高中物理万有引力定律的应用专题训练答案及解析

高中物理万有引力定律的应用专题训练答案及解析

一、高中物理精讲专题测试万有引力定律的应用

1．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似为圆形，距月球表面高度为H ，飞行周期为T ，月球的半径为R ，引力常量为G ．求：

(1) “嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小； (2)月球的质量；

(3)若发射一颗绕月球表面做匀速圆周运动的飞船，则其绕月运行的线速度应为多大． 【答案】（1）(

)2R H T

π+（2）

()3

22

4R H GT π+（3）

()2R H R H

T

R

π++ 【解析】

（1）“嫦娥一号”绕月飞行时的线速度大小12π()

R H v T

+=． （2）设月球质量为M ．“嫦娥一号”的质量为m ．

根据牛二定律得222

4π()()R H Mm

G m R H T +=+

解得23

2

4π()R H M GT +=

． （3）设绕月飞船运行的线速度为V ，飞船质量为0m ，则2

002Mm V G m R

R =又

23

2

4π()R H M GT +=

． 联立得()2πR H R H

V T

R

++=

2．某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间． 【答案】

2

03

t gR r ω=

-或者202

t gR r ω=

-

【解析】

【分析】 【详解】

试题分析：根据人造卫星的万有引力等于向心力，列式求出角速度的表达式，卫星再次经过某建筑物的上空，比地球多转动一圈．

解：用ω表示航天飞机的角速度，用m 、M 分别表示航天飞机及地球的质量，则有

22Mm

G

mr

r

ω= 航天飞机在地面上，有2mM

G R

mg = 联立解得22gR r

ω=

若ω>ω0，即飞机高度低于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π 所以

2

02

t gR r ω=

- 若ω<ω0，即飞机高度高于同步卫星高度，用t 表示所需时间，则ω0t －ωt ＝2π 所以

202

t gR r ω=

-

． 点晴：本题关键：（1）根据万有引力提供向心力求解出角速度；（2）根据地球表面重力等于万有引力得到重力加速度表达式；（3）根据多转动一圈后再次到达某建筑物上空列式．

3．在地球上将一轻弹簧竖直固定在水平桌面上，把质量为m 的物体P 置于弹簧上端，用力压到弹簧形变量为3x 0处后由静止释放，从释放点上升的最大高度为4.5x 0，上升过程中物体P 的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中实线所示。若在另一星球N 上把完全相同的弹簧竖直固定在水平桌面上，将物体Q 在弹簧上端点由静止释放，物体Q 的加速度a 与弹簧的压缩量x 间的关系如图中虚线所示。两星球可视为质量分布均匀的球体，星球N 半径为地球半径的3倍。忽略两星球的自转，图中两条图线与横、纵坐标轴交点坐标为已知量。求：

(1)地球表面和星球N 表面重力加速度之比； (2)地球和星球N 的质量比；

(3)在星球N 上，物体Q 向下运动过程中的最大速度。 【答案】(1)2:1(2)2:9(3)003

2

v a x = 【解析】 【详解】

（1）由图象可知，地球表面处的重力加速度为 g 1=a 0 星球N 表面处的重力加速度为 g 2=00.5a 则地球表面和星球N 表面重力加速度之比为2∶1 （2）在星球表面，有

2

GMm

mg R

= 其中，M 表示星球的质量，g 表示星球表面的重力加速度，R 表示星球的半径。则

M =2gR G

因此，地球和星球N 的质量比为2∶9

（3）设物体Q 的质量为m 2，弹簧的劲度系数为k 物体的加速度为0时，对物体P ：

mg 1=k·x 0

对物体Q ：

m 2g 2=k ·3x 0

联立解得：m 2=6m

在地球上，物体P 运动的初始位置处，弹簧的弹性势能设为E p ，整个上升过程中，弹簧和物体P 组成的系统机械能守恒。根据机械能守恒定律，有：

1004.5p E mg h ma x ==

在星球N 上，物体Q 向下运动过程中加速度为0时速度最大，由图可知，此时弹簧的压缩量恰好为3x 0，因此弹性势能也为E p ，物体Q 向下运动3x 0过程中，根据机械能守恒定律，有：

m 2a 23x 0=E p+

221

2

m v 联立以上各式可得，物体P 的最大速度为v =

003

2

a x

4．某课外小组经长期观测，发现靠近某行星周围有众多卫星，且相对均匀地分布于行星周围，假设所有卫星绕该行星的运动都是匀速圆周运动，通过天文观测，测得离行星最近的一颗卫星的运动半径为R 1，周期为T 1，已知万有引力常量为G 。求： (1)行星的质量；

(2)若行星的半径为R ，行星的第一宇宙速度大小；

(3)研究某一个离行星很远的该行星卫星时，可以把该行星的其它卫星与行星整体作为中心

天体处理。现通过天文观测，发现离该行星很远处还有一颗卫星，其运动半径为R2，周期为T2，试估算靠近行星周围众多卫星的总质量。

【答案】（1）（2）（3）

【解析】（1）根据万有引力提供向心力得：

解得行星质量为：M=

（2）由

得第一宇宙速度为：

（3）因为行星周围的卫星分布均匀，研究很远的卫星可把其他卫星和行星整体作为中心天

体，根据万有引力提供向心力得：

所以行星和其他卫星的总质量M总＝

所以靠近该行星周围的众多卫星的总质量为：△M ＝

点睛：根据万有引力提供向心力，列出等式只能求出中心体的质量．要求出行星的质量，我们可以在行星周围找一颗卫星研究，即把行星当成中心体．

5．如图所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心．

(1)求卫星B的运行周期．

(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？

【答案】(1)

3

2

()

2

B

R h

T

gR

+

=2

3

()

t

gR

R h

ω

=

-

+

【解析】 【详解】

（1）由万有引力定律和向心力公式得()

