集合教案(最全)

关于集合的元素的特征

1.确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”

一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

2.互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1,-2},而不是{1,1,-2}

3.无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

4.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。例如{1,1,1}和{1,1,1}就是两个相等的集合。

练习：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；

⑸某校2011级新生；⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

元素同集合的关系：元素同集合的关系有有“属于∈”及“不属于?两种)

1若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

2若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。

例如我们开头的例子当中，前面三个图形就属于{正方形}

例．用“∈”或“?”符号填空：

（1）8 N；（2）0 N；

（3）-3 Z；（4）；

（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A，美国A，印度A，英国A。

集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫列举

法。如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集

合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法

表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略

1,2,3,4,5,......

号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}

例1．用列举法表示下列集合：

(1)小于5的正奇数组成的集合；

(2)能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3)从51到100的所有整数的集合；

(4)小于10的所有自然数组成的集合；

(5)方程2x x

=的所有实数根组成的集合；

⒉描述法（课本P4的思考题）得出描述法的定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方

法，称为描述法。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

一般格式：{}

()

x A p x

∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x|直角三角形}，…；

说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与{y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

１、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

２、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

(1)由适合x2-x-2>0的所有解组成的集合;

(2)到定点距离等于定长的点的集合;

(3)方程220

x-=的所有实数根组成的集合

(4)由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

三、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

集合的分类

观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {x∈R∣0

3. {x∈R∣x2+1=0}

由此可以得到

集合的分类

:

:

:()

empty set

?

?

?

??-

?

有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合

空集不含有任何元素的集合

A 3,9,27

2.用描述法表示

(1) 被5除余数是1的整数的集合

(2) 奇数集

(3) 大于4小于1000的全体整数构成的集合

(4) x 轴上的点构成的集合

1.1.2 集合间的基本关系

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；

（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；

（3）{|}E x x =是两条边相等的三角形，{}F x x =是等腰三角形

观察可得：

⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这 两个集合有

包含关系，称集合A 是集合B 的子集（subset ）。

记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B ，或B 包含A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?A)

用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??且，则A B =。

如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。

⒊真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。 记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

4.空集定义：不含有任何元素的集合称为空集。记作：φ

用适当的符号填空：

φ {}0； 0 φ ； φ {φ}； {}0 {φ}

5.几个重要的结论：

（1） 空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。

（2） 空集是任何非空集合的真子集；

（3）任何一个集合是它本身的子集；

（4）对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系； ⑴ 在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

例题：写出{1,2,3}，φ ，{φ}所有的子集和真子集

B A 表示：A B ?

结论：一般地，一个集合元素若为n 个，则其子集数为2n 个，其真子集数为2n -1个，子集包括该集合本身，而真子集不包括。

特别地，空集的子集个数为1，真子集个数为0。

这里还要注意的是{φ}不是空集，因为它里面有元素φ。

1.1.3 集合间的基本运算

考察下列集合，说出集合C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）{1,3,5}A =，{}{2,4,6},

1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分，

记作A ∪B ， 读作：A 并B 即A ∪B={x|x ∈A 或x ∈B}。

Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A

A ∪

B ＝A ? , A ∪B ＝B ? .

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ;

③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），

记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

Venn 图表示：

常见的五种交集的情况：

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个

集合没有交集

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩

B B ∩A

A ∩

B ＝A ? A ∩B ＝B ?

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ;

③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

A B A(B) A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集）

3.一些特殊结论

⑴ 若A B ?,则A ∩B=A ； ⑵若B A ?,则A ?B=A ；

（3） 若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ?φ=A 。

【题型一】 并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。

【例3】已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2+2x +13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B

【题型二】 并集、交集的应用

例：设集合A ＝｛∣a+1∣,3,5},B={2a+1,a 2+2a,a 2+2a-1}，当A ∩B={２，３}时，求A ∪B

解：

练：.已知｛3,4，m 2-3m-1｝∩{２m ，-３}=｛-3｝,则m ＝ 。

集合的基本运算㈡

思考1． U={全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？

集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。

（一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集合A 相对于全集U 的补集,

记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =∈?且

Venn 图表示：

U 中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制

讨论：集合系集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助

Venn 图分析

,,()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??==

,U U C U C U =??=

巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ；

③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

【题型1】求补集

【例1】．设全集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，

求U C A ，U C B ．

【例2】设全集{}{}{}4,23,33U x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ，

A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）

【例3】设全集U 为R ，{}{}22120,

50A x x px B x x x q =++==-+=，若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ?=?=，求A B ?。（答案：{}2,3,4）

