(完整版)初二第一章直角三角形讲义

直角三角形

教学内容

一、直角三角形的性质：

除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：

⑴直角三角形两锐角

⑵直角三角形斜边的中线等于

⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半

二、直角三角形的判定：

除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：

⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形

⑵有两个角的三角形是直角三角形

⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形

三、勾股定理和它的逆定理：

1、勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足

逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形

注意：

1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合

2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，

3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、、2、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半（请画图）

3、在Rt三角形中，30°的边所对的角是斜边的一半。（请画图）

4、直角三角形的边角关系与几种特殊的三角形

边角线判定

直角三角形

2

2

2c

b

a=

+

两

锐

角

互

余

CD=AD=BD

(斜边上的中线等于

斜边的一半)

应用：

①斜边上的中线把Rt

△分成两等腰三角

形；

②等腰Rt△斜边上的

中线把它分为两个全

等的等腰Rt△。

①若∠A+∠B=90°，则

△ABC为Rt△;

②若2

2

2c

b

a=

+，

则△ABC为Rt△;

③若CD=AD=BD，

则△ABC为Rt△;

黄金

直角三角形

2:3

:1

: :

=

c

b

a

等腰

直角三角形

2

:1:1

:

:

=

c

b

a

1、掌握直角三角形中两锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半及30°角所对的直角边等于斜边的一半等性质

2、掌握勾股定理及其逆定理，并能运用它们进行简单的论证和计算；

D A

B

C

1、如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( ) A. 90° B. 135° C. 270° D. 315°

2、已知:如图, △ABC 中,AB=AC,BD ⊥AC 于D 点,BD=

1

2

AC. 则∠A=_____.

3、等腰三角形一腰上的高等于该三角形一条边长度的一半,则其顶角为 .

4、将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm 的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（ ） A ．3cm

B ．6cm

C ．32cm

D ．62cm

变式：1、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°, ∠A=15°,AB=8cm ，CD 为AB 的中线，求△ABC 的面积。

A

D C

B

D

A B

C

E

2、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，CE⊥AB，已知AB=10cm，DE=2.5cm，求CD和∠DCE。

3、如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．

4．如图是一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为cm．

5、已知:如图,AD为△ABC的高,E为AC上的一点,BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,

求证:BE⊥AC.

A

E

D C

B

F

1

2

1、如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?

2、2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边长为a ，较长直角边长为b ，那么2

()a b 的值为（ ） A ．13 B ．19 C ．25 D ．169

3．如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=4，分别以AC 、BC 为直径作半圆，面积分别记为S 1、S 2，则S 1+S 2等于 2π ．

变式：1、如图网格中一个四边形ABCD ，?若小方格正方形的边长为1，?则四边形ABCD 的周长是_________。

2、如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E 的面积是 ．

[来源:学#科#网]

如图，在等腰直角三角形ABC中，90

=

∠Co，D是斜边AB上任一点，AE⊥CD于E，BF⊥CD 并交CD的延长线于F，CH⊥AB于H，交AE于G．求证：CG

BD=．

直角三角形与等腰三角形的综合

1、如图，在Rt△ABC中，AB=AC．D，E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将△ADC绕点A顺时针旋转90°后，得到△AFB，连接EF，下列结论：①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC=DE；④BE2+DC2=DE2．其中正确的是（）

A．②④B．①④C．②③D．①③

变式：1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D、E为斜边BC上两点（不与B、C重合），且∠DAE=45°，把△ABD沿着AD折叠，得到△ADF．那么正确结论有（）

①△DEF是直角三角形；

②△AFE≌△ACE；

③BD+EC＞DE；

④AF是∠BAC的平分线．

A．1个B．2个C．3个D．4个

A

C

G

H

E

F

D B

D

C

B

A

2、如图所示，已知△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=90°，直角∠EPF 的顶点P 是BC 中点，两边PE 、PF 分别交AB 、AC 于点E ，F ，给出以下四个结论：①AE=CF ；②△EPF 是等腰直角三角形；③S 四边形AEPF =S △ABC ；④EF=AP ．当∠EPF 在△ABC 内绕顶点P 旋转时（点E 不与A ，B 重合），上述结论中始终正确的有（ ）

