东华理工大学线性代数练习册答案

班级:学号:姓名:序号:
1
第一章行列式
知识点：
全排列及逆序数，n阶行列式的定义，对换
行列式的性质
行列式按行（列）展开
克拉默法则及其相关理论
克拉默法则解线性方程组
学习目标：
1.理解行列式的定义和性质，掌握行列式的计算方法.
2.掌握二、三阶行列式的计算法.
3.掌握行列式的性质，会计算简单的n阶行列式.
4.掌握Gramer法则及其相关理论.
5.掌握应用Gramer法则解线性方程组的方法.
1-1二阶、三阶行列式
一、填空题
1.
25
37
=2.
2
2
aa
bb
=_____
3.
125
031
002
=_____4.
00
02
13
x
x
x
=
?
1．1?2.()abba?3.64.
22
x?
1－2逆序数与n行列式的定义
一．填空题
1.排列5371246的逆序数为.
2.排列
13

(2

1)24

2

nn???
的逆序数为.
3.六阶行列式中，
132536415462
aaaaaa的符号为.
1.102.
(1)
2
?nn
3.负
1-3行列式的性质与计算
换页
班级:学号:姓名:序号:
2
一、利用行列式的性质计算下列各行列式：
102100204
1.199200397
301300600
12
322
10210020421004214
1.19920039712003100123
30130060013000130
c
cc
c
?
?
=??=??
13
23
2
054
54
100053100500
53
130
rr
rr
?
+
?
?
=?==?
?
000
000
2.00
00
000
000
xy
xy
x
xy
yx
?
?
?
?
?
1
11
1
0000000000
000000000
2.(1)00000000000
000000000
0000000000
(1)
n
nn
nnn
xyxyy
xyxyxy
xyxxxy
xyxyxy
yxxxy
xy





+
??
+
=+?
=+?
3.
1234
2341
3412
4123
12341
1234102341234
2341103411341
3.1010
3412104121412
4123101231123
ccccc+++÷
21
32
31
42
41
12341234
201130113
1010160
02220048
01110004
rr
rr
rr
rr
rr
?
???
?=
????+
?
????
二、试将下列式化为三角形行列式求值：
换页
班级:学号:姓名:序号:
3
2512
3714
5927
4612
?
??
?
?
43
21
1331
41
32
24
42
251215221522
371417340216
2
592729570113
461216420120
152215221522
012001200120
9
0113003300332
021*********
rr
rr
ccrr
rr
rr
cc
rr
?
???
+
?????
????
??
?
???
???
+???
?==?
+
?
三、用降阶法计算下列行列式：
2240
4135
3123
2051
??
?
??
21
31
22402000
355
41354355
2483
231233483
211
20512211
cc
cc
???
?
+
??
=???
?????
13
23
7105
2
710
210532270
105
001
cc
cc
??
?
??
???=?=?
??
四、计算下列行列式：
2100...0
1210...0
0121...0
0012...0
..................
0000...2
换页
班级:学号:姓名:序号:
4
解：
12
11
2100...01100...0
1210...00210...0
0121...00121...0
22
0012...00012...0
....................................
0000...20000...2
nnn
nn
DDD
??
??
=?=?
11221321nnnn
DDDDDD
???
??=?==?=?=?
1
11
nD
Dnn?=+?=+
1-5Cramer法则
一、利用Cramer法则解下列方程组
?
?
?
?
?
=+++
?=???
?=+?+
=+++
01123
2532
242
5
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
;
解因为
142
11213

5132
4121
1111
?=????=D



142
11210
5132
4122
1115
1
?=????
??=
D

284
11203
5122
4121
1151
2
?=?????=D


426
11013
5232
4221
1511
3
?=????=D



142
0213
2132
2121
5111
4
=???
??
=D



所以1
1
1
==
D
D
x

2
2
2
==
D
D
x

3
3
3
==
D
D
x

1
4
4
?==
D
D
x.
二、问λ取何值时

齐次线性方程组
??
?
?
?
=?++
=+?+
=+??
0)1(
0)3(2
042)1(
321
321
321
xxx
xxx
xxx
λ
λ
λ
有非零解？
解系数行列式为
λ
λ
λλ
λ
λ
λ
?
?
+??
=
?
?
??
=
101
112
431
111
132
421
D
=(1?λ)
3
+(λ?3)?4(1?λ)?2(1?λ)(?3?λ)
=
(1
?λ
)
3
+
2(1
?λ
)
2
+λ?
3
.
换页
班级:学号:姓名:序号:
5
令D=0