【题型2】集合的混合运算

已知全集为R ，集合P=｛x|x ＝a 2+4a+1,a ∈R ｝,Q=｛y|y ＝-b 2+2b+3,b ∈R ｝求P ∩Q 和P ∩R Q C

集合中元素的个数

在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题。我们把含有有限个元素的集合A 叫做有限集，用card(A)表示集合A 中元素的个数。例如：集合A={a,b,c}中有三个元素，我们记作card(A)=3. 结论:已知两个有限集合A ，B ，有：card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).

例1 学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 解设A={田径运动会参赛的学生}，B={球类运动会参赛的学生}，

A∩B={两次运动会都参赛的学生},A ∪B={所有参赛的学生}

因此card(A ∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)=8+12-3=17.

答：两次运动会中，这个班共有17名同学参赛.

１.在某校高一(5)班的学生中参加物理课外小组的有20人参加数学课外小 组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，则 这个班的学生总人数是

A. 70

B. 55

C. 50

D. 无法确定

２. 给出下列命题： 给出下列命题：

① 若card(A)=card(B)，则A=B ； ② 若card(A)=card(B)， 则card(A∩B)=card(A ∪B) , ③ 若A∩B=Φ 则card(A ∪B)-card(A)=card(B) ④ 若A=Φ ，则card(A∩B)=card(A) ⑤ 若A ?B ，则card(A∩B)=card(A) ， 其中正确的命题的序号是③④

基础练习：

⑴考察下列对象是否能形成一个集合？

①身材高大的人 ②所有的一元二次方程

③直角坐标平面上纵横坐标相等的点 ④细长的矩形的全体

⑤比2大的几个数 ⑥2的近似值的全体

⑵给出下面四个关系:3∈R,0.7?Q,0∈{0},0∈N,其中正确的个数是:( )

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

⑶下面有四个命题:

①若-a ?Ν,则a ∈Ν ②若a ∈Ν,b ∈Ν,则a +b 的最小值是2 ③集合N 中最小元素是1 ④ x 2+4=4x 的解集可表示为{2,2}

其中正确命题的个数是( )

（4）若集合{},,M a b c =中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是（ ）

A ．形等腰三角形

B ．锐角三角形

C ． 钝角三角形

D ．直角三角

（5）把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝

B.｛3,2,1,0｝

C.｛-2,-1,0,1,2｝

D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

（6）下列说法正确的是( )

A.｛0｝是空集

B. ｛x ∈Q ∣x

6∈Z ｝是有限集 C.｛x ∈Q ∣x 2+x+2=0｝是空集 D.｛2,1｝与｛1,2｝是不同的集合

二、填空题 用符号“∈”或“?”填空

(1)0______N , 3-______Z ,

5______Q , R ,π R （2）集合A ＝{x|43

x -∈Z ，x ∈N}，则它的元素是 。 （3）已知集合A ＝{x|-3

三、解答题

.已知集合A ＝｛a,2b-1,a+2b ｝B=｛x ∣x 3-11x 2+30x=0｝,若A=B ，求a,b 的值。

提高训练： 已知集合{}2210,,A x ax x x R a =++=∈为实数。

（1） 若A 是空集，求a 的取值范围；

（2） 若A 是单元素集，求a 的取值范围；

（3） 若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围；

练习：

1.设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，则A ∩B ＝ 。

2.设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A ∪B ＝ 。

3.已知集合M ＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。

4.设A ＝｛不大于20的质数｝，B ＝{x|x ＝2n+1,n ∈N*}，用列举法写出集合A ∩B ＝ 。

5.已知集合M ＝{x|y=x 2-1},N={y|y=x 2-1},那么M ∩N 等于（ ）

A.φ

B.N

C.M

D.R