化归思想在数学中的应用

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摘要

化归方法是数学解决问题的一般方法，是被广泛使用着的一种用来研究数学问题，解决数学问题的重要方法，是中学数学的基本思想方法之一。化归方法包括三个要素：化归对象，化归目标和化归途径；化归要遵循简单化原则，熟悉化原则，具体化原则，和谐化低层次化原则，标准形式化原则等；

1.化归方法的界定、意义及遵循原则

数学思想方法是中学数学教学的重要内容之一。任何数学问题的解决无不以数学思想为指导，以数学方法为手段。数学思想是教材体系的灵魂，是数学设计的指导，是数学教学的统帅，是解题思路的指南。化归在数学中是一个非常基本的思想方法，有着十分广泛的应用。不仅许多重要的思想方法都属于“化归”的范畴，而且许多重要的数学思想和研究策略也可用化归的思想来概括。

1.1化归方法的界定

回顾我们处理数学问题的过程与经验，会发现我们常常是将待解决的陌生问题通过转化，归结为一个比较熟悉的问题来解决因为这样就可以充分调动和运用我们已有的知识、经验和方法；也常将一个复杂的问题转化结为一个或几个简单的问题来解决等等。他们的科学概括就是数学上解决问题的一般思想方法——化归。

化归即转化归结的意思，把有待解决、未解决的问题，通过转化迁移，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决，这就是“化归”。化归方法是数学解决问题的一般方法，其基本思想是：人们在解决数学问题时，常常是将待解决的问题A，通过某种手段，归结为另一个问题B，而问题B是相对较易解决或以有固定解决程式的问题，且通过对问题B的解决可得到原问题A的解答。其中问题B常被称作化归或方向，转化的手段被称为化归途经或化归策略。可见，化归包含三个基本要素：

（1）化归对象，即把什么东西进行化归；

（2）化归目标，即化归到何处去；

（3）化归途经，即如何进行化归。

化归方法有着坚实的客观基础，是人们对事物间的“普遍联系”和矛盾在一定条件下的“相互转化”的能动反映。它着眼于揭示联系，实现转化，通过“矛盾转化”解决问题。

1.2化归方法的意义

化归不仅是一种重要的解题思想，也是一种最基本的思维策略，更是一种有效的数学思维方式。所谓的化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而达到解决的一种方法。一般总是将复杂问题通过变换转化为简单问题；将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题；将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。总之，化归在数学解题中几乎无处不在，化归的基本功能是：生疏化成熟悉，复杂化成简单，抽象化成直观，含糊化成明朗。说到底，化归的实质就是以运动变化发展的观点，以及事物之间相互联系，相互制约的观点看待问题，善于对所要解决的问题进行变换转化，使问题得以解决。实现这种转化的方法有：待定系数法，配方法，整体代入法以及化动为静，由抽象到具体等转化思想。这也是辩证唯物主义的基本观点。

匈牙利著名数学家罗莎·彼得在他的名著《无穷的玩艺》中，通过一个十分生动而有趣的笑话，来说明数学家是如何用化归的思想方法来解题的。有人提出了这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶，水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放在煤气灶上。”提问者肯定了这一回答，但是，他又追问道：“如果其他的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够的水，那么你又应该怎样去做？”这时被提问者一定会大声而有把握地回答说：“点燃煤气，再把水壶放上去。”但是更完善的回答应该是这样的：“只有物理学家才会按照刚才所说的办法去做，而数学家却

会回答：‘只须把水壶中的水倒掉，问题就化归为前面所说的问题了’”。“把水倒掉”，这就是化归，这就是数学家常用的方法。翻开数学发展的史册，这样的例子不胜枚举，著名的哥尼斯堡七桥问题便是一个精彩的例证。大数学家欧拉解决这一问题的思维程序是：

这是化归问题一个很好的应用，由此我们容易归纳出化归思想方法的思维模式：

可见解题能力的强弱在于：1、有敏锐的洞察能力，才能找准目标模型，2、有较强的化归能力，才能有效地把问题转化为目标模型，至于运用模型的内部规律求解就比较容易了。在数学发展的今天，化归方法被广泛普遍的运用着，并被不断具体化为一些更特殊更便于操作使用的方法，如特殊化方法、一般化方法等。在现代中学数学中，化归思想方法体现在各学校，应用十分广泛。如几何中空间向平面，曲线向直线的转化，代数中高次向低次，超越式向代数式的转化等。