()2

2

24B Mm

G

m R h T R h π=++①，2

Mm G mg R =②

联立①②解得：()

3

2

2B R h T R g

π

+=③

（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()

2

3

B gR R h ω=

+⑤

代入④得

()

203

t R g

R h ω=

-+

6．地球同步卫星，在通讯、导航等方面起到重要作用。已知地球表面重力加速度为g ，地球半径为R ，地球自转周期为T ，引力常量为G ，求： （1）地球的质量M ；

（2）同步卫星距离地面的高度h 。

【答案】(1) (2)

【解析】 【详解】

（1）地球表面的物体受到的重力等于万有引力，即：mg=G

解得地球质量为：M=

；

（2）同步卫星绕地球做圆周运动的周期等于地球自转周期T ，同步卫星做圆周运动，万有

引力提供向心力，由牛顿第二定律得：

解得：；

【点睛】

本题考查了万有引力定律的应用，知道地球表面的物体受到的重力等于万有引力，知道同步卫星的周期等于地球自转周期、万有引力提供向心力是解题的前提，应用万有引力公式与牛顿第二定律可以解题．

7．2018年5月21日5时28分，我国在西昌卫星发射中心用长征四号丙运载火箭，成功

将探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”号中继星发射升空，进入预定轨道．设“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球做匀速圆周运动的周期为T ，已知地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ．求：

（1）“鹊桥”号中继星离地面的高度h ； （2）“鹊桥”号中继星运行的速度大小v ；

（3）“鹊桥”号中继星在轨道上绕地球运行的向心加速度大小．

【答案】（1）h R =（2）v =3）a =【解析】 【分析】 【详解】

(1)设地球质量为M ，“鹊桥”号中继星的质量为m ，

万有引力提供向心力：2

224()()Mm G

m R h R h T π=++ 对地面上质量为'

m 的物体有：'

'2Mm G m g R

=

联立解得：h R =

(2)“鹊桥”号中继星速度大小为：2()

R h v T

π+=

联立解得：v = (3)“鹊桥”号中继星的向心加速度大小为：2

v a R h

=+

得：a = 【点睛】

万有引力问题的运动，一般通过万有引力做向心力得到半径和周期、速度、角速度的关系，然后通过比较半径来求解.

8．我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射。量子卫星成功运行后，我国已首次实现了卫星和地面之间的量子通信，成功构建了天地体化的量子保密通信与科学实验体系。假设量子卫星轨道在赤道平面， 如图所示。已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，求量子卫星的线速度与P 点的线速度之比。

【答案】

【解析】试题分析：研究量子卫星和同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，求出两颗卫星的线速度；研究地球赤道上的点和同步卫星，具有相等角速度，求P点的线速度，从而比较量子卫星的线速度与P点的线速度之比。

设地球的半径为R，对量子卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

对同步卫星，根据万有引力提供向心力

则有：，又

解得：

同步卫星与P点有相同的角速度，则有：

解得：

则量子卫星的线速度与P点的线速度之比为

【点睛】求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再根据表达式进行比较．向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．

9．据报道，科学家们在距离地球20万光年外发现了首颗系外“宜居”行星．假设该行星质量约为地球质量的6倍，半径约为地球半径的2倍．若某人在地球表面能举起60kg的物体，试求：

（1）人在这个行星表面能举起的物体的质量为多少？

（2）这个行星的第一宇宙速度是地球第一宇宙速度的多少倍？ 【答案】（1）40kg （2）3倍 【解析】 【详解】

（1）物体在星体表面的重力等于物体受到的万有引力，又有同一个人在两个星体表面能举

起的物体重力相同，故有：22

GM m GM m

mg m g R R ''行地地行

地行＝＝＝； 所以，2221

260406

R M m m kg kg M R '???行地行地＝

＝＝； （2）第一宇宙速度即近地卫星的速度，故有：2

2 GMm mv R R

＝

所以，GM

v R

=

；所以，1 632v M R v M R 行行地地地行＝

＝＝??；

10．阅读如下资料，并根据资料中有关信息回答问题 (1)以下是地球和太阳的有关数据

(2)己知物体绕地球表面做匀速圆周运动的速度为v ＝7.9km/s ，万有引力常量G ＝6.67×l0－

11

m 3kg －1s －2，光速C ＝3×108ms －1；

(3)大约200年前法国数学家兼天文学家拉普拉斯曾预言一个密度如地球，直径为太阳250倍的发光星体由于其引力作用将不允许任何光线离开它，其逃逸速度大于真空中的光速2倍），这一奇怪的星体就叫作黑洞．

在下列问题中，把星体（包括黑洞）看作是一个质量分布均匀的球体．（①②的计算结果用科学计数法表达，且保留一位有效数字；③的推导结论用字母表达） ①试估算地球的质量；

②试估算太阳表面的重力加速度；

③己知某星体演变为黑洞时的质量为M ，求该星体演变为黑洞时的临界半径R ． 【答案】（1）6×1024kg （2）32310/m s ?（3）2

2GM

C 【解析】

(1)物体绕地球表面做匀速圆周运动2

2

m GM v m R R

=地地

解得：2

R v M G

=地＝6×1024kg (2)在地球表面2

m

GM mg R =地地地

解得：2

G R M g =

地

地地

同理在太阳表面2

G R M g =

日

日日

2

32

2g g 310/M R m s M R ==?日地日地

日

地 (3)第一宇宙速度212v GMm

m R R

=

第二宇宙速度21v c == 解得：22GM R C

=

【点睛】本题考查了万有引力定律定律及圆周运动向心力公式的直接应用，要注意任何物体（包括光子）都不能脱离黑洞的束缚，那么黑洞表面脱离的速度应大于光速．