含绝对值的函数问题
含绝对值的函数问题
【问题提出】
问题1：函数m x y -=在区间(]1,-∞-上是减函数，那么m 的取值范围是______.
问题2：解方程：521=-++x x
（1）方程a x x =-++21有两解，则实数a 的取值范围是_____________； （2）方程a x x =-++21有无穷多个解，则实数a
的取值范围是
_____________；
思考：如何解方程)(21R a a x x ∈=-++
问题3： 解不等式：（1）521>-++x x ；（2）521≤-++x x
（1）不等式a x x >-++21解集为R ，则实数a 的取值范围是_____________； （2）不等式a x x <-++21解集为?，则实数a 的取值范围是_____________； （3）不等式a x x <-++21有解，则实数a 的取值范围是_____________； 思考：如何解不等式)(21R a a x x ∈>-++
问题3：设a 是实数．若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数，但不是偶函
数，则函数()f x 的递增区间为 ． 【探究拓展】
探究1：设方程|1|ax x -=的解集为A ，若A ?≠[0，2]，则实数a 的取值范围是 ．
（-∞，-1]∪[-12
，1]∪[32
，+∞） 代数几何两个角度
探究2：已知R a ∈，函数a x x x f -=)(.
（1）判断函数)(x f 的奇偶性，请说明理由； （2）当2a =时，求使()1f x =成立的x 的集合；
（3）若函数)(x f 在[)+∞,3上单调递增，求实数a 的取值范围； （4）若函数12)()(++=
x x f x g 在R 上恒为增函数，求实数a 的取值范围；
（5）求函数)(x f 在区间[]2,1上的最小值()g a 的表达式； （6）求函数在[)+∞,3上的最小值()g a 的表达式； （7）求函数在[)+∞-,1上的最小值()g a 的表达式
（8）设0≠a ，函数)(x f 在区间),(n m 上既有最大值又有最小值，请分别求出n m ,的取值范围．（只要写出结果，不需要写出解题过程） （9）试讨论a x f x g -=
)()(的零点个数.
解：（1）当0=a 时，x x x f =)(，)()(x f x x x f -=-=-∴，则)(x f 为奇函数；当0≠a 时，a x x x f -=)(，a a a f a f 2)(,0)(-=-=，∵0≠a
)()(a f a f ≠-，且)()(a f a f -≠-，则)(x f 既不是奇函数又不是偶函数．
（2）①当21≤≤a 时，,0)(≥x f 且当a x =时，有,0)(=a f ∴0)(min =x f ； ②当1 )2()()(222 ∈--=-=-=x a a x ax x a x x x f ， 对称轴12 <= a x ，)(x f 在[]2,1增，∴a f x f -==1)1()(min ； ③当2>a 时， []2,1,4 )2()()(2 22 ∈+--=+-=-=x a a x ax x x a x x f 对称轴2 a x =，若42)2()(,32min -==≤ 若1)1()(,3min -== >a f x f a ， 综上所述：?????? ?>-≤<-≤≤<-=3 , 132,4221,01 , 1)(min a a a a a a a x f ； （3）0>a 时，a n a a m 212,20+≤<<≤；0 ,212≤<<≤+n a a m a ． （9） ,4,4-<>a a 3个零点；4±=a ，2个零点；44<<-a ，1个零点. 变式1：已知函数4)(-=x x x f ，[]m x ,0∈，其中R m ∈，且0>m . （1）如果函数)(x f 的值域是[]4,0，求实数m 的取值范围. （2）如果函数)(x f 的值域是[]2,0m λ，求实数λ的最小值. 拓展1：已知()1f x x x =+，则11 ()()4 2 f x f -< 的解集是 图像研 究 拓展2：已知函数()2f x x x =-， 则不等式)(1)f x f -≤的解集为 ．[)1,-+∞ 拓展3：已知函数()2f x x x a x =-+． （1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围； （2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数 ()f x 的图象恒在函数 ()21g x x =+图 象的下方； （3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数 t 的取值范围． 解：（1） 2 2 (2),, ()2(2),, x a x x a f x x x a x x a x x a ?+-?=-+=?-++ -???+??? ≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立， 即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x -<-<， 11x a x x x - <<+，故只要1x a x -<且1 a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可， 在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x +的最小值大于a 即可， 而当[1,2]x ∈时，21110x x x '? ?-=+> ?? ?，1x x -为增函数，max 132x x ??-= ? ??； 当[1,2]x ∈时，21110x x x '? ?+=-> ??? ，1x x +为增函数，min 12x x ??+= ? ??，所以322a <<； （3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由 22 (2),, ()(2),x a x x a f x x a x x a ?+-?=?-++ 2 a x a -= <， 则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞， x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴2 2 a x a += <， 则 ()f x 在2,2a x +? ?