空间的双重意义

空间的双重意义

数学是研究数量关系与空间形式的科学．当然，这里的“数”和“空间”都要在更广的意义下去理解．我们将诠释现代数学中广为使用的“空间”一词的双重意义，介绍几种基本的抽象空间．

1 关于空间的简要综述

空间在数学中有着双重意义

关于空间的观念和空间的几何，自古希腊时代以来，经历了显著的变化．对于古希腊人来说，只有一个欧氏空间，与之相联系，几何中的基本关系是全等或叠合的关系，随着17世纪解析几何的发展，空间才被想象成点的集合．19世纪非欧几何的创立，数学家们才承认有多于一种几何，但是空间仍被看作图形能在其中彼此比较的轨迹，几何被看作是对点的构形的某种性质的研究.1872年，克莱因在爱尔兰根纲领中指出一种几何可定义为一个变换群下的不变量理论，为几何学提供了一种非常简洁的分类，推广了几何学的所有早期概念，是数学史上的一个里程碑.

到19世纪末，形成了这样的思想：一个数学分支是由一组公理演译出的一套定理，而一种几何是数学的一个特殊分支，1906年，弗雷谢(M．Frechet，1878—1973)开创了抽象空间的研究.是数学史上的又一个里程碑，他把一些对象(通常称为点)，连同这些点被蕴含于其中的一组关系的集合叫做空间，简言之，空间是用公理确定了其元素和元素间关系的集合．例如线性空间是具有加法和数乘运算，并且满足相应算律的一个集合，这里，加法和数乘运算，以及算律都由公理给出．元素(或点)受限制的这套公理确定了空间的结构，不同的结构得到不同的空间，每一种空间都有自己的性质，自己的“几何”．

由上可知，在数学中广为使用的“空间”一词有着双重意义：一方面是现实空间，即物质存在形式；另一方面是抽象空间，指用公理确定了元素关系的集合，它反映了一定的现实形式，但这些形式不一定与通常意义下的空间形式一致，需要在更广的意义下去理解．随着科学技术和数学本身理论的不断发展，人类对现实空间认识的深入，促进了抽象空间理论的发展，反之，抽象空间理论的发展，使人们更深刻地认识现实空间的本质，给出已知现象的解释和新现象的预言，指出人类实践活动的方向，数学正是在这样的过程中不断地发展、创新而永葆其青春!

2 距离和距离空间

距离是数学、物理中的重要概念之一，平面几何、立体几何、解析几何及物理学等课程中很多内容都离不开距离概念，极限理论中用来刻划“远近”的重要尺度是两点间的“距离”(也可用拓扑来刻划)．那么距离的本质特征究意是什么?在讨论中学数学中常见距离的基础上，抽象概括出距离的一般概念，给出抽象距离空间概念，并介绍压缩映象原理及其初步应用.

2．1、两点间的距离

中学课本中是用长度(作为不加定义的概念)来解释两点间的距离的：“连结两点的线段的长度，叫做这两点间的距离”.在中学数学中涉及到的距离大致有：

(1)直线上、平面上或空间中两点的距离；

(2)平面上点到直线的距离；

(3)平面上两平行直线间的距离；

(4)异面直线间的距离；

(5)空间一点到平面的距离；

(6)直线到与它平行平面的距离；

(7)两平行平面间的距离；

而它们都是以两点间的距离为基础的．此外，对于平面上(或空间中)一点P 到一个集A 的距离，自然可定义为

(,)inf (,),x A

d P A d P x ∈=

平面上（或空间中）两集合A 、B 间的距离显然可定义为

(,)inf (,),x A

d P A d P x ∈=

平面上（或空间中）两集合A 、B 间的距离显然可定义为

(,)inf (,).x A y B

d A B d x y ∈∈=

也是以两点间距离为基础的

微积分中的极限、连续等概念的描述，也是以两点间的距离为基础，用距离来刻划两个点的接近程度：

lim 0,,n n a A N N n N ε→+∞

=??>?∈?

≥

有(,)n n d a A a A ε=-<.

