概率论与数理统计各章节
第五章 大数定理和中心极限定理
1．[一] 据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。
解：设第i 只寿命为X i ，（1≤i ≤16），故E (X i )=100，D (X i )=1002(l=1,2,…,16).依本章定理1知
??????
?
?
?≤-=???????
?
?
?-≤?-=≤∑
∑
∑
===8.0400
1600
1001616001920100161600
)1920(
16
16
16
1
i i i i i i X P X P X P
.7881.0)8.0(=Φ=
从而.2119.07881.01)1920(
1)1920(
16
1
16
1
=-=≤-=>∑∑==i i
i i
X
P X
P
3．[三] 计算机在进行加法时，对每个加数取整（取为最接近它的整数），设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在（－0.5，0.5）上服从均匀分布，
（1）若将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？ （2）几个数相加在一起使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于0.90 解：
（1）设取整误差为X i （Λ,2,1=i ，1500），它们都在（－0.5, 0.5）上服从均匀分布。 于是： 02
5
.05.0)(=+-=
=p X E i 12
1
12)]5.0(5.0[)(2=
--=i X D 18.1112512
1
1500)(,
0)(==?
==i i X nD X nE ?
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????≤≤--=??????????≤-=???????
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∑
∑===15151151151500
11500115000i i i i i i X P X P X P ???
????
???????≤≤--=∑=18.111518.1118.111511500
1
i i X P
1802
.0]9099.01[2)]34.1(1[2)]
34.1()34.1([1=-?=Φ-=-Φ-Φ-=
8．某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8，医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言。（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
解：设X 为100人中治愈的人数，则X ～B (n, p )其中n=100
（1）)75(
1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=???
???????-≤--=≤-=> 8944.0)4
5
()45(
1=+Φ=-Φ-= （2）p=0.7由中心极限定理知
)75(1751)75(1)75(npq np npq np npq np X P X P X P -Φ-=??
?
?
??????-≤--=≤-=> .1379.08621.01)09.1(1)21
5
(
1=-=Φ-=Φ-= 7．[七] 一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成。在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的概率。
（2）一个复杂的系统，由n 个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即部件工作的概率）为0.90。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n 至少为多少才能使系统的可靠性不低于0.95。
解：（1）设每个部件为X i (i=1,2,……100)
??
?=部件损坏不工作
部件工作0
1
i X
设X 是100个相互独立，服从（0－1）分布的随机变量X i 之和
X=X 1+ X 2+……+ X 100
由题设知 n=100 P {X i =1}=p =0.9, P {X i =0}=0.1 E (X i ) =p =0.9
D (X i ) =p (1－p )=0.9×0.1=0.09
n ·E (X i ) =100×0.9=90, n D (X i ) =100×0.09=9
??
?
???????-≥-=??????≥∑
=)()(85)()(851001i i i i i i X nD X nE X nD X nE X P X P
=??
????-≥-=????
??-≥-3539099085990X P X P
=?
?????-<--35
3901X P
由中心极限定理知
?
-
∞
---
≈3
522
21
1dt e π
t )3
5
(1-
Φ-= 查标准正态分布表
=φ(1.67)
=0.9525
解：（2）设每个部件为X i (i=1,2,……n )
??
?=部件损坏不工作
部件工作0
1
i X
P {X i =1}=p =0.9, P {X i =0}=1－p =0.1 E (X i ) =p =0.9,
D (X i ) =0.9×0.1=0.09
由问题知
95.0100801=?
?????>∑
=n i i n X P 求n=?
而
?
??
???>∑
=n X P n i i 100801
??
???
??
???????
->-=∑
=)(10080
)(1
i i n
i i X nD np n X nD np
X P
=??
?
??
??
???
????->-∑
=n n n n
n X P n
i i 3.09.010080
3.09.01
=1－???
???????????-≤-∑=n n n n
n X P n i i 3.09.0100803.09.01由中心极限定理知
=95.03.01.03.01.01≥???
?
??Φ=????
??-Φ-n
n n
n 查标准正态分布表得645.13.01.0≥n
n
解得n ≥24.35
取n=25，即n 至少为25才能使系统可靠性为0.95.
[八] 随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH 值，各人测量的结果是随机变量，它们相互独立，且服从同一分布，其数学期望为5，方差为0.3，以Y X ,分别表示第一组和第二组所得结果的算术平均：
（1）求P {4.9<1.5 解：由中心极限定理知 3.0805 8080 1 ??-= ∑=i i X U ～N (0,1) 3 .0805 8080 1 ??-= ∑=j j Y V ～N (0,1) （1）?? ? ?? ?? ????? ?? ??-? ??-?=<<∑ =3.080580801.53 .0805803.0805 80809.4}1.59.4{80 1 i i X P X P 8968.019484.021)63.1(263.124 58063.180 1=-?=-Φ=???? ? ?? ?? ???? ? ???? -∑ =i i X P （2）由X i , Y j 的相互独立性知∑∑==80 1 801 j j i i Y X 与独立。从而U ，V 独立。 于是U －V ～N (0, 2) 而24 80 1 801∑∑==-= -?j j i i Y X V U Z ?? ? ?? ????? ?? ?? ?? < ??-=<-<-∑ ∑ ==3.080801.03 .0803.08080 1.0}1.01.0{80 1 80 1 j j i i Y X P Y X P 1)15.1(2263.1263.1}63.163.1{-Φ=???? ? ?-Φ-???? ??Φ=<<-=Z P =2×0.8749－1=0.7498 [九] 某种电子器件的寿命（小时）具有数学期望μ（未知），方差σ2=400 为了估计μ，随机地取几只这种器件，在时刻t=0投入测试（设测试是相互独立的）直到失败，测得其寿 命X 1，…，X n ，以∑ == n i i X n X 11 作为μ的估计，为使,95.0|}{|≥-μX P 问n 至少为多少？ 解：由中心极限定理知，当n 很大时 )1,0(~2 2 1 N σ n μn X n σ n μ n X n i i -= -∑= ??? ? ? ? -Φ-???? ??Φ≈??? ???????< -<-=<-2 22 22}1|{|σn n σ n n σn n σn μ n X n σ n n P μX P =95.01202≥-???? ??Φn 所以975.020≥??? ? ??Φn 查标准正态分布表知 64 .153696.120 ≥≥n n 即n 至少取1537。