全国高考数学复习微专题：定积分
定积分
一、基础知识
1、相关术语：对于定积分
()b
a
f x dx ?
（1）,:a b 称为积分上下限，其中a b ≥ （2）()f x ：称为被积函数
（3）dx ：称为微分符号，当被积函数含参数时，微分符号可以体现函数的自变量是哪个，例如：
()2b
a
x tx dx +?
中的被积函数为()2f x x tx =+，而()2b
a
x tx dt +?的被积函数为
()2f t xt x =+
2、定积分
()b
a
f x dx ?的几何意义：表示函数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积（x 轴
上方部分为正，x 轴下方部分为负）和，所以只有当()f x 图像在[],a b 完全位于x 轴上方时，
()b
a
f x dx ?
才表示面积。()b
a
f x dx ?可表示数()f x 与x 轴，,x a x b ==围成的面积
的总和，但是在求定积分时，需要拆掉绝对值分段求解 3、定积分的求法：高中阶段求定积分的方法通常有2种：
（1）微积分基本定理：如果()f x 是区间[],a b 上的连续函数，并且()()'
F x f x =，那么
()()()()|b
b a a
f x dx F x F b F a ==-?
使用微积分基本定理，关键是能够找到以()f x 为导函数的原函数()F x 。所以常见的初等函数的导函数公式要熟记于心：
()f x C = ()'0f x = ()f x x α= ()'1f x x αα-= ()sin f x x = ()'cos f x x = ()cos f x x = ()'sin f x x =- ()x f x a = ()'ln x f x a a = ()x f x e = ()'x f x e = ()log a f x x = ()'1ln f x x a =
()ln f x x = ()'
1f x x
= ① 寻找原函数通常可以“先猜再调”，先根据导函数的形式猜出原函数的类型，再调整系数，例如：()3
f x x =，则判断属于幂函数类型，原函数应含4
x ，但()'
43
4x
x
=，而()3
f x x =，
所以原函数为()4
14
F x x C =
+（C 为常数） ② 如果只是求原函数，则要在表达式后面加上常数C ，例如()2f x x =，则
()2F x x C =+，但在使用微积分基本定理时，会发现()()F b F a -计算时会消去C ，所
以求定积分时，()F x 不需加上常数。
（2）利用定积分的几何含义：若被积函数找不到原函数，但定积分所对应的曲边梯形面积易于求解，则可通过求曲边梯形的面积求定积分。但要注意曲边梯形若位于x 轴的下方，则面积与所求定积分互为相反数。 4、定积分的运算性质：假设()(),b
b
a
a
f x dx
g x dx ?
?存在
（1）
()()b
b
a
a
kf x dx k f x dx =?
?
作用：求定积分时可将()f x 的系数放在定积分外面，不参与定积分的求解，从而简化()f x 的复杂程度 （2）
()()()()b
b b
a
a a f x g x dx f x dx g x dx ±=±?????
??
作用：可将被积函数拆成一个个初等函数的和，从而便于寻找原函数并求出定积分，例如
()2
222
221
1
1
1
11x x dx x dx xdx dx ++=++?
???
（3）
()()()b
c b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx =+?
??，其中a c b <<
作用：当被积函数含绝对值，或者是分段函数时，可利用此公式将所求定积分按区间进行拆分，分别求解。
5、若()f x 具备奇偶性，且积分限关于原点对称，则可利用奇偶性简化定积分的计算 （1）若()f x 为奇函数，则()()00a
a f x dx a -=>?
（2）若()f x 为偶函数，则
()()()00a
a
a
f x dx f x dx a -=>?
?
6、利用定积分求曲面梯形面积的步骤： （1）通过作图确定所求面积的区域
（2）确定围成区域中上，下曲线对应的函数()(),f x g x （3）若[],x a b ∈时，始终有()()f x g x ≥，则该处面积为
()()b
a
f x
g x dx -?????
7、有的曲面梯形面积需用多个定积分的和进行表示。需分段通常有两种情况
（1）构成曲面梯形的函数发生变化
（2）构成曲面梯形的函数上下位置发生变化，若要面积与定积分的值一致，则被积函数要写成“上方曲线的函数-下方曲线函数”的形式。所以即使构成曲面梯形的函数不变，但上下位置发生过变化，则也需将两部分分开来写。 二、典型例题：
例1：已知函数()(
)2
1,101
x x f x x ?+-≤≤?
=<≤，则()11f x dx -=?（ ）
A. 3812π-
B. 3412π+
C. 44
π+ D. 3412π-
思路：()f x 在[](]1,0,0,1-的解析式不同，所以求定积分时要“依不同而分段”：
()(
)1
2
11
1f x dx x dx --=++?
?
?
，而()()0
2
2
01
1
11
113
3
x dx x --+=
+=
?
