高考数学(文)二轮复习 高考小题标准练(二十) Word版含解析

高考小题标准练(二十)

时间：40分钟 分值：75分 姓名：________ 班级：________

一、选择题(本大题共10小题，每小5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝lg(1－x 2)}，则( ) A ．A ＝B B ．A ?B C ．B ?A D ．A ∩B ＝?

解析：由题意得A ＝{x |x 2－x －2<0}＝{x |－10，解得－1

答案：C

2．已知i 是虚数单位，则z ＝? ??

?

?1＋i 23的共轭复数是( )

A.22－22i B ．－22－22i C.22＋22i D ．－22＋22

i 解析：∵? ????1＋i 22＝2i 2＝i ，∴? ????1＋i 23＝? ????1＋i 22×1＋i 2＝i ×1＋i 2＝－22＋22i ，所以z ＝－

22－22

i. 答案：B

3．已知数列{a n }为正项等比数列，且a 4·a 6＝2a 5，设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 5＝2a 5，则S 9＝( )

A ．36

B ．39

C ．45

D ．49

解析：通解：设数列{a n }的公比为q ，由题意知a 1q 3·a 1q 5＝2a 1q 4，所以a 1q 4＝2，即a 5＝

2，所以b 5＝2a 5＝4，S 9＝9(b 1＋b 9)

2

＝9b 5＝36.

优解：因为a 4·a 6＝2a 5，所以a 25＝2a 5，即a 5＝2，所以b 5＝2a 5＝4，所以S 9＝9b 5＝36，故选A.

答案：A

4．已知平面向量a ＝(2,1)，c ＝(1，－1)．若向量b 满足(a －b )∥c ，(a ＋c )⊥b ，则b ＝( )

A ．(2,1)

B ．(1,2)

C ．(3,0)

D ．(0,3)

解析：通解：设b ＝(x ，y )，则a －b ＝(2－x,1－y )，a ＋c ＝(3,0)，由(a －b )∥c 可得，－(2－x )－(1－y )＝0，即x ＋y －3＝0.由(a ＋c )⊥b 可得，3x ＝0，则x ＝0，y ＝3，选D.

优解：因为a ＋c ＝(3,0)，且(a ＋c )⊥b ，逐个验证选项可知，选D. 答案：D 5.

在如图所示的正方形广场O 1O 2O 3O 4中，舞蹈队进行排练，以四个角的顶点为圆心的

1

4

圆与中间的圆O 分别相切，排练人员在圆O 内或在其余四个1

4

圆内进行排练活动，圆的半径

均为2，图中所示的阴影区域不能出现排练人员，若在该正方形区域O 1O 2O 3O 4内随机地选

一地点，则该地点无排练人员活动的概率是( )

A ．1－π4 B.π4－12 C.π4 D.π

8

解析：由题意得O 1O 3＝O 2O 4＝8，即O 1O 2＝42，

则S 阴影＝S 正方形O 1O 2O 3O 4－2S ⊙O ＝32－2×4π＝32－8π，

所以根据几何概型的概率计算公式得P ＝32－8π32＝1－π

4

.

答案：A

6．已知实数x ，y 满足????

?

x ＋2y －6≤03x ＋y －3≥0，

y ≥0

则z ＝xy 的最大值为( )

A ．3

B ．6

C ．9 D.9

2

解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，若D (x ，y )是区域内的一点，则z ＝xy 表示的几何意义是求解矩形OCDE 的面积，其中C (x,0)，E (0，y )，显然当点D 落

在线段AB 上时，才有可能使矩形OCDE 的面积最大，由x ＋2y －6＝0得y ＝－1

2

(x －6)，所

以z ＝xy ＝－12(x 2－6x )＝－12(x －3)2＋92，当x ＝3，y ＝32时，z 取得最大值9

2

，选D.

答案：D

7．如图，已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 为线段B 1C 的中点，则三棱锥A －DED 1的外接球的体积为( )

A.34π

B.56π

C.9

16

π D ．π 解析：由正方体的性质得，ED ＝ED 1＝EA ，即点E 在平面ADD 1内的射影为AD 1的中

点，点E 到平面ADD 1的距离等于1，AD 1＝2，设外接球的半径为R ，则(1－R )2＋???

?2

22＝

R 2，∴R ＝34，∴V ＝43πR 3＝4

3π×????343＝916π.

