两条直线的位置关系教学设计高亚玲
《§2.1 两条直线的位置关系(1)》教学设计
教师：高亚玲单位：银川九中阅海分校
一、教学内容解析
生活中的图形形形色色、丰富多彩，有平面图形也有立体图形，在研究立体图形时往往将立体图形转化成平面图形来分析，如平面展开图、截面图、三视图等，因此平面图形是立体图形的基础，而基本平面图形——线和角正是研究图形的出发点.平面内构成图形的要素是点、线，线是如何构成图形的呢？这就归结于平面内两条直线有怎样的位置关系的问题，明确了两条直线的位置关系，线线构成图形的方式也就明了.同时，《两条直线的位置关系(1)》是章节起始课，明确相交线、平行线、对顶角概念及其性质、余补角概念及其性质后，为后续学习相交的特殊情况——垂直及平行线的性质和判定作好铺垫.新课标指出，图形与几何的三大内容之一——图形的性质中除了点、线、面、角、相交线、平行线，主要还有三角形、四边形，而本节内容正是学习三角形、四边形的知识基础．此外本节蕴含的验证方法，如等式的性质、等量代换则是演绎推理的基本依据.因此，这节课在教材中起着承上启下的过度作用.
《两条直线的位置关系(1)》首先在了解平面内两条直线的位置关系——相交线和平行线的基础上，由相交线产生的具有特殊位置关系的对顶角的概念、对顶角相等这一性质应运而生；紧接着由相交线产生的具有特殊数量关系的补角、与补角紧密相联的余角的概念出现顺理成章；最后由生活中台球实例引出并推导得到的余补角性质：同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等，是对本课内容的有力收尾，一方面是继余补角概念之后对余补角知识的完善，另一方面这一性质的推导方法与对顶角性质的推导方法如出一辙，体现类比、归纳等思想方法.
基于以上分析，确定本节课的重点为：两条直线相交和平行的关系，对顶角的概念及性质，余补角的概念及性质.
二、教学目标设置
根据对本课知识的理解，确定教学目标为以下三点：
(1)在生动有趣的情境中，了解两条直线相交和平行的关系；
(2)在具体情境中理解对顶角、补角、余角的概念，掌握对顶角相等、同角或等角的补角相等、同角或等角的余角相等这些性质，并能解决一些实际问题；
(3)经历观察、操作、推理、交流等活动，进一步发展空间观念、推理能力和初步有条理的表达能力.
三、学生学情分析
学生已经具备从生活中抽象图形的能力.图形是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上.学生通过观察生活中的物体，明白点是未知的抽象，线是路径的抽象．如观察一个书桌占据的空间，有长短、宽窄、高矮，就有了形状的概念；继续观察，发现桌面上有四个相等的角、两两相等的对边、长和宽不相等......而黑板面、书本各个面、门窗各个面等都具有这些相同的特征，于是就形成了“长方形”的概念，“长方形”已不再是某个具体的物体，而是抽象了的图形，学生已经具备这种抽象图形的能力.
知识技能方面，学生在小学已经认识了相交线、平行线、角，在七年级上册中，已经对点、线的表示及角的表示、分类、比较有了一定的认识，这些知识储备为本节课的学习奠定了基础.活动经验方面，此年龄段的学生有较强的自我发展意识，喜欢表现自己，对有挑战性的任务很感兴趣，具备了一定合作交流能力.同时学生已经具备了一定的图形认识能力和借助图形分析问题、解决问题的能力，能够将直观与简单推理相结合，具有了初步有条理的表达能力.