∈-∞ ???为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ??+-∞ ??? ， ()f x 在2,2a x a +?? ∈????为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ??+ ??? ； 由存在(2,4]a ∈，方程 ()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ?? +∈ ??? ， 即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ??+∈ ??? 即可，令2(2)14()488a g a a a a +?? ==++ ???， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8 g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8?? ??? ； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8?? ??? ； 综上所述，实数t 的取值范围为91,8?? ??? ． 变式2：设a 为实数，函数2()1f x x x a =+-+，x ∈R . （1）当2a =时，判断函数的奇偶性并求函数的最小值； （2）试讨论()f x 的奇偶性； （3）当R a ∈时，求()f x 的最小值. 拓展1：已知函数a x ax x f --=2)(. （1）当3=a 时，求不等式7)(>x f 的解集； （2）当0>a 时，求函数)(x f 在区间[)+∞,3上的值域. 拓展2：设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )·|x －a | （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值； （3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出(不需给出步骤)不等式h (x )≥1的解集． 变式1：设m 为实数，函数 m x m x x x f --+=)(2)(2 ，?? ? ??=0 ) ()(x x f x h 00=≠x x . （1）若)1(f ≥4，求m 的取值范围； （2）若)(x h 对于一切[]2,1∈x ，不等式)(x h ≥1恒成立，求实数m 的取值范围. 利用图像法优化. 变式2：已知22()9f x x x ax =---在(,3),(3,)-∞-+∞上是增函数, 则a 的取值范围是 .(0,12] 变式3：已知函数1)(2-=x x f ，|1|)(-=x a x g ． （1）若关于x 的方程)(|)(| x g x f =只有一个实数解，求实数a 的取值范围； （2）若R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求函数)(|)(| )(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值． 【分析】对于第（1）题，关键是发现1=x 是函数)(x f 与)(x g 的公共零点；第（2）题分离参数即可；第（3）转化为分段函数，根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可。 【解答】（1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=， 显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a <. （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1|x a x -≤-，令21,(1), 1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-，所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所求实数a 的取值范围是2a -≤. （3）?? ? ??≤≤--+<<-++---≤≤--+-=-+-=+=,21,1,11,1, 12,1|1||1|)(|)(|)(2222x a ax x x a ax x x a ax x x a x x g x f x h 令 ,2 3 2,12,12,232-==--=--=a a a a 则.2,2,3=-=-=a a a .3)2(,14 2,0)1(,2)1(,33)2(2 a h a a a h h a h a h +=++=??? ??-==-+=- ①当3- 2,232>-=-<= a x a x 。则{}0)1()1(),1(m ax )(max ==-=h h h x h 。 ②当23-≤≤-a 时，2 3 21,1223<-<-<<-a a 。则{})2(),1(),2(m ax )(max h h h x h -=， 因为03)2(,0)1(,033)2(≥+==<+=-a h h a h ，所以.3)2()(max a h x h +== ③当22<<-a 时，121,121<-<-<< -a a 。则? ?? ???--=)2(),2(),2(max )(max h a h h x h 因为.3)2(14 2,33)2(2 a h a a a h a h +=<++=??? ??-+=- 若02<<-a ，.3)2(33)2(a h a h +=<+=-所以.3)2()(max a h x h +== 若20<≤a ，.3)2(33)2(a h a h +=>+=-所以.33)2()(max +=-=a h x h ④当2≥a 时，12 ,12-≤-≥a a 。