表达式、函数和表

表达式、函数和表
表达式、函数和表

实验课程名称 VF及其应用系统开发实验项目名称表达式、函数和表

专业班级电子科学与技术09级1班学生姓名

学号

指导教师

实验时间2011年10月

第2章表达式、函数和表

实验2-1 表达式与函数

1.实验目的

(1)掌握常量和变量的使用方法,了解内存变量和数组的特点。

(2)熟练掌握Visual FoxPro 常用函数的功能和使用方法。

(3)理解Visual FoxPro 的各种表达式。

2.实验要求实验要求

(1)练习常量写法、内存变量赋值、数组定义及赋值。

(2)练习常用函数的用法。

(3)练习表达式计算,运算符的优先级别。

(4)对于本实验安排的错误表达式,请写出出错时的提示信息,并分析出错原因。

3.实验准备实验准备

阅读主教材2.1.1 节中的"命令窗口操作"部分和2.2 节。

4.实验步骤实验步骤

(1)判断下列表达式的正误,写出正确的值并上机验证。

①123+456

T, 579

②123+"456"

F, str(123,3,0)+"456", 123456(操作符/操作数类型不匹配)

③"123"+"456"

T, 123456

④5>3>1

F, 5>3 and 3>1, .T. (操作符/操作数类型不匹配)

⑤"abc "+"456"

T, abc 456

⑥"abc "-"456"

T, abc456 (-运算符用于连接两个字符串,并将前一个字符串尾部的空格移到字符串的尾部)

⑦{^2006/06/20}+{^2006/06/12}

F, {^2006/06/20}-{^2006/06/12}, 8(操作符/操作数类型不匹配)

⑧{^2006/06/20}-{^2006/06/12}

T, 8

(2)写出下列命令的显示结果或提示信息,然后上机验证。

x=123

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:N

x="123"

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:C

x=.T.

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:L

x=".T."

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:C

x={^2006/06/10}

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:D

x={"^2006/06/10"}

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:日期/日期时间中包含了非法字符x="^2006/06/10"

?TYPE("x")

显示值或提示信息为:C

STORE 123**2-10 TO x,y,z

?"x=",x,"y=",y,"z=",z

显示值为:x=15119.00 y=15119.00 z=15119.00

DIMENSION a(3)

a(1)=123

STORE [I’m a student.] TO a(2)

?a(0)

显示值或提示信息为:无效的下标引用

?a(1)

显示值或提示信息为:123 \

?a(2)

显示值或提示信息为:I’m a student. ?a(3)

显示值或提示信息为:.F.

(3)写出下列函数的返回值,然后上机验证。

①数值型函数

?INT(123.456),INT(-123.456)

返回值:123 -123

?ROUND(123.456,1),ROUND(-1234.567,-1)

返回值:123.5 -1230

?MOD(8.7,3),SQRT(144)

返回值:2.7 12.00

②字符处理函数

?SUBSTR("Visual FoxPro",3,5),SUBSTR("Visual FoxPro",3)

返回值:sual sual FoxPro

?AT("o","FoxPro",1), AT("o","FoxPro",2), AT("o","FoxPro")

返回值:2 6 2

?VAL("3.14"),VAL("3.14E2"), VAL("3.14E"), VAL("E 3.14")

返回值:3.14 314.00 3.14 0.00

?STR(3.1415,5,1), STR(3.1415,5), STR(3.1415), STR(3.1415,5,5) 返回值:3.1 3 3 3.142

?LEN(" ABCD "),LEN(ALLTRIM(" ABCD "))

返回值:6 4

③日期处理函数

?CTOD("10/1/99")

?CTOD(10/1/99)

x=DATE()

?DTOC(x),DTOS(x),TYPE(‘DTOS(x)’)

?YEAR(x),TYPE(‘YEAR(x)’)

(4)计算下列表达式的值,指出表达式的类型,然后上机验证。

①DTOS(DATE())+SPACE(3)+DTOC(DATE())

②YEAR({^2006/06/10})>2006

③SUBSTR("Visual FoxPro",8)="Fox"

④(1.1+2)^3>66 OR (1.1+2)^3<66 AND "AB"$"ABCD"

⑤"数据库">"自由表"

5.思考与操作思考与操作

(1)单个的常量、变量或函数是否是表达式?

答:单个的常量、变量或函数是表达式,例如’123’,x(事先已经定义的变量),RECN() 等等都是表达式。

(2)汉字的排序按什么方式进行?

