相似三角形等积式比例式

专题：相似三角形的判定

相似三角形的知识与圆有着密切的联系，所以我们一定要把这部分知识学好，为学习圆这部分知识打下良好基础。

我们本讲重点研究两个问题：一、比例式，等积式的证明；二、双垂直条件下的证明与计算。

一、等积式、比例式的证明：

等积式、比例式的证明是相似形一章中常见题型。因为这种问题变化很多，同学们常常感到困难。但是，如果我们掌握了解决这类问题的基本规律，就能找到解题的思路。

（一）遇到等积式（或比例式）时，先看是否能找到相似三角形。

等积式可根据比例的基本性质改写成比例式，在比例式各边的四个字母中如有三个不重复的字母，就可找出相似三角形。

例1、已知：如图，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分线交AB于D，

交BC延长线于F。求证：CD2=DE·DF。

分析：我们将此等积式变形改写成比例式得：，由等式左边得到

△CDF，由等式右边得到△EDC，这样只要证明这两个三角形相似就可以得到要证的等积式了。因为∠CDE是公共角，只需证明∠DCE=∠F就可证明两个三角形相似。

证明略（请同学们证明）提示:D为直角三角形斜边AB的中点,所以AD=DC, 则∠DCE=∠A.

（二）若由求证的等积式或比例式中找不到三角形或找到的三角形不相似，则需要进行等线段代换或等比代换。有时还需添加适当的辅助线，构造平行线或相似三角形。

例2．如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，BF交AD于P点，交AC于E点。

求证：BP2=PE·PF。

分析：因为BP、PE、PF三条线段共线，找不到两个三角形，所以必须考虑等线段代换等其他方法，因为AB=AC，D是BC中点，由等腰三角形的性质知AD是BC的垂直平分线，如果我们连结PC，由线段垂直平分线的性质知PB=PC，只需证明△PEC∽△PCF，问题就能解决了。

证明：

例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F。

求证：。

分析：比例式左边AB，AC在△ABC中，右边DF、AF在△ADF中，这两个三角形不相似，因此本题需经过中间比进行代换。通过证明两套三角形分别相似证得结论。

证明：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=∠BAC=900，

∴∠1+∠2=900，∠2+∠C=900，

∴∠1=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴，

又∵E是AC中点，∴DE=EC，

∴∠3=∠C，又∵∠3=∠4，∠1=∠C，

∴∠1=∠4，又有∠F=∠F，

∴△FBD∽△FDA，

∴，∴（等比代换）

二、双垂直条件下的计算与证明问题：

“双垂直”指：“Rt△ABC中，∠BCA=900，CD⊥AB于D”，（如图）在这样的条件下有下列结论：（1）△ADC∽△CDB∽△ACB

（2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）

由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理我们应熟记这些结论，并能灵活运用。例4．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=900，CD⊥AB于D，根据下列各条件分别求出未知所有线段的长：

（1）AC=3，BC=4；

（2）AC= ，AD=2；

（3）AD=5，DB= ；

（4）BD=4，AB=29。

分析：运用双垂直条件下的乘积式及勾股定理，已知两条线段的长就可求出其他四条线段的长。

解：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，

（1）∵AC=3，BC=4，由勾股定理得AB= =5，∵AC2=AD·AB，∴AD= = ，

∴BD=AB-AD=5- = ，

∵CD·AB=AC·BC，

∴CD= （或利用CD2=AD·BD来求）

（2）∵AC= ，AD=2，AC2=AD·AB，

∴CD= ，

∵BD=AB-AD，∴BD= -2= ，

∵BC2=BD·AB，且BC>0，

∴BC=

（3）∵AD=5，DB= ，且CD2=AD·BD，

∴CD= =12

AB=AD+BD=

∵AC2=AD·AB，

∴AC= =13

∵BC2=BD·AB，

∴BC=

（4）BD=4，AB=29，BC2=BD·AB，

∴BC= =2 ，

∴AD=AB-BD=29-4=25，

∵AC2=AD·AB，

∴AC= =5 ，

∵CD2=AD·BD，

∴CD= =10

例5．已知：如图，矩形ABCD中，AB：BC=5：6，点E在BC上，点F在CD上，EC= BC，FC= CD，FG⊥AE于G。

求证：AG=4GE。

分析：图中有直角三角形，充分利用直角三角形的知识，设AB=5k，BC=6k

(k>0)，则EC= BC=k, FC= CD= AB=3k，得DF=2k，由勾股定理可得

AE2=AB2+BE2=50k2，EF2=EC2+FC2=10k2，AF2=AD2+DF2=40k2，所以AE2=EF2+AF2由勾股定理逆定理得Rt△AFE，又因为FG⊥AE，具备双垂直条件，问题的解决就有了眉目。

