2010清华自主招生物理试题解析

赏析自主招生试题快速提高解题能力

-----------------2010年清华五所高校自主招生《物理试题》赏析

今年一月，清华五所高校（清华大学、中国科大、上海交大、南京大学、西安交大）联合自主招生的消息在全国教育界引起了广泛关注。五所高校合作自主选拔采用的《通用基础测试自然科学》试卷自然也就蒙上了一层神秘的面纱，同时在全国高中理科教师中也引起一定的兴趣和好奇，特别是物理部分由国家教育部考试中心命制，更是让高三物理教师感到试题的权威性和导向性。

不言而喻，赏析高校自主招生试题，是当今高三理科尖子生迫切需要的，而研究更是高三物理教师的一种责任和追求。揭开2010清华五校自主招生试题神秘面纱，2010年清华五校自主招生《通用基础测试自然科学》，整个卷面试题数为16题，其中物理题总数（11）、化学题总数（5），试卷满分分值为100分，物理占70分、化学占30分。试题题型分为混选选择题（30分），其中物理7题（21分）、化学3题（9分）；实验题(物理12分)；推理论证题（32分），其中化学2题（21分）、物理1题（11分）；计算题（26分）、物理2题。仔细研读试卷（物理部分），我们明显感到：试题以考查能力立意，特别注重物理思想和方法的考查，将大学普通物理（高中物理竞赛内容）和中学物理有机的衔接在一起，突出考查了尖子生的理解能力、推理能力、分析综合能力、应用数学处理物理问题的能力和实验能力，重点突显选拔功能。试题将物体平衡、胡克定律、牛顿动力学、相对加速度、动能定理、机械能守恒定律、引力势能、能量守恒定律、动量守恒定律、万有引力定律、库仑定律、平行板电容器公式、电场力、匀强电场、匀强磁场、稳恒电路、欧姆定律、分压原理、洛伦兹力、电磁感应、正弦交流电的有效值、振动和波、爱因斯坦光电效应方程等物理知识考点和规律科学融入于物理试题部分。物理理论所具有的精确简洁之美，物理现象具有的奇妙瑰丽之美，知识结构具有的和谐优雅之美自然流露，跃然纸上，令人拍手叫绝。试题模型经典常规（斜面、弹簧、线球、天体、导线框模型），图像图形考查到位，文字表述科学流畅，结构严谨、科学合理。

通读和解答试题，我们感到这份《物理试题》的定位介于高考和竞赛之间，是一份选拔高素质尖子生的优秀试题，应该说这份试题达到了他的选拔功能，圆满地完成了它的光荣历史使命。为了让2011届即将参加重点一类大学自主招生的莘莘学子们对其试题有更深入的了解，在今年的重点高校自主招生中稳操胜券，同时给高三物理教师提供一个研究的范例，特将2010五校合作自主选拔通用基础测试自然科学（物理部分）详解出来，以飨读者。

2010年五校合作自主选拔通用基础测试

自然科学（物理部分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有一个或多个选项是正确的，把正确选项前的字母填在答题卡上。

1．在光滑的水平面上有一质量为M、倾角为θ的光滑斜面，其上有一质量为m的物块，如图所示。物块在下滑的过程中对斜面压力的大小为（ C ）

A. θcos θsin m M θcos Mmg +

B. θcos θsin m M θcos Mmg -

C. θsin m M θcos Mm g 2+

D. θsin m M θcos

Mmg 2- 分析和解：设物块对斜面的压力为N ，物块m 相对斜面的加速度为a 1，斜面的加速度为a 2，方向向左；则物块m 相对地面的加速度为a x =a 1cos θ – a 2，a y =a 1sin θ，由牛顿第二定律得： 对m 有 )a cos a (m sin N 21-=θθ θθsin ma cos N 1= 对M 有 2Ma sin N =θ 解得 θθ2sin m M cos Mmg N += 故选C 正确。

2．如图所示，用等长绝缘线分别悬挂两个质量、电量都相同的带电小球A 和B ，两线上端固定于O 点，B 球固定在O 点正下方。当A 球静止时，两悬线夹角为

θ.能保持夹角θ不变的方法是 （ BD ）

A ．同时使两悬线长度减半

B ．同时使A 球的质量和电量都减半

C ．同时使两球的质量和电量都减半

D ．同时使两悬线长度和两球的电量都减半

分析和解：设两球距离为d ，分析A 球的受力如图示，图中

,d q q k F B A 2?= 由平衡条件得,d q q k F /sin mg ,mg T B A 222?===θ 同时使两悬线长度减半,则d 减半，不能满足上式，A 错； 同时使A 球的质量和电量都减半，上式仍然能满足，B 正确；