，对
于0?无法找到原函数，
从而考虑其几何意义：()2210y x y y =?+=>
，
?
为单位圆面积的14，
即04π=?，所以()111433412
f x dx ππ-+=+=?
答案：B
小炼有话说：（1）若被积函数在不同区间解析式不同时，则要考虑将定积分按不同区间进行拆分
（2
运用面积求得定积分，但是要注意判定与定积分符号是否与面积相同
例2：4
cos2cos sin x
dx x x
π
=+?
（ ）
A.
)
2
1- B.
1
C. 1
D. 2-
思路：被积函数无法直接找到原函数，但是可以进行化简。
()22cos2cos sin =cos sin cos sin cos sin x x x
f x x x x x x x
-==-++，所以：
()(
)440
cos sin sin cos |
1x x dx x x ππ
-=+=?
答案：C
例3：设()2x
f x =，则
()4
4
f x dx -=?
________
思路：本题可以通过对x 的符号进行分类讨论，将()f x 写成分段函数，再将定积分拆分为两段分别求解，但若观察到()f x 为偶函数，则可利用对称性得：
()4
4
4
4
0230222ln 2
ln 2
x
x
f x dx dx -==?
=
?
? 答案：
30ln 2
例4：已知
()2
2
316x
k dx +=?，则k =（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 思路：先按部就班求解定积分，再解出关于k 的方程即可： 解：
()()
2
2
320
382x
k dx x kx k +=+=+?
8216k ∴+=解得4k =
答案：D
例5：由曲线2
x t
y t =??=?
（t 为参数）和2y x =+围成的封闭图形的面积等于___________ 思路：所给曲线为参数方程，考虑化为普通方程为2
y x =，作出两个曲线图像，可得两个交点的横坐标为1,2x x =-=，结合图象可得：
()222321
-11
1922|2
32S x x dx x x x -??=+-=+-= ???? 答案：92
例6：设()[](]2,0,11,1,x x f x x e x
?∈?
=?∈??（其中e 为自然对数的底数），则()y f x =的图像与
0,x x e ==以及x 轴所围成的图形的面积为___________
思路：作出图像可得()f x 恒在x 轴的上方，则面积可用定积分表示，但由于两个区间的函数不同，所以要拆成两个定积分：1
2
31
010
1
11
14
ln 13
33
e
e
S x dx dx x x x =
+=+=
+=?
?
答案：
43
例7：曲线2
y x
=
与直线1,4y x x =-=所围成的封闭图形的面积为（ ） A. 2ln2 B. 2ln2- C. 4ln2- D. 42ln2- 思路：作出图像观察可得：所围成的区域上方曲线为1y x =-，下方为2
y x
=
，自变量的取值范围为,E F ，其中2:21
y E x x y x ?=??=??=-?，()4,0F ，所以所求面积为
424
2
22112ln 42ln 22S x dx x x x x ????=--=--=- ? ?
????
?
答案：D
例8：如图所示，正弦曲线sin y x =，余弦曲线cos y x =与两直线0,x x π==所围成的阴影部分的面积为（ ） A. 1 B.
2
C. 2
D. 22
思路：观察到两部分阴影区域，函数的上下位置不同，所以考虑面积用两段定积分表示，在
[]0,π中，sin y x =与cos y x =的交点横坐标为4
x π
=
，所以0,
4π??
???
时，余弦函数位于上方，()4
10
cos sin S x x dx π
=
-?，在,4ππ??
???处，正弦函数位于上方，()24
sin cos S x x dx π
π=-? 所以()()4120
4
cos sin sin cos 2
2S S S x x dx x x dx π
π
π=+=-+-=??
答案：D
小炼有话说：（1）在求曲线围成的面积时，可遵循被积函数始终“上-下”的原则，如果函数发生变化或上下位置改变时，则可以将面积分割为若干段，分别求定积分即可
（2）本题还可以采用“填补法”，观察到左边较小阴影部分与x π=右侧部分中心对称，所以面积相同，从而可将较小阴影部分填补至x π=右侧。新的阴影部分始终sin y x =位于
上方，可求得阴影部分位于5,44ππ??
????，所以()544
sin cos S x x dx π
π=-=? 例9：已知a b <，若函数()(),f x g x 满足
()()b
b
a
a
f x dx
g x dx =?
?，则称()(),f x g x 为
区间[],a b 上的一组“等积分”函数，给出四组函数：
① ()()2,1f x x g x x ==+ ② ()()sin ,cos f x x g x x ==
③ ()()2
34
f x
g x x π==
④ 函数()(),f x g x 分别是定义在[]1,1-上的奇函数且积分值存在 其中为区间[]1,1-上的“等积分”函数的组数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
思路：按照“等积分”的定义，只需计算出两个函数在[]1,1-处的积分，再判断是否相等即可。 解：①
()1
1
1
2
10
110
124422
f x dx x dx xdx x --===?=???