则{})2(),1(),2(m ax )(max h h h x h --=.33)2(+=-=a h 综上所述， 当3a <-时，()h x 在[2,2]-上的最大值为0； 当30a -<≤时，()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +； 当0a ≥时，()h x 在[2,2]-上的最大值为33a + 变式4：已知函数34)(2+-=x x x f ，方程mx x f =)(有4个不同实数根，则实数 m 的取值范围是_________. ()3 24,0- 拓展3：已知函数()2f x ax bx c =++()0a ≠满足()00f =,对于任意x ∈R 都有 ()f x x ≥,且 1122f x f x ???? -+=-- ? ????? ,令()()()10g x f x x λλ=-->. （1） 求函数()f x 的表达式； （2） 求函数()g x 的单调区间； （3）研究函数()g x 在区间()0,1上的零点个数. (1) 解：∵()00f =，∴0c =. … 1分 ∵对于任意x ∈R 都有112 2f x f x ?? ?? -+= -- ? ??? ?? , ∴函数()f x 的对称轴为12x =-，即1 22 b a - =-，得a b =. … 2分 又()f x x ≥，即()210ax b x +-≥对于任意x ∈R 都成立， ∴0a >,且?()210b =-≤． ∵()210b -≥， ∴1,1b a ==． ∴()2f x x x =+． … 4分 (2) 解：()()1g x f x x λ=--()()2 2111,,111,. x x x x x x λλλλ?+-+≥??=??++- … 5分 ① 当1x λ ≥时，函数()()211g x x x λ=+-+的对称轴为12 x λ-=， 若112 λλ -≤，即02λ<≤，函数()g x 在1,λ ?? +∞ ??? 上单调递增； (6) 分 若112 λλ ->，即2λ>，函数()g x 在1,2 λ-??+∞ ??? 上单调递增，在11,2λλ-?? ??? 上单 调递减． …7分 ② 当1x λ <时，函数()()211g x x x λ=++-的对称轴为112 x λλ +=-<， 则函数()g x 在11,2 λλ+??- ?? ? 上单调递增，在1,2λ+??-∞- ?? ? 上单调递减． … 8分 综上所述，当02λ<≤时，函数()g x 单调递增区间为1,2 λ+??-+∞ ?? ? ，单调递 减 区间为 1,2λ+? ?-∞- ??? ； … 9分 恒成立问题是数学中常见问题，也是历年高考的一个热点。大多是在不等式中，已知一个变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。下面介绍几种常用的处理方法。 一、分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()m in a f x ≤，转化为函数求最值。 例1、已知函数()lg 2a f x x x ??=+ - ???，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。 解：根据题意得：21a x x + ->在[)2,x ∈+∞上恒成立， 即：23a x x >-+在[)2,x ∈+∞上恒成立， 设()23f x x x =-+，则()2 3924f x x ??=--+ ??? 当2x =时，()max 2f x = 所以2a > 例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式() 21240x x a a ++-?>恒成立，求a 的取值范围。 解：令2x t =，(],1x ∈-∞ (]0,2t ∴∈ 所以原不等式可化为：22 1t a a t +-<， 要使上式在(]0,2t ∈上恒成立，只须求出()2 1t f t t +=在(]0,2t ∈上的最小值即可。 ()22211111124t f t t t t t +????==+=+- ? ? ???? 11,2t ??∈+∞???? ()()min 324f t f ∴== 234a a ∴-< 1322 a ∴-<< 二、分类讨论 在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。 例3、若[]2,2x ∈-时，不等式2 3x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。 解：设()2 3f x x ax a =++-，则问题转化为当[]2,2x ∈-时，()f x 的最小值非负。 （1） 当22a -<-即：4a >时，()()min 2730f x f a =-=-≥ 73 a ∴≤又4a >所以a 不存在； 专题三: 含绝对值函数的最值问题 1. 已知函数2()2||f x x x a =-- (0>a ),若对任意的[0,)x ∈+∞,不等式(1)2()f x f x -≥恒成立,求实数a 的取值范围、 不等式()()12f x f x -≥化为()2 212124x x a x x a ----≥-- 即:()242121x a x a x x ---+≤+-(*)对任意的[)0,x ∈+∞恒成立因为0a >,所以分如下情况讨论: ①当0x a ≤≤时,不等式(*)24120[0,]x x a x a ++-≥?∈对恒成立 ②当1a x a <≤+时,不等式(*)即24160(,1]x x a x a a -++≥?∈+对恒成立 由①知102 a <≤,2()416(,1]h x x x a a a ∴=-+++在上单调递减 2662a a ∴≤--≥-或 11626222 a -<∴-≤≤Q 2、已知函数f (x )＝|x －a |,g (x )＝x 2＋2ax ＋1(a 为正数),且函数f (x )与g (x )的图象在y 轴上的截距相等.(1)求a 的值;(2)求函数f (x )＋g (x )的最值. 【解析】(1)由题意f (0)＝g (0),∴|a |＝1、又∵a >0,∴a ＝1、 (2)由题意f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1、 当x ≥1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋3x 在[1,＋∞)上单调递增, 当x <1时,f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2在????? ???－121上单调递增,在(－∞,12-]上单调递减. 因此,函数f (x )＋g (x )在(－∞,12-]上单调递减,在????? ???－12＋∞上单调递增. 2min ()4120[0,]()(0)120 1 02 g x x x a a g x g a a =++-≥∴==-≥∴<≤Q 在上单调递增只需2min ()(1)420h x h a a a ∴=+=+-≥只需 在下面分别从三个方面讲如何画含绝对值的函数的图像，以及在具体的题目中的应用。