2．2、两函数间的距离

在微积分中，我们会遇见用函数列逼近函数的问题，例如用多项式

01()n

n n P x a a x a x =+++ 去逼近定义在[a,b]上的连续函数f(x).自然会想：应如何选取系

数a i ，才能使()n P x 对f(x)有最好的逼近（[,]x a b ?∈）？应注意的是这里的逼近不是对个别点来说的，而是指整个区间[a,b].因此必须明确什么是“最好的逼近”？

此时，或许会想是否可用|()()|n P x f x -的大小作为逼近优劣的标准，

但这个值仍随点x 而异.对于两个不同的多项式(1)()n p x 、(2)()n p x ，会在某些点上(1)|()()|n p x f x -的值小些，而在另一些点上，(2)|()()|n P x f x -的值小些，这就无法判定究竟用哪一个逼近f (x )较好.为

此，我们需寻求某种合理的方法来确定P n (x)与f(x)间的“距离”，使得“距离”越小，逼近就越好.

对于不同的函数集，可以用不同的方式来建立两函数间的“距离”.

例（1）设{():()M x t x t =是定义在[a,b]上的有界函数}.(),()x t y x M ?∈可规定：

[,]

(,)sup ()().t a b d x y x t y t ∈=- ①

可以验证d(x,y)满足：

1(,)0;(,)0()();d x y d x y x t y t ?≥=?≡ 2(,)(,);d x y d y x ?=

3(,)(,)(,)d x y d x z d z y ?≤+.

（2）设[,]{()a b C f t =为定义在[a,b]上的连续函数}.[,],,a b f g C ?∈可规定

[,]

(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=- ②

不难验证d(f,g)满足：

1(,)0;(,)0()();d f g d f g f t g t ?≥=?≡ 2(,)(,);d f g d g f ?= 3(,)(,)(,).d f g d f h d h g ?≤+

（3）设[,]{():()a b L f t f t =是[a,b]上的勒贝格可积函数}.[,],,a b f g L ?∈规定

(,)()|()()|b

a

d f g L f t g t dt =-? ③

则也验证d(f,g)满足（1）、（2）中的三个条件（只是第一个条件中(,)0d f g f =?与g 几乎处处相等，因为在勒贝格积分中，两个几乎处处相等函数的积分值相同）. 由上可知，无论是两点间的距离，还是两个函数间的“距离”，它们都有以下共性：

（i ）(,)0,(,)0;d x y d x y x y ≥=?= （ii ）(,)(,);d x y d y x =

（iii ）(,)(,)(,).d x y d x z d z y ≤+

因此，用(i)~(iii)作为距离公理，便可建立一般距离和距离空间的概念. 2.3、距离空间

1.距离空间的定义和例子

定义1 设X 为非空集合，二元实值映射:d X X R ?→若满足：,,x y z X ?∈有 （i ）(,)0,(,)0;d x y d x y x y ≥=?= （ii ）(,)(,);d x y d y x =

（iii ）(,)(,)(,).d x y d x z d z y ≤+

则称d 为X 上的一个距离函数，d(x,y)为点x,y 间的距离，装备了距离的集合称为距离空间，记为（X,d ）（或简记为X ）.

有了距离，就可以在抽象的距离空间中，借用R 1、R 2、R 3中的几何术语和几何直观、几何方法去建立和理解有关理论.荷兰数学家、数学教育家弗兰登塔尔说过：“空间概念推广到了无限维……在使用空间术语的同时，他们同时抓住了整套的几何术语，几何思想方法与几何直观”，康德也曾说过：“缺乏直观的概念是空虚的”，我们要很好地理解现代数学中“空

间”的双重意义.

例1 221122,(,),(,).X R P x y Q x y R =?

∈

（1）规定

1(,)d P Q =则d 1是R 2上的一个距离函数，

（R 2，d 1）是一个距离空间.

2{:(,0)1}B P R d P =∈≤

为平面上通常的以原点0为圆心，以1为半径的闭圆面.

（2）若规定22121(,)max{||,||},d P Q x x y y =--则可验证d 2为R 2上一距离函数，（R 2,d 3）为一距离空间，借用原来的几何直观和几何语言，“闭圆面”

22{:(,0)1}.B P R d P =∈≤

（3）若规定32121(,)||||d P Q x x y y =-+-，则同样可验证d 3为R 2上的一个距离函数，（R 2,d 3）为一距离空间，此时，“闭圆面”

23{:(,0)1}.B P R d P =∈≤

例2 设(0,1),,,(,)||X x y X d x y x y =?