()()11
21
1
1
1
1122g x dx x dx x x ---?
?
=+=+= ???
?
?
()()1
1
1
1
f x dx
g x dx --∴
=?
? 所以①为“等积分”
② ()f x 为奇函数，()g x 为偶函数
()1
1
0f x dx -∴=?
()1
11
101
1
cos 2cos 2sin 2sin1g x dx xdx xdx x --====?
??
③ 由几何含义可得：
()1
1
112
f x dx π--==??
()11231111311442
g x dx x dx x πππ---===?? ()()1
1
1
1
f x dx
g x dx --∴=??
所以③为一组“等积分”函数 ④ 因为()(),f x g x 为奇函数，所以()()1
1
1
1
0f x dx g x dx --∴==?
?
④为一组“等积分”函数
综上所述，①③④为“等积分”函数 答案：C
例10：已知函数()1x f x e =-，直线12:1,:1t
l x l y e ==-（t 为常
数，且01t ≤≤），直线12,l l 与函数()f x 的图像围成的封闭图形如图中阴影所示，当t 变化时阴影部分的面积的最小值为___________ 思路：可解得()f x 与直线2l 的交点为()
,1t t e -，从而用t 可表示出阴
影部分面积：()()()1
1201111t
t x x t
t S S S e e dx e e dx ????=+=---+---???
???，化简后可
得：()231t t S t te e e =-++，再通过导数分析()S t 单调性即可求出()S t 的最小值 解：()f x 与2l 的交点为：()111t x t f x e e e =-?-=-，解得：x t =
所以阴影面积()()()1
1201111t
t x x t
t S S S e e dx e e dx ????=+=---+---???
???
()()1
t
t
x
x t t
e
e dx e e dx =
-+-??
()
()10
231t x
t
x t t t
t e x e e e x te e e =-+-=-++
设()231t
t
S t te e e =-++，则()()'
221t
t
t
S t te e e t =-=-
()S t ∴在10,2?? ???单调递减，在1,12??
???单调递增
()(
)
2
min
12112S t S e e e ??
∴==-+=- ???
答案：
(
)
2
1e -
小炼有话说：（1）本题是定积分与导数综合的一道题目，在处理时要理解定积分和导数所起到的作用：定积分用于处理面积，而需要求最值时，非常规函数可用导数解出单调性，从而求最小值。了解每个工具的作用才可在需要时选择正确的方法
（2）对于含参数的定积分，首先要确定被积函数的自变量（可观察“d ”后面的字母），然后将参数视为一个常量参与运算（包括求原函数和代入上下限）即可，所得的结果通常是含参数的表达式。
三年高考(2017-2019)理科数学高考真题分类汇总：导数的几何意义、定积分与微积分基本定理
第七讲 导数的几何意义、定积分与微积分基本定理 2019年 1.（2019全国Ⅰ理13）曲线23()e x y x x =+在点(0)0，处的切线方程为____________． 1.解析：因为23e x y x x =+（），所以2'3e 31x y x x =++（）， 所以当0x =时，'3y =，所以23e x y x x =+（）在点00（，） 处的切线斜率3k =， 又()00y =所以切线方程为()030y x -=-，即3y x =． 2.（2019全国Ⅲ理6）已知曲线e ln x y a x x =+在点1e a （，） 处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -= ，1b =- 2.解析 e ln x y a x x =+的导数为'e ln 1x y a x =++， 又函数e ln x y a x x =+在点(1,e)a 处的切线方程为2y x b =+， 可得e 012a ++=，解得1e a -=， 又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-．故选D ． 2017、2018年 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = D 【解析】通解 因为函数32()(1)=+-+f x x a x ax 为奇函数，所以()()-=-f x f x ， 所以3232 ()(1)()()[(1)]-+--+-=-+-+x a x a x x a x ax ，所以22(1)0-=a x ， 因为∈R x ，所以1=a ，所以3()=+f x x x ，所以2()31'=+f x x ，所以(0)1'=f ， 所以曲线()=y f x 在点(0,0)处的切线方程为=y x ．故选D ．
几种定积分的数值计算方法
几种定积分的数值计算方法 摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计 算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明. 关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形 Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods. Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid
1. 引言 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数 )(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式 ?-=b a a F b F x f ) ()()( 求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况: (1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ?-1 02 , ? 1 sin dx x x 等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。 (2)函数)(x f 使用表格形式或图形给出,因而无法直接用积分公式或导数公式。 (3)函数)(x f 的原函数或导数值虽然能够求出,但形式过于复杂,不便使用. 由此可见,利用原函数求积分或利用求导法则求导数有它的局限性,所以就有了求解数值积分的很多方法,目前有牛顿—柯特斯公式法,矩形法,梯形法,抛物线法,随机投点法,平均值法,高斯型求积法,龙贝格积分法,李查逊外推算法等等,本文对其中部分方法作一个比较． 2.几何意义上的数值算法 s 在几何上表示以],[b a 为底,以曲线)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积A ,因此,计 算s 的近似值也就是A 的近似值,如图1所示.沿着积分区间],[b a ,可以把大的曲边梯形分割成许多小的曲边梯形面积之和.常采用均匀分割,假设],[b a 上等分n 的小区间 ,x 1-i h x i +=b x a x n ==,0,其中n a b h -= 表示小区间的长度. 2.1矩形法
最新高考-高考数学定积分 精品
§6.3定积分 【复习目标】 （1）通过实例（如求曲边梯形的面积、变力做功等），从问题情境中了解定积分的实际背 景；借助几何直观体会定积分的基本思想，了解定积分的概念；会求简单的定积分。 （2）通过实例（如变速运动物体在某段时间内的速度与路程的关系），直观了解微积分基 本定理的含义。 【重点难点】 定积分的几何意义；利用定积分性质化简被积函数；求定积分值。 【知识梳理】 （1）概念 设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0 定积分与微积分 一、知识回顾： 1.用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ； ②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和： 1 ()n i i b a f n ξ=-∑； ④取极限： () 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑? 2.曲边图形面积：()b a S f x dx =?； 变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =? ； 变力做功 ()b a W F r dr = ? . 3.定积分有如下性质： 性质1 =?b a dx 1 性质2 =? b a dx x kf )( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质3 ?=±b a dx x f x f )]()([2 1 （定积分的线性性质） 性质4 ??? +=c a b c b a dx x f dx x f dx x f )()()( 其中（b c a <<） 4.定积分的计算（微积分基本定理） （1）（牛顿——莱布尼兹公式）若)(x f 是区间],[b a 上的连续函数，并且)()(x f x F ='，那么有 二、常考题型： 一选择题 1.由直线与曲线y=cosx 所围成的封闭图形的面积为（ ） A 、 B 、1 C 、 D 、 2.由曲线y=x 2 ，y=x 3 围成的封闭图形面积为（ ） A 、 B 、 C 、 D 、 ? -==b a b a a F b F x F dx x f ) ()()()( 3.由曲线y=，直线y=x ﹣2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A 、 B 、4 C 、 D 、6 4. ? +1 )2(dx x e x 等于（ ） A 、1 B 、e ﹣1 C 、e D 、e 2 +1 5. ? 4 2 1 dx x dx 等于（ ） A 、﹣2ln2 B 、2ln2 C 、﹣ln2 D 、ln2 6. dx x ?--2 2 )cos 1(π π等于（ ） A 、π B 、2 C 、π﹣2 D 、π+2 7. 已知则? -= a a xdx 2 1 cos （a ＞0），则?a xdx 0cos =（ ） A 、2 B 、1 C 、 D 、 8. 下列计算错误的是（ ） A 、 ?- =π π 0sin xdx B 、 ? = 1 32dx x C 、 ?? -=22 2 cos 2cos π ππ xdx xdx D 、 ?- =π π0sin 2 xdx 9 计算dx x ? -2 24的结果是（ ） A 、4π B 、2π C 、π D 、 10. 若 0)32(0 2=-? dx x x k ，则k 等于（ ） A 、0 B 、1 C 、0或1 D 、以上均不对 11.下列结论中成立的个数是（ ） ①∑?=?= n i n n i dx x 133 1 031；②∑?=?-=n i n n i dx x 131031)1( ；③∑?=∞→?=n i n n n i dx x 1331031lim 。 A .0 B .1 C .2 D .3 12.根据定积分的定义，?202 dx x =（ ） A . ∑=?-n i n n i 1 21)1( B . ∑=∞→?-n i n n n i 121)1(lim C . ∑=?n i n n i 122)2( D . ∑=∞→?n i n n n i 122 )2(lim 13.变速直线运动的物体的速度为v(t)，初始t=0时所在位置为0s ，则当1t 秒末它所在的位置 为 （ ） A ． ? 1 )(t dt t v B ．dt t v s t ? + 1 0)( C ．00 1 )(s dt t v t -? D ．dt t v s t ?-1 0)( 第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数 dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+? ? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx 吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理（理科专用）B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共12题；共24分) 1. （2分）直线y=x与抛物线y=x(x+2)所围成的封闭图形的面积等于（） A . B . C . D . 