希望对雨我们学习这部分的知识有所帮助。 、三点作图法 三点作图袪是画函数ιy = ? f +? ?^-c(ak≠ 0)的图象的一种i罚捷方法(该函数图形?Ufft G V fl i故称召型图人 步曝是E①先画出站型图顶点,石； —) ②在顶点两侧各找出一点；卩 ③次顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数y ≈k? ax+? I???≠ 0)的图彖* 例1作出下列各函数的圏象. (1) y =| 2x 亠J ll 一1； {2) y = 1- ∣2x ÷ 11 ? 解’⑴ 顶点：,-才两点g 0λ (b O)D其图彖如图1所示. 圏b <2)顶点f-lΛ两点(一1, 0), (0, 0).其图象如图2所示. I 2 j 图2 注 I 当40时图象奔口向上，当衣D时图彖开口向下?函数图象关于直线Λ= --对称口 翻转作图法是画函数y H .rω I的图象的一种简捷方法. 注I ? k>0时图象开口向上，当衣0时图象开口向下.函数图象关于直线Λ = --对称" 制转作图法是画函数丁H∕ω I的图象的一种简捷方法. 二爾转作IS 二詡转作l? 步麋是 * ?5t 作出 P = /(x) 的图彖;②若y - /(Λ)的图家不位于X轴下方, 则函数I y = /(>)的图象就??^ιy =| f{x) \的图象;③若函数4y = h∕(x)的图象育位于H轴下方的，则可把X轴下方的图象绕X轴翻转180φ到盟轴上方，就得到了函数 I y=I I/(Λ)∣的图家? 例t作出下列各函数的图讓. U) 7=U?-?i y=∣√-2^-3∣j ￠3) y=∣?(r+3)∣c 解；⑴先作出^=μ∣-l的图象如图3,把图3中盟轴下右的图家翻上去！得至(］图乳图召就是妾IsJ的函数图象n C2)先作出y = X2- 2x-3的图熟如图5.把图5中梵轴T方的图象翻±? ⑶ 先作出^ = Ig(X+ 3)的图熟如图亿把图7中忙轴下丹的图象翻上去，得 到图3.图&就是婪画的1S数图象? 三、分段破作图法 分段函数作图法是把瘟函数等价转化沟分段函数后再作图，这种右法是画含有绝对值的函数的图象的有效有法. 例1作出下列函数的图家U (I)J = Z a-2μ∣+b ￠2) J=μ + l∣ + μ-l∣j (3) jμ=∣Λ2-2τr-3h 图4 绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的距离之和最小，问医院应该建在何处？ 先来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22 2 2 2 也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()12 3||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等于123,,a a a ……n a 的中位 数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属于123,,a a a ……n a 的中间 两个数的范围时取到，即1 22,n n x a a +?? ∈???? 时有最小值。此时 ()123 ||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (11) 22||||n n n n x a x a f a o r f a -+?? ??+-+-≥ ? ??? ?? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f 含绝对值函数综合问题 一、含绝对值函数的最值 1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点处取得最小值 “(0)0f =”，无最大值；在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑；对称轴为：0x = （2）()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k -为顶点的“V ”字形图像；在顶点取得最小值： “()0b f k -=”，无最大值；函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：b x k =- （3）函数()||(0)f x k x b k =+≠： 0k >时，函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像；函数在顶点取得最小值： “()0f b -=”，无最大值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑；对称轴为：x b =- 0k <时，是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像，函数在顶点取得最大值： “()0f b -=”，无最小值；函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓；对称轴为：x b =- 2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性 （1）函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的 “平底形”图像；在[,]x m n ∈上的每点，函数都取得最小值n m -，无最大值；函数 在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ，在[,]x m n ∈无单调性；对称轴为2 m n x +=。 （2）函数()||||f x x m x n =---： 当m n >时，()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像；在 (,]x n ∈-∞上的每点，函数都取得最大值m n -，在[,)x m ∈+∞上的每点，函数都取得最小值n m -；函数在[,]x n m ∈↓，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对称中心为(,0)2 m n +； 当n m >时，()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像； 在(,]x m ∈-∞上的每点，函数都取得最小值m n -，在[,)x n ∈+∞上的每点，函数都 取得最大值n m -；函数在[,]x m n ∈↑，在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性；对 称中心为( ,0)2 m n +； （3）()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。 