七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题10 二元一次方程及第三方应用
专题10二元一次方程及第三方应用
专题解读】不定方程（组）是数论中的一个古老分支，其内容非常丰富.我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理.无论在中高考还是在每年世界各地的数学竞赛中，不定方程都占有一席之地.近年来，不定方程的研究又有新的进展.学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能.
思维索引
例1.已知二元一次方程mx＋ny＝10的两组解
1
2
x
y
=-
?
?
=
?
和
3
1
x
y
=
?
?
=-
?
，
（1）求3m＋7n的值；（2）求m＋3n的值.
例2.已知关于x，y的方程组
260
250 x y
x y mx
+-=
?
?
-++=?
（1）请直接写出方程x＋2y－6＝0的所有正整数解；
（2）若方程组的解满足x＋y＝0，求m的值；
（3）无论实数m取何值，方程x－2y＋mx＋5＝0总有一个固定的解，请直接写出这个解？
（4）若方程组的解中x恰为整数，m也为整数，求m的值.
例3.阅读理解
解方程组
(1)2(2)6 2(1)(2)6 a b
a b
-++=?
?
-++=?
解：设a－1＝x，b＋2＝y，原方程组可变为
26 26 x y
x y
+=?
?
+=?
解方程组得：
2
2
x
y
=
?
?
=
?
即
12
12
a
b
-=
?
?
+=
?
所以
3
0 a
b
=?
?
=?
此种解方程组的方法叫换元法.
（1）如果关于x、y的二元一次方程组
316
215
x ay
x by
-=
?
?
+=
?
的解是
7
1
x
y
=
?
?
=
?
，求关于x、y的方程组的解：
①3()()162()()15x y a x y x y b x y +--=??++-=?
②3(2)1623
(2)15
3x y a
y b x y y -?-=????-+=??
（2）若关于x ，y 的方程组ax by c mx ny p +=??-=?的解是23x y =??=?
，求关于x ，y 的方程组22ax by c
mx ny p -=??+=?的解.
（3）已知关于x ，y 的方程组111222
a x
b y
c a x b y c +=??+=?的解为5
3x y =??=?，求关于m 、n 的方程组
111
222
5(3)3(2)5(3)3(2)a m b n c a m b n c ++-=??
++-=?的解.
素养提升
1.方程22(1)(2)1x y ++-=的整数解有
（ ）
A .1组
B .2组
C .4组
D .无数组 2.若二元一次方程组45ax by bx ay +=??+=?的解2
1x y =??=?
，则a ＋b 的值为
（ ）
A .3
B .－3
C .6
D .9
3.若二元一次方程组323
212x y x ay +=??+=?
中的x 与y 互为相反数，那么a 的值是
（ ）
A .4
B .－3
C .－2
D .7
4.若
1
1
x
y
=
?
?
=
?
是二元一次方程组
1
328
mx ny
mx ny
+=
?
?
+=
?
的解，则5m＋6n的值为（）
A.60
B.0
C.－40
D.11
5.关于x与y的二元一次方程组
5
9
x y k
x y k
+=
?
?
-=
?
的解也是二元一次方程2x＋3y＝32的解，则k的值是
（）
A.4
B.8
C.12
D.14
6.方程组
421
1
2
x y
kx y
-=
?
?
?
+=
??
的解中x与y相等，则k＝ .
7.关于x、y的方程组
343
232
x y
mx y
+=
?
?
+=
?
的解中x与y的和等于1，则m的值是 .
8.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有种不同
的买法.
9.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个，其总价值为330元，这三种球的价格为分别是
足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有个.
10.购买5种数学用品A1、A2、A3、A4、A5的件数和用钱总数列成下表：
种数学用品各买一件共需元
11.（1）求方程15x＋52y＝6的所有整数解.
（2）求不定方程5x＋7y＝978的正整数解的组数.
12.（1）若二元一次方程组3324x y x y +=??-=?的解为x a
y b =??=?
，求a －b 的值.
（2）若二元一次方程组25264x y ax by +=-??-=-?和3536
8
x y bx ay -=??+=-?有相同的解，求2020(2)a b +的值.
13.P n 表示n 边形的对角线的交点个数（指落在其内部的交点），如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：(1)
24
n n n P -=
·2()n an b -+（其中a ，b 是常数，n ≥4） （1）通过画图，可得：四边形时，P 4＝ ；五边形时，P 5＝ ； （2）请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值.
14.已知关于x 、y 的方程组111
ax by c a x b y c +=??+=?的解是3
4x y =??=?
（1）把x 换成m ，y 换成n ，得到方程组111
am bn c a m b n c +=??+=?，则这个方程组的解是( )
( )m n =??=?；
（2）把x 换成2x ，y 换成4y ，得到方程组111
2424ax by c a x b y c +=??+=?，则2( )4( )x y =??=?，所以这个方程组的解是( )
( )x y =??=?；
（3）参照以上方法解方程组111
243243ax by c
a x
b y
c +=??+=?
15.在车站开始检票时，有a（a＞0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来
排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？
专题10二元一次方程及第三方应用思维索引】
例1．(1)74；(2)30；
例2．(1)
2
2
x
y
=
?
?
=
?
，
4
1
x
y
=
?
?
=
?
；(2)
13
6
m=-；(3)
2.5
x
y
=
?
?
=
?
；(4)m＝－1或一3．
例3．(1) ①
7
1
x y
x y
+=
?
?
-=
?
，解得
4
3
x
y
=
?
?
=
?
；②
2
7
2
1
1
3
x y
y
-
?
=
??
?
?=
??
，解得
20
3
x
y
=
?
?
=
?
；(2)
1
3
x
y
=
?
?
=-
?
；
(3)设
5(3)
3(2)
m x
n y
+=
?
?
-=
?
，可得
5(3)5
3(2)3
m
n
+=
?
?
-=
?
，解得：
2
3
m
n
=-
?
?
=
?
.
素养提升】
1．C；2．A；3．C；4．B；5．A；6．0；7．1；8．2；9．15；10．1000；
11．(1)
4252
1215
x t
y t
=-
?
?
=-+
?
(t为整数)；(2)
87
1345
x t
y t
=-
?
?
=+
?
(
134
5
t>-)；
12．(1)1；(2)1；
13．(1)画出图形如下．
当n＝4时，P4＝1；当n＝5时，P5＝5．
(2)
5
6
a
b
=
?
?
=
?
．
14．(1)
3
4
m
n
=
?
?
=
?
；(2)
3
2
1
x
y
?
=
?
?
?=
?
；(3)
9
2
3
x
y
?
=
?
?
?=
?
．
15．4；