∈=-，显然d 为X 上的一个距离函数，

(,)X d 为一距离空间.

例 3 前述的函数集合M 、[,]a b C 、[,]a b L 分别在①、②、③式所规定的距离下，成为距离空间.

例4 设12{(,,):,1,2,}i S x x x R i =∈=

?1212(,,,,),(,,,,)n n x x x x y y y y S ==∈ ，规定

11

(,),21n n n n n n

x y d x y x y ∞

=-=?+-∑

则易知d 满足距离公理的前两条，注意到函数

1x

x

+的递增性（当1x >-时），提到 11(,),21n n

n

n n n

x y d x y x y ∞

=-=+-∑

11,21n n n n

n n n n n n

x z z y x z z y ∞

=-+-≤+-+-∑

11112121n n n n

n n

n n n n n n

x z z y x z z y ∞

∞==--≤++-+-∑∑

(,)(,).d x z d z y =+

所以d 为S 上的一个距离函数，（S,d ）为一距离空间. 2．4、距离空间中的收敛性

抽象距离空间中的点可以是原来意义下的点，但一般来说，是指集合中的元素，因此点列收敛的具体含义随对象不同而异.

定义

2 设0{}(,),,n x X d X x X ?=∈称点列{x n }收敛于

x 0，如果

00lim (,)0,()n n n d x x x x n →+∞

=→→+∞记作.

一般距离空间的收敛点列与微积分中的收敛点列有类似的性质：极限点x 0唯一；收敛点列是有界集.为此，先给出一般距离空间中有界集的概念，类比R 1的情况，我们有

定义3 给定0(,),,0.X d x X r ∈>点集

00(,){:(,)}B x r x X d x x r =∈<

叫做X 内以x 0为中心、以r 为半径的开球.

设,A X ?若有X 中的一个开球0(,),B x r A ?则称A 为有界集. 定理1 距离空间内的点列至多收敛于一个点. 证明：设00{},.n n n x X x x x y ?→→且则有

000000(,)(,)(,)0(,)0,

n n n d x y d x x d x y d x y ≤<+→?=

所以00.x y =

定理2 距离空间的收敛点列是有界集.

证明：设0,n x x →取01,ε=则,,N N n N ?∈?>有

0(,) 1.n d x x <

记

10200max{(,),(,),,(,)},N a d x x d x x d x x =

则有

0{}(,1).n x B x a ?+

下面我们通过两个例子来体会距离空间中点列收敛的具体含义随对象不同而异.为此先给出两个不等式.

Cauchy 不等式，任给2n 个实数a 1,a 2,…a n ;b 1,b 2,…,b n .则有

2

22

111n n n

i i i i i i i a b a b ===??≤?? ???

∑∑∑ ④

证明：? ,R λ∈由

2

22

21

1

1

1

0()2n n n

n

i i i

i i i

i i i i a b a a b b

λλλ

====≤+=++∑∑∑∑

知右端的判别式

2

22

11

10,n n n

i i i i i i i a b a b ===??-?≤ ???∑∑∑

此即欲证之④式.

由上不等式可得下面的

Schwarz 不等式 任给2n 个实数1212,,;,,.n n a a a b b b 则有

()1

11

2

22

222111.n n n i i i i i i i a b a b ===??

????+≤+ ? ? ???

????

∑∑∑ ⑤ 证明：

()2

2

21

1

1

1

2n

n

n n

i

i

i

i i i i i i i a b a

a b b ====+=++∑∑∑∑

1

1

2

2

222211112n

n

n n i i i i i i i i a a b b ====?

???≤+?+

? ??

???

∑∑∑∑ 2

11

222211.n n i i i i a b ==????????=+ ? ?????????

∑∑ 两边开方即得⑤式.

例5 设121212,(,,),(,,,),(,,)n n n n n X R x x x x y y y y z z z z R =?===∈ ，规定

1

221(,)()n

i i i d x y y x =??=-????

∑ 则易知d 满足距离公理的前两条.此外，在⑤式中令

,i i i i i i a x z b z y =-=-，

就有

1

221(,)()n

i i i d x y x y =??=-????

