及其对时间沿系统方程解的全导数的负定或半负定，得到稳定性结论。

这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov方法就是指Lyapunov第二法。

虽然在非线性系统的稳定性分析中，Lyapunov稳定性理论具有基础性的地位，但在具体确定许多非线性系统的稳定性时，却并不是直截了当的。技巧和经验在解决非线性问题时显得非常重要。

4.2 Lyapunov意义下的稳定性问题

对于一个给定的控制系统，稳定性分析通常是最重要的。如果系统是线性定常的，那么有许多稳定性判据，如Routh-Hurwitz稳定性判据和Nyquist稳定性判据等可以利用。

然而，如果系统是非线性的，或是线性时变的，则上述稳定性判据就将不再适用。

Lyapunov第二法（也称Lyapunov直接法）是确定非线性系统和线性时变系统的最一般的方法。

当然，这种方法也可适用于线性定常系统的稳定性分析。

此外，它还可应用于线性二次型最优控制等许多问题。

0),(≡t x f e e x 则称为系统的平衡状态或平衡点。

, 对所有t (4.2)

在式(4.1)的系统中，总存在

),;(00t x t Φ0t t =0x x =0

000),;(x t x t =Φ假设在给定初始条件下，式(4.1)有唯一解，

且当时，。于是

式中：为维状态向量；

是变量的n 维向量函数。x n ),(t x f t x x x n ,,,,21L ),(t x f x =&(4.1)

考虑非线性系统

4.2.1 平衡状态、给定运动与扰动方程之原点

当A 为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。

平衡状态的确定不包括式(4.1）的系统微分方程的解，只涉及式(4.2)的解。

e x x =对于非线性系统，则有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解（对所有t ，总存在）。

Ax t x f =),(0=e x 如果系统是线性定常的，也就是说，则当A 为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态.

任意一个孤立的平衡状态（即彼此孤立的平衡状态）或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。

)(t x φ=),~(~~t x f x =&0),0(~=t f 0~=e x 这种所谓“原点稳定性问题”，由于使问题得到极大简化，又不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。

在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。

(1)如果对应于每一个，存在一个，使得当t 趋于无穷时，始于S (δ)的轨迹不脱离S (ε)，则式(4.1)系统之平衡状态称为在Lyapunov意义下是稳定的。

)(εS )(δS 0=e x 定义意味着：对应于每一个选择的球域

S (ε)，必存在一个球域S (δ)，使得当t 趋

于无穷时，始于S (δ) 的轨迹总不脱离球

域S (ε）。

在H 邻域内，若对于任意给定的，均有

H <<ε00=e x 一般地，实数δ与ε有关，通常也与t 0有关。如果δ与t 0无关，则称此时之平衡状态为一致稳定的平衡状态。稳定的四个定义：

(2)如果平衡状态，在Lyapunov 意义下是稳定的，并且始于域S (δ)的任一条轨迹，当时间t 趋于无穷时，都不脱离S (ε)，且收敛于，则称式(4.1)系统之平衡状态为渐近稳定的，其中球域S (δ)被称为平衡状态的吸引域。

0=e x 0=e x 0=e x 0=e x 注意：1）渐近稳定性比Lyapunov意义下稳定性更重要。

2）非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。

3）有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。

0=e x 类似地，如果δ与t 0无关，则称此时之平衡状态为一致渐近稳定的。

即发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。

(3)对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态称为大范围渐近稳定。

0=e x 对所有实际问题，希望能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过该域。

在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。

显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。

0=e x 0=e x 或者说，如果式(4.1)系统之平衡状态渐近稳定的吸引域为整个状态空间，则称此时系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。

(4)如果对于某个实数ε> 0

和任一个实数δ>0，不管这两个实数多么小，在S (δ)内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开S (ε)，则平衡状态称为不稳定的。

0x 0=e x (5)Lyapunov意义下稳定性的几何意义

图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹;

（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹;

（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹

在图4.1(a)、(b)和(c)中，球域S (δ)制约着初始状态

，而球域S (ε)是起始于的轨迹的边界。0x 0x 3)不稳定不能说明轨迹将趋于无穷远处：

若线性定常系统不稳定，则在不稳定平衡状态附近出发的轨迹将趋于无穷远。

非线性系统不稳定，轨迹有可能趋于在S (ε)外某个极限环。注意: 1)上述定义不能详细说明可容许初始条件的精确吸引域，除非S (ε）对应于整个状态平面，否则定义只能应用于平衡状态的邻域。

2) 在图4.1(c)中，轨迹离开了S (ε)，说明平衡状态不稳定。

2、纯量函数的正定性

如果对所有在域Ω中的非零状态，有，且在处有，则在域Ω（域Ω包含状态空间的原点

）内的纯量函数称为正定函数。

0≠x 0)(>x V 0=x 0)0(=V )(x V ),(t x V 则称时变函数在域Ω（Ω包含状态空间原点）内是正定的。

),(t x V )(x V )

(),(x V t x V >0t t ≥0),0(=t V 0

t t ≥对所有,对所有,如果时变函数由一个定常的正定函数作为下限，即存在一个正定函数，使得

如果-是正定函数，则纯量函数称为负定函数。

)(x V )(x V 如果在域Ω内，不论域Ω多么小，既可为正值，也可为负值时，则纯量函数称为不定的纯量函数。

)(x V )(x V 6、纯量函数的不定性

如果-是正半定函数，则纯量函数称为负半定函数。

)(x V )(x V 5、纯量函数的负半定性

)(x V )(x V 如果纯量函数除了原点以及某些状态等于零外，在域Ω内的所有状态都是正定的，则称为正半定纯量函数。

4、纯量函数的正半定形

3、纯量函数的负定性