一元一次方程单元测试卷(解析版)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．下列图表是2017 年某校从参加中考体育测试的九年级学生中随机调查的10 名男生跑1000 米和 10 名女生跑 800米的成绩.
（1）按规定，女生跑 800 米的时间不超过 3'24"就可以得满分.该校九年级学生有 490 人，男生比女生少 70 人.请你根据上面成绩，估计该校女生中有多少人该项测试成绩得满分? （2）假如男生 1 号和男生 10 号被分在同组测试，请分析他俩在 400 米的环形跑道测试的过程中能否相遇。若能，求出发多长时间才能相遇；若不能，说明理由.
【答案】（1）解：设男生有x人,女生有(x+70)人，
由题意得：x+x+70=490，
解得：x=210，
则女生x+70=210+70=280(人).
故女生得满分人数： (人)
（2）解：不能；
假设经过x分钟后，1号与10号在1000米跑中能首次相遇，根据题意得：
解得
又∵
∴考生1号与10号不能相遇。
【解析】【分析】（1）通过男生、女生的人数关系列出方程，得出女生的人数；（2）根据题意表达出1号跟10号的速度，两位若相遇，相减的路程为400米，得出的时间为4.8, 但是4.8分钟大于3分钟，所以两位在测试过程中不会相遇。
2．（公园门票价格规定如下表：
购票张数1～50张51～100张100张以上
每张票的价格13元11元9元
1）班人数较少，不足50人，（2）班超过50人，但不足100人。经估算，如果两个班都以班为单位购票，则一共应付
1240元，问：
（1）两班各有多少学生？
（2）如果两班联合起来，作为一个团体购票，可省多少钱？
（3）如果七年级（1）班单独组织去游公园，作为组织者的你将如何购票才最省钱？
【答案】（1）解：设七（1）班有x人，
由题意可知：七（2）班的人数应不足64人，且多于54人
则根据题意，列方程得：13x＋11（104－x）＝1240
解得：x＝48.
即七（1）班48人，七（2）班56人；
（2）解：1240－104×9＝304，
所以可省304元钱
（3）解：要想省钱，由（1）可知七（1）班48人，只需多买3张票，
51×11＝561，48×13＝624>561，
∴ 48人买51人的票可以更省钱
【解析】【分析】（1）设七（1）班有x人，根据条件：某校七（1）、（2）两个班共104人去游览该公园，其中七（1）班人数较少，不足50人，但超过40人，可得七（2）班的人数应不足64人，且多于54人，再根据1240元的门票钱可列方程解得答案；（2）如果两班联合起来作为一个团体购票，则每张票9元，可省1240－104×9元；（3）由（1）可得七（1）班48人，所以多买3张票，按照第二种售票方案买票.
3．有两个大小完全一样长方形OABC和EFGH重合着放在一起，边OA、EF在数轴上，O 为数轴原点（如图1），长方形OABC的边长OA的长为6个坐标单位．
（1）数轴上点A表示的数为________．
（2）将长方形EFGH沿数轴所在直线水平移动．
①若移动后的长方形EFGH与长方形OABC重叠部分的面积恰好等于长方形OABC面积的一半时，则移动后点F在数轴上表示的数为________．
②若长方形EFGH向左水平移动后，D为线段AF的中点，求当长方形EFGH移动距离x为何值时，D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数？
【答案】（1）6
（2）①3或9
②如图所示：
据题意得出D所表示的数为，点E表示数为：，
当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时：
则
解得：，
当移动x为4的时候D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数.
【解析】【解答】解：(1)根据题意可得：
A表示数为的长，
故答案为：6.
( 2 )①当向左边移动的时候，刚好移到矩形长一半的时候，此时重叠面积为长方形面积的一半，此时为9，当向右边边移动的时候，刚好移到矩形长一半的时候，此时重叠面积为长方形面积的一半，此时为3；
故答案为：3或9.
【分析】(1)根据题意可以看出结果；(2)①分为两种情况，分别向左或向右平移；②根据题意得出D所表示的数为，当D、E两点在数轴上表示的数时互为相反数时点E表示数为：，则，解出答案即可.