2. （2分） (2018高二下·西安期末) 如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线 围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是（） A . B . C . D . 3. （2分）如图所示，由函数f（x）=sinx与函数g（x）=cosx在区间[0，]上的图象所围成的封闭图形 的面积为（） A . 3﹣1 B . 4﹣2 C . D . 2 4. （2分）由直线，曲线及轴所围图形的面积为（） A . 3 B . 7 C . D . 5. （2分）由幂函数y=和幂函数y=x3图象围成的封闭图形面积为（） A . B . C . D . 6. （2分）(2018·安徽模拟) 由直线及曲线所围成的封闭图形的面积为（） A . 3 B . C . D . 7. （2分）曲线与直线所围成图形的面积为（） A . 2 B . 1 C . D . 8. （2分）由直线，曲线及x轴所围图形的面积为（） A . B . C . D . 9. （2分）做变速直线运动的物体的速度满足，该物体在内经过的路程为9，则的值为（） A . 1 B . 2 C . 3 D . 4 10. （2分）抛物线与直线y=2x围成的封闭图形的面积是（） A . B . C . D . 11. （2分）设函数在区间上连续，用分点，把区间 等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式(其中为小区间的长度)，那么的大小（） A . 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关 B . 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关 C . 与和区间以及分点的个数，的取法都有关 D . 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关 12. （2分）由曲线y=x2 ， y=x3围成的封闭图形面积为（） A . B . C . 教案6：定积分的定义与性质 一、课前检测 1. 2 21(21)x x dx ++=? ； 2. 由抛物线2y x =与直线2y x =-围成的平面图形的面积 为 . 3. 用力把弹簧从平衡位置拉长10 cm,此时用的力是200 N ，变力F 做的功W 为 J. 二、知识梳理 1.定积分的概念：设函数()f x 在区间[,]a b 上有定义，将区间[,]a b 等分 成n 分小区间，每个小区间长度为x ?(x ?= ),在每个小区间上 取一点，依次为12,,,,i n x x x x ，作和n S = .如果x ?无限 趋近于0(亦即n 趋向于+∞)时，n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分，记为S = ，其 中 称为被积函数， 称为积分区间， 称为积分下限， 称为积分上限， 2.微积分基本定理：对于被积函数()f x ，如果()()F x f x '=，则 ()b a f x dx ?= . 3.定积分的运算性质：⑴()b a kf x dx ?= ； ⑵[()()]b a f x g x dx ±=? ；⑶()b a f x dx =? .()a c b << 4.定积分的几何意义：在区间[,]a b 上曲线与x 轴所围成图形面积的 (即x 轴上方的面积减去x 轴下方的面积)； ⑴当()f x 在区间[,]a b 上大于0时，()b a f x dx ?表示由直线 ,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积，这也是定积分的几何意义. ⑵当()f x 在区间[,]a b 上小于0时，()b a f x dx ?表示由直线 ,(),x a x b a b y ==≠=和曲线所围成的曲边梯形的面积的 . ⑶当()f x 在区间[,]a b 上有正有负时，()b a f x dx ?表示介于直线 ,()x a x b a b ==≠之间x 轴之上、之下相应的曲边梯形的面积的 . 5.定积分在物理中的应用：⑴匀变速运动的路程公式，作变速直线运动的物体所经过的路程s ，等于其速度函数()v t 在时间区间[,]a b 上的定积分，即s = . ⑵变力做功公式，一物体在变力()F x (单位：N )的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向从x a =移动到()x b a b =<(单位：m )，则力F 所作的功为W = . 三、典型例题分析 例1．求定积分 ⑴21 ?(2x 2 －1x )d x ； ⑵32?(x ＋1x )2d x ； （3）30π?(sin x －sin2x )d x ； 变式训练：求定积分：222||x x dx --?； 有关定积分问题的常见题型解析 题型一 利用微积分基本定理求积分 例1、求下列定积分： （1） ( ) 1 3 31x x dx -+? （2） 4 1dx ? （3） ? --2 2 24x 分析：根据求导数与求原函数互为逆运算，找到被积函数得一个原函数，利用微积分基本公式代入求值。 评注：利用微积分基本定理求定积分 dx x f a b )(?的关键是找出)()(/ x f x F =的函数)(x F 。 如果原函数不好找，则可以尝试找出画出函数的图像， 图像为圆或者三角形则直接求 其面积。 题型二 利用定积分求平面图形的面积 例2 如图 ，求直线y=2x+3与抛物线y=x 2 所围成的图形面积。 分析：从图形可以看出，所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差，进而可以用定积分求出面积。为了确定出被积函数和积分和上、下限，我们需要求出两条曲线的交点的横坐标。 评注：求平面图形的面积的一般步骤：⑴画图，并将图形分割成若干曲边梯形；⑵对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分上、下限；⑶确定被积函数；⑷求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值之和。 