2018年秋季高一数学期中考试试题(必修1)及答案

2018年秋季高一数学期中考试试题

2018.10

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的． 1.下列各组函数是同一函数的是（ ）

①()f x =

与()g x =；②()f x x =与()g x =；③0()f x x =与

1()g x x =

；④2()21f x x x =--与2

()21g t t t =-- A. ① ② B. ① ③ C. ③ ④ D. ① ④

2．设集合A={1，2}, B={0，1}，定义运算A ※B={z|z=,,}x x A y B y

∈∈,则集合A ※B 的子集

个数为（ ） A.1 B.2

C.3

D.4

3．已知 5.10.9m =，0.95.1n =，0.9log 5.1p =，则m 、n 、p 的大小关系（ ）

A.p n m <<.

B.n p m <<

C.n m p << D ．m n p << 4．下列函数中，在(0,1)上为单调递减的偶函数是（ ）

A. 2-=x y

B. 4

x y = C. 21

x y = D ．13

y x =- 5．如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[--上是（ ） A. 减函数且最小值是5- B.. 减函数且最大值是5- C . 增函数且最小值是5- D . 增函数且最大值是5-．

6．已知集合2

{|1,}M y y x x ==-∈R ,{|N x y =∈=R ，则M

N =（ ）

A.)}1,2(),1,2{(-

B.]3,1[-

C.]3,0[

D.? 7．若ax x x f 2)(2

+-=与x

a x g -+=1)

1()((1a >-且0)a ≠在区间]2,1[上都是减函数,则

a 的取值范围是（ ）

A.)0,1(-

B.]1,0(

C.)1,0(

D.(1,0)

(0,1)-

8．若{

}222

8x

A x -=∈≤

2log 1B x x =∈>R ，则()A B R e的元素个数为（ ）

A.0

B.1

C. 2

D. 3

9．函数()f x 与的图像与1()()2

x

g x =图像关于直线y x =对称，则的2(4)f x -的单调增区

间是（ ）

A. (,0]-∞

B. [0,)+∞

C. (2,0]-

D. [0,2) 10．已知函数()log (21)(01)x a f x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系

是（ ） A ．1

01a b -<<<

B ．1

01b a -<<<

C.101b

a -<<<

D ．1

101a

b --<<<

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11

．计算1

1

(lg9lg 2)322

9416()100log 8log 39

--++=_______． 12．已知集合1,

,a M b b ??

=????

，{}20,,N a b b =+，M

N =，则20102011a b +=_______． 13．函数()log 23a y x =-的图象恒过定点P , P 在幂函数()f x 的图象上，则()9f = _______．

14．设集合A=10,2??????, B=1,12??

????, 函数()f x =()1

,2

21,,

x x A x x B ?+∈???-∈?

若0x A ∈, 且0[()]f f x ∈A,则0x 的取值范围是_______．

15．已知偶函数()f x 满足()08)(3

≥-=x x x f ，则(2)0f x -

>的解集为_______．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16．（本小题满分12分）已知函数31()31

x

x f x -=+.

（1）证明f （x ）为奇函数；

（2）判断f （x ）的单调性，并用定义加以证明；

17．（本小题满分12分）已知全集U =R ，A =｛x ||1x -|≥1｝，Ｂ为函数()f x =的定义域，C 为()lg[(1)(2)]g x x a a x =---（1a <）的定义域； （1）A B ；()U A

B e； （2）若

C B ?，求实数a 的取值范围；

18．（本小题满分12分）已知二次函数()f x 满足条件(0)1f =，及(1)()2f x f x x +-=. （1）求函数()f x 的解析式；

（2）在区间[-1，1]上，()y f x =的图像恒在2y x m =+的图像上方，试确定实数m 的取值范围； .

19．（本小题满分12分）已知,a b ∈R 且2a ≠，定义在区间(),b b -内的函数

1()l g 12ax

f x x

+=+是奇函数

（1）求函数()f x 的解析式及b 的取值范围； （2）讨论()f x 的单调性；

20．（本小题满分13分）设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数m 、n ，都有

()()()f m f n f m n =+，且当x ＜0时，()f x ＞1. （1）证明：①(0)1f =；

②当x ＞0时，0＜()f x ＜1； ③()f x 是R 上的减函数；

（2）设a ∈R ，试解关于x 的不等式2

(31)(361)1f x ax f x a -+-++≥；

21．（本小题满分14分）已知()y f x =（x D ∈，D 为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数()f x 在D 内单调递增或单调递减；②如果存在区间[,]a b D ?，使函数

()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]a b ，那么称()y f x =，x D ∈为闭函数；

请解答以下问题

(1) 求闭函数3

y x =-符合条件②的区间[,]a b ； (2) 判断函数31

()((0,))4f x x x x

=

+∈+∞是否为闭函数？并说明理由；

(3)若0)y k k =+<是闭函数,求实数k 的取值范围；

2018年秋季高一数学期中考试

参考答案

一、选择题：

1． C 解析：①中()0,()0f x g x ≥≤，两个函数的值域不同；②中()g x x =与()f x 解

析式不同；③ ④中函数的定义域、对应关系都相同； 2． D 解析：A ※B={1,2}，子集个数为2

24=； 3． C 解析：01p m n <<<<

4． A 解析：,B C 在(0,1)上是递增函数，而D 是奇函数，均不符合；

5． D 解析：当]7,3x ?∈--?，]3,7x ?