证明：∵AB：BC=5：6，

∴设AB=5k, BC=6k (k>0),

∴在矩形ABCD中，有

CD=AB=5k, BC=AD=6k, ∠B=∠C=∠D=900,

∵EC= BC, ∴EC= ×6k=k, ∴BE=5k,

∵FC= CD, ∴FC= ×5k=3k, ∴DF=CD-FC=2k，

在Rt△ADF中，由勾股定理得

AF2=AD2+DF2=36k2+4k2=40k2，

同理可得AE2=50k2, EF2=10k2，

∴AF2+EF2=40k2+10k2=50k2=AE2,

∴△AEF是Rt△（勾股定理逆定理），

∵FG⊥AE，∴△AFE∽△FGE，

∴EF2=GE·AE，∵AE= =5 k

∴GE= = k, ∴4GE=4 k,

∴AG=AE-GE=5 k- k=4 k,

∴AG=4GE.

例6．已知：如图，Rt△ABC中,∠ACB=900，CD⊥AB于D，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。

求证：AE·BF·AB=CD3。

证明：Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴CD2=AD·BD，

∴CD4=AD2·BD2，

又∵Rt△ADC中，DE⊥AC，Rt△BDC中，DF⊥BC，

∴AD2=AE·AC，BD2=BF·BC，

∴CD4=AE·BF·AC·BC，

又∵AC·BC=AB·CD，

∴CD4=AE·BF·AB·CD，

∴AE·BF·AB=CD3

说明：本题几次用到直角三角形中的重要等积式。请同学们熟记这些重要的等积式，并能运用它们解决问题。

测试

选择题

1．如图所示，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E，S矩形＝40cm2，S△ABE∶S△DBA＝1∶5，则AE的长为（）

A. 4 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 7 cm

2．如图，在□ABCD中，E是BC上的一点， AE交BD于点F，已知BE∶EC＝3∶1，S△FBE＝18，则S△FDA 的大小为（）。

A. 24

B. 30

C. 32

D. 12

3．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，且AE∶EB＝2∶1，AF⊥DE于G，交BC于F，则△AEG的面积与四边形BEGF的面积比为（）

A. 1∶2

B. 1∶4

C. 4∶9

D. 2∶3

4．如图，△ABC的底边BC＝a，高AD＝h，矩形EFGH内接于△ABC，其中E、F分别在边AC、AB上，G、H都在BC上，且EF＝2FG。则矩形EFGH的周长是（）。

A. B.

C. D.

5．如图，在△ABC中，∠B＝∠ADE＝∠CAD，，设△EBD、△ADC、△ABC的周长依次为m1、m2、m3。那么的值是( )。

A. 2

B. 4

C.

D.