当0a b +>时，两端向上无限延伸，故最小值，最小值为min{(),()}f m f n ； 当0a b +<时，两端向下无限延伸，故最大值，最大值为{(),()}Max f m f n ； 当0a b +=时，两端无限延伸且平行x 轴，故既有最大值又有最小值，最大值为 {(),()}Max f m f n ；最小值为min{(),()}f m f n 。 3、含多个绝对值的一次函数的最值、单调性 函数1212()||||||(,,,)n i n f x x a x a x a a R i n N a a a *=-+-++-∈∈<<< 设 （1）若21()n k k N *=-∈，则()f x 的图像是以(,())k k a f a 为顶点的“V ”字形图像 （a ）当且仅当k x a =时，min 1211221[()]|()()|k k k k f x a a a a a a -++-=+++-+++ (b ) 函数()f x 在(,],[,)k k a a -∞↓+∞↑，若{}i a 为等差数列，则图像关于k x a =对称 （2）若2()n k k N *=∈，则()f x 的图像是以点11(,()),(,())k k k k A a f a B a f a ++为折点的“平 底形”图像 （a ）当且仅当1[,]k k x a a +∈，min 12122[()]|()()|k k k k f x a a a a a a ++=+++-+++ (b ) 函数()f x 在1(,],[,)k k a a +-∞↓+∞↑，在1[,]k k x a a +∈无单调性。若{}i a 为等差数列， 则图像关于1 2 k k a a x ++= 对称 这一结论从一次绝对值函数图像上了不难看出，当1x a < 及 n x a >时，图像是分别向左、右两边向上无限伸展的两条射线，中间各段在区间1[,](1,2,1)i i a a i n +=- 上均为线段．它们首尾相连形成折线形，在中间点或中间段处最低，此时函数有最小值． 证明：当21()n k k N * =-∈时，1221()||||||k f x x a x a x a -=-+-++- ， 1221k a a a -<<< 设由绝对值不等式性质得： 121121211|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-，当且仅当121[,]k x a a -∈时取“=” 222222222|||||()()|k k k x a x a x a x a a a ----+-≥---=-， 当且仅当222[,]k x a a -∈时取“=” 含绝对值的函数图象的画法及其应用 一、三点作图法 三点作图法是画函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象的一种简捷方法（该函数图形形状似“V ”，故称V 型图）。 步骤是：①先画出V 型图顶点?? ? ?? - c a b ，； ②在顶点两侧各找出一点； ③以顶点为端点分别与另两个点画两条射线，就得到函数)0(||≠++=ak c b ax k y 的图象。 例1. 作出下列各函数的图象。 （1）1|12|--=x y ；（2）|12|1+-=x y 。 解：（1）顶点?? ? ??-12 1 ，，两点（0，0） ，（1，0）。其图象如图1所示。 图1 （2）顶点?? ? ?? - 121 ，，两点（－1，0） ，（0，0）。其图象如图2所示。 图2 注：当k>0时图象开口向上，当k<0时图象开口向下。函数图象关于直线a b x -=对称。 二、翻转作图法 翻转作图法是画函数|)(|x f y =的图象的一种简捷方法。 步骤是：①先作出)(x f y =的图象；②若)(x f y =的图象不位于x 轴下方，则函数 )(x f y =的图象就是函数|)(|x f y =的图象； ③若函数)(x f y =的图象有位于x 轴下方的，则可把x 轴下方的图象绕x 轴翻转180°到x 轴上方，就得到了函数|)(|x f y =的图象。 例2. 作出下列各函数的图象。 （1）|1|||-=x y ；（2）|32|2 --=x x y ；（3）|)3lg(|+=x y 。 解：（1）先作出1||-=x y 的图象，如图3，把图3中x 轴下方的图象翻上去，得到图4。图4就是要画的函数图象。 图3 图4 含参数含绝对值的函数综合题探究 一．解题策略： 1.去绝对值的思考，2012年~2014年的高考流行的是“遇见绝对值就考虑分类讨论去绝对值变为分段函数”；这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”。 2.分类讨论要“慢”； 3.能换元就“换”； 4.有函数就“画”。 二．精题例析 例1 （2017年4月浙江省学考第25题）已知函数) f=3|x?a|+|ax?1|，其中a∈R (x ①当a=1时，写出函数) (x f为偶函数，求实数a的值; (x f的单调区间;②若函数) ③若对任意的实数x∈[0，3]，不等式) (x f≥3x|x?a|恒成立，求实数a的取值范围. 点评：2012年~2014年的高考流行的模式延续到2015年~2017的浙江省学考中。 练习1 （2016年10月浙江省学考第25题）设函数2)|1(|1)(a x x f --=的定义域为D ，其中1 例2 (2017年6月浙江省高考第 17题即填空题的最后一题） 已知R ∈a .函数()a a x x x f +-+ =4在区间[]4,1上的最大值是5，则a 的取值 范围是_____. 点评：这几年高考反而流行“不去绝对值”即“整体换元后进行画函数图像数形结合”，往往作为填空题考查学生，切忌小题大做，考查学生的转化与化归的思想意识、整体处理思想及数形结合。 练习1.（2018年4月浙江学考第22题即填空题的压轴题） 若不等式2x 2?(x ?a )|x ?a |?2≥0对于任意x ∈R 恒成立，则实数a 的最小值是________________. 练习 2. 设函数m m x x x f 2294)(2+-+-=在区间[]4,0上的最大值是9，则实数m 的取值范围是______________. 