∑ 1

221[()()]n i i i i i x z z y =??=-+-????

∑

()1

1

2

2

2211()n n i i i i i i x z z y ==????≤-+-??????

??

∑∑ (,)(,).d x z d z y =+

所以d 是R n 上的一个距离函数，（R n ,d ）为一距离空间.

设0000

1212(,,)(,,).m m m m n n x x x x x x x x =→=

此即

12

011()0()n m i i x x m =??-→→+∞????

∑

021

()0()n

m i i i x x m =?-→→+∞∑

0001122,()m m m n n x x x x x x m ?→→→→+∞ 且

所以R n 中点列按上述距离收敛的含义是按坐标收敛.

例6 [,]a b C 上{}n f 依距离[,]

(,)max |()()|t a b d f g f t g t ∈=-收敛是函数列的一致收敛.这是

因为

0()n f f n →→+∞ 0(,)0()n d f f n ?→→+∞

0[,]

max |()()|0()n t a b f t f t n ∈?-→→+∞

0,,[,],N N n N t a b ε??>?∈?>?∈和有|()()|n f t f t ε-<此即()n f t 一致收敛于

0().f t

应指出的是在R 1、R 2、R 3中的某些性质，在一般距离空间不一定成立（本质原因是因

为一般距离空间不一定是有限维的），例如在微积分中的一个基本原理——聚点原理：任一有界的无限集（含无限个元素）必有极限点，在一般距离空间就不成立.

例7 设2

22121

{(,,,,):

||,,1,2},,n n

i n l x x x x x

x R i x y l ∞

===<+∞∈=?∈∑ 规定

12

21(,)||,n n n d x y x y ∞

=??

=- ???

∑

则可以验证d 是l 2上的距离函数.(l 2,d )为距离空间. l 2中的子集

{}n M e =

n=1,2,3…..

其中(0,0,1,0,)n

n e =

个

，记o=(0,0,…), 则有

(,)1n d e o =.

所以M 为l 2中的无限集,但M 中不存在任何收敛子列,因为,.i j e e M ?∈

,

(,)0

.

i j i j d e e i j ≠==?? 因此在一般距离空间中需引进新的概念,运用一些新的思想方法去研究和建立有关理论.其中关于距离空间完备化问题是一个基本问题,因为数学中的一个基本问题_存在性问题与空间的完备性有关,下面我们介绍有关内容. 2.5 .践离空间的完备化及其应用

(1)距离空间的完备化

距离空间完备化的意义类似于从有理数域到实数域的完备化的意义.完备化的过程也可类比于从Q →R 的过程进行.

定义 4 给定(,),{}n X d x X

?若对0,,N N ε?>?∈使对,,m n N ?>有(,)m n d x x ε<,则称{}n x 为X 中的基本列.

距离空间中的基本列具有实数域中基本列的性质.

定理3 (1)距离空间中的收敛列均为基本列.

(2)距离空间中有收敛子列的基本列是收敛列. 证明方法与微积分中方法完全一样.略去.

定义5 给定(X,d).若X 中每一基本列都是收敛列,则称X 为完备的距离空间. 例(1)(R n ,d)为完备的距离空间,其中

12

21(,)().n i i i d x y x y =??

=-????

∑

(2)[,](,)a b C d 为完备的距离空间,其中

[,]

(,)max |()()|.t a b d f g f t g t ∈=-

(3)(X,d).其中(0,1),(,)|X d x y x y ==-则X 为不完备的距离空间,因为

11

1,,,23

n ???

??? 是X 中的基本系.但不是收敛列,极限点0.X ∈ 同样,(0,1]X =对距离函数d(x,y)=|x-y|也不是完备的距离空间.

我们需要指出的是每一个距离空间都可以通过添加新元而成为完备的距离空间.为此,需

要引进几个概念.

定义6 给定(,),X d X 中的开球0(,)B x ε称为0x 的ε邻域（或球形邻域），若S X ?且

0(,)B x ε为S 子集，则称S 为0x 的一个邻域

易知，在X R =时，0x 的ε领域就是区间（00,x x εε-+），包含（00,x x εε-+）的任一集为0x 的邻域.