同时使两球的质量和电量都减半，不能满足上式，C 错；

同时使两悬线长度和两球的电量都减半, 则d 、q 1、q 2减半，上式仍然能满足，D 正确。

3．匀强磁场中有一长方形导线框，分别以相同的角速度绕图a 、b 、c 、d 所示的固定转轴旋转，用I a 、I b 、I c 、I d 表示四种情况下

线框中电流的有效值，则 （ AD ）

A ．I a =I d

B ．I a > I b

C ．I b > I c

D ．I c =I d

分析和解：由 E m =NBS ω, E m =2E, I=E/R,联立求解可得I=R

2NBS ω,故选A.D 正确。 4．如图，在xOy 平面内有一列沿x 轴传播的简谐横波，频率为2.5 Hz 。在t =0时，P 点位于平衡位置，且速度方向向下，Q 点位于平衡位置下方的最大位移处。则在t = 0.35 s 时，P 、Q 两质点的 （ ABD ）

A ．位移大小相等、方向相反

B ．速度大小相等、方向相同

C ．速度大小相等、方向相反

b

d

D ．加速度大小相等、方向相反

分析和解：T =0.4s ，在t =0时的波形如图示。

由波的周期性，t = 0.35 s=7T /8时的波形与t = -T /8时的波形相同， 如图虚线示，可见选项ABD 正确。

5．在光电效应实验中，先后用频率相同但光强不同的两束光照射同一个光电管。若实验a 中的光强大于实验b 中的光强，实验所得光电流I 与光电管两端所加电压U 间的关系曲线分别以a 、b 表示，则下列4图中可能正确的是 （ A ）

分析和解：由光电效应现象的规律，饱和光电流与照射光的强度成正比，选项C 、D 错；由光电效应方程,W h mv m -=ν22

1反向截止电压U 反决定于照射光的频率，图线与U 轴的交点坐标值为反向截止电压，可见选项B 错A 正确。

6．如图，圆形区域内有一垂直纸面的匀强磁场，P 为磁场边界上的一点。有无

数带有同样电荷、具有同样质量的粒子在纸面内沿各个方向以同样的速率通过P

点进入磁场。这些粒子射出边界的位置均处于边界的某一段弧上，这段圆弧的

弧长是圆周长的1/3。将磁感应强度的大小从原来的B 1变为B 2，结果相应的弧

长变为原来的一半，则B 2/B 1等于（ D ）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．3 分析和解：设圆形区域磁场的半径为r ，磁感应强

度的大小为B 1时，从P 点入射的粒子射出磁场时

与磁场边界的最远交点为M ，（见答图甲）由题意

知∠POM =120°，则该带电粒子在磁场中的运动

轨迹是以PM 为直径的园。由几何关系得轨迹圆半径为,r R 31=磁感应强度的大小为B 2时，从P 点入射的粒子射出磁场时与磁场边界的最远交点为N ，（见答图乙）由题意知∠PON =60°，由几何关系得轨迹圆半径为R 2=r ，,B qB m v R 1∝=所以.R R B B 32

112==

7．在光滑的水平桌面上有两个质量均为m 的小球，由长度为2l 的拉紧细线相连。以一恒力作用于细线中点，恒力的大小为F ，方向平行于桌面。两球开始运动时，细线与恒力方向垂直。在两球碰撞前瞬间，两球的速度在垂直于恒力方向的分量为 （ B ）

A ．

m Fl 2 B ．m Fl C ．m Fl 2 D ．m

Fl 2 分析和解：设两球的速度沿恒力方向的分量为v x ，在垂直于恒力方向的分量为v y ，在两球碰A

D

B

撞前瞬间，两球的速度的两个分量大小相等，即v x =v y ，恒力F 的位移为2l ，由动能定理得

22222122122y y x mv mv mv l F =?+?=? m

Fl v y =∴

二、实验题：共12分。根据题目要求作答。

11．（12分）右图为一直线运动加速度测量仪的原理示意图。A 为U 型底座，其内部放置一绝缘滑块B ；B 的两侧各有一弹簧，它们分别固连在A 的两个内侧壁上；滑块B 还与一阻值均匀的碳膜电阻CD 的滑动头相连（B 与A 之间的摩擦