本节课首先要求学生在认识相交线、平行线的基础上，通过观察生活中的图片抽象归纳出相交线、平行线的概念，明确同一平面内两条直线的位置关系有相交、平行两种；在动手画出任意两条相交线，标示出形成的四个角后，学生经历观察、操作、推理、交流等过程，运用观察、度量、叠合、推理计算等角的比较方法发现并验证对顶角的位置关系和大小关系；随后在教师引导下，发现具有特殊数量关系的补角，明确补角、余角的概念；最后在打台球具体情景中，学生通过将实景图抽象成几何图形，在三个问题的带动下，探讨余补角的性质.在整个过程中，归纳相交线、平行线概念的过程学生可以独立完成；发现并验证对顶角位置和数量关系时，学生可能对位置关系表达不完整，欠准确，教师可以适当补充说明，其中“反向延长线”只是让学生直观理解，可以结合具体图形向学生加以说明，数量关系的验证方法多样，其中推理计算学生可能存在一定困难，需要教师适当引导；学生能够发现补角特殊的数量关系，得出余补角的概念，在探讨余补角性质的过程中，鉴于之前验证对顶角相等的方法，在教师的适当引导下，学生能够应用观察、度量、叠合、推理计算等方法得出余补角的性质，但是在归纳总结环节可能
会出现问题，教师应在学生表达的基础上规范表述.
基于以上分析，确定本节课的难点为：对顶角的概念及性质，余补角的性质.
四、教学策略分析
教法和学法是不能分割的.教法中包含着学法，学法里体现着教法，二者共处于教学过程之中.
教师课前准备：三角板、剪刀、彩色粉笔、剪好的两组互补的角、吸钉．教法：本节课将采用探索发现式及讲练结合的教学方法，以问题的提出、解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与教学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题，在引导分析时，留给学生足够的思考时间和空间，让学生去观察、操作、推理、交流，从真正意义上完成对知识的自我建构.另外，在教学过程中采用多媒体(如幻灯片、投影仪、几何画板、音频、视频)辅助教学，直观呈现教学素材，动态演示图形变化过程，从而更好激发学生的学习兴趣，增大教学容量，提高教学效率.
学生课前准备：三角板、剪刀、量角器、学案、笔、橡皮．学法：为了让有效的数学学习不单纯地依赖模仿与记忆，这节课主要采用自主探索与合作交流的开放式学习方法.学生通过观察生活中相交线、平行线的图片，发现熟悉的生活中包含着数学知识，激发求知欲望，归纳平面内两条直线的位置关系和相交、平行的特点，获得相交线、平行线的概念；通过经历观察、操作、推理、交流等过程，学生积极参与教学过程，在过程中展开思维，发现并验证对顶角概念及性质、余补角概念及性质，培养提出、分析、解决问题的能力，进一步理解类比、归纳等重要思想方法.
五、教学过程设计
新课标指出，数学教学过程是学生在教师指导下的数学学习活动，是教师和学生间互动的过程，是师生共同发展的过程，包括学生对数学知识的认知和实践两个方面.为有序、有效进行教学，本节课安排七个教学环节，简称七个字：引、探、得、索、固、深、馈.
环节一走进生活引出课题
问题1：美丽的银川我们的家，请欣赏(播放图片和音频)，如果将北京路、上海路、正源街近似看作三条直线，那么它们有哪些位置关系呢？我们一起走进两条直线的位置关系(师板书课题).请结合图片，告诉老师和同伴同一平面内两条直线的位置关系有哪几
种呢？
问题2：(比划相交线)像这样的两条直线叫做相交线.你能说说相交线有什么特点？
问题3：(比划平行线)像这样的两条直线叫做平行线.你能说说平行线有什么特点？
问题4：除了这几个例子外，你还能举出生活中相交线和平行线的例子吗？
问题5：你能画出相交线吗？请在学案上画出任意两条相交线.
设计意图：让学生从生活实践中认识平面内两条直线的位置关系，引发学生思考两条直线位置关系的特征，体会数学知识和生活的密切联系.在欣赏美丽图片和音乐的同时，以问题串的形式层层设疑，引起学生的认知冲突，激发学生的学习兴趣和求知欲望，问题1引导学生带着问题观察图片，发现两条直线的位置关系；问题2、问题3进一步推动学生思考相交线和平行线的特点，得出相交线和平行线的概念；问题4引导学生回归生活，发现生活中的实例；问题5在了解概念后，鼓励学生动手操作画出任意两条相交线，符合认识事物从感受现象到归纳概念再到动手操作的过程.有效突出本节课的一个重点.