关键环节：①认定曲边梯形，选定积分变量；②确定被积函数和积分上下限。 知识小结：几种典型的曲边梯形面积的计算方法： （1）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≥0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()?b a dx x f ，如图1。 （2）由三条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、x 轴，一条曲线y=()x f （()x f ≤0）围成的曲边梯形的面积： S ＝ ()()??-=b a b a dx x f dx x f ，如图2。 （3）由两条直线x=a 、x=b （a ＜b ）、两条曲线y=()x f 、y=()x g （()()x g x f ≥）围成的平面图形的面积：S ＝ ()()?-b a dx x g x f ][，如图3。 高考数学定积分与微积分基本定理（理科专用）专题卷 一、单选题（共12题；共24分） 1.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（） A. B. C. 4 D. 2.由直线，曲线及轴所围成的图形的面积为（） A. B. C. D. 3.由曲线，围成的封闭图形的面积为（） A. B. C. D. 4.曲线与直线所围成图形的面积为（） A. 2 B. 1 C. D. 5.定积分的值是（） A. B. C. D. 6.向平面区域Ω＝{(x，y)| ，0≤y≤1}内随机投掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( ) A. B. C. D. 7.如图所示，在一个边长为1的正方形内，曲线和曲线围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形内随机投一点(该点落在正方形内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是( ) A. B. C. D. 8.已知二次函数y=f（x）的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为（） A. B. C. D. 9.设函数在区间上连续，用分点，把区间 等分成个小区间，在每个小区间上任取一点，作和式 (其 中为小区间的长度)，那么的大小( ) A. 与和区间有关，与分点的个数和的取法无关 B. 与和区间以及分点的个数有关，与的取法无关 C. 与和区间以及分点的个数，的取法都有关 D. 与和区间以及的取法有关，与分点的个数无关 10.函数与两条平行线，及轴围成的区域面积是（） A. B. C. D. 11.在“近似代替”中，函数f(x)在区间[xi，xi+1]上的近似值等于() A. 只能是左端点的函数值f(xi) B. 只能是右端点的函数值f(xi+1) C. 可以是该区间内任一点的函数值f(ξi)(ξi∈[xi，xi+1]) D. 以上答案均不正确 12.由y=﹣1，y=0，x=2所对应的曲线围成的封闭图形的面积为（） A. ln2﹣ B. ﹣ln2 C. 1﹣ln2 D. ln2﹣1 二、填空题（共6题；共6分） 13.在区间内任取一个实数，在区间内任取一个实数，则点位于曲线的图像上方的概率为________． 14.直线y=4x与曲线y=x2围成的封闭区域面积为________． 15.由曲线与直线所围成图形的面积等于________． 16.设，则二项式的展开式的常数项是________. 17.设a＞0．若曲线y=与直线x=a，y=0所围成封闭图形的面积为a，则a=________ 18.________. 三、解答题（共3题；共15分） 19.已知函数f（x）=ln|x|（x≠0），函数g（x）=（x≠0） （1）当x≠0时，求函数y=g（x）的表达式； （2）若a＞0，函数y=g（x）在（0，+∞）上的最小值是2，求a的值； （3）在（2）的条件下，求直线y=与函数y=g（x）的图象所围成图形的面积． 20.计算椭圆+ =1所围成的平面图形的面积A． 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如 第5章 定积分及其应用 （一）、单项选择题 1．函数()x f 在区间[a ，b]上连续是()x f 在[a ，b]上可积的（ ）。 A ．必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分也非必要条件 2．下列等式不正确的是（ ）。 A ． ()()x f dx x f dx d b a =??????? B. ()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=???? ??? C. ()()x f dx x f dx d x a =??????? D. ()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 3．? ?→x x x tdt tdt sin lim 的值等于( ). A.-1 B.0 C.1 D.2 4．设x x x f +=3 )(，则 ? -2 2 )(dx x f 的值等于（ ）。 A ．0 B.8 C. ? 2 )(dx x f D. ?2 )(2dx x f 5．设广义积分 ? +∞ 1 dx x α收敛，则必定有（ ）。 A.1-<α B. 1->α C. 1<α D. 1>α 6．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ）。 A.［0，2e ］ B.［0，2］ C.［1，2］ D.［0，1］ 7．由曲线2,0,===y x e y x 所围成的曲边梯形的面积为（ ）。 A.dy y ? 2 1 ln B. dy e e x ? 2 C.dy y ? 2 ln 1ln D. ()d x e x ?-2 1 2 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为（ ）。 A. ()[]dy y y ?