定义7 给定（,X d ），,.A X B X ??如果B 中每一点的任意邻域都含有A 的点，就说A 在B 内稠.

例如：因为每一个无理数的任何领域中均有有理数，所以有理数集在无理数集中稠.反之，无理数集也在有理数集中稠.此外，有理数集还在实数集中稠.因此每一实数均可看作是有理数列的极限.事实上，我们正是将有理数基本列的等价类添加到有理数集（每一有理数也看作是某基本列组成的等价类）中而得到实数集的.基于这一基本思想，我们来介绍距离空间的完备化.

定义8 给定距离空间11(,)X d 、22(,)X d .若存在1X 到2X 上的一一映射?，

满足条件：1,x y X ?∈，有

12(,)((),()).d x y d x y ??=

则称?是X 1上到X 2的等距映射，此时，称X 1与X 2是等距同构的.

对于两个等距同构的空间，不考虑它们元素的具体属性，而只是作为距离空间来考察，或者说从距离结构来考察，两者没有本质的区别.

定理4 任何距离空间必存在完备化空间，且其完备化空间在等距同构意义下是唯一的. 这就从理论上解决了距离空间的完备性问题.而其它抽象空间，如线性赋范空间、内积空间的完备性问题也都可归结为距离空间的完备性问题.

压缩映射原理及其应用

解方程是学数学的中心内容之一.但是在中学数学中学生会解的只是一些极简单的代数议程和特殊超越方程.而对于大部分方程是不会解的，即使是一些很实用的形状不复杂的议程，也毫无办法，例如3

10x x +-=.事实上，在很多情况下只能求出方程的近似值，用迭代法求方程的近似值，这就产生了如何迭代能保证收敛于方程的精确解.且能估计出近似值的误差是多少？

在求解微分方程、积分方程等其它方程时，同样存在上述问题.经过研究发现，代数方程、微分方程、积分方程等求解问题，在许多情况下可以归为求某映射的不动点问题，并可用逐次逼近法求出不动点（或近似解）.

牛顿（lsaac Newton 1642—1722）用切线法求方程f(x)=0根的基本思想就是求不动点.常微分方程中Picard 的逐次逼近法也是.这种思想方法经波兰数学家Banach 提炼为压缩映射原理.下面我们简要介绍有关内容.

定义10 给定距离空间(,)X d 及映射:T X X →.若存在点x X ?∈，使有**

Tx x =，

则称*

x 为映射T 的不动点.

对于映射2()f x x =来说，0和1均为:f R R →的不动点.

定义11 给定(,)X d 及映射:T X X →，若存在常数:01,αα<<使,,x y X ?∈有

(,)(,),d Tx Ty d x y α≤

则称T 为X 的压缩映射.

例8 设[1,],,,(,)||,X x y X d x y x y =+∞?∈=-则(,)X d 为距离空间.又设

:T X X →为

1,2x Tx x

=+

则

11(,)22x y d Tx Ty x y

=

+-- 1122x y x y ????=-+- ? ????? ()21()(,).22x y x y x y ξξ??

??=-+--∈ ? ?????

2112x y

ξ

=-- 1

2x y ≤

- 11

(,).22

d x y α==，所以T 为压缩映射. 定理5 给定完备距离空间(,),:X d T X X →为压缩映射，则T 恰有一个不动点（压缩映射原理）.

证明：0x X ?∈ 10x Tx =

21x Tx =

……

1n n x Tx +=

……

则{}n x 为基本列，事实上，我们有

111122

1210(,)(,)(,)(,)(,)(,)

m m m m m m m m m m m d x x d Tx Tx d x x d Tx Tx d x x d x x αααα+------=≤=≤≤≤

对任取的自然数,m n ，不妨设m n <，则有

112(,)(,)(,)m n m m m m d x x d x x d x x +++≤+ 1(,)n n d x x -++

11101010(,)(,)(,)m m n d x x d x x d x x ααα+-≤+++ 1110()(,)m m n d x x ααα+-+++

101(,)1n m

m

d x x ααα

--=-

10(,)0(,)1m d x x m n αα

<→→+∞-. 由X 的完备性知，*

,x X ∈使*n x x →

下证*

x 是T 的不动点，为此只需证**(,)0d Tx x =，这从

()****0(,),(,)n n d x Tx d x x d x Tx ≤≤+

**1(,)(,)n n d x x d Tx Tx -=+

**1(,)(,)0()n n d x x d x x n α-≤+→→+∞

即得.