-∈?，设]03,7x ?-∈?且0()5f x -=；由题知： 0()()5f x f x -≥-=；又由()f x 为奇函数，可得：0()()5f x f x -≥-=，所以0()()5f x f x ≤=-；由奇函数图象特征，易知)(x f 在]3,7[--上为增函数；

6． B 解析：集合M 表示21y x =-的值域，[)1,y ∈-+∞；集合N 表示21y x =-的定

义域，2

30x -≥，x ?∈?；

7． B 解析：二次函数()f x 的对称轴为x a =，图象开口向下；由()f x 与()g x 在区间]2,1[

上都是减函数，则应满足：1,a ≤且11a +>，解得：01a <≤

8． C 解析：

123222x

-≤<，得123x ≤-<，解得：11x -<≤;又x ∈Z ，所以{0,1}A =；

2log 1x >，得2log 1x >或2log 1x <-，且0x >，解得：2x >或1

02

x <<

，所以

()10,2,2B ??=+∞ ?

??

，1(,0]

,22B ??

=-∞????

R e，()A B R e={0,1} 9． D 解析：由题可得：12

()log f x x =，2

2

12

(4)log (4)f x x -=-，令

24,u x =-1

2

l o g y u = 在定义域上是减函数，由复合函数单调性可知：2

(4)f x -的单调增区间应为2

4u x

=-

的单调减区间，且在该区间上0u >；故[0,2)x ∈

10．A 解析：设21,x t b =+-则()log a f x t =，因为21x

t b =+-在R 上单调递增，由

图象可知函数()f x 也是单调递增，由复合函数的单调性可知log a y t =在定义域上递

增，故1a >；又0(0)log (21)log a a

f b b =+-=，由图象可知：

1(0)0f -<<，则1log 0a b -<<，解得1

01a b -<<<

二、填空题：

11．4

12．-1 解析：由M N =，1,

,a M b b ??

=????

知0b ≠，所以只能0a b =，所以0a =，此时

}{1,0,M b =，}{

20,,N b b =，所以21b =，又2b b ≠，所以1b =-；代入即可得； 13．13

解析：令2,x y ==

，即(2,P ；设()f x x α=

，则2α=

12α=-；所以1

2

()f x x

-

=，()1

93

f =

14．11,42??

???

解析：0x A ∈, 即010,2x ≤<所以001()2f x x =+,0111,22x ≤+<即

01

()1,2

f x ≤<即0()f x B ∈，所以000[()]2[1()]12f f x f x x A =-=-∈，即010122x ≤-<，解得：011,4x <≤又由010,2x ≤<，所以011

42

x <<

15．(,0)

(4,)-∞+∞ 解析：因为()f x 为偶函数，且当0x ≥时8)(3-=x x f 为增函数，

则0x ≤时，)(x f 为减函数；(2)0(2)f x f ->=，所以可得：22x ->，解得：

0,x <或4x >

三、解答题：

16．证明：（1）由题知()f x 的定义域为R

31(31)313()()31(31)313

x x x x

x x x x

f x f x --------====-+++ 所以()f x 为奇函数； （2）在定义域上是单调增函数；任取12,x x ∈R ，且12x x <

2121

212112212(33)313122()()(1)(1)31313131(31)(31)

