函数的概念

（一） 、函数的概念

1、在某变化过程中，有两个变量x 、y ，如果对于x 在某个范围D 内的每一个确定的值．．．．．．．，按照某种对应法则f ，y 都有唯一．．确定的值与之对应，那么y 就是x 的函数，记作y=f （x ），x ∈D ；x 叫做自变量，D 为函数的定义域，函数值的集合叫做函数的值域；

（1）、函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .

当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件， （2）、当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数.

（3）、函数的图像特征：直线c x =与函数)(x f y =的图像最多有一个交点；

2、深刻理解函数的概念

【例1】、下列与函数y =x 是同一函数的是…………………（ ）

(A)2

x y = (B)x

x y 2

= (C)x a a y log = (D)x a a y log =

【例2】、下面哪一个图形可以作为函数的图象……………（ ）

(A) (B) (C) (D)

【例3】、已知函数

??

?

?

???

<+=>--=010,00,1)(x x x x x x f ；求))3((f f

练习1：.已知f （x ）=?

??<≥,0,0,

0,1x x 则不等式xf （x ）+x ≤2的解集是

____________

解析：x ≥0时，f （x ）=1， xf （x ）+x ≤2?x ≤1，∴0≤x ≤1； 当x ＜0时，f （x ）=0，

xf （x ）+x ≤2?x ≤2，∴x ＜0.综上x ≤1. 答案：{x |x ≤1}

【例4】（07北京文14）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出

则[(1)]f g 的值为 ；当[()]2g f x =时，x =

．

（二）

函数的定义域：

函数的定义域是函数的灵魂，对应法则是核心，研究函数的所有问题都要在函数的定义域内进行；忽略函数的定义域常常会导致错误； 1．

函数定义域的求法：

（a ）、根据函数的解析式：列出使函数有意义的自变量的不等式（或）不等式组，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为： ①分式的分母不为0；

②偶次根式中被开方数不小于0；

③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1； ④零指数幂的底数不等于零； ⑤实际问题要考虑实际意义等. 【例5】求函数下列的定义域

. ⑴02)23(3

|3|)lg(-+-+-=x x x x y

⑵、x x y cos lg 252--=

【例6】、函数a

ax ax x f 1

)(2+-=的定义域为R ，那么实数a 的取值范围是 .

练习2、函数3

44

)(2

3

++-=ax ax x x f 的定义域为R ，那么实数a 的取值范围

是 -------------------------------------------------………（ ） (A )(－∞，+∞) (B )(0，43) (C ) (－43，+∞) (D ))4

3,0[ （b ）、复合函数的定义域：设函数)(u f y =1D u ∈和)(x g u =2D x ∈，则y 关于x 的函数)]([x g f y =称为)(u f y =和)(x g u =的复合函数， 复合函数)]([x g f y =的定义与有不等式组??

?∈∈2

1

)(D x D x g 的解集确定

【例7】（1）、已知函数)(x f 的定义域为（0，2]，则函数)12(-=x f y 的定义域为 .；函数)(log 2x f y =的定义域为 . （2）、已知函数)2(1-x f 的定义域为[1，2]，则函数)(x f y =的定义域为 .； （c ）、函数的运算

若)(x f y =1D x ∈和)(x g y =2D x ∈，则函数)()(x g x f y ±=、

)()(x g x f y ?=的定义域为21D D x ∈函数)(/)(x g x f y =的定义域为

}0)(|{21≠∈x g x D D x

【例8】已知函数)(x f 的定义域为[-1，1]，则函数)

1()()(>+=a a

x

f ax f y 的定义域为 .；答案??

????-a a 1

,1 （三） 函数的解析式：

求函数解析式常用的几种方法：待定系数法、换元法（代换法）、解方程法、

1、换元（或代换）法：

【例8】：（1）、已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f .

（2）、已知,1

1)1(2

2x x x x x f ++=+求)(x f . 练习：设x x f 2cos )1(cos =-，求)(x f .

2、待定系数法：

【例9】:二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f 。 ⑴求)(x f 的解析式；

⑵在区间]1,1[-上，)(x f y =的图象恒在m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围。

[解析⑴设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则

22(1)()[(1)(1)]()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b

+-=+++-++=++

与已知条件比较得：22,0a a b =??+=?解之得，1,

1a b =??=-?又(0)1f c ==，

2()1f x x x ∴=-+

⑵由题意得：212x x x m -+>+即231m x x ≤-+对[]1,1x ∈-恒成立， 易得2min (31)1m x x <-+=- 3、解方程的思想

【例10】(1)、已知函数)(x f 满足x x

f x f 3)1(2)(=+，求)(x f （2）、已知函数)(x f 为偶函数，)(x

g 为奇函数，且)(x f +)(x g =1

1-x 求)(x f 、)(x g

1）、因为 x x

f x f 3)1(2)(=+①

以x 1

代x 得 x x f x f 13)(21(?=+②)0(2)(≠-=x x x

x f 由①②联立消去)1(x

f 得

高考体验

为了预防流感，某学校对教室用药

物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为（a 为常数），

如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：

（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ；

（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。

a y - ?

? ? ? ? = t 16 1

[思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y （毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（Ⅱ）

[解析] （Ⅰ）观察图象，当1.00≤≤t 时是直线，故t y 10=；当1.0≥t 时，图象过)1,1.0(

所以a

-?

??

??=1.01611，即1.0=a ，所以?????>≤≤=-1.0,)16

1(1

.00,101

.0t t t y t （Ⅰ）6.016116125.01615

.01.01.0≥???

? ??≤?

??

???≤?

?

?

??--t a

a

，

所以至少需要经过6.0小时