答:汉字的排序是按其汉语拼音顺序进行排序的。

(3)VFP 在命令窗口中保留了已使用过的命令,可以将光标移到命令的任意位置,按回车键重新执行;或用常用的剪切(Ctrl+X)、复制(Ctrl+C)、粘贴(Ctrl+V)剪贴编辑方法,快速生成新命令,以节省时间,减少输入错误。

实验2-2 表的建立与维护

1.实验目的

(1)掌握使用表设计器和命令方式建立和修改表结构的方法。(2)掌握表记录输入和维护的方法。

(3)学会使用菜单和命令两种方式对表进行操作。

2.实验要求实验要求

(1)使用表设计器建立"订单"表(结构见表2.2.1,记录见图2.2.1),用命令方式建立"员工"表(结构见表2.2.2,记录见图2.2.2)。(2)用"插入对象"和剪贴板两种方法,在员工表中郑大地记录的通用型字段输入该员工的照片。

(3)用复制表结构的方法,新建一个"员工A"表,用于练习表和记录的维护。

3.实验准备

阅读请教材2.1 节,以及2.4.1 节、2.4.2 节、2.4.4 节、2.5.2 节和2.5.3 节。

4.实验步骤

(1)创建"订单"表:选定菜单命令"文件|新建" ,或单击"常用"工具栏的"新建"按钮,即显示"新建"对话框(见主教材图2.2)→文件类型选定为"表" ,单击"新建文件" 按钮,即出现"创建" 对话框(见主教材图2.3)"保存在" →在组合框中选定C:\ Visual FoxPro 项目→在"保存类型"组合框中选定"表"→在"输入表名"文本框中输入"订单"→选定"保存"按钮,使出现订单.dbf 的表设计器(参阅主教材图

2.4)→按表2.2.1 设定各框,单击"是"按钮,然后按图2.2.1 输入订单.dbf 的记录。

(2)创建"员工"表。

①在命令窗口逐条执行下列命令:

CREATE TABLE 员工(工号c(4),姓名c(8),

电话c(12),照片g NULL,备注m)

LIST STRUCTURE

INSERT INTO 员工VALUES("0001","张颖","65559812",null,"") INSERT INTO 员工VALUES("0002","王伟","68559456",null,"") INSERT INTO 员工VALUES("0003","李芳","53553455",null,"") INSERT INTO 员工(工号,姓名,电话,备注) VALUES("0004",; "郑大地","65558123" ,"郑大地被提拔为销售经理。学习过<成功的电话销售>课程。")

BROWSE

图如下

②交互方式输入备注型字段数据:在"员工"浏览窗口中,双击"李芳"记录中的"备注" 字段的memo 区,使出现标题为"员工.备注"的文本编辑窗口→输入"李芳进公司时是销售员,后提升为销售代

表。"→近Ctrl+W 键保存输入内容并关闭窗口,memo 的第一个字符即变为大写M。

(3)输入通用型数据。①"插入对象"方法:双击"郑大地"记录中"照片"字段的gen 区,使出现标题为"员工. 照片"的通用型字段窗口→选定"编辑"菜单的"插入对象"命令→在"插入对象"对话框中选定"由文件创建"选项按钮(参阅主教材图 2.12),然后使用"浏览"按钮选定图片文件C:\Program Files\Microsoft Visual Studio\Vfp98\ FOX.BMP→选定"确定"按钮,通用型字段窗口内即显示一张照片→按Ctrl+W 键保存输入内容并关闭窗口,gen 的第一个字符即为大写G。

②剪贴板方法:将上述图片预先存入剪贴板中,然后打开通用型字段窗口,只要选定"编辑" 菜单的"粘贴"命令或按Ctrl+V 键,图片即被输入。

(4)表和记录的维护。

①在命令窗口执行下列命令,通过复制来生成一个空表"员工

A.dbf" 然后为该表添加"工,资"字段。

USE 员工

LIST STRUCTURE

COPY STRUCTURE TO 员工A

ALTER TABLE 员工A ADD 工资n(9,2)

SELECT 员工A

LIST STRUCTURE

②选定菜单命令"显示|表设计器"来打开表设计器,然后将"工资"字段名改为"基本工资" ,字段宽度改为7。

③在命令窗口执行如下命令,将"员工"表中工号大于0001 的记录添加到"员工A"表中。

APPEND FROM 员工FOR 工号>"0001"

④在命令窗口执行如下命令,给"员工A"表的"基本工资"字段赋值。

REPLACE ALL 基本工资WITH 800

⑤打开浏览窗口,选定菜单命令"显示|追加方式" 向,"员工A" 表添加新记录。使用DELETE、RECALL、PACK 命令练习记录的逻辑删除、恢复及物理删除操作。