A ． ①④

B ． ①②

C ． ①②③

D ． ①②③④

1．如右图：在四边形ABCD 中，AB=2，CD=1，∠A=60°，求AD 的长，与四边形ABCD 的面积。 [来源:学|科|网Z|X|X|K]

2、 如右图，将等腰直角三角形ABC 绕点A 逆时针旋转15°后得到△AB ′C ′， 若AC=3，则图中阴影部分的面积为（ ）.

A ．33

B ．36

C ．3

D ．2

3

3．直角三角形周长是62

，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积为（ ）。

A ．

51 B ．41 C ．31 D ．2

1

4：如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE＝CF．请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你判断的理由．

5、如图，在△ABC中，AB=AC，DE是过点A的直线，BD⊥DE于D，CE⊥DE于E．

（1）若BC在DE的同侧（如图①）且AD=CE，说明：BA⊥A C．

（2）若BC在DE的两侧（如图②）其他条件不变，问AB与AC仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由．

6、若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P到三边的距离相等，这个距离为。

7：在直角三角形中，若两直角边b

a,满足,

60

,

17=

=

+ab

b

a则斜边长为。

8．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB 长2.5米，顶端A在AC 上运动，量得滑杆下端B距C 点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？

9.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的直角边OA在x轴的正半轴上，点B在第一象限，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转到△OA′B′，使点B的对应点B′落在y轴的正半轴上，已知OB=2，∠BOA=300。

（1）求点B与点A′的坐标；

（2）求经过点B与点B′的直线所对应的一次函数解析式,并判断断点A′是否在直线BB′上.

A

B C

D

F

E

A 、4

B 、5

C 、6

D 、10

4. 四边形ABCD 中，AB =BC ，∠ABC =∠CDA =90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD

的面积为8，则BE =（ ）

A ．2

B ．3

C ．22

D ．23

5、若△ABC 三边分别为a 、b 、c ，且满足a 2+b 2+c 2

+50=6a+8b+10c ，则△ABC 的形状为（ ） （A ）等腰三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰直角三角形 （D ）等边三角形

6．如图，有两个长度相同的滑梯（即BC=EF ），左边滑梯的高度AC?与右边滑梯水平方向的长度DF 相等，则∠ABC+∠DFE 的度数为（ ）

A 600

B 900

C 1200

D 不确定

7．如图，要为一段高为5米，水平长为13米的

楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米。 8、用刻度尺和圆规在数轴上找出5的点.

9．如图2，已知∠BAC=30°，AD=BD ，AB ⊥BC ，AD ⊥DB ，BC=4， 求（1）AD 、AC 、AB 的长度。 （2）求四边形ADBC 的面积。

B 组（能力提升）

1、直角三角形的周长为12cm ，斜边的长为5cm ，则其面积为 ；

2．如图，已知一个四边形的四条边AB ，BC ，CD 和DA 的长分别是3，4，13和12，其中∠B=90°，求这个四边形的面积。

l

321

S 4

S 3S 2S 1

E D C

B A D B C

A S 2S 3

S 1C B A

⑤

④③

②

①C B

A

3.如图，已知AC=5cm ，BC=12cm ，AC ⊥BC ，CD ⊥AB 于D ，求线段CD 和AD 的长？

4、一个直角三角形的两边长分别是5，12，那么它斜边上的中线长是多少？它斜边上的高线长是多少？

5、.如图，直角三角形两条直角边AC=6cm ，BC=8cm ，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C 与点E 重合。求CD 的长。

6、.如图所示，以△ABC 的每一条边为边作三个正方形。你能得到什么结论？并说明理由。

（1）

A

B

C组（拓展提高）

1．如图1，点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都为1cm/s，

（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；

（2）何时△PBQ是直角三角形？

（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠CMQ变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数．