得
λ=0λ=

2或λ=3.
于是

当λ=0λ=

2或λ=3时

该齐次线性方程组有非零解.
第一章复习题
一、选择题（选项不唯一）
1．
()
111213111213
21222313132331
313233212223
222
0;222
222
aaaaaa
DaaaMDaaaD
aaaaaa
==≠==；那么
A2MB2M
C8MD8M
?
?
2．
()
11121311111213
2122231212122231
31323331313233
423
D=1D423;D
423
aaaaaaa
aaaaaaa
aaaaaaa
?
==?=
?
；那么
A8B12
C24D24
?
?
3．下列n阶行列式的值必为零的是
()
()
A
行列式主对角线的元素全为零
()
B
三角形行列式主对角线有一个元素为零
()
C
行列式零元素的个数多于n个
()
D
行列式非零元素的个数小于n个
4．如果
()
()()
()()
30
40
50
A0B1
C1D3
xkyz
yz
kxyz
kk
kk
+?=
?
?
+=
?
???=
?
==
=?=?
有非零解，则
1.D2.B3.BD

4.CD


二、填空题
换页
班级:学号:姓名:序号:
6
1．
3421536215
________
2809230092
=
行列式
2．已知4阶方阵A，其中第三列元素分别为1，3，-2，2，它们的余子式的值分别为3，-2，
1，1，则行列式A=
3．若


ab
均为整数，而
0
00


10001
ab
ba?=
?
则a=_____;b=_______
4．
ij
1234
5678
4A
2348
6789
若阶行列式为；为其代数余子式，
13233343
210412_______AAAA+++=则
1.122460002.530；04.0
三.计算下列行列式
1.
5042
1121
4120
1111
?
32
22
21
42
50425042
542542
11211121
1.1(1)541001
41205041
232232
11112032
rr
rr
rr
+
+
??
=?????
+
23
21
54
(1)7
23
rr
+
??=?
2.
2
2
2
11......1
22......2
33......3
...............
......
n
n
n
nnn
21
21
21
11......111......1
22......212......2
2.23
33......313......3
..............................
......1......
nn
nn
nn
n
nnnnn
?
?
?
=×××?
换页
班级:学号:姓名:序号:
7
1
!()!(1)!2!1!
ijn
njinn
≤
=?=?
∏
?
3.
1
2
3
11111
11111
11111(012)


1
11111
i
n
a
a
aain
a
+
+
+≠=
+
?
?
??

?
解：
1
1
2
2
3
3
1
111111
11111
111110
11111
111110
11111
111110
1
10
11111
111110
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
+
+
+
+
+
+=
+
+
+
?
?
?
?
?
?
?


?
?
各行

减去第一行得行列式：
1
1
1
2
122
31
3
1
111111
111111
00001
00000
00001
11
00000
00001
00000
0000
1
00000
n
i
i
n
n
n
n
a
a
a
a
ccca
aaa
a
a
a
=
+
?
?
=+++
?
?
∑
?
?
?
?
?
??
?
?

?
?
?
?
11
1
(1)
nn
i
iii
a
a
==
=+∑∏
四、证明题
1.证明
1
11
1221
10...00
01...00
.....................
000...1
...
nn
nn
nnn
x
x
xaxaxa
x
aaaaxa
?
?
??
?
?
=++++
?
+
证：将行列式从最后一列开始逐渐将后一列的x倍加到前一列上去，得到原行列式等于
换页
班级:学号:姓名:序号:
8
12
11121
111
1111
1
010...00
001...00
..................
000...01
......
100
010
(1)(...)...
0
001
nn
nn
nnnnn
nnnn
n
xaxaxaxaxaxa
xaxaxaxaxaxa
?
?
+??
??
?
?
?
?
+++++++
?
?
=?++++=++++
?
??
?
?

?
第一章自测题
一、填空题
1.若



nij
Daa==
则
ij
Da=?=
2.
1110
1101
1011
0111
=
3.设
12345
77733
32452
33322
46523
A=，则
313233
AAA++=，
3435
AA+=
4.
00010
00200
02007000
20080000
00001
D==
?
?

?
?
?
1.(1)
na
?2.3?3.0；04.2008!
二、选择题
1.三阶行列式
3
103100204
199200395
301300600
D=
的值为（）
A.0B.1C.2000D.1000
换页
班级:学号:姓名:序号:
9
2.
()
0
20
20
kxz
xkyz
kxyz
+=
?
?
++=
?
??+=
?
当时，仅有零解
()()
()()
A0 B1
C2D2
kk
kk
≠≠?
≠?≠
3.设四阶行列式
4
abcd
cbda
D
dbca
abdc
=，