二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性 的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数y=a (x m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到 分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区 间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、 远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称 轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数2()23f x x ax =-+在[0,4]x ∈上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解：222()23()3f x x ax x a a =-+=-+- ∴此函数图像开口向上，对称轴x=a ①、当a ＜0时，0距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=0时，min y =3，x=4时，max y =19-8a ②、当0≤a＜2时，a 距对称轴x=a 最近，4距对称轴x=a 最远， ∴x=a 时，min y =3-a2，x=4时，max y =19-8a ③、当2≤a＜4时，a 距对称轴x=a 最近，0距对称轴x=a 最远， ① ② ③ ④ t t +s 2s t t + s 2 s ① ② ③ ④ 二次函数求最值参数分类讨论的方法 分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略,它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点,将对象分为不同种类然后逐类解决问题． 一般地,对于二次函数 y=a (x m )2+n ，x ∈[t ，s ]求最值的问题;解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏， 可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。 ①表示对称轴在区间［t ，s ］的左侧，②表示对称轴在区间［t ，s ］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t ，s ］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。 含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论 题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值 例１、求函数 f (x ) = x 2 - 2ax + 3 在 x ∈[0, 4] 上的最值。 分析：先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。 解： f (x ) = x 2 - 2ax + 3 = (x - a )2 + 3 - a 2 ∴此函数图像开口向上，对称轴 x=a ①、当 a ＜0 时，0 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=0 时， y min =3，x=4 时， y max =19-8a ②、当 0≤a＜2 时，a 距对称轴 x=a 最近，4 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=4 时， y max =19-8a ③、当 2≤a＜4 时，a 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=a 时， y min =3-a2，x=0 时， y max =3 ④、当 4≤a 时，4 距对称轴 x=a 最近，0 距对称轴 x=a 最远， ∴x=4 时， y min =19-8a ，x=0 时， y max =3 例 2、已知函数 f (x ) = ax 2 + (2a -1)x - 3 在区间[- 3 , 2] 上最大值为 1,求实数 a 的值 2 分析:取 a=0,a≠0，分别化为一次函数与二次函数,根据一次函数、二次函数的性质分 . 下载可编辑 . 关于绝对值函数的问题解决 有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性。 试题 已知函数1)(2 -=x x f ，|1|)(-=x a x g . （1） 若关于x 的方程)(|)(|x g x f =只有一个实数解，数a 的取值围； （2） 若当R x ∈时，不等式)()(x g x f ≥恒函数成立，数a 的取值围； （3） 求函数)(|)(|)(x g x f x h +=在区间[-2,2]上的最大值（直接写出结果．．．．．．，不需给出演．．．．． 算步骤．．． ）. 解答 （1）方程|()|()f x g x =，即2|1||1|x a x -=-，变形得|1|(|1|)0x x a -+-=，显然，1x =已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程|1|x a +=，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得0a < . （2）不等式()()f x g x ≥对x ∈R 恒成立，即2(1)|1|x a x --≥（*）对x ∈R 恒成立， ①当1x =时，（*）显然成立，此时a ∈R ； . 下载可编辑 . ②当1x ≠时，（*）可变形为21|1| x a x -≤-，令21,(1),1()(1),(1).|1|x x x x x x x ?+>?-==?-+<-? 因为当1x >时，()2x ?>，当1x <时，()2x ?>-， 所以()2x ?>-，故此时2a -≤. 综合①②，得所数a 的取值围是2a -≤. （3）因为2()|()|()|1||1|h x f x g x x a x =+=-+-=2221,(1),1,(11),1,(1).x ax a x x ax a x x ax a x ?