答案：C

8．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A cos B (tan A tan B －

1)＝1，a ＋b ＝33

2

，c ＝3，则该三角形的面积为( )

A.5316

B.538

C.58

D.516

解析：因为2cos A cos B (tan A tan B －1)＝2(sin A sin B －cos A cos B )＝1，所以cos A cos B －

sin A sin B ＝cos(A ＋B )＝－12，cos C ＝－cos(A ＋B )＝12，所以△ABC 的内角C ＝π

3

.由余弦定理可

得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ，又a ＋b ＝332，c ＝3，所以3＝27

4

－3ab ，解得ab

＝54，所以该三角形的面积为12ab sin C ＝12×54×32＝5316. 答案：A

9．已知Rt △ABC 的三个顶点都在抛物线y 2＝2px (p >0)上，且斜边AB ∥y 轴，CD 是斜边上的高，D 为垂足，则|CD |＝( )

A ．p B.2p C ．2p D ．23p

解析：设抛物线上的点A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，x D ＝x 0，则以AB 为直径的圆的方程

为(x －x 0)2＋y 2＝y 20，

与抛物线y 2＝2px 的交点为C (x 1，y 1)，由?

????

(x －x 0)2＋y 2＝y 20

y 2＝2px 可得x 2－(2x 0－2p )x ＋x 20－2px 0＝0，因此x 0＋x 1＝2x 0－2p ，则x 1－x 0＝－2p ，因此|CD |＝|x 1－x 0|＝2p .

答案：C

10．已知M (t ，at 2)，N (t ，ln t )(t >0，a ≥1)是平面上两个动点，若M ，N 两点间的距离|MN |

的最小值为12－ln 2

2

，则实数a 的值为( )

A ．1 B. 3 C ．2 D.2

解析：由题意知，点M 在函数f (x )＝ax 2的图象上，点N 在函数g (x )＝ln x 的图象上，因此直线x ＝t 与函数f (x )＝ax 2，g (x )＝ln x 的图象的交点分别为M ，N ，则|MN |＝at 2－ln t ，令y

＝|MN |＝at 2－ln t ，则y ′＝2at －1t ，令y ′＝0，得t ＝1

2a

，当t ∈????0，12a 时，y ′<0，当t

∈????12a ，＋∞时，y ′>0，所以当t ＝12a 时，y 取得最小值，且y min ＝|MN |min ＝12－ln 12a

＝

12－ln 2

2

，所以a ＝1，选A. 答案：A

二、填空题(本大题共5小题，每小5分，共25分．请把正确答案填在题中横线上) 11．观察下列等式： 13＝1， 23＝3＋5， 33＝7＋9＋11，

43＝13＋15＋17＋19， ……

若某数m 3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 015”这个数，则m 的值为__________． 解析：某数m 3按题中等式的规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，且由题中规律可知，前4个等式中每个等式的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m 3按规律展开后的最后一个数为m 2＋(m －1)，因为当m ＝44时，m 2＋(m －1)＝1 979，当m ＝45时，m 2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 015”这个数，则m 的值为45.

答案：45 12.

一个几何体的正视图与俯视图如图所示，其中俯视图中的多边形为正六边形，则该几何体的侧视图的面积为__________．

解析：由该几何体的正视图与俯视图可知，该几何体的侧视图由一个长方形和一个等腰三角形组成．长方形的长为3，宽为2，故其面积为2×3＝6；等腰三角形的底边长是

21－????122＝3，高为3，故其面积为12×3×3＝3

2.所以该几何体的侧视图的面积为6＋32＝152

. 答案：152

13．某网站对“双十一”网上购物的情况做了一项调查，收回有效问卷共50 000份，其中统计了购买四种商品的问卷数如下表所示.

服饰鞋帽 家居用品 化妆品 家用电器 19 800 9 400 11 600 9 200

为了解顾客对商品的满意度，该网站用分层抽样的方法从中选出部分问卷，如果在购买“家用电器”的问卷中抽取92份，则在购买“服饰鞋帽”的问卷中应抽取的份数为__________．

解析：因为9 20092＝100，所以19 800

100

＝198.

答案：198 14.

已和三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是边长为1的正三角形，棱SC 是球O 的直径，且SC ＝2，则此三棱锥的体积为__________．

解析：过点B 作BD ⊥SC 于点D ，连接AD ，易知△SBC ≌△SAC ，所以AD ⊥SC ，又

BD ∩AD ＝D ，所以SC ⊥平面ABD .因为SB ⊥BC ，SC ＝2，BC ＝1，所以BD ＝AD ＝3

2

，又

AB ＝1，所以S △ABD ＝12×1×????3

22－????122＝24

，所以V S －ABC ＝13×S △ABD ×SC ＝13×24×2＝26

.

答案：

26

15．若不等式(－2)n a －3n －

1－(－2)n <0对任意的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为__________．

解析：原不等式可转化为3(a －1)(－2)n <3n .因为n ∈N *，所以当n 为奇数时，不等式可

转化为3(1－a )1

2

；当n 为偶数时，不等式可转化为3(a －

1)

. 答案：????

12，74