abcd
各不相同，则
14243444
AAAA+++=
A.0B.abcdC.
2
abcD.
2
abd
4.方程组
12
12
0
0
xx
xx
λ
λ
+=
?
?
+=
?
有非零解，则λ=
A.1B.1±C.0D.-1
5.设
1
x，
2
x，
3
x是方程
3
0xpxp++=
的三个根，则行列式
123
312
231
xxx
xxx
xxx
=
A.0B.pC.
2
pD.
3
p
1.C2.D3.A4.B5.A
三、计算题（每小题10分，共30分）
1.
5231
0111
7101
8111
D
?
=
?
.解：
23
23
43
52315534
554
01110010
1(1)711
71017101
822
81118212
cc
D
cc
+
+
??
==???
?+?
12
32
74059
409
01038
224
2224
cc
cc
+
+
=?=?=
换页
班级:学号:姓名:序号:
10
()()
()()
()()
11
1
1
1......
1......
2.
...............
1......
11......1
nn
n
nn
n
n
aaan
aaan
D
aaan
??
?
+
??
??
=
??
解：从最后一行开始，逐渐往前做相邻交换，然后从最后一列开始，做相同的变换，得原行
列式等于：
()
()
1
11
11
11......1
1......
...............
()!(1)!2!1!
()1......
()1......
ji
n
ijn
nn
n
nn
anana
xxnn
anana
anana
?
≤
??
??+
==?=?
??+
??+
∏
?
第二章矩阵及其运算
知识点：
矩阵的概念，矩阵的运算
逆矩阵，矩阵分块法
学习目标：
1.理解矩阵的概念，了解单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵及其性质.
2.熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律，对矩阵的乘法应重点讲解.
3.

理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵存在的条件及求逆的方法、矩阵分块法.
2-1矩阵的运算
一．设矩阵
111
111
A
??
?
=?
?
?
??
，
123
124
B
??
=?
?
??
??
，求22

3ABAB+?。
解答：
337
137
??
??
??
??
，
187
5814
???
??
??
?
??
二．计算下列矩阵的乘积
换页
班级:学号:姓名:序号:
11
1．
13
210
01
114
40
??
???
?
?
???
?
??
??
?
??
2．
32
211
01
010
24
??
?
?
??
??
??
??
??
?
??
??
解答：1.
25
174
??
??
??
2.
653
010
422
?
??
??
??
?
??
??
??
三、选择题
1．对任意n阶方阵


AB
总有（）
A.
ABBA=
B.ABBA=C.
()
TTT
ABAB=
D.
222
()ABAB=
2．设


AB
是两个n阶方阵，若0AB=则必有（）
A．0A=且0B=B．0A=或0B=C．0A=且0B=D．0A=或0B=
3．设


AB
均为n阶方阵，则必有（）
A．
()
TTT
ABBA=
B．ABAB+=+C．
()
T
ABAB+=+
D．
()
TTT
ABAB=
4．下列结论中，不正确的是（）
(A)设A为n阶矩阵，则
2
()()AEAEAE?+=?
(B)设

AB均为1n×矩阵，则
TT
ABBA=
(C)设

AB均为n阶矩阵，且满足0AB=，则
222
()ABAB+=+
(D)设

AB均为n阶矩阵，且满足ABBA=，则(

)
kmmk
ABBAkmN=∈
5．设
200
001
010
A
??
??
=?
?
??
??
，则
5
A=
（）
(A)－32(B)32(C)10(D)-10
答案：1.B2.D3.A4.C5.A
四．设
120
340
121
A
??
??
=?
?
??
??
?
，
231
240
B
?
??
=?
?
??
?
.求（1）
TAB
；（2）4A.
换页
班级:学号:姓名:序号:
12
五．1.设


AB
为同阶对称矩阵，证明
ABBA+
也为对称矩阵.
2.设A

B为n阶矩阵，且A为对称矩阵，证明B
TAB
也是对称矩阵.
证明：因为A
T
=A

所以
(B
TAB
)
T
=B
T
(B
TA
)
T
=B
TATB
=B
TAB



从而B
TAB
是对称矩阵.
2-2逆矩阵
一．填空题
1.若

AB都是方阵，且2

1AB==?，则
1
AB
?=
_____。
2.已知4A=，且
1
331
1
404
4
513
A
?
??
?
??
=??
?
??
??
??
，则
*
A=___________，
*
det()A=_____。
3.若
2
AA=，且A不是单位阵，则A=_______
4.设
122
41
311
Aa
?
??
??
=?
??
??
??
?
，B为三阶非零矩阵，且0AB=则

a=
换页
班级:学号:姓名:序号:
13
5.设A是三阶方阵，且
1



27
A=求
1
(3)18)AA
??
?
答案：1.
1
2
?
2.
331
404
513
??
?
??
??
?
??
??
??
，163.04.15.－1
二．选择题
1.设n阶方阵


ABC
满足ABCE=，则必有（）
A．ACBE=B．CBAE=C．BACE=D．BCAE=
2.设A为n阶可逆矩阵，下列运算中正确的是（）
A．(2)2
TT
AA=B．
11
(3)3AA
??=
C．
111
[(())][()]
TTT
AA
???
=D．
1()TA
A
?=
3.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）
A.()
TTT
ABAB+=+B.
111
()ABAB
???
+=+
C.
111
()ABBA
???
=D.()
TTT
ABBA=
答案：1.D2.A3.B
三．计算题
1.设
112
223
433
A
??
??
=?
?
??
??
，
100
211
122
B
??
??
=?
?
??
??
?
，矩阵
X

满足方程
T
AXB=
，求
X
.
解：
*
1
331121347
2.6510126814
210012234
TTTA
AXBXABB
A
?
???
??????
??????
=?===??=??
??????
??????
??
??????
2.设
1210