答案与解析

答案：1、A 2、C 3、C 4、B 5、D

解析：

1．解∵∠BAD＝90°， AE⊥BD，

∴△ABE∽△DBA。

∴ S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2。

∵ S△ABE∶S△DBA＝1∶5，∴ AB2∶DB2＝1∶5，

∴ AB∶DB＝1∶。设AB＝k，DB＝k，

则AD＝。

∵ S矩形＝40cm2，∴ k·2k＝40。

∴ k＝2 。∴ BD＝k＝10，AD＝4 。

S△ABD＝BD·AE＝20，∴·10AE＝20

∴ AE＝4（cm）。故选A。

2．C。

3．分析易证△ABF≌△DAE。故知BF＝AE。

因AE∶EB＝2∶1，故可设AE＝2x，EB＝x，则AB＝3x，BF＝2x。

由勾股定理得AF＝＝。易证△AGE∽△ABF。

可得S△AGE∶S△ABF＝AE2∶AF2＝（2x）2∶（）2＝4∶13。

可得S△AGE∶S四边形BEGF＝4∶9。故选C。

4．分析：由题目条件中的EF＝2FG得，要想求出矩形的周长，必须求出FG与高AD＝h的关系。由EF ∥BC得△AFE∽△ABC，则EF与高h即可联系上。

解：设FG＝x，则

∵ EF＝2FG，∴ EF＝2x。

∵ EF∥BC，∴△AFE∽△ABC。

又AD⊥BC，设AD交EF于M，则 AM⊥EF。

∴。即。

∴。

解之，得 x＝

∴矩形EFGH的周长为6x＝。

评注：此题还可以进一步求出矩形的面积。若对题目再加一个条件：AB⊥AC，那么还可证出FG2＝BG·CH。通过这些联想，就会对题目的内在的联系有更深的理解，也会提高自己的数学解题能力。

5．解析：由∠CAD＝∠ADE，得AC∥DE，∴△ABC∽△EBD，又∠B＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC。

∴△ABC∽△EBD∽△DAC。即△EBD∽△DAC∽△ABC。再利用相似三角形的周长比等于相似比即可得出。

中考解析

例1．（重庆市）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB延长线于点E，则结论正确的是（）

（A）△AED∽△ACB （B）△AEB∽△ACD （C）△BAE∽△ACE （D）△AEC∽△DAC

考点：相似三角形的判定

评析：思路：根据相似三角形的判定方法，用排除法结合条件易选出正确选项。答案为C.

例2．（河北省）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，DE与AB相交于点E， EC与AD相交于点F。

（1）求证：△ABC∽△FCD；

（2）若S△FCD=5，BC＝10，求DE的长。

考点：相似三角形的性质、等腰三角形的性质

评析：思路：第1问因AD=AC，∴∠ACB=∠CDF，又D是BC中点，ED⊥BC，∴∠B=∠ECD，∴△ABC∽△FCD。

第2问利用相似三角形的性质，作AM⊥BC于M，易知S△ABC=4S△FCD。∴S△ABC=20，AM=4，又∵AM∥ED，∴

，再根据等腰三角形的性质，及中点，可以求出DE。

证明：（1）∵DE⊥BC，D是BC中点，

∴EB=EC，∴∠B=∠1.

又∵AD=AC，∴∠2=∠ACB，

∴△ABC∽△FCD.

（2）[方法一]：过点A作AM⊥BC，垂足为点M.

∵△ABC∽△FCD，BC=2CD，∴，

又∵S△FCD=5，∴S△ABC=20.

∵S△ABC= BC·AM，BC=10，∴20= ×10×AM，∴AM=4.

又∵DE∥AM，∴.

∵DM= DC= ，BM=BD+DM，BD= BC=5，

∴，∴DE= .

说明：本题也可运用△ABC∽△FCD，由相似比为2，证出F是AD的中点，通过“两三角

形等底、等高，则面积相等”，求出S△ABC=20.

[方法二]：作FH⊥BC，垂足为点H.

∵S△FCD= DC·FH，又∵S△FCD=5，DC= BC=5，

∴5= ×5×FH，∴FH=2.

过点A作AM⊥BC，垂足为点M，∵△ABC∽△FCD，

∴，∴AM=4.

又∵FH∥AM，

∴，∴点H是DM的中点.

又∵FH∥DE，∴.

∵HC=HM+MC= ，∴，∴DE= .

例3．（河南省）如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。

（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？

（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。

考点：相似三角形的判定及性质。

评析：本题是一个探索型的，它给出了一个条件，让你自己再添加一个条件，可使两个三角形相似，因此，首先想到相似的判定方法，因又限制了三条边关系，所以是以应边就成比例。当相似了对应角相等，易求∠APB。

答案：解：（1）∵△PCD是等边三角形，

∴∠PCD=∠PDC=60°，PD=PC=CD，

从而∠ACP=∠PDB=120°

∴当时，△ACP∽△PDB

即当CD2=AC·BD时，△ACP∽△PDB

（2）当△ACP∽△PDB时，∠APC=∠PBD.

∴∠APB=∠APC+∠CPD+∠DPB

=∠PBD+60°+∠DPB

=60°+60°

=120°.