5.思考与操作思考与操作

(1)比较实验步骤(2)操作①中最后一条INSERT 命令与前三条INSERT 命令的异同,学会用INSERT 命令输入备注型数据的方法。

答:实验步骤(2)操作①中最后一条INSERT 命令与前三条INSERT 命令的最大差别是前面的插入新记录是将默认的字段即全部字段的相应信息按序逐条插入,而最后一条INSERT 命令则是将指定的字段的相应信息按序插入。INSERT 命令输入备注型数据时只要将备注的内容用""引起来就可以了。

(2)在"员工A"表中选取一位员工的"照片"字段,使用剪贴板输入图片。

(3)使用表设计器或命令方式创建"订单明细""客户"和"货物"表。、①创建"订单明细"表:按表2.2.3 定义表结构,按图2.2.3 输入记录。

按表2.2.3 "订单明细"表结构

订单号字符型5

货号字符型5

数量数值型4 0

②创建"客户"表:按表2.2.4 定义表结构,按图2.2.4 输入记录。表2.2.4 "客户"表结构

客户编号字符型 5

公司名称字符型18

联系人字符型8

电话字符型12

Vip 逻辑型 1

③创建"货物"表:按表2.2.5 定义表结构,按图2.2.5 输入记录。

表2.2.5 "货物"表结构

货号字符型5

货名字符型10

单价数值型5 2

库存量数值型4 0

高中数学函数解析式求法

函数解析式的表示形式及五种确定方式 函数的解析式是函数的最常用的一种表示方法,本文重点研究函数的解析式的表达形式与解析式的求法。 一、解析式的表达形式 解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。 1、一般式是大部分函数的表达形式,例 一次函数:b kx y += )0(≠k 二次函数:c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数:x k y = )0(≠k 正比例函数:kx y = )0(≠k 2、分段式 若函数在定义域的不同子集上对应法则不同,可用n 个式子来表示函数,这种形式的函数叫做分段函数。 例1、设函数(]() ???+∞∈∞-∈=-,1,log 1,,2)(81x x x x f x ,则满足41)(=x f 的x 的值为 。 解:当(]1,∞-∈x 时,由4 12= -x 得,2=x ,与1≤x 矛盾; 当()+∞∈,1x 时,由4 1log 81=x 得,3=x 。 ∴ 3=x 3、复合式 若y 是u 的函数,u 又是x 的函数,即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==,那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例2、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ,则[]=)(x g f ,[]=)(x f g 。 解:[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g 二、解析式的求法 根据已知条件求函数的解析式,常用待定系数法、换元法、配凑法、赋值(式)法、方程法等。 1待定系数法 若已知函数为某种基本函数,可设出解析式的表达形式的一般式,再利用已知条件求出系数。

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式 学生: 时间: 学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、.二次函数的三种表达式 一般式:y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0) 顶点式:y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P (h ,k )] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A (x1,0)和 B (x2,0)的抛物线] 2、一般地,自变量x 和因变量y 之间存在如下关系: y=ax^2+bx+c (a ,b ,c 为常数,a ≠0,且a 决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.) 则称y 为x 的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 例题1已知函数y=x 2 +bx +1的图象经过点(3,2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x >0时,求使y ≥2的x 的取值范围. 例题2、一次函数y=2x +3,与二次函数y=ax 2 +bx +c 的图象交于A (m ,5)和B (3,n )两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x 为何值时,一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大. (4)当x 为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( ) A .0<- a b 2<1 B .0<-a b 2<2 C .1<-a b 2<2 D .-a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x -h)2+k 的形式是 A.y =21(x -1)2+2 B.y =21(x -1)2+2 1