1402
PB
????
==
????
????
且
APPB=
，求
nA
解：
111210
41
1
3.
1402212
nn
n
APPBAPBPAPBP
??
?
??????
=?=?==?
??????
?
??????
11
2221
2221
nn
nn++
??
??
=?
?
??
??
四．证明题
1.设方阵A满足A
2
?A?2E=O

证明A及A+2E都可逆

并求A
?
1及(A
+2E)
?
1
.
证明由A
2
?A?2E=O得
换页
班级:学号:姓名:序号:
14
A
2
?A=2E

即A(A?E)=2E


或
EEAA=??)(
2
1



由定理2推论知A可逆



且
)(
2
11
EAA?=
?
.
由A
2
?A?2E=O得
A
2
?A?6E=?4E

即(A+2E)(A?3E)=?4E


或
EAEEA=??+)3(
4
1)2(
由定理2推论知(A
+
2E)可逆



且
)3(
4
1)2(
1
AEEA?=+
?
证明由A
2
?A?2E=O得A
2
?A=2E

两端同时取行列式得
|A
2
?A|=2


即|A||A
?
E|
=
2



故|A|≠0


所以A可逆

而A+2E=A
2


|A+2E|=|A
2|
=|A|
2
≠0

故A+2E也可逆.
由A
2
?A?2E=O?A(A?E)=2E
?A
?
1A
(A?E)=2A
?
1E
?
)(
2
11
EAA?=
?



又由A
2
?A?2E=O?(A+2E)A?3(A+2E)=?4E
?(A+2E)(A?3E)=?4E


所以(A+2E)
?
1
(A+2E)(A?3E)=?4(A+2E)
?
1



)3(
4
1)2(
1
AEEA?=+
?
.
2-3分块矩阵
一．填空题
1.设3阶矩阶
12
()

()

ABαβγαβγ==且2A=，1B=?，则AB+=______.
2.设行矩阵
()
123


Aaaa=，
()
123


Bbbb=且


121
121
121
TAB
??
??
=???
??
??
??
，
TAB
=______.
3.若
10
32
A
??
=?
?
??
，
830
520
003
B
??
??
=?
?
??
??
，
AO
C
OB
??
=?
?
??
，则C=______
4.设3阶方阵A按列分块为
123
()

Aaaa=（其中
ia
是A的第i列），且5A=，又设
12132
(23

45)

Baaaaa=++，则B=
换页
班级:学号:姓名:序号:
15
5.设
A
为m阶矩阵，
B
为n阶矩阵，且

AaBb==，若
03
0
A
C
B
??
=?
?
??
，则C=_______
1.42.03.64.-1005.(1)3
mnmab
?
二．计算题
1.设
4200
2000
0073
0051
A
??
?
??
??
=
??
?
??
?
??
，且
BAAB=+
求

A，
1
A
?
和矩阵
B
。
解:
1
420012000200
200025002400
()
007300250013
005100380057
BAAE
?
????
??????
??????
????
??????
=?==
??????
?????
??????
?????
??????
1
4200
20004273
11
4(8)32


0073205132
0051
AA
A
?
?
??
===?×?===
??
?
2.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2500
3800
0012
0025
的逆阵.
解设
?
?
??
?
?=
12
25
A



?
?
??
?
?=
25
38
B


则
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
??
?
?=
?
?
52
21
12
25
1
1
A



?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
??
?
?=
?
?
85
32
25
38
1
1
B
.
于是
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
8500
3200
0052
0021
2500
3800
0012
0025
1
1
1
1
B
A
B
A
3.设P
?
1AP
=Λ