最后证明不动点是唯一的.若不然，设T 有两个不动*

x 和*

y ，则从******,,(,)0

T x x T y y d x y ==

>和 *

*

10(,)(,),1m

d x y d x x αα

=≤-

证明：从定理证明中的

10(,)(,),1m

m n d x y d x x αα

=≤-

固定,m 让n →+∞即得.

由上可知，定理5不仅给出了一定条件下方程解的存在唯一性，而且提供了求解的具体

方法——逐次逼近（或迭代法），推论给出了第m 次近似解的误差估计.这对处理问题无疑是十分有益的.

例9 用压缩映射原理给出方程3

10x x +-=解的一种收敛的迭代程序.

解：设3()1f x x x =+-，收(0)0,(1)0,f f <>由连续函数介值定理知，方程在[0,1]上有根，注意到

32

1

101x x x x +-=?

=+ 取:[0,1][0,1]T →为2

1

1Tx x

=

+从 22223

22(13)

'(),''()(1)(1)

x x T x T x x x ---==++

可知，当x =

时，|'()|T x

有最大值8,

(,)|'|||||.d Tx Ty T x y x y ξ=-≤

-

显然80.651,α=<<

所以T 为完备距离空间[0,1]上的压缩映射.

由定理5,T 有不动点*

x ，此即原方程的解，并可给出以下收敛的迭代顺序：

01110,11(),(1,2,),.12n

n n n x x T x n x x --=??

?

====?+?

第n 次近似的误差估计为

*

10(,)(,).12(1)

m n

n d x x d x x αααα=≤=--

3.。线性空间

3.1．n 维向量空间

在数学和实际问题中，经常会遇到用n(n ≥4)元有序数组来表示的对象的问题.例如n 次系数多项式2

012n

n a a x a x a x ++++ 与n+1元有序实数组012(,,,)n a a a a 相对应，一个球的大小和位置需要用四元有序数组(,,,)x y z r 来表示，等等.因此，人们很自然地把向量的概念推广到n 元有序数组，称n 元有序数12(,,)n a a a 为n 椎向量，并且可以把相等向量、

向量的加法、数乘向量的运算类比平面2()R 上和空间3()R 中的情况进行，

例如：1212(,,),(,,,),n n n a a a b b b R R αβλ?=∈?∈ ，

1122(,,).n n a b a b a b αβ++++ 12(,,).n λαλαλαλα?=

不难验证，关于加法和数乘向量，满足以下八条算律：其中(v)—(viii)是关于数乘向量的算律：

（i ）给合律()();a αβγβγ++=++ （ii ）交换律;αββα+=+

（iii ）存在零向量0=(0,0,…,0)，使n

R α?∈.有0;αα+=

（iv ）,n

R α?∈?反向量1(,,,)n n a a a α-=--- ，使有()0;αα+-= （v ）1αα?=

（vi ）()1212();λλαλλα?=?? （vii ）1212();λλαλαλα+=+ （viii ）().λαβλαλβ+=+

称n 维向量12(,,,)(,1,2,,)n a a a ai R i n ∈= 全体为n 维向量空间，记作R n . 一般地，若(1,2,,i a P i n P ∈= 为数集），称n 维向量（12,,n a a a ）全体为n 维向量空间P n .不难看出，P n 是以R n 、P 3为基础的原理性抽象. 3.2．线性空间

由上可以知道，几何向量的加法和数乘向量涉及到集合R 3（或R 2）和数集R,P n 中向量的加法和数乘向量也涉及到两个集P n 和P ，并且关于加法和数乘向量满足八条算律.此外我们还可对多项式集y 中的元素（多项式）作加法和数乘多项式运算；对定义在[a,b]上的连续函数集[,]a b C 中的元素作加法和数乘函数的运算，且都满足八条算律.因此，从运算角度来看，把它们的共同特征分离概括出来，具有相同的代数结构：涉及两个集合，一个是有加法运算的集合（如P n

,y,A, [,]a b C ），一个是数集（可以是R 或C 或其它数集），这两个集合由

数乘“向量”把它们联系起来，且对加法和数乘满足八条算律，数学中把具有这种代数结构的集称为线性空间，即有如下定义.