及滑动头与碳膜间的摩擦均忽略不计），如图所示。电阻CD 及其滑动头与另外的电路相连（图中未画出）。 工作时将底座A 固定在被测物体上，使弹簧及电阻C D 均与物体的运动方

向平行。当被测物体加速运动时，物块B 将在弹簧的作用下，以同样的加速度运动。通过电路中仪表的读数，可以得知加速度的大小。

已知滑块B 的质量为0.60 kg ，两弹簧的劲度系数均为2.0×102 N/m ，CD 的全长为9.0 cm ，

被测物体可能达到的最大加速度为20m/s 2（此时弹簧仍为弹性形变）；另有一电动势为9.0 V 、

内阻可忽略不计的直流电源，一理想指针式直流电压表及开关、导线。

设计一电路，用电路中电压表的示值反映加速度的大小。要求：

①当加速度为零时，电压表指针在表盘中央；

②当物体向左以可能达到的最大加速度加速运动时，电压表示数为满

量程。（所给电压表可以满足要求）

(1)完成电路原理图。

(2)完成下列填空：（不要求有效数字）

①所给的电压表量程为______V ；

②当加速度为零时，应将滑动头调在距电阻的C 端 cm 处；

③当物体向左做减速运动，加速度的大小为10 m/s 2时，电压表示数为 V 。 答：(1)电路原理图如答图1所示。 (2)①6.0 ②3.0 ③1.5 分析和解：(2) 当加速度为零时，应将滑动头调在距电阻的C 端l 0 cm 处，（答图2）

电压表指针在表盘中央，U 1=U /2

当物体向左以最大加速度a m =20m/s 2加速运动时，弹簧的形变量为x 2

（答图3） cm 3m 0302002206022==??==..k ma x m 此时电压表示数为满量程，U 2=U 由比例关系2002x l U l /U l E +==，解得l 0=3.0 cm ，U =6.0V . 当物体向左做减速运动，加速度的大小为a 3=10 m/s 2时，弹簧的形变量为x 3（答图4）电压表示数为U 3，

cm 51m 0150200

21060233...k m a x ==??== ,x l U l E 3

03-= 解得U 3=1.5V 评分参考：本题12分。第(1)问3分；第(2)问共9分，①②③各3分。

三、推理、论证题：共32分。解答时应写出必要的文字说明和推理过程。

14.（11分）A 、B 、C 三个物体（均可视为质点）与地球构成一个系统，三个物体分别受恒外力F A 、F B 、F C 的作用。在一个与地面保持静止的参考系S 中，观测到此系统在运动过程中动量守恒、机械能也守恒。S'系是另一个相对S 系做匀速直线运动的参考系，讨论上述系统的动量和机械能在S'系中是否也守恒。（功的表达式可用W F =F .S 的形式，式中F 为某个恒力，S 为在力F 作用下的位移）

解答：在S 系中，由系统在运动过程中动量守恒可知，

F A +F B +F c =0 ①

设在很短的时间间隔Δt 内，A 、B 、C 三个物体的位移分别为C B A S S S ???和、

由机械能守恒有0=??+??+??C C B B A A S F S F S F

②

并且系统没有任何能量损耗，能量只在动能和势能之间转换。③

由于受力与惯性参考系无关，故在S'系的观察者看来，系统在运动过程中所受外力之和仍为零，即

F A +F B +F c =0 ④

所以，在S' 系的观察者看来动量仍守恒。 ⑤

设在同一时间间隔Δt 内，S'系的位移为ΔS'，在S'系观察A 、B 、C 三个物体的位移分别为C B A S S S '?'?'? 和、，且有 A A S S S '?+'?=? B B S S S '?+'?=? C C S S S '?+'?=? ⑥

在S'系的观察者看来外力做功之和为 C C B B A A S F S F S F '?+'?+'?? ⑦ 联立⑥⑦式可得 S )F F F (S F S F S F )S S (F )S S (F )S S (F C B A C C B B A A C C B B A A '??++-??+??+??='?-??+'?-??+'?-?? 由①②式可知0=??+??+??C C B B A A S F S F S F ⑧