其中
?
?
?
?
?
???=
11
41
P

??
?
?
??
?
??
=Λ
20
01


求A
11
.
解由P
?
1AP
=Λ

得A=PΛP
?
1


所以A
11
=A=PΛ
11P
?
1.
|P|=3


?
?
?
?
?
?
?
=
11
41
*P



?
?
?
?
?
?
??
=
?
11
41
3
1
1
P



而
?
?
?
?
?
??=?
?
?
?
?
??=Λ
11
11
11
20
01
20
01



换页
班级:学号:姓名:序号:
16
故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???=
3
1
3
1
3
4
3
1
20
01
11
41
11
11
A
?
?
?
?
?
?
??
=
684683
27322731
.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组
知识点：
矩阵的初等变换、矩阵的秩
初等矩阵
线性方程组的解
学习目标:
1.掌握矩阵的初等变换.
2.理解矩阵秩的概念及求法.
3.掌握初等矩阵的运算.
4.理解齐次线性方程组有非零解的充要条件，理解非齐次线性方程组有解的充要条件.
5.掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法.
3-1矩阵的初等变换
一．判断题
1.初等矩阵都是可逆矩阵。（）
2.初等矩阵乘初等矩阵还是初等矩阵。（）
3.初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵。（）
4.用初等变化法求逆矩阵时，可以同时做初等行变化和初等列变化。（）
5.矩阵可逆的充分必要条件是此矩阵可以表示成有限个初等矩阵的乘积。（）
答案：√×√×√
二.将下列矩阵化成最简形矩阵：
1.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
7931
1813
1511
32
21
12
31
2
1
3
2
11511151
31810274
139704148
rr
rr
rr
rr
+
?
+
?
????
????
????
????→????→
????
????
??
????
换页
班级:学号:姓名:序号:
17
2
1
2
103/21103/21
0274017/22
00000000
r×
????
????
????→?
????
????
????
2.
1112
1212
2012
??
??
??
??
??
???
??
21
312
11121112
12120100
20120236
rr
rr
+
?
????
????
????
?????→
????
??????
????
12
32
3(3)
13
2
10121000
01000100
00120012
rr
rr
r
rr
÷?
+
?
?
?
????
????
???→???→
????
??????
????
三．设
033
110
123
A
??
??
=?
?
??
??
?
，且
2ABAB=+
，求
B
。
解：
2(2)ABABAEBA=+??=
233033013253
(2)110110110110
121123011033
AEA
??
???
????
?=???→?
????
????
??
????
002220001110100033
110110100033010123
011033010123001110
??????
??????
??→???→??→?
??????
??????
?
??????
所以
033
123
110
B
??
??
=??
?
??
??
四．试利用矩阵的初等变换

求方阵
?
?
?
?
?
?
?
?
323
513
123
的逆矩阵。
换页
班级:学号:姓名:序号:
18
解：
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
323
513
123
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
101
011
001
200
410
123
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
101200
211010
2/102/3023
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/922/7003
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/33/26/7001
故逆矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
10
2
1
211

2
3
3
2
6
7
.
3-2矩阵的秩
一．填空题
1.设
mn×
矩阵
A
，且
()RAr=
，
D
为
A
的一个
1r+
阶子式，则
D=
_____.
2.矩阵
111
011
001
??
??
??
??
??
???
??
的秩等于__________.
3.设矩阵
111213
212223
313233
ababab
Aababab
ababab
??
??
=?
?
??
??
，其中
0(123)


iiab
i≠=
则
()RA=
______.
4.设3阶方阵A的秩为2，矩阵
010
100
001
P
??
??
=?
?
??
??
，
100
010
101
Q
??
??
=?
?
??
??
，若矩阵
BPAQ=
，则
()RB=
.
5.已知
11610
251
121
Ak
k
?
??
??
=?
??
??
?
??
，且其秩为2，则
k=
______
答案：1.02.33.14.25.3
二．选择题
1.已知A
有一个
r
阶子式不等于零，则
()RA=
()
A.rB.1r+C.r≤D.r≥
换页
班级:学号:姓名:序号:
19
2.设A为3×4矩阵，若矩阵A的秩为2，则矩阵3
TA
的秩等于（）
A．1B．2C．3D．4
3.设A是n阶阵，且ABAC=，则由()可得出BC=.
A.0A≠B.0A≠C.
()RAn
D.
A
为任意n阶矩阵
答案：1.D2.B3.A
三．计算题
1.试利用矩阵的初等变换

求下列方阵的逆矩阵:
(1)
?
?
?
?
?
?
?
?
323
513
123
;
解
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001
323
513
123
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
101
011
001
200
410
123
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
101200
211010
2/102/3023
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/922/7003
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2/102/1100
211010
2/33/26/7001
故逆矩阵为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
2
10
2
1
211
2
3
3
2
6
7
.
2.设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
113
122
214
A


?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
13
22
31
B

求X使AX=B
解因为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
13
22
31

113
122
214
)(

BA
?
?
?
?
?
?
?
?
??
412
315
210

100
010
001
~
r



所以
?
?
?
?
?
?
?
?
??==
?
412
315
210
1
BAX.
3.求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
81507
31312
13123
的秩

并求一个最高阶非零子式:
换页
班级:学号:姓名:序号:
20
解
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
81507
31312
23123
(下一步:r1?r2

r2?2r1

r3?7r1.)
~
?
?
?
?
?
?
??
??
??
152733210
591170
14431
(下一步:r3?3r2.)
~
?
?
?
?
?
?
??
??
00000
591170
14431



矩阵的秩是2

7
12
23
?=
?
是一个最高阶非零子式.
4.设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
32
321
321
k
k
k
A


问k为何值

可使
(1)R(A)=1;(2)R(A)=2;(3)R(A)=3.
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
32
321
321
k
k
k
A
?
?
?
?
?
?
?
?
+??
??
?
)2)(1(00
110
11
~
kk
kk
k
r
.
(1)当k=1时

R(A)=1;
(2)当k=?2且k≠1时

R(A)=2;
(3)当k≠1且k≠?2时

R(A)=3.
3-3线性方程组的解
一.选择题
1．若方程组0=Ax有非零解，则方程组bAx=必（）
A.有唯一解B.不是唯一解
C.有无穷多解D.无无穷多解
2．线性方程组AX=0只有零解