4．元旦假期，甲、乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，各自推出不同的优惠方案：在甲超市当日累计购物超出了300元以后，超出部分按原价8折优惠；在乙超市当日累计购物超出200元之后，超出部分按原价8.5折优惠．设某位顾客在元旦这天预计累计购物x元（其中x>300）．
（1）当x=400时，顾客到哪家超市购物优惠．
（2）当x为何值时，顾客到这两家超市购物实际支付的钱数相同．
【答案】（1）解：在甲超市购物所付的费用是：元，在乙超市购物所付的费用是：元；
当时，在甲超市购物所付的费用是：，
在乙超市购物所付的费用是：，
所以到乙超市购物优惠
（2）解：根据题意由得：，
解得：，
答：当时，两家超市所花实际钱数相同
【解析】【分析】（1）甲超市费用：利用300元+超出300元部分×0.8即得；乙超市费用：利用200元+超出200元部分×0.85即得；然后将x=400分别代入甲乙超市费用的代数式中计算即可.
（2）由甲超市费用=乙超市费用建立方程，求出x值即可.
5．先阅读下列解题过程，然后解答问题⑴、⑵，解方程：。
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程3x=1,它的解是；
②当3x≤0时，原方程可化为一元一次方程-3x=1,它的解是。
（1）请你根据以上理解，解方程：；
（2）探究：当b为何值时，方程，①无解；②只有一个解；③有两个解。
【答案】（1）解：当x?3≥0时，
原方程可化为一元一次方程为2（x?3）＋5＝13，
方程的解是x＝7；
②当x?3＜0时，
原方程可化为一元一次方程为2（3?x）＋5＝13，
方程的解是x＝?1
（2）解：∵|x?2|≥0，
∴当b＋1＜0，即b＜?1时，方程无解；
当b＋1＝0，即b＝?1时，方程只有一个解；
当b＋1＞0，即b＞?1时，方程有两个解
【解析】【分析】（1）当x?3≥0时，得出方程为2（x?3）＋5＝13，求出方程的解即可；当x?3＜0时，得出方程为2（3?x）＋5＝13，求出方程的解即可；（2）根据绝对值具有非负性得出|x?2|≥0，分别求出b＋1＜0，b＋1＝0，b＋1＞0的值，即可求出答案.
6．已知有理数，定义一种新运算：⊙ =（a+1）．如：⊙ =（2+1）
（1）计算（-3）⊙的值；
（2）若⊙（-4）=6，求的值．
【答案】（1）解：∵⊙ =（a+1），
∴（-3）⊙ = ，
= ，
= ，
= ；
（2）解：∵⊙（-4）=6，
∴，
即，
解得 .
【解析】【分析】（1）根据⊙ =（a+1），直接代入计算即可；（2）根据新定义可得方程，解方程即可.
7．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣.
（1）一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);
（2）一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);.
（3）一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元?
【答案】（1）解：由题意得，P=25×4×x=100x.
故答案是：100x；
（2）解：由题意得,Q=[(150?x)×30?6x]×2=9000?72x.
故答案是：(9000?72x)；
（3）解：根据题意得
解得
答:应安排100名工人制衣.
【解析】【分析】（1）根据一天的利润=每件利润×件数×人数，列出代数式；
（2）安排x名工人制衣，则织布的人数为（150-x），根据利润=（人数×米数-制衣用去的布）×每米利润，列代数式即可；
（3）根据总利润=11806，列方程求解即可.
8．为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．
【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元.
由题意得：30x+20（x+6）=1070
解得：x=19
则x+6=25.
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元.
（2）解：①设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为(60－y)支.
根据题意，得19y+25(60－y)=1322
解之得：y≈29.7(不符合题意).
所以王老师肯定搞错了.
②2或8.
【解析】【解答】（2）②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元
则根据题意，得19z+25(60－z)=1322－a.
即：6z=178+a，
因为a、z都是整数，且178+a应被6整除，
所以a为偶数，又因为a为小于10元的整数，所以a可能为2、4、6、8.
当a=2时，6z=180，z=30，符合题意；
当a=4时，6z=182，z≈30.3，不符合题意；
当a=6时，6z=184，z≈30.7，不符合题意；
当a=8时，6z=186，z=31，符合题意.
所以签字笔的单价可能2元或8元.
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元．根据买钢笔30支，毛笔20支，共用了1070元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（60-y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为19元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（60-y）支，签字笔的单价为a 元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
9．某服装厂计划购进某种布料做服装，已知米布料能做件上衣，米布料能做件裤子.
（1）一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍；
（2）这种布料是按匹购买的，每匹布料是将这种厚度为布料卷在直径为的圆柱形轴上，卷完布后的圆柱直径为D=20cm，其形状和尺寸如图所示，为使一匹布料所做的上衣和裤子刚好配成套，应分别用多少米的布料生产上衣和裤子(π取3)? （3）在(2)的条件下，一件上衣用料1米，服装厂要生产1000套，则需采购这样的布料多少匹?