二次函数表达式三种形式练习题

7.已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),( 0, 4)和(1,1),则这二次函数的表达式为( A .y=﹣6x 2+3x+4 B .y=﹣2x 2+3x ﹣4 C .y=x 2+2x ﹣4 D .y=2x 2+3x ﹣4 8.若二次函数 y=x 2﹣2x+c 图象的顶点在 x 轴上,则 c 等于( )A .﹣1 B .1 C . ) D .2 9.如果抛物线经过点A (2,0)和B (﹣1,0),且与y 轴交于点C ,若OC=2.则这条抛物线的解析式是( ) A . 10. A . 11. A . y=x 2﹣x ﹣2 B .y=﹣x 2﹣x ﹣2 或 y=x 2+x+2 C .y=﹣x 2+x+2 D .y=x 2﹣x ﹣2 或 y=﹣x 2+x+2 如果抛物线 y=x 2 ﹣6x+c ﹣2 的顶点到 x 轴的距离是 3,那么 c 的值等于( ) 8 B .14 C .8 或 14 D .﹣8 或﹣14 二次函数 的图象如图所示,当﹣1≤x ≤0 时,该函数的最大值是( ) 3.125 B .4 C .2 D .0 当﹣2≤x ≤1 时,二次函数 y=﹣(x ﹣m )2+m 2+1 有最大值 3,则实数 m 的值为( ) A . 或﹣ B . 或﹣ C .2 或﹣ D . 或﹣ 13.如果一条抛物线经过平移后与抛物线 y=﹣ x 2 +2 重合,且顶点坐标为(4, 的解析式为 . 14.二次函数的图象如图所示,则其解析式为 . 15.若函数 y=(m 2﹣4)x 4+(m ﹣2)x 2的图象是顶点在原点,对称轴是 y 轴的抛物线,则 m= . 16.二次函数图象的开口向上,经过(﹣3,0)和(1,0),且顶点到x 轴的距离为 2, 则该二次函数的解析式为 . 17.如图,已知抛物线 y=﹣x 2+bx+c 的对称轴为直线 x=1,且与x 轴的一个交点为(3,0), 那么它对应的函数解析式是 . 18.二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过 A (﹣1,0)、 B (0,﹣3)、 C (4,5)三点,求出 抛物线解析式 . 19.二次函数图象过点(﹣3,0)、(1,0),且顶点的纵坐标为 4,此函数关系式为 20.如图,一个二次函数的图象经过点A ,C ,B 三点,点A 的坐标为(﹣1,0),点B 的坐标为 (4,0),点 C 在 y 轴的正半轴上,且 AB=OC .则这个二次函数的解析式是 . 21.坐标平面内向上的抛物线y=a (x+2)( x ﹣8)与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,若 1.把二次函数 y=x 2﹣4x+5 化成 y=a (x ﹣h )2+k (a ≠0)的形式,结果正确的是( ) A .y=(x ﹣2)2+5 B .y=(x ﹣2)2+1 C .y=(x ﹣2)2+9 D .y=(x ﹣1)2+1 2.将 y=(2x ﹣1)?(x+2)+1 化成 y=a (x+m )2+n 的形式为( ) D . 3.与 y=2(x ﹣1)2+3 形状相同的抛物线为( )A .y=1+ x 2 B .y=(2x+1)2 C .y=(x ﹣1)2 D .y=2x 2 4.二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为( A .y=﹣2(x+2)2+4 B .y=﹣2(x ﹣2)2+4 C .y=2(x+2)2﹣4 D .y=2(x ﹣2)2﹣4 5.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为( ) A .y=﹣3(x ﹣1)2+3 B .y=3(x ﹣1)2+3 C .y=﹣3(x+1)2+3 D .y=3(x+1)2+3 6.顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数 y= x 2的图象相同的抛物线所对应的函数是( ) A .y= (x+6)2 B .y= (x ﹣6)2 C .y=﹣ (x+6)2 D .y=﹣ (x ﹣6)2 A . B . C . ) 2),则它

函数表达式的求法

第四讲 函数解析式的求法 重 点:求解析式的方法. 难 点:求复合函数的解析式. 教学目标:掌握求解析式的几种常用方法 教学过程: 一、导入新课 复习函数定义(重点是构成函数的三要素). 二、新课 1.求解析式的常用方法: (1)待定系数法: 例1.若)(x f 是二次函数,其图象过原点,且.5)1(,1)1(=-=f f 求:).(x f 练习:1.若一次函数)(x f 满足()[]{}.78+=x x f f f 求:).(x f 小结:①待定系数法适用于:已知所求函数解析式的一般形式; ②解法是:根据已知条件列出以所求系数为未知数的方程或方程组,解出系数的值,代回所设解析式. (2)换元法:(配凑) 例2.⑴2 ()1f x x =+,求(1)f x + ⑵2(1)22f x x x +=++,求()f x 练习:2(1)21f x x +=+,求()f x 例3.2(2)5f x x x -=+,求()f x 练习:1.1)f x =2.已知:,1 )1(22x x x x f +=+ 求).(x f 解法二:.2)(,2)1(1)1(2 222-=∴-+=+=+x x f x x x x x x f 小结:①应用换元法求解析式的题型特征是:题中没有给出函数最简的解析式 ②解法是:通过换元,找出原函数的解析式.(还可以用配凑) (3)函数方程法(消元法) 例4.已知:.2)(2)(x x f x f =-+求:).(x f 小结:①例4的解法相当于消元法. ②消元法的特点是在所给解析式中)(x f 与)(x f -中的自变量互为相反的数,或)(x f 与)1(x f 中的自变量互为倒数;得到相当于两个未知数的两个方程,求解。