，则AXbb=≠()0（）
A.有唯一解B.可能无解C.有无穷多解D.无解
3.设线性方程组bAX=有唯一解，则相应的齐次方程组0=AX（）
A．无解B．有非零解C．只有零解D．解不能确定
4．非齐次线性方程bXA
nm
=
×
有无穷多解的充要条件是（）
A．nmB．()

RAbn
C．()()

RARAb=D．()()

RARAbn=
换页
班级:学号:姓名:序号:
21
5.设线性方程组bxA=中，若()4

RAb=，()3RA=，则该线性方程组（）
A．有唯一解B．无解C．有非零解D．有无穷多解
答案：1.B2.B3.C4.D5.B
二.填空题
1.若线性方程组
?
?
?
=+
=?
0
0
21
21
xx
xx
λ
有非零解，则=λ．
2.设()
nnijaA×
=，且非齐次方程组bAx=有唯一解向量，则增广矩阵
()
bA的秩
=r_______.
3.已知()
33×
=
ijaA
的逆矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
=
?
245
403
531
1
A
，那么方程组
?
?
?
?
?
=++
=++
=++
3
2
1
332233131
322223121
312213111
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
的解
?
?
?
?
?
=
=
=
3
2
1
x
x
x
答案：1.-12.n3.
?
?
?
?
?
=
?=
?=
15
3
8
3
2
1
x
x
x
三.解答题
1.
ba


取什么值时，线性方程组
?
?
?
?
?
=++
=++
=++
42
3
4
321
321
321
xbxx
xbxx
xxax
有解？有解时，何时有唯一解？何时有无穷个解？
解：
1141141141012
1131131012114
1214001001001
aaa
bba
bbbb
????????
????????
??→??→??→
????????
????????
????????
10121012
0114201142
00100(1)1(24)
aaaa
bbaba
????
????
??→????→??
????
????
?+?
????
当10

≠≠ab时，)(AR=3)
~
(=AR，有唯一解；
当0=b时，3)
~
(2)(

==ARAR，无解；
换页
班级:学号:姓名:序号:
22
当1


2
1
==ab时，2)
~
()(==ARAR，有无穷多个解；
当1


2
1
0

=≠ab时，3)
~
(2)(

==ARAR，无解.
3.已知齐次线性方程组
(i)
?
?
?
?
?
=++
=++
=++
0
0532
032
321
321
321
axxx
xxx
xxx
和(ii)
?
?
?
=+++
=++
0)1(2
0
32
2
1
321
xcxbx
cxbxx
同解，求
cba


的值，并求其通解。
解：显然方程组（ii）有非零解，由于两个方程组同解，所以方程组（i）也有非零解。
2a?=，且方程组（i）的解为：
123
xxx==；将方程组（i）的解带入方程组（II），可
得：
2
10
0
1
210
bc
b
c
bc
+?=
=?
?
?
??
=
+??=
?
?
（舍去）或
1
2
b
c
=?
?
=?
第三章复习题
一．选择题
1.设矩阵
111
222
333
abc
Aabc
abc
??
??
=?
?
??
??
，
222
111
333
abc
Babc
abc
??
??
=?
?
??
??
，
010
100
001
P
??
??
=?
?
??
??
中，则有（）
A.
2
APB=B.
2
PAB=C.APB=D.PAB=
2.设A是方阵，如有矩阵关系式ABAC=，则必有（）
A.0A=B.BC≠时0A=
C.0A≠时BC=D.0A≠时BC=
3.设矩阵
111
121
231
A
λ
??
??
=?
?
??+
??
的秩为2，则λ=（）
A.2B.1C.0D.-1
4.设


AB
均为3阶矩阵，若
A
可逆，
()2RB=
，那么
()RAB=
（）

A．0B．1C．2D．3
1.D2.D3.B4.C
二．填空题
换页
班级:学号:姓名:序号:
23
1.设
200
001
010
A
??
??
=?
?
??
??
，则
5
A=
2.设
122
43
311
At
?
??
??
=?
?
??
??
?
，
B
为三阶非零矩阵，且0AB=。则t=
3.设
210
110
002
A
??
??
=?
?
??
??
，
*
A
为
A
的伴随矩阵，则
*
A=
_____.
答案：1.－322.－33.4
三．计算题
1.设矩阵
423
110
123
A
??
??
=?
?
??
??
?
，求矩阵
B
使其满足矩阵方程
2ABAB=+
.
解：
1
2(2)(2)ABABAEBABAEA
?
=+??=?=?
223423110110
(2)