+--?--++->即时，结合图形可知()h x 在[2,1]-上递减，在[1,2]上递增， 且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，经比较，此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ② 当01,22 a a 即0≤≤≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为33a +. ③ 当10,02 a a -<<即-2≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,1]--，[,1]2a -上递减， 在[1,]2 a --，[1,2]上递增，且(2)33,(2)3h a h a -=+=+，2()124a a h a -=++， 经比较，知此时()h x 在[2,2]-上的最大值为3a +. ④ 当3 1,222a a -<-<-即-3≤≤时，结合图形可知()h x 在[2,]2a -，[1,]2 a -上递减， 含参导数求最值问题（1—2） 编制人：闵小梅审核人：王志刚 【使用说明及学法指导】 1．完成预习案中的相关问题； 2．尝试完成探究案中合作探究部分，注意书写规范； 3．找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课堂讨论质疑。 【学习目标】 1．掌握利用导数求函数最值的方法 2．会用导数解决含参函数的综合问题 【预习案】 一、知识梳理 函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值． ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 二、尝试练习 1．设函数f(x)＝x3－x2 2 －2x＋5，若对任意的x∈[－1，2]，都有f(x)>a，则实 数a的取值范围是________ (－∞，7 2 ) 2．已知函数f(x)＝ax3－3x＋1对x∈(0，1]总有f(x)≥0成立，则实数a的取值范围是________ [4，＋∞) 【探究案】 一、合作探究： 例1. 设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0)． (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； 增(0，2)，减(2，2) (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为12，求a 的值． a ＝12 二、拓展探究： 例2. 已知函数f(x)＝lg(x ＋a x －2)，其中a ＞0且为常数． (1)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值；ln a 2 (2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)＞0，试确定实数a 的取值范围．(2，＋∞) 三、深层探究：单调性的应用 例3．求f (x )＝ax x e -? (a ＞0)在x ∈[1,2]上的最大值 学案17 含绝对值的函数 一、课前准备： 【自主梳理】含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数问题处理 1.（2005年江苏卷）已知a ∈R ，函数f(x)=x 2|x-a|. (I)当a=2时，求使f(x)=x 成立的x 的集合； (II)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值. 解析：(I)若a=2,则有：22 2(2),2()2(2),2x x x f x x x x x x ì?- ?=-=í ?--0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递增在区间递减. ②当x 0时, 函数f(x)在区间() 2a 2a ,0(,),(0, )3 3 -ト+ 递减在区间递增. 由于所求区间为[1,2],故a 按所求区间进行讨论: ①若a ≤1,则 22,33 a ￡取f 1(x)图象在x>a 部分,因函数f1(x)在区间[1,2]部分单调递增,故当x=1 时取最小值,即m=f 1(1)=1-a; ②若1 五环学习法高中数学学科导学稿 编写人：许鲔潮 审稿人：郭沂 编写时间：2015-12-11 课题：含有参数的函数最值问题 （人教A 版数学新课标教材必修1水平考试综合题复习） 学习目标 1.理解含参数的函数最值问题特征； 2.通过含参数的函数最值问题的求解探究解题策略； 3.培养学生分析解决水平考试综合问题的能力。 4.培养学生利用分类讨论、化归、数形结合、分离变量等数学思想与方法进行解题的意 识。 一．回忆旧知(本节课学习你可能要用到下面的知识) （1）函数零点概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使得_________成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 （2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程 的________，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的______。即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点。 （3）二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 的零点： １）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有___个交点，二次函数有______个零点； ２）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有______个零点； ３）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴有______交点，二次函数有______零点。 （4）零点存在性定理：如果函数)(x f y =在区间],[b a 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有________，那么函数)(x f y =在区间),(b a 内有零点。