函数解析式的求法

函数解析式的求法 鄢陵一高王连霞 教学目标: 使学生明确待定系数法、换元法、配凑法是求函数解析式常用的方法,并会用这些方法求函数解析式重点、难点: 重点:待定系数法求函数解析式。难点:换元法与配凑法求函数解析式 教学方法:讲练结合法 学情分析 学生已熟悉用待定系数法求一次、二次函数解析式,但用换元法和配凑法求函数解析式并不熟悉,特别是求出函数解析式后要注明函数定义域易被学生忽视,所以通过讲、练要解决好这些问题,特别要使学生明确函数定义域是函数概念中重要组成部分。 教学设计: 新课引入→用待定系数法求函数解析式→用换元法与配凑法求函数解析式→课时小结→随堂练习 教学过程: 1、新课引入: ①复习提问:求函数定义域的关键是什么?函数三要素是什么?(求函数定义域的关键是确定使函数有意义的条件。函数三要素是对应法则、定义域与值域) ②导入新课:如何根据条件,求出函数对应法则即函数解析式是函数又一重要问题。板书课题:《求函数解析式》 2、用待定系数法求函数解析式 例1:已知函数f(x)是一次函数,且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。 例2:求一个一次函数f(x),使得f{f[f(x)]}=8x+7 分析:这两个例题的共同点,所求的函数类型已定,都是一次函数。这种函数解析式用什么方法来求?

(待学生回答后,老师继续讲)如何剥掉抽象的对应法则符号成了解答这两题的关键,如例1:若设f (x)=ax+b(a ≠0)则f(x+1)=? f(x-1)=? 如例2:设f(x)=ax+b(a ≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解答由学生作出解答) 例1.解:设f(x)=ax+b (a ≠0) 由条件得: 3[a(x+1)+b]-2[a (x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+7 例2.解:设f(x)=ax+b (a ≠0) 依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7 ∴ ∴ ∴f(x)=2x+1 评注:待定系数法是一种重要的数学方法,它适用于已知所求函数的类型,求此函数。 3、用换元法与配凑法求函数解析式 例3:已知f( x +1)=x+2x ,求f(x)的解析式 分析:是否知道所求函数f(x)的类型?(待学生回答后,老师继续讲) 若把x +1看作一个整体,该用什么方法作?(待学生回答,让学生作出解答) 解1:令t=x +1≥1 则x=2)1(-t ∴ f(t)= 2)1(-t +2(t-1)= 2t -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1) 解2:由f(x +1)=x+2x =2)1(+x -1 ∴f(x)=2x -1 (x ≥1) 学生容易忽视函数的定义域,就此例题向学生发问: 师问:f(x)= 2x -1与f(x)= 2x -1 (x ≥1)是否是同一函数?那么求函数解析式后是否要注明函数定义域 评注:(1) f(t)与f(x)只是自变量所用字母不同,本质是一样的。 (2) 求出函数解析式时,一定要注明定义域,函数定义中包括定义域这一要素。 例4:已知f(x-1)= 2x -4x ,解方程f(x+1)=0 分析:如何由f(x-1),求出f(x+1)是解答此题的关键(由老师讲解) 解1:f(x-1)==2)1(-x -2(x-1)-3 ∴ f(x)= 2x -2x-3 f(x+1)= 2)1(+x -2(x+1)-3=2x -4 ∴ 2x -4=0 x=±2 解2:f(x-1)= 2x - 4x ∴f(x+1)=f[(x+2)-1]= 2)2(+x - 4(x+2)= 2x - 4 ∴2x - 4=0, x=±2 解3:令x-1= t+1 则x=t+2 ∴f(t+1)= 2)2(+t -4(t+2)= 2t - 4 ∴ f(x+1)= 2x - 4 ∴2x - 4=0 ∴ x= ±2 评注:只要抓住关键,采用不同方法都可以达到目的。解法1,采用配凑法;解法2,根据对应法则采用整体思想实现目的;解法3,采用换元法,这些不同的解法共同目的是将 f(x-1)的表达式转化为f(x+1)的表达式。