110110223423
121123121123
AEA
?
????
????
?→?→
????
????
????
????
101143100386
0012129010296
0110330012129
??
????
????
→???→??
????
????
?
????
386
296
2129
B
??
??
??
∴=??
??
??
??
?
第三章自测题
一．选择题
1.设A是n阶方阵，X是1n×矩阵，则下列矩阵运算中正确的是()
A.
TXAX
B.XAXC.AXAD.
TXAX
2.设A，B均为n阶可逆矩阵，则下列各式中不正确的是（）
A.()
TTT
ABAB+=+B.
111
()ABAB
???
+=+
C.
111
()ABBA
???
=D.()
TTT
ABBA=
3.设
200
011
002
A
??
??
=?
??
??
??
，则
1
A
?=
（）
换页
班级:学号:姓名:序号:
24
A．
1
00
2
010
1
01
2
??
??
??
??
??
?
??
??
B．
1
00
2
11
0
22
1
00
2
??
??
??
???
??
??
??
??
??
C．
1
00
2
1
01
2
1
00
2
??
??
??
??
??
??
??
??
??
D．
1
00
2
010
11
0
22
??
??
??
??
??
??
??
4.设n阶方阵
A
，且0A≠，则
*1
()A
?=
().
A.
1
A
A
B.
*1
A
A
C.
11
A
A
?
D.
*
1
A
A
5.设
A
为3阶方阵，且2A=，则
12
A
?=
（）
A．-4B．-1C．1D．4
6.设3阶方阵A的秩为2，则与A等价的矩阵为（）
A．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
000
111
B．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
110
111
C．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
222
111
D．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333
222
111
7.设A为三阶方阵且2A=?则
3
TAA
=
（）
A.-108B.-12
C.12D.108
8.设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（）
A.
ABBA=
B.
111
()ABAB
???
+=+
C.ABAB+=+D.()
TTT
ABAB+=+
答案：1.A2.B3.C4.A5.D6.B7.D8.D
二．填空题
1.设

AB均为3阶方阵，且3

2AB==?，则
TAB
=.
2.设A为n阶方阵，且det()2A=，则
1*
1
det[()]
3
AA
?
?+=
3.
1112
2332
1121
A
??
?
??
=?
?
??
??
，则()RA=_______
4.设3阶矩阵A=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
002
520
310
，则
1
()
TA?=
_____________.
换页
班级:学号:姓名:序号:
25
5.设3阶矩阵A=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
333
022
001
，则A*A=_____________.
6.设


AB
均为3阶方阵，3

AB==则
*1
2AB
?
?=
_____________.
7.设
0100
1000
0011
0012
A
??
??
??
=
??
??
??
，则
1
A
?=
_____________.
8.设n阶矩阵
()
3n≥
1
1
1
1
aaa
aaa
A
aaa
aaa
??
??
??
??=
??
??
??
??
…
…
…
??
?
的秩为1n?，则a=___________

。
答案：1.6?2.
1
(1).
2
n
?3.34.
052
031
1
00
2
??
??
?
??
?
??
??
??
??
5.6E6.24
?
7.
0100
1000
0021
0011
??
??
??
???
??
?
??
8.
1
1n
?
?
三．计算题
1.设矩阵
500
012
037
A
??
??
=?
?
??
??
，
1001
2021
B
??
=?
?
??
，求矩阵方程
XAB=
的解
X
.
解：
1
1
00
5
1001231
072
20214113
031
XABXBA
?
??
??
???
????
=?==?=
??
????
?
????
??
?
??
??
换页
班级:学号:姓名:序号:
26
2.设
APPΛ=
，其中
111
102
111
P
??
??
=?
??
??
??
?
，
1
1
?
Λ=
1?
?
??
??
???
??
，求
5Α
。
解
1551
APPAPPAPPΛΛΛ
??
=?=?=
111001/31/31/3001
1020101/201/2010
1110011/61/31/6100
?1?
????????
????????
=??=?
????????
????????
????
????????
第四章向量组的线性相关性
知识点：
n维向量、向量组的线性相关性
向量组的秩
线性方程组的解的结构
向量空间
学习目标：
1.掌握
n
维向量的概念.
2.掌握向量组线性相关、线性无关的定义.知道有关向量组线性相关、线性无关的重要结
论.
3.理解向量组的最大无关组与向量组的秩的概念，会求向量组的秩.
4.掌握线性方程组的解的结构，理解线性方程组的求解.
5.理解
n
维向量空间及子空间、基底、维数、坐标等概念.
4-1向量组的线性相关性
一.选择题
1.对任意的
cba


，下列向量组中一定线性无关的是（）
A．()
a=
1
α
，()
b=
2
α
，()c=
3
α
B．()
T
ba


1
=α，()
T
cb


2
=α，()
T
ac


3
=α
换页
班级:学号:姓名:序号:
27
C．()
T
a31


1
=α，()
T
b32


2
=α，()
T
c00


3
=α
D．()
T
a001


1
=α，()
T
b010


2
=α，()
T
c100


3
=α
2.向量组
TTTT
aakaa)1200(

)1022(

)100(

)0111(


4321
====线性相关，k=()
A．-1B．-2C．0D．1
3.向量组
sa
aa

2


1
?线性相关的充要条件是（）
A．
sa
aa

2


1
?中含有零向量
B．
sa
aa

2


1
?中有两个向量的对应分量成比例
C．
sa
aa

2


1
?中每一个向量都可用其余1?s个向量线性表示
D．
sa
aa

2


1
?中至少有一个向量可由其余1?s个向量线性表示
4.向量组α
1=
()
T
001，，，α
2=
()
T
100

，下列向量中可以由α
1
，α
2
线性表出的是（）
A．()
T
002，，B．()
T
423

?C．()
T
011，，D．()
T
010，，?
答案：1.D2.C3.D4.A
二.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:
(1)(?1

