3.1.2空间向量的基本定理)

3.1.2空间向量的基本定理

班级 姓名 时间2011-12-14 编号：36 一、【教材基础梳理】 1、共线向量定理：

练习：已知3,2a e b e ==-

。试问a b 与是否平行？并求:a b 思考：若a ∥b ，b ∥c ，一定有a ∥c

吗？

2、 叫做共面向量。 共面向量定理：（证明见课本P83）

练习：已知平行四边形ABCD 的两条对角线相交于点M,设,.AB a AD b ==

试

{

},a b

表示.MA

MB MC MD 、、和

3、空间向量分解定理：

4、基底、基向量

思考：①任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底吗？

②两条直线重合或共面与两个向量共线或共面各有什么不同？

③空间向量a 、b 、c

不共面能否推出它们之间不会平行？

二、【课前检测】

1、下列命题中正确的是：（ ）

A 、若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线

B 、向量a 、b 、c 共

面即它们所在的直线共面

C 、零向量没有确定的方向

D 、若a ∥b

，则存在唯一的实数λ，

使a b λ=

2、如图，在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中， 向量B A 、 D A 、BD 是 （ ）

A.有相同起点的向量

B.等长的向量

C.共面向量

D.不共面向量

3、若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，向量m = a ＋b

， n = a －b ，那么可以与,m n

构成空间另一个基底的向量是（ ）

A 、a

B 、b

C 、c

D 、2 a

三、【典例解析】

例1、斜三棱柱ABC-A ′B ′C ′,设AB --→

= a ,AC --→= b ,'AA --→ =c ,

在面对角线AC ′上和棱BC 上分别取点M 和N ，使

',(01)

A M k A C

B N k B

C k ==≤≤

。求证：MN 与向量a 和c 共面。

变式练习1：已知a ，b ，c 不共面，并且,,p a b q a c r b c =+=+=- ，向量,,p q r

是否共面？

例2、已知平行六面体ABCD-D C B A ''''中,如图，设AB a =

，b AD = , c A A ='，试用基底｛c b a ,,｝表示向量B D A C D B C A '''',,,.

变式练习2： O 是△ABC 外任意一点, 点G 是△ABC 的重心,如图,设→

--OA = a , →--OB = b

, →--OC

=c ,求证: →

--OG =3

1

(a + b +c ).

例3、已知空间四边形OABC ，M,N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG=2GN ，

设→

--OA = a , →--OB = b , →--OC =c

，试用基底｛c b a ,,｝表示向量.

变式练习3:如图：已知ABCD 是平行四边形，点O 为空间任意一点，设→

--OA =a ， →--OB = b

，

→

--OC = c ， 则向量→--OD 用a 、b 、 c

表示为 （ ）. （A ）a –b + c . （B ）a –b –c . (C) –a –b +c (D) –a + b –c

四、【课堂达标练习】

1、在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，

则下列向量中与M B 1相等的向量是 ( ) A ．-2

1

a ＋2

1b ＋c B ．2

1a ＋2

1b ＋c C ．2

1a -2

1b ＋c

D ．-2

1

a -2

1b ＋c

2、已知点O 是正方体ABCD – A 1B 1C 1D 1的中心, 若→

--AB = a ，→--AD = b , →--1AA =c

则

→

--AO = .

3、空间四边形OABC 中，M ，N 分别是边OA ，BC 的中点，点G 在MN 上，且MG = 2GN ， 用基底{→

--OA ，→

--OB ，→

--OC }表示向量→

--OG .

五、【课后强化训练】

1、(A 组)设向量a 、b 、c 不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是：（ ）

A.{a +b ，b －a ，a }

B.{a +b ，b －a ，b }

C.{a +b ，b －a ，c }

D.{a +b +c ，a +b ，c }

2、(A 组)如图, ABCD – A 1B 1C 1D 1是平行六面体，则下列错误的一个命题是 ( ) (A) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →--1AC = x →--AB +y →

--AD . (B) 存在唯一的实数对(x, y )使得 →

--AC = x →

--AB +y →

--AD . (C) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得

→

--1AC = x →--AB +y →--AD +z →

--1AA .

(D) 存在唯一的有序实数组( x, y , z ), 使得→

--AC = x →

--AB +y →

--AD +z →

--1AA .

3.( B 组)已知平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，设,,'AB a AD b AA c ===

，用基底

{

}

,,a b c 表示如下向量：（1）,',','AC AB A D DC

;(2)AG (点G 是侧面CC ′D ′D 的中心)

（第2题）