--1 1 B. ()[]dx x x ? -+-21 1 C. ()[]dy y y ? --210 1 D.()[]dx x x ? +--1 1 9．由e x x y x y e ===,log ,ln 1围成曲边梯形，用微法求解时，若选ｘ为积分变量，面积微元为 （ ）。 A.dx x x e ???? ? ? +1 log ln B.dy x x e ???? ? ?+1log ln C.dx x x e ???? ? ?-1log ln D.dy x x e ??? ? ? ?-1log ln 10．由0,1,1,2==-==y x x x y 围成平面图形的面积为（ ）。 A. ? -1 1 2dx x B. ? 1 2dx x C. ? 1 dy y D.? 1 2 dy y 导数与定积分 一. 选择题 1.（2014 大纲理 7） 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）. A ．2e B ．e C ．2 D ．1 2.（2014 湖北理 6）若函数()(),f x g x 满足 ()()1 d =01f x g x x -?，则称()(),f x g x 为区 间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数： ①()()11sin ,cos 22 f x x g x x ==；②()() 1,1f x x g x x =+=-；③()()2 ,f x xg x x == . 其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）. A.0 B.1 C.2 D.3 3.（2014 湖南理 9）已知函数()()sin f x x ?=-，且()230 d 0f x x π =? 则函数()f x 的图像 的一条对称轴是（ ）. A.6x 5π= B.12x 7π= C.3x π= D.6 x π= 4.（2014 辽宁理 11） 当[]2,1x ∈-时，不等式3 2 430ax x x -++… 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．[]5,3-- B ．96,8? ? -- ??? ? C ．[]6,2-- D ．[]4,3-- 5.(2014 山东理 8) 已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）. A.102? ? ???， B.112?? ??? ， C.()1,2 D.()2+∞， 6.（2014 江西理 8）若()()12 2 d f x x f x x =+?，则()1 d f x x =?（ ）. A.1- B.13- C.1 3 D.1 7.（2014 山东理 6）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）. A.22 B.24 C.2 D.4 2016年专项练习题集-定积分的计算 2016年专项练习题集-定积分的计算 一、选择题 1.dx x )5(1 2 2 -?=（ ） A.233 B.31 C.34 D ．83 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求被积函数的原函数是求解关键。 【考查方向】求定积分 【解题思路】求出被积函数的原函数，应用微积分基本定理求解。 【解析】dx x )5(1 22 -?=123 153 x x -＝83 ． 2.直线9y x =与曲线3 y x =在第一象限内围成的封闭 图形的面积为（ ） A 、22 B 、42 C 、2 D 、4 【分值】5分 【答案】D 【易错点】求曲线围成的图形的面积，可转化为函数在某个区间内的定积分来解决，被积函数一般表示为曲边梯形上边界的函数减去下边界的 函数. 【考查方向】定积分求曲线围成的图形的面积 【解题思路】先求出直线与曲线在第一象限的交点，再利用牛顿-莱布尼茨公式求出封闭图形的面积. 【解析】由 ???==39x y x y ，得交点为()()()27,3,27,3,0,0--， 所以()4 8103412 9 942 30 3 =??? ? ?-=-=?x x dx x x S ，故选D. 3.22 -? 2 412x x -+dx =（ ） A.π4 B.π 2 C.π D.π3 【分值】5分 【答案】A 【易错点】利用定积分的几何意义，一般根据面积求定积分,这样可以避免求原函数，注意理解所涉及的几何曲线类型. 【考查方向】求定积分 【解题思路】利用定积分的几何意义,转化为圆的面积问题。 【解析】设y=2 4 x- +,即(x-2)2+y2=16(y≥0). 12x ∵22-?2 x- +dx表示以4为半径的圆的四分之一12x 4 面积.∴22-?2 x- +dx=π4. 12x 4 4.F4遥控赛车组织年度嘉年华活动，为了测试一款新赛车的性能，将新款赛车A设定v＝3t2＋1(m/s)的速度在一直线赛道上行驶，老款赛车B设定在A的正前方5 m处，同时以v＝10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后赛车A 追上赛车B所用的时间t(s)为( ) 第 1 页 定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质） 性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+< 定积分证明题方法总结六篇 定积分是历年数学的考查重点，其中定积分的证明是考查难点，同学们经常会感觉无从下手，小编特意为大家总结了定积分的计算方法，希望对同学们有帮助。 篇一：定积分计算方法总结一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法（反、对、幂、指、三） 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3. 