经典函数解析式求法

求函数定义域的方法 一.已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式(不注明定义域),其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围(称为自然定义域),这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是:(1)分式的分母不为零,(2)偶次根式的被开方数为非负数,(3)零次幂的底数不为零,(4)对数的真数大于零,(5)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1,(6)三角函数中的正切函数y=tanx ,{x ︱x ∈R 且 x ≠2 k ππ+, k ∈z } 例1 求下列函数的定义域: (1) y=2)0+㏒(x —2)x 2 解:(1)欲使函数有意义,须满足 2≠0 x —1≥0 x —2>0 解得:x >2 且 x ≠3 ,x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为(2,3)∪(3,5)∪(5,+∞) x ≠0 二. 复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域,依次求,直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题,是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例2 (1)已知函数f (x )的定义域为〔-2,2〕,求函数y=f (x 2-1)的定义域。 (2)已知函数y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,求函数f (x )的定义域。 (3)已知函数f (x )的定义域为〔-1,2〕,求函数y=f (x+1)—f (x 2-1)的定义域。 分析:(1)是已知f (x )的定义域,求f 〔g (x )〕的定义域。其解法是:已知f (x )的定义域为〔a ,b 〕,求f 〔g (x )〕的定义域是解a ≤g (x )≤b ,即得所求的定义域。 (2)是已知f 〔g (x )〕的定义域,求f (x )的定义域。其解法是:已知f 〔g (x )〕的定义域为〔a ,b 〕,求f (x )的定义域的方法为:由a ≤x ≤b ,求g (x )的值域,即得f (x )的定义域。 解:(1)令-2≤X 2—1≤2 得-1≤X 2≤3,即 0≤X 2≤3,从而 x ∴函数y=f (x 2-1)的定义域为〔。 (2)∵y=f (2x+4)的定义域为〔0,1〕,指在y=f (2x+4)中x ∈〔0,1〕,令t=2x+4, x ∈〔0,1〕,则t ∈〔4,6〕,即在f (t )中,t ∈〔4,6〕∴f (x )的定义域为〔4,6〕。 (3)由 -1≤x +1≤2 -1≤X 2—1≤2 得 x ≤1

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式 学生:时间: 学习目标 1熟悉常见的二次函数的图像; 2、理解二次函数的三种表达式 知识点分析 1、?二次函数的三种表达式 一般式:y=ax A2+bx+c (a, b, c 为常数,a老) 顶点式:y=a(x-h)A2+k [ 抛物线的顶点P (h, k)] 交点式:y=a(x-x1)(x-x2)[ 仅限于与x轴有交点A (x1 , 0)和B (x2 , 0)的抛物线] 2、一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系: y=axA2+bx+c (a, b, c为常数,a M),且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方向向上,a<0时,开口方向向下,lal还可以决定开口大小,lal越大开口就越小,lal越小开口就越大.) 则称y 为x的二次函数。 二次函数表达式的右边通常为二次三项式。 例题精讲 2 例题1已知函数y=x + bx +1的图象经过点(3, 2). (1)求这个函数的表达式; (2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标; (3)当x > 0时,求使y》2的x的取值范围. 例题2、一次函数y=2x + 3,与二次函数y=ax2+ bx + c的图象交于A ( m 5)和B (3, n)两点,且当x=3时,抛物线取得最值为9. (1)求二次函数的表达式; (2)在同一坐标系中画出两个函数的图象; (3)从图象上观察,x为何值时,一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大. (4)当x为何值时,一次函数值大于二次函数值? 随堂练习 1.已知函数y=ax2+ bx+ c(a M0)的图象,如图①所示,则下列关系式中成立的是( b b b b ——=1

复合函数的定义域-函数表达式的求法

复合函数的定义域-函数表达式的求法

个性化教学辅导教案 教案课题函数的单调性 教师姓名学生姓名××××上课日期2018.8.3 学科数学适用年级高一教材版本人教版A 学习目标1.掌握用定义法求函数的单调性 2.掌握函数最值的求法 重难点重点:函数的单调性及其几何意义,函数的最大(小)值及其几何意义. 难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性,利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 课前检查作业完成情况:优□良□中□差□建议: 第5 讲复合函数的定义域函数表达式的求法 & 一.复合函数的定义域 1.复合函数的定义: 一般地:若)(u f y=,又)(x g u=,则函数)]([x g f y=叫x的复合函 数,其中)(u f y=叫外层函数,)(x g u=叫内层函数,简言之:复合函数就是:把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.