即在S'系中系统的机械能也守恒。 ⑨

评分参考：本题11分。①②式各1分，得出结论③给1分，得出动量守恒结论⑤给2分，⑥⑦式各1分，⑧式2分，得出机械能守恒结论⑨给2分。

四、计算题：共26分。解答时应写出必要的文字说明、方程式和主要演算步骤。只写出最后结果的不能得分。

15.（12分）卫星携带一探测器在半径为3R (R 为地球半径)的圆轨道上绕地球飞行。在a 点，卫星上的辅助动力装置短暂工作，将探测器沿运动方向射出（设辅助动力装

置喷出的气体质量可忽略）。若探测器恰能完全脱离地球的引力，而卫星沿新

的椭圆轨道运动，其近地点b 距地心的距离为nR (n 略小于3)，求卫星与探测器的质量比。

（质量分别为M 、m 的两个质点相距为r 时的引力势能为-GMm /r ，式中G 为

引力常量）

分析和解：设地球质量为M ，卫星质量为m ，探测器质量为m'，当卫星与探测器一起绕地球做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定律得 R

v )m m ()R ()m m (GM 332

2'+='+ ① R

GM v 32= ②

设分离后探测器速度为v'，探测器刚好脱离地球引力应满足

03212='-''R

m GM v m ③ v R

GM v 232==' ④ 设分离后卫星速度为u ，由机械能守恒定律可得

R

GMm mu nR GMm mv 3212122-=-近 ⑤ 由开普勒第二定律有

nRv 近=3Ru ⑥

联立解得

v n

n u +=32 ⑦ 由分离前后动量守恒可得

(m + m')v =mu + m'v' ⑧

联立④⑦⑧式得

n

n m m +--='32112 ⑨ 评分参考：本题12分。①②式各1分，③式2分，④式1分，⑤⑥式各2分，⑦⑧⑨式各1分。

16.（14分）如图，三个面积均为S 的金属板A 、B 、C 水平放置，A 、B 相距d 1，B 、C 相距d 2，A 、C 接地，构成两个平行板电容器。上板A 中央

有小孔D 。B 板开始不带电。质量为m 、电荷量为q （q >0）的液滴从小孔

D 上方高度为h 处的P 点由静止一滴一滴落下。假设液滴接触B 板可立即 a

C

将电荷全部传给B 板。油滴间的静电相互作用可忽略，重力加速度取g 。

(1)若某带电液滴在A 、B 板之间做匀速直线运动，此液滴是从小孔D 上方落下的第几滴？

(2)若发现第N 滴带电液滴在B 板上方某点转为向上运动，求此点与A 板的距离H 。

（以空气为介质的平行板电容器电容C =S /(4πkd )， 式中S 为极板面积，d 为极板间距，k 为静电力常量。）

分析和解：(1)根据题意，A 、B 板与B 、C 板构成的两个平行板电容器的电容分别为 1

14kd S C π= ① 224kd S C π=

② 设第n 滴带电液滴可在A 、B 板之间做匀速直线运动。当第n 滴带电液滴处于A 、 B 板之间时，B 板所带电荷量为

Q 1+Q 2=（n －1）q ③

式中，Q 1和Q 2分别为金属板B 上下两个表面上的电荷量。设B 板电势为U ，则 Q 1=C 1U ④

Q 2=C 2U ⑤

A 、

B 板之间的电场强度为 E 1=U/d 1 ⑥

由于第n 滴带电液滴在A 、B 板之间做匀速直线运动，有

qE 1=mg ⑦ 联立以上各式得1142

12++=)d d (kq mgS n π ⑧ (2)当第N －1滴带电液滴在B 板上时，(1)中①至⑤仍有效，相应的B 板电势以及其上下表面所带电荷量分别记为U'、Q 1'和Q 2'。B 板所带电荷量为

Q 1'+ Q 2' =(N －l)q ⑨

按题意，第N 滴带电液滴会在下落到离A 板距离为H （H

U d H U H '='1

⑩ 由能量守恒得

)(H h mg U q H

+=' ⑾ 由①②④⑤⑨⑩式得

)

d /d (mgS )N (kq )d /d (mghS H 212211141+--+=π ⑿ 评分参考：本题14分。③式2分，④⑤⑥⑦式各1分，⑥式3分，⑨式1分，⑾⑿式各2分。