3

1)
T


(2

1

0)
T


(1

4

1)
T
;
解以所给向量为列向量的矩阵记为A.因为
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
=
000
110
121
220
770
121
101
413
121
~~
rr
A



所以R(A)=2小于向量的个数

从而所给向量组线性相关.
三.设b1=a1

b2=a1+a2???

br=a1+a2+???+ar

且向量组a1

a2???

ar线性无关

证明
向量组b1


b2???

br线性无关.
证明已知的r个等式可以写成
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
???=???
100
110
111
)()(


2121rr
aaabbb



上式记为B
=
AK
.
因为|K|
=
1
≠
0



K可逆



所以R(B)
=
R(A)
=
r



从而向量组b1



b2
???


br线性
无关.
4-2向量组的秩
换页
班级:学号:姓名:序号:
28
一.选择题
1.设A为nm×矩阵，则有（）
A．若nm，则bAx=有无穷多解
B．若nm，则0=Ax有非零解
C．若A有n阶子式不为零，则bAx=有唯一解
D．若A有n阶子式不为零，则0=Ax仅有零解
2.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
0
0



1
1
1



0
0
1



0
1
1
4321
αααα
的最大线性无关组是（）
A．
21


αα
B．
42


αα
C．
431


αααD．
321


ααα
3.已知矩阵()
4321
αααα=A经初等行变换，化为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1100
2110
3111
，则必有（）
A．
3214
αααα++=B．
3214
23αααα++=
C．
3214
2αααα++?=D．
4321


αααα线性无关
答案：1.BD2.D3.A
二.求向量组
TTTT
aaaa)11958(

)2113(

)10711(

)1112(


4321
=??=?==的一个
最大无关组，并将其余向量用此最大无关组线性表示.
解
213811*********/313/3
111503*********/32/3
1719062400000000
110211093600000000
??
???????
????????
?????
????????
→→→
????????
??
????????
??
????????
的是向量组
432121




aaaaaa一个最大无关组。且
214213
3
2
3
13



3
1
3
4
aaaaaa+=?=
三.已知向量
T
)4211(


1
?=α，
T
)1332(


2
?=α，
T
)0211(


3
=α，
T
)2664(


4
?=α．
求该向量组的秩；讨论它的线性相关性；求出它的一个最大无关组，并将其余向量用此最大
无关组线性表出．
解：
121412141000
1316050100102
232601020010
4102094180000
??????
??????
????
??????
→→
??????
??
??????
??
?????
该向量组的秩等于３，它是线性相关的它的一个最大无关组为


321


ααα.且
422
αα=。
换页
班级:学号:姓名:序号:
29
4-3线性方程组解的结构
一.选择题
1.已知方程组0=
×
xA
nm
的两个不同解向量为


ξ?
且
1)(?=nAR
。如果k为任意常数，则
该方程组的通解为（）
A．
?k
B．
ξk
C．
)(ξ?+k
D．
)(ξ??k
2.齐次线性方程组
?
?
?
=??
=++?
02
02
321
4321
xxx
xxxx
的基础解系中含有解向量的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
答案：1.D2.B
二.填空题
1.若3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含2个解向量，则矩阵A的秩等于__________.
2.已知四阶方阵)(


4321
αααα=A且
321


ααα线性无关，
2142
ααα?=
。则方程组
0=Ax的通解为．
3.设齐次线性

方程组01=×
×nnmX
A，且秩(A)=rn，则基础解系中含有解向量的个数等
于．
答案：1.12.
T
k)1012(

??其中k为任意常数．3.n–r
三.线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
=?+++
=+++
=?+++
=++++
23345
622
023
54321
5432
54321
54321
xxxxx
bxxxx
xxxxx
axxxxx
，
ba


为何值时，方程组有解；有解时，用基础解系表示出其通解．
解
111111*********
321110012243012243
0122601226000023
54331201226250000025
aaa
aa
bbba
aab
??????
??????
???????????
??????
→→
??????
?
??????
???????+
??????
当025=+?ab时有解；进一步化为行最简形为：
换页
班级:学号:姓名:序号:
30
101103
012204
000011
000000
a
a
a
???
??
??
?
??
→
???
??
??
，所以通解为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
+
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
=
1
0
0
4
3
0
1
0
2
1
0
0
1
2
1
21
a
a
a
kkX，其中
21


kk
为任意常数．
四.求线性方程组
?
?
?
?
?
=?+?
=+?+?
=?+
0352
023
02
4321
4321
431
xxxx
xxxx
xxx
的通解（用基础解系表示出其通解）
解：
10211021
11320111
21530000
??
????
????
??→?
????
????
??
????
通解为
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?