定义4 设V 是非空集，K 是数域，在V 的元素间规定了一种运算叫做加法“+”，在K 与V 的元素间规定了一种运算叫做数乘“·”，且满足以下算律：,,V αβγ?∈

（1）结合律()();αβγαβγ++=++ （2）交换律αββα+=+;

（3）存在零向量（记为0），使0;αα+= （4）,,0;V V αβαβ?∈?∈+=使有 （5）1αα?=，

（6）,,()()K λμλμαλμα?∈??=??有； （7）,,);K λμλμαλαμα?∈+=+?有( （8）,().K λλαβλαλβ?∈?+=?+?有

就称集V 为数域K 上的线性空间（或向量空间），V 中的元素称为点或向量. 线性空间又称向量空间，这是借用了几何向量的语言，也反映了线性空间的客观几何背景.因此，如前所述在现代数学中，“空间”一词具有双重意义，一是表示现实生活空间，一是表示抽象空间，指用公理确定了元素间关系的非空集合，它反映了一定的现实形式，但这些形式不一定与通常意义下的空间形式一致，需要在更广的意义下去理解.

例如（1）实系数多项式组成的集y 是实数域R 上的线性空间. （2）m ×n 阶复矩阵组成的集A 是复数域C 上的线性空间.

（3）定义在[a,b]上的实值连续函数组成的集[,]a b C 是实数域R 上的线性空间.

4、内积空间

欧氏空间R 2

、R 3

的特点除了距离这处，最突出的特点是向量的内积，建立坐标系以后，向量与有序数组建立了一一对应关系，向量的模、非零向量的夹角、正交等概念都可由内积导出.对于12(4),(,,,)n n R n a a a a ≥?= 、12(,,,)n n b b b b R =∈ ，可定义a 、b 的内积为

1

,n

i i i a b =∑此时，虽然夹角、夹角余弦没有直观的几何意义了，但仍可由内积引出向量a 的模

及两向量正交的概念：121||;n i i a a a =??

= ???

∑与b 正交10n

i i i a b a b =?=∑与的内积.进而，对内

积所具有的特征性质，可将内积概念拓广到更一般的线性空间，将装备了内积的线性空间称

为内积空间.将有限维欧氏空间拓广为“无穷维欧氏空间”.为此先介绍几个有关的概念.

4.1．几个基本概念

定义5 设X 为数域K 上的线性空间，映射:X R → 叫做X 上的范数，如果它满足：

(),0;00();i x x x x ?∈≥=?=零向量 (),,;ii K x X x x ααα?∈∈=?

(),,.iii x y X x u x y ?∈+≤+有

与R 2(R 3)中的向量模（长度）比较，不难看出，范数是R 2、R 3中向量“模”的概念在线性空间的拓广.且由范数可导出距离(,).d x y x y =-

装备了范数的线性空间叫做线性赋范空间，记作（,X ?），完备的线性赋范空间称为巴拿赫空间.

例（1）(1)n R n ≥是巴拿赫空.

（2）[,]a b C 对加法：[,],,()()()()a b f g C f g x f x g x ?∈+=+和数乘：

[,],,()()()a b R f C af x f x αα?∈∈=?满足八条算律，是线性空间[,],a b f C ?∈定义

m a x (),

a x b

f f x ≤≤=则可验证?是一个范数，

所以[,](,a b C ?）是一线性赋范空间，但不是完备的线性赋范空间. 定义6 设1(,)x ?、2

(,)Y ?

为同一数域K 上的线性赋范空间，由X 的某子空间D 到

Y 的映射T 称为算子，记为:.T X Y →

满足以下两条性质的算子称为线性算子：

12()x x D T ??∈有1212()()(),T x x T x T x +=+

(),,()().x D T K T x T x ααα?∈∈=?有 特别地，当Y 为数域K 或其子集时，称T 为线性泛函. 例（1）设[,][,],,.:a b a b X C Y C K RT X Y ===→如下

,()()()x

a

f X Tf x f t dt ?∈=?