对“第27届全国中学生物理竞赛预赛”第八题的讨论与分析

【原题】——第27届全国中学生物理竞赛预赛第8题

选择合适的卫星发射地发射卫星， 对提高运载效率、节省燃料等方面都有影响（特别是对同步卫星的发射)。如果在地球表面纬度为?处发射一颗绕地球表面运行的人造卫星，假设地球可视为质量均匀分布的球体,已知地球自转的角速度为ω,地球半径为R,地球表面处的重力加速度为g,卫星质量为m ，则至少要给卫星的能量为 。设重力加速度2/8.9s m g =，地球半径m R 61040.6?=,卫星质量kg m 31000.1?=,若发射地在酒泉，其纬度为北纬40度58分，则所需的能量为 J ；若发射地在文昌,其纬度为北纬19度19分, 则所需的能量为 J 。

【答案】2)cos (2

1?ωR Rg m -；101085.2?；101080.2? 今年的预赛评卷，在阅卷过程中发现学生出现较多的解答是：

?ω222cos 2

121R m mRg -；1010130.3?；1010126.3?。 【雾里看花】从我自己带的学生中了解到，其实，这两种答案他们都能算出来，就是不知道这两种答案的区别在哪里，也弄不清楚这个能量的本质算法，所以糊里糊涂就填了一个。以上两种关于人造地球卫星发射能量计算结果完全不同, 表面上看是参考系的选择不同而造成的差异，其实不然。我们知道以相同的方式发射到一定轨道的卫星所需的能量肯定是一样的，这是客观事实，不可能因为参考系的选择不同而不同，那么究竟是什么原因造成上述情况的呢？通过下面的分析我们会发现，其实并不是说以地面为参考系答案是2)cos (21?ωR Rg m -，以地心为参考系答案是?ω222cos 2

121R m mRg -，而且前者的说法容易给人造成误解，误认为是以地面为参考系相对速度是?ωcos R Rg -，所以需要的能量是2)cos (2

1?ωR Rg m -，这个公式其实是一个近似公式。 【拨云见雾】在发射卫星的过程，从能量的角度来说是燃料的化学能转化为发射过程中的所需要的机械能。学生在解决问题过程中就是在这个机械能上出现了偏差，从而导致了思维的混乱。我们不妨把发射卫星的过程简化，看作是由发射过程喷出来的气体和卫星的爆炸分离过程，这个过程中不但卫星获得了机械能，气体也获得了机械能。以地心为参考系，设气体和卫星的总质量为M ，卫星质量为1m ，则气体的质量为12m M m -=。M 的初速度为?ωcos 0R v =,假设分离以后1m 的速度为1v （与0v 方向相同），Rg v =

1,

根据动量守恒可得气体的速度为 1

1102m M v m Mv v --= 则相对地心系来说所需的能量为

202222112

12121Mv v m v m E -+=? 将12m M m -=,1

1102m M v m Mv v --=代入得到 1

2

011)(21m M v v Mm E --=? 当卫星的质量1m 远小于质量M 时。就可以近似的认为2011)(2

1v v m E -=?，代入1v 、0v 即试卷提供的参考答案。

这样子，我们就以地心为参考系得到了正确的发射能量。所以说并不是以地面为参考系更合理，而是因为气体和卫星这个系统总的机械能的增量近似为这个值，与参考系的选择无关。不信的话，我们继续往下看。

若以地面为参考系，则00=v ，?ωcos 1R Rg v -=

根据动量守恒可得气体的速度为 1

112m M v m v --= 则相对地面系来说所需的能量为 20222211212121Mv v m v m E -+=

? 将12m M m -=、1

112m M v m v --=代入得到 211121v m M Mm E -=

? 此时?ωcos 1R Rg v -=，所以以地面为参考系也可以得到同样的结论。

本题的命题教师混淆了两个最基本的问题——“发射卫星所需能量”和“卫星增加能量”。“发射卫星所需能量”指的是卫星动能的变化量和发射附件动能变化量的总和，因为发射卫星是一个系统工程，在卫星获得动能的同时发射附件肯定也获得相当的能量；而“卫星增加能量”其研究对象就是卫星，就是卫星增加的机械能。所以在本题中我们可以发现第一空格的答案是有问题的，“至少要给卫星的能量”指的就应该是卫星机械能的改变量，由于是低空发射，不考虑引力势能的改变，故卫星机械能的改变量就是卫星动能的增量，即问题的答案应该就是?ω222cos 2

121R m mRg -；而后两问才是发射过程系统所需能量，应该用公式2)cos (2

1?ωR Rg m -来算。物理竞赛作为选拔人才的考试，出现这样的错误实在是不应该的！谨以此文对这个错误进行辨析与批判，以示警钟。