参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小 四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x)>=g(x),则 >= ()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 篇二：定积分知识点总结 1、经验总结 (1) 定积分的定义：分割—近似代替—求和—取极限 (2)定积分几何意义： ①f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积 ab ②f(x)dx(f(x)0)表示y=f(x)与x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形的面积的相a 反数 (3)定积分的基本性质： ①kf(x)dx=kf(x)dx aabb ②[f1(x)f2(x)]dx=f1(x)dxf2(x)dx aaa ③f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx aac (4)求定积分的方法：baf(x)dx=limf(i)xi ni=1nbbbbbcb ①定义法：分割—近似代替—求和—取极限②利用定积分几何意义 ’③微积分基本公式f(x)F(b)-F(a),其中F（x）=f(x) ba 篇三：定积分计算方法总结 1、原函数存在定理 ●定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上 计算题（共 200 小题） 1、 ??+=.d )( , sin d )()(x x f c x x x f n 求设 2、 ?'>+=.d )(),0()(2x x f x x x x f 试求设 3、 .d x x ?求 4、 .)( .0,sin ,0)(2的不定积分求 设x f x x x x x f ? ??>≤= 5、 已知，求它的原函数．f x x F x ()()=-1 6、 .d x x ?求 7、 ? -233d x x 求 8、 .,d 2是常数其中求 a x x a ? 9、 .0,,d >?a a x e a x x 是常数其中求 10、 .d tan csc 22x x x ??求 11、 ? ?x x x d cot sec 22求 12、 ?+22d x x 求 13、 ? +82d 2x x 求 14、 ?-9d 2x x 求 15、 ? -.63d 2x x 求 16、 ?+232d x x 求 17、 .d 2432x x x x ?-求 18、 x x x d ??求 19、 .d )1(23 x x x ?+求 20、 .,,d )cosh sinh (均为常数其中求 b a x x b x a ?+ 21、 ?x x d cot 2求 22、 .d 11)(3x x x ?++求 23、 .d x x x x ?求 24、 ?+.d )arccos (arcsin x x x 求 25、 [].d )1(cos cos )1(sin sin x x x x x ?+++求 26、 ??.d 2 sin 22x x 求 27、 定积分在高考中得常见题型解法 贵州省印江一中（55５20０) 王代鸿 定积分作为导数得后续课程,与导数运算互为逆运算,也就是微积分基本概念之一,同时为大学数学分析打下基础。从高考题中来瞧，定积分就是高考命题得一种新方向,在高考复习中要求学生了解定积分得定义,几何意义,掌握解决问题得方法。 一、利用微积分基本定理求定积分 １、微积分基本定理：一般地,如果就是区间上得连续函数,并且,那么、这个结论叫做微积分基本定理(又叫牛顿－莱布尼兹公式)。 2、例题讲义 例1、计算 解：因为 所以＝ 【解题关键】：计算得关键就是找到满足得函数。 跟踪训练:1计算 二、利用定积分得几何意义求定积分。 1、定积分得几何意义:设函数y=ｆ(ｘ)在 上ｙ=f(x）非负、连续，由直线x=a,x=ｂ， ｙ=0及曲线y=f(ｘ) 所围成得曲边梯形面积 S= 2、例题讲义: 例2、求由曲线,直线2 =-及轴所围成得图形得面积S等于＝_＿ y x ____＿＿___ ?解: 联立方程组(如图所示) 解得 S = = = ＝ 【解题关键】:将曲边梯形进行分割成几个容易求面积得图形,再求面积与 例３、求得值 解:令 则有 及 右图所以 【解题关键】:将被积函数转化为熟悉得曲线方程,利用曲线图形得特点求其定积分。 练习:由直线,ｘ＝2,曲线及x轴所围图形得面积为( ） Ａ、?B、C、D、 三、利用变换被积函数求定积分 1、从积分变量x分割得几何图形较多,不容易求其定积分时,就变换被积函数求其定积分。 2、例题讲义 例４、求抛物线与直线所围成得图形得面积。解:方法1分割如右图 如图所示联立方程组 解得 =１8 方法２：由得, 由得 所以Ｓ＝ 【解题关键】:改变被积函数求面积比分割求面积简单 四、定积分与几何概型知识得交叉应用 例5、如图，四边形OAＣB就是AＢ=1,A Ｄ=得矩形,阴影部分就是由直线ｘ=1与抛物线围成得区域,在矩形ABCD内(含边界)任意取点,则这点取自阴影部分(含边界)得概率就是多少？ 解:如图所示本题就是古典概型 【解题关键】:求曲边梯形ＯＡCBD 面积 定积分与微积分基本定理 [时间：45分钟 分值：100分] 基础热身 1．[2011·郑州一中模拟] 已知f (x )为偶函数，且 ??0 6 f(x)d x ＝8，则? ?6－6f(x)d x ＝( ) A ．0 B ．4 C ．8 D ．16 2．[2011·福州模拟] 设f(x)＝???? ? x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e ](其中e 为自然对数的底数)，则??0 e f(x)d x 的值为( ) A .43 B ．2 C ．1 D .23 3．[2011·临沂模拟] 若a ＝??02x 2d x ，b ＝??02x 3d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系 是( ) A ．a定积分高考试题
§_5_定积分习题与答案
吉林省高考数学一轮复习：15 定积分与微积分基本定理(理科专用)B卷
高考数学定积分的定义
有关定积分问题的常见题型解析(全题型)
高考数学定积分与微积分基本定理(理科专用)专题卷
高中数学定积分知识点
定积分计算例题
2014年高考数学真题分类汇编理科-导数与定积分(理科)
2016年专项练习题集-定积分的计算
人教版高中数学定积分概念及其运算
定积分证明题方法总结六
不定积分 计算题
定积分在高考中的常见题型
高考理科数学定积分与微积分基本