则T 为X 到Y 的线性算子.

（2）设[,],,:a b X C Y K R T X Y ===→如下

,f X ?∈

(),b

a

Tf f x dx =?

则T 就是Y 的一个线性泛函.

现在我们再来看R 2、R 3

中内积的特性，它具有以下性质： （i ）0;00;a a a a a ?≥?=?= （ii ）()a b a b αα?=??；

（iii ）()a b c a c b c +?=?+?

且在引进坐标系后，123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==的内积为

3

1

i i i a b =∑.因此，很自然地，

若P 3

中的P 为复数集，则为使0,a a ?≥就应定义3

1

i i i a b a b =?=

∑，从而内积应满足条件：

.a b b a ?=?由是，将内积拓广到更一般的线性空间中，我们有以下

定义7 给定数域K 上的一个线性空间.U U U K ?→的一个二元泛函(x,y)如果满足以下条件：,,,x y z U ?∈

()(,)0;(,)00();i x x x x x U ≥=?=中的零元

(),(,)(,);ii K x y x y ααα?∈= ()(,)(,)(,);iii x y z x z y z +=+

()(,)(,)().iv x y y x αα=表示的共轭复数

则称此二元泛函为U 上的内积，装备了内积的线性空间称为内积空间，完备的内积空间中与R 2、R 3结构最接近的空间，这类空间的有关理论不仅广泛用于数学内部，而且广泛应用于物理学及其它学科，因为很多情况下所研究的对象组成的集合是装备了内积的无穷维的空间，而抽象内积空间不仅包括了像R 2、R 3那样有限维的内积空间，也包含了无穷维的内积空间.此外，我们还可以从内积导出范数：12

(,).x x x = 4.2．正交性与正交分解

在R 3中，任一向量x 可以分解为在平面π内的投影x 0与y 的和，其中2

3

R R π=为的一个闭子空间，y π⊥.这一关系可以拓广到一般内积空间.为此我们先给出以下

定义8 内积空间U 中的元素x,y 如果有（x,y ）=0，就称x 与y 正交，记作x 与y 正交，记作.x y ⊥

A 是U 的非空子集，,y U ∈如果,(,)0,x A y x ?∈=均有则称y 与集A 正交，记作

.y A ⊥

在R 3中，坐标向量I,j,k 有以下性质：

()1,1,1,1;i i i j j k k i j k ?=?=?====即

()0,ii i j j k k i ?=?=?=即i,j,k 互相正交.

若记123,,,e i e j e k ===则（i ）(ii)可表为

1

,

(,)0

,

i j i j e e i j =?=?

≠? 称{i,j,k}为标准正交系，R 3中任一向量可用它们线性表示

123AB a a i a j a k ==++.

其中i a 是a 与e i 的内积(i=1,2,3).

上述概念和有关结果也可拓广到一般内积空间. 定义9 内积空间U 中的元素列{e n }n=1,2,…如果满足

()1

,

,0

,

m n m n e e m n =?=?

≠? 则称1,2,{}n n e = 为U 中的标准正交系.

例 （1）在l 2中取(0,,0,1,0,}n n e =

个

则1,2,{}n n e = 是l 2中的标准正交系. (2)2

[0.2]L π中的

?

??

是标准正交系. 定义10 设1,2,{}n n e = 是U 的一个标准正交系，,x U ∈称数(,)n n C x e =为x 关于

1,2,{}n n e = 的傅立叶系数.

与R 3不同的是，那是R 3中任一元素（即向量）123(,,)a a a a =可表为

112233,a a e a e a e =++

但在一般内积空间中，不一定能将U 中的元素x 表为：

1

i i i x c e ∞

==∑ ⑧

只有当1,2,{}n n e = 是最大标准正交系（即若有(,)0,1,2,,0)n x e n x === 则时，才有⑧式成立，此时有“广义勾股定理”成立：

2

2

1

,.n n x x e ∞

==∑

注：在R 2、R 3中勾股定理可分别表示为

2

22

221212()()();a a a a i a j a a i a j =+=?+?=+

2

223

222123123()()()()a a a a a i a j a k a a i a j a k =++=?+??==++.