环节二提出问题探求新知
问题6：在图中标上字母A、B、C、D、O，直线AB与CD相交，
交点为O，将如图的角记为∠1、∠2、∠3、∠4，其中∠1与∠2、
∠3与∠4就是对顶角．那对顶角有什么位置关系呢？
结论(对顶角概念)：对顶角就是两条直线相交形成的具有公共
顶点且两边互为反向延长线的两个角.
练习1：下列各图中，∠1和∠2是对顶角的是( )
问题7：有了这样的位置关系，那∠1与∠2的数量有什么关系呢？
问题8：为什么相等？你用什么方法验证呢？(生独立思考后小组
1
2
3 4
1
2 1 2 1
2
1
2
A B C D
交流)
结论(对顶角性质)：对顶角相等．如剪刀可以近似看成两条相交线，剪刀在剪东西过程中，所形成的对顶角相等.
设计意图：现代数学教学论指出，教学必须在学生自主探索，经验归纳的基础上获得，教学中必须展现思维的过程性，在这里通过学生的动手操作，独立思考、合作交流，培养合情推理能力，运用观察、度量、叠合、推理计算等手段，引导学生自行归纳出结论．问题6在上一环节画图基础上，先抛出图中两组角∠1与∠2、∠3与∠4就是对顶角，紧接着提出对顶角有什么位置关系这个问题，而学生易于在图中发现对顶角的顶点和边的关系，直指对顶角的定义，问题指向明确；练习1通过识别并判断四组有特殊位置关系的角，及时考察学生对对顶角定义的理解情况，进一步帮助学生准确理解定义；问题7的设置起到承上启下的作用，一方面对对顶角的位置关系做了收尾，另一方面引出对顶角的数量关系，为下面的讨论指明方向；问题8则是在问题7的基础上，追问你有什么验证方法，这里留出充足的时间，让学生先充分思考再合作交流，尽情讨论，从而理清思路、找到办法，为得出对顶角相等这一性质打好基础．有效突出了重点，突破了难点．环节三发现规律获得概念
问题9：∠1和∠2相等，那∠1和∠3一定相等吗？那它们有什么数量关系？∠1和∠4呢？
结论(余补角概念)：如果∠α+∠β=180o，那么∠α与∠β互为补角，简称互补；如果∠α+∠β=90o，那么∠α与∠β互为余角，简称互余．如老师手中三角板这个30o角和60o角和为90o，则这两个角互余．
练习2：下列各组角互为补角的有( )，互为余角的有( )
A、20o，70o
B、30o，45o，15o
C、110o，70o
D、90o，90o
结论：互补、互余是指两个角的关系，和为180o互补，和为90o互余，是数量关系，与位置无关.
设计意图：由环节二的铺垫，可以得知对顶角∠1与∠2一定相等，而问题9提出“那∠1和∠3一定相等吗？那它们有什么数量关系？∠1和∠4呢？”这几个问题，引出余补
角的定义，过渡简单自然而又不失巧妙．通过这样设计，突出重点，体现了“学习不是为了‘占有’别人的知识，而是为了‘生长’自己的知识”这种现代教育观，力求避免照本宣科地讲解，不断创设教学情景，建立让学生积极参与、自主探索的课堂教学模式.练习2中的四组角只给出角的度数，目的是强调互余与互补是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关, 加深理解定义的本质.
环节四 情境设疑 再索新知
问题10：同学们知道台球王子吗？
问题11：你们知道吗，丁俊晖在击球过程中还用到了数学知识，请看下面这个问题：打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时∠1=∠2.画出相应几何图形，直线ON 与DC 交于点O ，∠DON=∠CON=90°，请思考：
(1)图中有哪些角互为余角？
(2)∠3与∠4有什么数量关系？理由是什么？
(3)由(1)(2),你发现等角的余角有什么数量关系？(生独立思考后小组交流)
问题12：那同角的余角相等吗？
结论(余角的性质)同角或等角的余角相等．
问题13：既然余角有这样的性质，那补角有类似的性质吗？
结论(补角的性质)同角或等角的补角相等． 练习3：这四条性质用符号语言怎么表示呢？比比看谁的速度快：
(1)∵∠1+∠2=90o，∠2+∠3=90o，∴∠1= ，理由是 . (2)∵∠1+∠2=180o，∠2+∠3=180o，∴∠1= ，理由是 .