x x x x x x x x x x f x f x ----=-=---=++++++

12x x <2112330,310,310x x x x ->+>+>∴21()()f x f x ∴>

()f x ∴为R 上的单调增函数；

17．解：（1）解|1x -|≥1得：0x ≤或2x ≥{

0,A x x ∴=≤或}2x ≥；

函数()f x 的自变量x 应满足3

201x x +-

≥+，即(1)(1)010

x x x +-≥??+≠? ∴1x <-或1x ≥{1,B x x ∴=<-或}1x ≥；

{1,A B x x =<-或}2x ≥，{0,A B x x =≤或}1x ≥，()U C A B ?{}01x x =<<

（2）函数()g x 的自变量x 应满足不等式(1)(2)0x a a x --->。

又由1a <，21a x a ∴<<+{}21C x a x a ∴=<<+C B ?11a ∴+≤-或

21a ≥ 2a ∴≤-或12a ≥，又1a < a ∴的取值范围为2a ≤-或1

12

a ≤<

18．解：（1）令,1)0()1(0)0()1(0==∴=-=f f f f x ，，则

∴二次函数图像的对称轴为21=x ．∴可令二次函数的解析式为h x a y +-=)2

2

1(． 由,43

13)1(1)0(===-=h a f f ，得，又可知

∴二次函数的解析式为22

13()()124

y f x x x x ==-+=-+

（2）

212x x x m -+>+在]1,1?-?上恒成立 2

31x x m ∴-+>在]1,1?-?上恒成立

令2()31g x x x =-+，则()g x 在]1,1?-?上单调递减 ∴

min ()(1)1,1g x g m ==-∴<-

19．解：（1）1()lg

12ax

f x x

+=+，(),x b b ∈-是奇函数，等价于对于任意b x b -<<都有

()()(1)

10(2)12f x f x ax

x

-=-??

+?>?+?成立，（1）式即为 1112lg lg lg 12121ax ax x x x ax -++=-=-++ 112121ax x x ax

-+∴

=-+，即2224a x x =，此式对于任意(),x b b ∈-都成立等价于2

4a =，因为

2a ≠，所以2a =-，所以12()lg 12x f x x -=+；代入（2）式得：12012x x ->+，即11

22

x -<<

对于任意(),x b b ∈-都成立，相当于1122b b -

≤-<≤，从而b 的取值范围为10,2??

??

?； （2）对于任意12,(,)x x b b ∈-，且12x x <，由10,2b ??

∈ ??

?，得11

22b b -≤-<≤，所以

21

01212x x <-<-，

12

01212x x <+<+，从而

21()()f x f x -=21

21

1212lg

lg

1212x x x x ---++ =2121(12)(12)

lg

lg10(12)(12)

x x x x -+<=+-，因此()f x 在(),b b -是减函数；

20．解：（1）证明：①在()()()f m f n f m n =+中，令0m n ==

得(0)(0)(00)f f f =+即(0)(0)(0).f f f =g ∴(0)0f =或(0)1f =，

若(0)0f =，则当x ＜0时，有()(0)()(0)0f x f x f x f =+==g ，与题设矛盾， ∴ (0) 1.f =

②当x ＞0时，x -＜0，由已知得()f x -＞1，

又(0)[()]()()1f f x x f x f x =+-=-=g ，[()]1f x ->，

∴ 0＜()f x =

(0)

()

f f x -＜1， 即x ＞0时，0＜()f x ＜1.

③任取1x ＜2x ，则1122122()()()()f x f x x x f x x f x =-+=-g ，

∵12x x -＜0，∴12()f x x -＞1，又由(1)(2)及已知条件知2()f x ＞0， ∴1()f x ＞2()f x ，∴()y f x =在定义域R 上为减函数. （2）2(31)(361)f x ax f x a -+-++g =2(31361)f x ax x a -+-++

2[3(1)2(31)]f x a x a =-+++ 又(0)1f =，()f x 在R 上单调递减.

∴原不等式等价于23(1)2(31)x a x a -+++≤0不等式可化为(2)[(31)]

x x a --+≤0

当2＜31a +，即a ＞1

3

时，不等式的解集为{|2x ≤x ≤31a +}； 当2=31a +，即a =

13时，2

(2)x -≤0，不等式的解集为{2}； 当2＞31a +，即a ＜1

3

时，不等式的解集为{|31x a +≤x ≤2}.

21．解：(1) 先证3

y x =-符合条件①：对于任意12,x x ∈R ，且12x x <，有

331221y y x x -=-=

22212121()()x x x x x x -++ 222121113

()[()]024

x x x x x =-++>，12y y ∴>，

故3

y x =-是R 上的减函数。由题可得：3

3

b a a b

?=-??=-??则33

()()a b a b +=-+，22

()10

a b a ab b ??∴+-++=??而

22223

1()10

24

b a ab b a b -++=-++>，

0a b ∴+=，又b a >，1a ∴=-，1b =所求区间为[]1,1-

(2) 当310,()4x f x x x >=

+

在

上单调递减，在)+∞上单调递增；（证明略）所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数

（3

）易知y k

=+(0,)

+∞上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[],a b

，则

a k

b k

?=+

?

∴?

=+

??

,a b

是x k

=+的两个不等根，即方程组为：22

(21)0

x k x k

x

x k

?-++=

?

≥

?

?≥

?

有两个不等非负实根；

设

12

,x x为方程22

(21)0

x k x k

-++=的二根，则

22

12

2

12

(21)40

210

k k

x x k

x x k

k

?=+->

?

?+=+>

?

∴?

=≥

?

?<

?

，解得：

1

4

k

-<

∴的取值范围

1

(,0)

4

-