【答案】（1）解：由题意可得：? 1.5.
答：一件上衣的用料是一条裤子用料的1.5倍
（2）解：一匹布的长度=100π+100.8π+101.6π+...+200π≈3×（100+100.8+101.6+...+200）=3× =56700mm=56.7m.
设应用x米的布料生产上衣，则用（56.7-x）米的布料生产裤子，根据题意得：
x=1.5 (56.7-x)
解得：x=34.02(米)≈34（米）
当x=34时，56.7－x=22.7（米）
答：应用34米的布料生产上衣，则用22.7米的布料生产裤子.
（3）解：1000÷34≈29.4≈30（匹）
答：需采购这样的布料30匹.
【解析】【分析】（1）求一件上衣的用料是一条裤子用料的多少倍，应先把各自的用料多
少表示出来.一件上衣的用料是：；一条裤子用料是：；将两个式子相除即可；（2）先求出一匹布的长度，然后根据一件上衣的用料是一条裤子用料的 1.5倍列方程求解即可；（3）由（2）可得一匹布生产衣服裤子的套数，用总套数÷一匹布生产衣服裤子的套数即可得到答案.
10．点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为。数轴上A、B 两点之间的距离。
回答下列问题：
（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是 ________ ，如果＝2，那么x 的值是________ ；
（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=________ ；
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是________. 【答案】（1）3
（2）2；或
（3）4
（4）x1
【解析】【解答】解：(1) 数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是：
( 2 ) 数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是：|x?(?1)|=|x+1|；
如果＝2，
或
( 3 )∵?1 ∴x?3<0，x+1>0， ∴|x?3|+|x+1|=3?x+x+1=4； ( 4 )∵|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数， ∴x1. 故答案为：(1)3；(2)|x+1|，或；(3)4；(4)x1. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可直接算出答案； （2）根据两点间的距离公式得出，又＝2 ，从而列出方程，根据绝对值的意义去绝对值符号，再求解即可； （3）根据有理数的加减法法则，当?1 （4）根据两点间的距离公式可知|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数，根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案。 11．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上一点，且AB＝10.动点P从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒. （1）写出数轴上点B表示的数；当t＝3时，OP＝________ （2）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同时出发，问点R运动多少秒时追上点P？ （3）动点R从点B出发，以每秒8个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点P，R同 时出发，问点R运动多少秒时PR相距2个单位长度？ 【答案】（1）18 （2）解：设点R运动x秒时，在点C处追上点P，则OC=6x，BC=8x，∵BC－OC=OB，∴8x－6x=4，解得：x=2，∴点R运动2秒时，在点C处追上点P （3）解：设点R运动x秒时，PR=2.分两种情况：一种情况是当点R在点P的左侧时，8x=4+6x－2即x=1；另一种情况是当点R在点P的右侧时，8x=4+6x+2即x=3. 【解析】【解答】（1）解：OB=AB－OA=10－6=4，所以数轴上点B表示的数是－4，OP=3×6=18 【分析】（1）先求出OB的长，即得点B表示的数；利用路程=速度×时间，可求出OP的长. （2）设点R运动x秒时，可得OC=6x，BC=8x，由BC－OC=OB列出方程，求出x的值即可. （3）设点R运动x秒时，PR=2.分两种情况：①当点R在点P的左侧时，②当点R在点P的右侧时，分别求出x的值即可. 12．如图是一种数值的运算程序． （1）当n=2时，a=________；当n=-2时，a=________． （2）当n≠0时，若a=0，求n的值； （3）当n≠0时，是否存在n的值，使a=10n？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）1；3 （2）解：由图可知：a=-n， ∵a=0， ∴-n=0， 化简得：n（n-1）=0， ∴n=0或n=1， 又∵n≠0， ∴n=1. （3）解：由图可知：a=-n， ∵a=10n， ∴-n=10n， 化简得：n（n-21）=0， ∴n=0或n=21， 又∵n≠0， ∴n=21. 【解析】【解答】解：（1）由图可知a=-n， ∵n=2， ∴a=-2=1， 又∵n=-2， ∴a=-（-2）=3， 故答案为：1，3. 【分析】（1）根据图可知a=-n，将n=2、n=-2分别代入即可求得a值. （2）由图可知：a=-n，将a=0代入，解方程求得n值，再由n≠0可得出答案.（3）由图可知：a=-n，将a=10n代入，解方程求得n值，再由n≠0可得出答案.