(新)高中立体几何经典练习题(最新版)

1.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，CB⊥平面PAB，AD∥BC，且PA=PB=AB=BC=2AD=2．

（Ⅰ）求证：平面DPC⊥平面BPC；

（Ⅱ）求二面角C﹣PD﹣B的余弦值．

2.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，且PA=AD=2，，

E、F分别为AD、PC中点．

（1）求点F到平面PAB的距离；（2）求证：平面PCE⊥平面PBC；

（3）求二面角E﹣PC﹣D的大小．

3.《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图,在阳马P ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,过棱PC的中点E,作EF⊥PB交PB于点F,连接DE,DF,BD,BE.

(1)证明:PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑;

(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为,求的值.

4.如图所示三棱柱111C B A ABC -中，⊥1AA 平面ABC ，四边形ABCD 为平行四边形，CD AD 2=，CD AC ⊥.

（Ⅰ）若AC AA =1,求证：⊥1AC 平面CD B A 11；

（Ⅱ）若D A 1与1BB 所成角的余弦值为721，求二面角11C D A C --的余弦值.

5.在直角梯形ABCD 中，//,,3,2,AB CD AD AB DC AB ⊥== 1,AD =,1AE EB DF ==,现把EF 它沿折起，得到如图所示的几何体，连接,,DB AB DC ，使 5.DC =

（1）求证：平面DBC ⊥平面DFB ；

（2）判断在线段DC 上是否存在一点H ，使得二面角E BH C --的余

弦值为306-

，若存在，确定H 的位置，若不存在，说明理由.

6.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，24AB AD ==，23BD =，PD ⊥底面ABCD ．

（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ；

（2）若二面角P BC D --的大小为6

π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值．

7.在三棱锥A BCD -中，4,22AB BC AD BD CD =====,在底面BCD 内作CE CD ⊥，且 2.CE =

（1）求证：//CE 平面ABD ；

（2）如果二面角A BD C --的大小为90，求二面角B AC E --的余弦值.

8.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PA ⊥底面ABCD ，AD AP =，E 为棱中点.

（1）求证：PD ⊥平面ABE ； （2）若F 为AB 中点，(01)PM PC λλ=<<，试确定λ的值，使二面角P FM B --的余弦值为3-

.

9.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，点C 在平面111A B C 内的射影点为

11A B 的中点 1,,90O AC BC AA ACB ==∠=.

（1）求证:AB ⊥ 平面1OCC ；（2）求二面角1A CC B --的正弦值.

F P

M A C

D E

B

10.已知多面体ABCDEF 如图所示.其中ABCD 为矩形，DAE △为等腰直角三角形，DA AE ⊥，四边形AEFB 为梯形，且AE BF ∥，90ABF =?∠，22AB BF AE ===.

（1）若G 为线段DF 的中点，求证：EG ∥平面ABCD .

（2）线段DF 上是否存在一点N ，使得直线BN 与平面FCD 所成角的余弦值等于215？若存在，请指出点N 的位置；若不存在，请说明理由.

11.在如图所示的几何体中，平面ADNM ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是菱形，四边形ADNM 是矩形，π3

DAB ∠=，2AB =，1AM =，E 是AB 的中点．(Ⅰ)求证：DE ⊥平面ABM ； (II)在线段AM 上是否存在点P ，使二面角P EC D --的大小为

π4？若存在，求出AP 的长；若不存在，请说明理由．

12.如图，已知梯形CDEF 与△ADE 所在平面垂直，

AD ⊥DE ，CD ⊥DE ，AB ∥CD ∥EF ，AE=2DE=8，AB=3，EF=9．CD=12，连接BC ，BF ．

（Ⅰ）若G 为AD 边上一点，DG=DA ，求证：EG ∥平面BCF ；

（Ⅱ）求二面角E ﹣BF ﹣C 的余弦值．

N M D C

E B A

13.如图三棱柱中，侧面为菱形，.

(1)证明：；

(2)若，，，求二面角的余弦值.

14.如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．

（1）证明：A1D⊥平面A1BC；

（2）求二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值．

15.如图,在四棱锥中,底面为菱形,为的中点.

(Ⅰ)若,求证:平面平面;

(Ⅱ)若平面平面,且,点在线段上,试确定点

的位置,使二面角大小为,并求出的值.

16.已知在边长为4的等边△ABC （如图1所示）中，MN ∥BC ，E 为BC 的中点，连接AE 交MN 于点F ，现将△AMN 沿MN 折起，使得平面AMN ⊥平面MNCB （如图2所示）． （1）求证：平面ABC ⊥平面AEF ；

（2）若S BCNM =3S △AMN ，求直线AB 与平面ANC 所成角的正弦值．

17.如图（1），在五边形BCDAE 中，AB CD //，

90=∠BCD ，1==BC CD ，2=AB ，ABE ?是以AB 为斜边的等腰直角三角形.现将ABE ?沿AB 折起，使平面⊥ABE 平面

ABCD ，如图（2）

，记线段AB 的中点为O . （1）求证：平面⊥ABE 平面EOD ；

（2）求平面ECD 与平面ABE 所成的锐二面角的大小.

18.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AD DC CB ===，60ABC ∠=，四边形ACFE 为矩形，平面ACFE ⊥平面ABCD ，2CF =.

（1）求证：BC ⊥平面ACFE ；

（2）点M 在线段EF 上运动，设平面MAB 与平面FCB 二面角的平面角为

(90)θθ≤，试求cos θ的取值范围.