1.3化归方法遵循原则

数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。

1.3.1熟悉化原则

熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。

例如，在学习有理数的四则运算时，我们知道有理数经过“＋”“－”“×”“÷”运算后，所得结果仍是一个有理数，要确定一个有理数，只要确定它的绝对值和性质符号（即＋，－号）.因此有理数的四则运算都包含两个部分，即符号法则和绝对值.在确定了运算结果的符号以后，只要对绝对值进行运用，而有理数的绝对值就是小学里学习的算术数，这样就把有理数的运算化归为熟悉的算术数的运算。

例1 解方程 06480242234=-+--x x x x

分析 可将方程的左端进行因式分解，化为熟悉的一元二次方程来求解。 )648025()2(64802422234234+--+-=-+--x x x x x x x x x =222)85()(---x x x

= )84)(86(22-++-x x x x

于是，原方程归结为 0862=+-x x 或0842=-+x x

由第一个方程得 4,221==x x

由第二个方程得 322,32243--=+-=x x

1.3.2简单化原则

简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定解决方案的问题，从而使问题获解。中学数学受多年应试教育的影响，有些问题被复杂化了， 而学生对于这类问题却又相当头疼，所以通过化归，将问题变为比较简单的形式、关系结构，或者通过问题的简单化，获得解决复杂问题的思路，往往更容易让学生接受。

例如，在教学无理方程的解法时，由于无理方程的特征的根号里面含有未知数，有理方程相对无理方程来说比较简单，因此，解无理方程时，通常先通过两边平方或换元的方法使之化归为一个有理方程，然后通过解这个有理方程获得原方程的解。

例2 是否存在常熟k ∈R,使函数f(x)=)2()2(24k x k x -+-+在(-∝，-1]上是减函数，且在[-1,0)上是增函数。

分析 如果设t=2x ，则原来的函数转化为)2()2()()(2k t k t t h x f -+-+==,那么问题就等价于是否存在常数k ∈R,使函数)2()2()(2k t k t t h -+-+=在(0，1]上是减函数，且在[-1,0)上是增函数，这只需12

2=--k ，故k=4.这里将四次函数转化为二次函数，问题得解。

1.3.3具体化原则

具体化就是把比较抽象的问题转化为比较具体、直观的问题，以便形象地把握问题所涉及的各个对象之间的关系，使问题易于求解。新课程标准提出：数学

教学要紧密联系生活实际，注重探索和合作，由具体到抽象。但绝不是只要让学生直观感受,满足于具体的现象而忽视问题的本质。对于抽象的关系,可以让学生对一些具体的关系进行观察、比较、分析、归纳,逐步提高他们的思维的能力。

1.3.4极端化原则

极端化原则就是运用极端化位置或状态的特性引出一般位置或状态下的特性，从而获得解决问题的思路。这也是我们常说的从一般到特殊再到一般。

1.3.5和谐化原则

所谓“和谐”指的是配合得适当和匀称。和谐化原则就是在对问题进行化归时，要注意把条件和结论的表现形式转化为更具数、式与形内部固有的和谐统一特点的形式，以帮助我们去确定解决问题的方法。

2.化归方法在知识学习中的应用

2.1利用化归方法学习新知识

数学中许多概念的形成过程或数学的定义，就是渗透着化归的思想方法。比如，有理数的定义是建立在算术数的基础上，有理数运算法则有大小比较的确定，其基本思想是将其转化为算术数的运算和大小比较，他是借助绝对值来实现有理数向算术数转化的。同样，实数的引进以及运算法则和大小比较的确定，又是建立在有理数运算和大小比较的基础上的，他是借助极限来实现这种转化的。又如，在掌握了三角形内角和的计算之后，要计算多边形的内角和，我们可以将这个多边形分割成若干个三角形，这样就把所求的多边形内角和问题化归为计算三角形内角和的问题。