例如: 2 ()35,()1 f x x g x x =+=+; 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x , 2 2(())3()53(1)538 f g x g x x x =+=++=+ 2.复合函数的定义域 函数))((x g f 的定义域还是指x 的取值范围,而不是)(x g 的取值范围. ① 已知)(x f 的定义域,求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若)(x f 的定义域为()b a x ,∈,求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围,即为)]([x g f 的定义域。 ② 已知复合函数()][x g f 的定义域,求)(x f 的定义域 方法是:若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈,则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域 ③ 已知复合函数[()]f g x 的定义域,求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类

二次函数的三种表达形式.

二次函数的三种表达形式: ①一般式: y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数),顶点坐标为[,] 把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组,就能解出a、b、c的值。 ②顶点式: y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h,顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同,当x=h时,y最值=k。 有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 例:已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10),求y的解析式。 解:设y=a(x-1)2+2,把(3,10)代入上式,解得y=2(x-1)2+2。 注意:与点在平面直角坐标系中的平移不同,二次函数平移后的顶点式中,h>0时,h越大,图像的对称轴离y轴越远,且在x轴正方向上,不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。 具体可分为下面几种情况: 当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到;当h<0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;

当h<0,k>0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象; 当h<0,k<0时,将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。 ③交点式: y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0) [仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线,即b2-4ac≥0] . 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(x1,0)和B(x2,0),我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 由一般式变为交点式的步骤: 二次函数 ∵x1+x2=-b/a,x1?x2=c/a(由韦达定理得), ∴y=ax2+bx+c =a(x2+b/ax+c/a) =a[x2-(x1+x2)x+x1?x2] =a(x-x1)(x-x2). 重要概念: a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向。a>0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。 a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。 能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点,学不易掌握.他的基本思想方法是待定系数法,根据题目给出的具体条件,设出不同形式的解析式,找出满足解析式的点,求出相应的系数.下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下,和大家共勉: 一、定义型: 此类题目是根据二次函数的定义来解题,必须满足二个条件:1、a ≠0; 2、x 的最高次数为2次. 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m -1是二次函数,则m = . 解:由m 2+ m ≠0得:m ≠0,且 m ≠- 1 由m 2–2m –1 = 2得m =-1 或m =3 ∴ m = 3 . 二、开放型 此类题目只给出一个条件,只需写出满足此条件的解析式,所以他的答案并不唯一. 例2、(1)经过点A (0,3)的抛物线的解析式是 . 分析:根据给出的条件,点A 在y 轴上,所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2中的C =3,且a ≠0即可∴32++=χχy (注:答案不唯一) 三、平移型: 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线.要借此类题目,应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ,当图像向左(右)平移n 个单位时,就在x – h 上加上(减去)n ;当图像向上(下)平移m 个单位时,就在k 上加上(减去)m .其平移的规律是:h 值正、负,右、左移;k 值正负,上下移.由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变,所以a 得值不变. 例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位,再向 平移 个单位得到的.

二次函数表达式三种形式练习题

二次函数表达式三种形式 一.选择题(共12小题) 1.(2015?永春县校级质检)把二次函数y=x2﹣4x+5化成y=a(x﹣h)2+k(a≠0)的形式,结果正确的是() A.y=(x﹣2)2+5 B.y=(x﹣2)2+1 C.y=(x﹣2)2+9 D.y=(x﹣1)2+1 2.(2014?XX模拟)将y=(2x﹣1)?(x+2)+1化成y=a(x+m)2+n的形式为()A.B. C.D. 3.(2015秋?XX校级期中)与y=2(x﹣1)2+3形状相同的抛物线解析式为() A.y=1+x2B.y=(2x+1)2 C.y=(x﹣1)2D.y=2x2 4.(2015秋?XX校级月考)一个二次函数的图象的顶点坐标是(2,4),且过另一点(0,﹣4),则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣2(x+2)2+4 B.y=﹣2(x﹣2)2+4 C.y=2(x+2)2﹣4 D.y=2(x﹣2)2﹣4 5.(2015秋?禹城市校级月考)已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为() A.y=﹣3(x﹣1)2+3 B.y=3(x﹣1)2+3 C.y=﹣3(x+1)2+3 D.y=3(x+1)2+3