(3)∵∠1+∠2=90o，∠3+∠4=90o，且∠1=∠3，∴∠2= ，理由是 .
(4)∵∠1+∠2=180o，∠3+∠4=180o，且∠1=∠3，∴∠2= ，理由是 . 设计意图：问题10话锋一转，一则激发学生的兴趣、缓解学生的疲劳，二则为后面
2 D C O 1
3
4 A N
B
的台球问题找到现实情境，使得台球问题变得生动有趣；问题11以现实情境为背景，由实景图抽象出几何图形后提出三个问题，三个问题步步设疑，层层逼近，这里同样留出充足的时间，让学生先独立思考再合作交流，从而理清思路得出结论，培养学生用数学语言表达和总结的能力，渗透由特殊到一般的归纳思想；问题12则趁热打铁，将等角换为同角，结论显然成立；问题13则运用类比的发问方式，激发学生的求知欲，进而在教师演示两组补角的数量关系中，学生很容易得出补角的性质，水到渠成．这里问题11与问题13的方法互相补充，既有演绎推理的计算，又有合情推理的叠合，这与环节二中探究对顶角性质的方法不谋而合，但又在其基础上得到提升．练习3通过比赛填空的方式，在激发学生兴趣的同时，及时将所得结论用符号语言表示，实现了两种语言的转化．有效突出重点突破难点.
环节五课堂训练，巩固提升
思考题：老师现在有一道非常困惑的问题，你们能
用自己的智慧帮忙解决吗？请看：北京路路旁一建筑物
有两堵高墙(如图)，老师很想知道两个墙面所成角∠AOB
的度数，人不能进入围墙内，你能帮忙解决吗？
设计意图：高墙随处可见，但很多人都不曾留意墙
面所成角度，这里刻意将题目的背景设置成学生熟悉的
北京路，一方面与引课环节遥相呼应，另一方面贴近学生实际，增加亲切感和实用性，从而解决这个题目就变得很有意义．学生在结合实际的同时，通过思考、计算，运用多种方法求出所成角度，变未知为已知，这会极大调动学生的学习热情．环节六小结归纳，拓展深化
内容：同学们，科学的殿堂美不胜收，只要大家以勤为径，每个人都能领略到无限美好的风光，请静下来，谈谈收获，讲讲体会，道道疑惑，提提问题．
设计意图：通过16个字的发问，既有知识的系统小结，又有思想方法的小结，为下节课的学习埋下伏笔；同时学生畅所欲言谈自己的切身感受和实际收获，进一步了解了平面内两条直线的位置关系，理解并掌握了对顶角的概念及
性质、余补角的概念及性质，并能应用于实际，解决生活中
的简单问题.
环节七 布置作业，反馈提高
必做题：书P40页习题2.1 第 1,3,4,5题；
选做题：如图，在老师家附近有两条笔直的街道AB ，CD
相交于点0，街道OE ，OF 分别平分∠AOC ，∠BOD ，你能不能
帮老师判断街道EOF 是否是笔直的？说说你是怎么想的．
设计意图：以作业的巩固性和发展性为出发点，设计了必做题和选做题，必做题是对本节课内容的一个反馈，选做题是对本节课知识的一个延伸，总的意图就是反馈教学，巩固提高.作业应该体现课堂学习的延续性，这里精心设计的探究性题目，运用所学解决实际问题，体现了数学源于生活又用于生活，同时作业分层可以让不同程度的学生都有不同的收获.
板书设计 2.1 两条直线的位置关系(1) 三、补角和余角
一、两条直线的位置关系 1、定义
相交线：
平行线： 2、性质 二、对顶角 1、定义
2、性质
1 2 F B E A D C
O 2 1
4
3