数学教学内容贯穿着两条主线，即数学基础知识和数学思想方法。数学基础知识是一条明线，直接用文字形式卸载教材里，反映着知识间的横向联系，常常隐藏在基础知识的背后，需要人们加以分析、提炼才能使之显露出来。数学教材的每一章节乃至每一道例题，都体现着这两条线的有机结合。这是因为，没有脱离数学知识的数学思想方法，也没有不包含数学思想方法的教学，这是悖于数学学习的客观规律。学生们在初中和高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法却长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。因此，在数学教育中我们应该更重视思想方法的教学，这是实施素质教育的需要，同时也是更好地发挥数学的教育功能的需要。新课程标准实施后，新教材重视渗透和揭示基本的数学思想方法，更好地反应数学内部的联系以及相关学科的联系，注意教科书内容的开放性和多元性，使学生经历实验、探索的过程，体验如何运用数学思想方法分

析解决问题，培养学习数学和应用数学的能力。

2.1.1 在教学《有理数》时孕育化归思想。

有理数是在小学算术的基础上扩充产生的，通过教师的启发诱导，让学生懂得借助绝对值的概念，可将有理数大小比较转化为算术数大小比较：“两个负数，绝对之大的反而小。”有理数加法运算转化为算术数加减运算：“（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。”有理数的乘法运算转化为算术数的乘法运算：“两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘”借用相反数的概念，又可将有理数的减法运算转化为有理数的加法运算：“减去一个数，等于加上这个数的相反数。”借助倒数的概念，还可将有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算：“除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。”这样，《有理数》一章内容学生就很容易掌握。在这一阶段，隐藏在知识背后的化归思想逐渐引起学生的注意与思索，以致产生某种程度的领悟，甚至达到一种“呼之欲出”的境界。

2.1.2 在一元一次方程的教学中，把化归思想明朗化

指出x=a即可看做方程的解，也可看作是一个最简形式的方程，使学生明确最简方程是解一元一次方程的化归目标，解方程的过程是：首先寻找所给方程与目标的差异，然后设法消去差异，直至达到化归目标，即化为最简方程。

例 1 利用等式的性质解下列方程：

（1）x+7=26; (2)-5x=20 (3)-x-5=4

教材中明确指出：“要使方程x+7=26转化为x=a（常数）的形式，要去掉方程左边的7因此两边要减7.”这使学生明白了利用化归思想解决问题必须确定化归对象、化归目标和化归方法三个要素：问题中的化归对象是原方程：x+7=26，化归的目标是最简方程：x=a，化归的方法是利用等式的性质一：“两边减7，左右两边仍相等。”经过本例第一小题的分析，化归的思想方法凸显出来，教材后两小题化归的方法没有再做分析，而是留给学生自己思考，“你会类似地考虑另两个方程如何转化为x=a的形式吗？”这样做既发展了学生的思维，又使化归的思想进一步明朗化。

例 2 “方程3x+20=4x-25的两边都含x的式子（3x与4x）和不含字母的

常数（20与-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢”？通过课堂讨论使学生进一步明确：解一元一次方程的实质是把一个复杂的方程化归为一个更为简单的方程，从而激起学生应用化归方法解决面临的新课题的强烈愿望。

分析（1）确定目标：3x+20=4x-25 x=?

（2）寻找差异：右边多“4x”,左边多“20”

（3）消除差异：两边同时减去“4x”后再减去“20”得：3x-4x=-25-20 再让学生比较化归后的结果与原方程的差异，讲述移项的方法，采用移项的方法进行化归，学生接受起来就比较容易了。至于后边的系数化为1这一步骤学生也比较熟悉了。至此，学生对化归方法的理解和掌握已有所突破，一般都能比较正确地得出解含括号与分母（常数）的一元一次方程的基本思路。需要说明的是在讲解例2时，方程3x+20=4x-25是化归的对象，而在后面去括号乃至去分母的步骤讲解中，这种形式的方程却成了化归的目标。在本章学习结束时，再增加一节化归思想方法训练课，即设计一组用化归方法进行有理数的四则运算和解一元一次方程的习题，巩固强化化归方法，使学生明确：

（1）化归思想包含化归对象、化归目标和化归途径三个要素。

（2）新课题总可以通过一定方法转化为旧知识，从而得以解决，并由此生长出新知识。

（3）化归目标具有相对性和层次性，应根据具体问题的要求确定。这样，学生在《图形的初步认识》一章中就不难理解教材中：“对于一些立

体的问题，常把它们转化为平面图形来研究和处理。”这句话了。2.1.3

2.1.4