圆锥曲线的综合应用含详细答案(供参考)
专题1 圆锥曲线的综合应用
题型1 直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与双曲线的交点个数是( )
A. 1
B. 2
C. 1或2
D. 0
答案详解A
解:双曲线的渐近线方程为:,因为直线与双曲线的一条渐近线平行,
在y轴上的焦距为3,所以直线与双曲线的交点个数是:1.所以A选项是正确的.
解析:求出双曲线的渐近线方程,然后判断直线与双曲线的交点个数即可.
2. 斜率为的直线l与椭圆交与不同的两点,且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
答案详解A
解:两个交点横坐标是-c,c，所以两个交点分别为
代入椭圆，两边乘，则
，，
，,或所以
3. 过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，则λ=．
【答案】分析：利用实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条，根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直，求出直线与实轴垂直时，线段的长度为4，再作验证，即可得到结论．
解答：解：∵实数λ使得|AB|=λ的直线l恰有3条
∴根据对称性，其中有一条直线与实轴垂直
此时A，B的横坐标为，代入双曲线方程，可得y=±2，故|AB|=4
∵双曲线的两个顶点之间的距离是2，小于4，
∴过抛物线的焦点一定有两条直线使得交点之间的距离等于4，
综上可知，|AB|=4时，有三条直线满足题意∴λ=4故答案为：4
解析:先根据题意表示出两个焦点的交点坐标,代入椭圆方程,两边乘,求得关于的方程求得e.
4.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线的倾斜角为，那么。
5. 已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的倍,其上一点到右焦点的最短距离为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线与圆相切,且交椭圆C于A、B两点,
求当的面积最大时直线l的方程.
答案详解
解:(1)设椭圆右焦点
则由(1)得代得
代(2)得
(2)与圆相切
由消y得
又,
当时,,
当时,
(当时“=”成立)
此时且(3)式
6. 已知，是双曲线的两个焦点，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，动点满足，曲线的方程为
。（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）判断直线与曲线的公共点的个数，并说明理由；当直线与曲线相交时，求直线截曲线所得弦长的取值范围。
答案（Ⅰ）因为是双曲线的两个焦点，则。因为椭圆与双曲线的焦点相同，则可得。
则可解得，所以椭圆方程为。
（Ⅱ）动点满足，所以是椭圆上的点，则。
则可得，。
因为曲线是圆心半径的圆，圆心到直线的距离为
，所以直线与曲线有两个公共点。
设直线截曲线所得的弦长为，则。
对动点，可得，则代入的表达式可得。
题型2 弦重点、中点弦问题
7、平面直角坐标系中，过椭圆：（）右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为。
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ），为上的两点，若四边形的对角线，求四边形
面积的最大值。
答案详解
（Ⅰ）设，，，则，，。由此可得：，因为，，，所以。又由题意知，的右焦点为，故，因此，，所以的方程为。
（Ⅱ）由，解得或，因此。又题意可设直线的方程为（）。设，，由得，于是，
因为直线的斜率为，所以，由已知，四边形的面积，当时，取得最大值，最大值为。所以四边形的面积的最大值为
8、已知点A、B的坐标分别是，.直线相交于点M，且它们的斜率之积为－2.
(Ⅰ)求动点M的轨迹方程;
(Ⅱ)若过点的直线交动点M的轨迹于C、D两点, 且N为线段C D的中点，求直线的方程.
答案
【答案】
解：(Ⅰ)设，因为,所以
化简得:……………6分
(Ⅱ) 设
当直线⊥x轴时,直线的方程为,则,其中点不是N,不合题意。……………8分
设直线的方程为。
将代入得
…………(1)…………(2) ……………10分
(1)-(2)整理得:……………12分
直线的方程为
即所求直线的方程为……………14分
题型3 对称问题
9、已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则
等于（）。
A: B: C: D:
答案详解C
正确率: 53%, 易错项: B
解析:本题主要考查抛物线与直线的关系。
设直线的方程为，与抛物线联立得，，由韦达定理得，进而可求出的中点，又因为在直线上，代入可得，，，由弦长公式可求出
。故本题正确答案为C。
10、已知椭圆＋＝1上的两个动点P，Q，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且x1＋x2＝2.(1)求证：线段PQ的垂直平分线经过一个定点A；
(2)设点A关于原点O的对称点是B，求|PB|的最小值及相应的P点坐标．
答案详解（1）见解析. (2) |PB|min＝. P的坐标为(0，±)
解析:(1)证明∵P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且x1＋x2＝2.
当x1≠x2时，由得＝－·.
设线段PQ的中点N(1，n)，∴k PQ＝＝－，
∴线段PQ的垂直平分线方程为y－n＝2n(x－1)，
∴(2x－1)n－y＝0，该直线恒过一个定点A.
当x1＝x2时，线段PQ的中垂线也过定点A.
综上，线段PQ的垂直平分线恒过定点A.
(2)由于点B与点A关于原点O对称，故点B.
∵－2≤x1≤2，－2≤x2≤2，∴x1＝2－x2∈[0,2]，
|PB|2＝2＋y＝ (x1＋1)2＋≥，
∴当点P的坐标为(0，±)时，|PB|min＝.
题型4 求参数的取值范围及最值得综合题
11、过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则的最小值是( )
A. 2
B.
C. 4
D.
答案C
解:根据题意知,抛物线y2的焦点坐标为,
当斜率k存在时,设直线AB的方程为,
由2x222.
y1)、2，y2）则,x1x2.
设出
1，
根据抛物线的定义得出
+x1+x2+1,
121x2
.
当斜率k不存在时,.则的最小值是4. 12、在平面直角坐标系中，为双曲线右支上的一个动点。若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为_____ 。答案详解
解析:本题主要考查双曲线的性质。
由题可画图：
由双曲线方程，可得，，则双曲线的渐近线方程为。
因为双曲线无线接近于渐近线，直线与平行，两直线之间的距离即为的最大值，故本题正确答案为。
13、若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭
圆上任意一点，则最大值为．
答案6
解析将椭圆方程变形可得，所以．
设，，则，．
，
，，，即．
所以的最大值为6．
题型5 定点与定值问题
14、已知直线，圆，椭圆的离心率，直线被圆截得的弦长与椭圆的短轴长相等。
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过圆上任意一点作椭圆的两条切线，若切线都存在斜率，求证两切线斜率之积为定值。
答案详解
（Ⅰ）圆心到的距离，则，又，则，椭圆的方程。
（Ⅱ）设点，则过点的在椭圆的切线方程为：，联立直线与椭圆的方程，得
，消去整理得：，因为直线与椭圆相切，所以，设满足条件的椭圆的两条切线的斜率为、，
则，又，则，两切线斜率之积为定值，故证得切线斜率之积为定值。
15、