即存在),(b a c ∈，使得______，这个c 也就是方程的根。 二．自主学习（自学复习下面内容，并完成下列问题） 1．复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P4知识点23： 二次方程()()2 00f x ax bx c a =++=>实根分布及条件; 2.复习《高中数学必修课程综合测评2015》，P7 ，练习15. 编号 Sxbx1 0)(=x f 绝对值函数最值问题 一、准备在两个小区所在街道上建一所医院，使得两个小区到医院的 距离之和最小，问医院应该建 在何处？ 来证明一个引理： 引理：||||||y x y x +≥+……（1），当且仅当0≥xy 时等号成立 要证（1）式成立，只需证xy xy xy y x xy y x ≥++≥++||,2||22222也即是，上式显然成立，故原命题得证。 将上式的y y -换成可得 ||||||y x y x -≥+……（2），当且仅当0≤xy 时等号成立 定理：对于任意123,,a a a ……,n a 如果123a a a ≤≤≤……1n n a a -≤， 当n 为奇数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 等 于123,,a a a ……n a 的中位数时取到，即12 n x a +=时有最小值， 即是()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+ (112) ||||n n n x a x a f a -+??+-+-≥ ?? ? 当n 为偶数时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+……1||||n n x a x a -+-+-的最小值在x 属 于123,,a a a ……n a 的中间两个数的范围时取到，即1 2 2 ,n n x a a +??∈??? ? 时有最 小值。此时 ()123||||||f x x a x a x a =-+-+-+…… 1122||||n n n n x a x a f a or f a -+???? +-+-≥ ? ????? 该定理的证明，只需最小的与最大的结合，在中位数时同时取到最小值。 二、求下列函数的最小值： 1、()|2||1|-+-=x x x f ()()1|21||2||1|=---≥-+-x x x x ，当且仅当()(),021等号成立≤--x x 也即是[]2,1∈x 时等号成立。 1)(≥∴x f 2、()|3||2||1|-+-+-=x x x x f ()()[]时等号成立。 当且仅当时等号成立当2,0|2|3,1,2|31||3||1|=≥-∈=---≥-+-x x x x x x x ()()时等号成立当且仅当22=≥∴x x f 2.1、求x 的范围使得函数|1||||2|)(-+++=x x x x f 为增函数（12年北约自招试题） 对于绝对值函数（也称“折线函数”）问题，主要有两种解决思路：1、利用绝对值的几何意义（求最值时非常方便），2、找零点直接去绝对值，转化为分段函数。 把求参数取值范围转化为两个函数最值问题时几个易错点 ——有关用量词叙述的几类问题 易错点1：对()()恒成立，使得2121,,x g x f B x A x >∈?∈?求参数m 的取值范围。 最值满足条件： 思路分析：由于21,x x 取值的任意性，所以要使()()21x g x f >恒成立，只需所有的()1x f 值大于所有 的()2x g 值，故只须()()max min x g x f > 易错点2：对()()恒成立，使得2121,,x g x f B x A x >∈?∈?求参数m 的取值范围。 最值满足条件： 思路分析：由于1x 在区间A 上的取值具有任意性，2x 在区间B 上的取值只要求存在性，所以要使 ()()21x g x f >恒成立，只需所有的()1x f 值大于某一个()2x g 值，或说存在一个()2x g 值小于所有的 ()1x f 值，故只须()()min min x g x f >（或()()min min x f x g <） 易错点3：对()()恒成立，使得2121,,x g x f B x A x >∈?∈?求参数m 的取值范围。 最值满足条件： 思路分析：由于1x 在区间A 取值只要求存在性，2x 在区间B 上的取值具有任意性，所以要使 ()()21x g x f >恒成立，只需存在一个()1x f 值大于所有的()2x g 值，故只须()()max max x g x f >（或()()max max x f x g <） 易错点4：对()()成立，使得2121,,x g x f B x A x >∈?∈?求参数m 的取值范围。 最值满足条件： 思路分析：由于1x 在区间A 取值只要求存在性，2x 在区间B 上的取值也只要求存在性，所以要使 ()()21x g x f >恒成立，只需存在一个()1x f 值大于某一个()2x g 值，故只须()()min max x g x f > 易错点5：对()()成立，使得2121,,x g x f B x A x =∈?∈?求参数m 的取值范围。 最值满足条件： 思路分析：对于区间A 上的任意1x 或说每一个1x ，都会得到一个确定的函数值()1x f ，要保证总存在 ()2x g 与()1x f 相等，只须()x g y =的值域包含()x f y =的值域，即 含绝对值的函数本质上是分段函数，往往需要先去绝对值再结合函数图像进行研究，主要有以下3类： 1．形如)(x f y =的函数，由于0 )(0)()()()(<≥???-==x f x f x f x f x f y ，因此研究此类函数往往结合函数图像，可以看成由)(x f y =的图像在x 轴上方部分不变，下方部分关于x 轴对称得到； 2．形如)(x f y =的函数，此类函数是偶函数，因此可以先研究0≥x 的情况，0 含绝对值的函数问题专练 1．画出函数y ＝ 31x －的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程 31x －＝k 无解？有一个解？有两个解？ 【答案】当k ＝0或k≥1时，方程有一个解；当0含参不等式恒成立问题中求参数取值范围一般方法(教师版)
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