6.(2014秋?岳池县期末)顶点为(6,0),开口向下,开口的大小与函数y=x2的图象相同的抛物线所对应的函数是() A.y=(x+6)2B.y=(x﹣6)2C.y=﹣(x+6)2D.y=﹣(x﹣6)2 7.(2014秋?招远市期末)已知二次函数的图象经过点(﹣1,﹣5),(0,﹣4)和(1,1),则这二次函数的表达式为() A.y=﹣6x2+3x+4 B.y=﹣2x2+3x﹣4 C.y=x2+2x﹣4 D.y=2x2+3x﹣4 8.(2013秋?青羊区校级期中)若二次函数y=x2﹣2x+c图象的顶点在x轴上,则c等于()A.﹣1 B.1 C.D.2 9.(2013秋?江北区期末)如果抛物线经过点A(2,0)和B(﹣1,0),且与y轴交于点C,若OC=2.则这条抛物线的解析式是() A.y=x2﹣x﹣2 B.y=﹣x2﹣x﹣2或y=x2+x+2 C.y=﹣x2+x+2 D.y=x2﹣x﹣2或y=﹣x2+x+2 10.(2014?XX县校级模拟)如果抛物线y=x2﹣6x+c﹣2的顶点到x轴的距离是3,那么c的 值等于() A.8 B.14 C.8或14 D.﹣8或﹣14 11.(2015?XX模拟)二次函数的图象如图所示,当﹣1≤x≤0时,该函数的最大值是() A.3.125B.4 C.2 D.0 12.(2015?宜城市模拟)当﹣2≤x≤1时,二次函数y=﹣(x﹣m)2+m2+1有最大值3,则实数m的值为() A.或﹣B.或﹣C.2或﹣D.或﹣

05二次函数三种表达式

用待定系数法求二次函数的表达式 年级 九年级 学校 讲义编号 学生 老师 周老师 授课时间 2017..(:00——:00) 教学目标 用待定系数法求二次函数的表达式; 重 点 用待定系数法求二次函数的表达式; 难 点 用待定系数法求二次函数的表达式; 教学内容 【用待定系数法求二次函数表达式的方法】 (1)设:根据条件设函数表达式; (2)列:把已知点的坐标代入表达式,得到方程或方程组; (3)解:解方程或方程组,求出未知系数; (4)答:写出函数表达式,注意最后结果一般要化成一般式c bx ax y ++=2 二次函数解析式的表示方法 一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 顶点式:k m x a y +-=2 )((a ,h ,k 为常数,0a ≠, 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标). 注意:任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2 用配方法可化成:()k m x a y +-=2 的形式,其中a b a c k a b 442m 2 -=-=,. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 公式法:a b ac a b x a c bx ax y 44222 2 -+ ??? ? ? +=++=,∴顶点是),(a b ac a b 4422--,对称轴是直线a b x 2-=. 配方法:运用配方的方法,将抛物线的解析式化为k m x a y +-=2 )(的形式,得到顶点为(m,k ),对称轴是直线m x =. 运用抛物线的对称性:由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

函数表达式(例题+练习题)

函数表达式 【教学目标】 1. 让学生充分掌握求函数解析式的方法 2. 学生能够独立解题 【重点难点】求函数表达式的方法 【教学内容】求函数解析式的常用方法 一、 待定系数法:在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法。 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f 解:设b ax x f +=)( )0(≠a ,则 b ab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2 )()()]([ ∴???=+=342b ab a ∴? ????? =-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 1.设)(x f 是一元二次函数, )(2)(x f x g x ?=,且2 12)()1(x x g x g x ?=-++, 求)(x f 与)(x g . 变式训练.设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且图象在y 轴上截距为1,在x 轴上截得的线段长为22,求)(x f 的表达式.

二、 配凑法:已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式 容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法。但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域。 例2 已知22 1 )1 (x x x x f + =+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式 解:2 )1()1(2-+=+x x x x f , 21 ≥+x x 2 )(2 -=∴x x f )2(≥x 三、换元法:已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式。与 配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化。 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f 解:令1+=x t ,则1≥t ,2 )1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(2 2-=-+-=t t t t f 1 )(2 -=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(2 2+=-+=+∴ )0(≥x 1.已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式. 变式训练.若x x x f -=1)1(,求)(x f .

二次函数表达式三种形式的联系与区别

二次函数表达式三种形式的联系与区别 二次函数的表达式有三种形式,即一般式、顶点式、交点式。它们之间各不相同,而又相互联系。 一、一般式:)0(2≠++=a c bx a y x 优点:二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c ,三系数一目了然。 缺点:不容易看出顶点坐标和对称轴 二、顶点式:)0(4422)2(≠-+=+a a ac a y b a b x 优点:很容易看出顶点坐标和对称轴 缺点:不容易看出二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 各是多少。 三、交点式:))((2 1x x x x a y --= 优点:很容易看出图像与x 轴的交点坐标(x 1,0)和(x 2 ,0) 缺点:(1)不容易看出二次项系数a ,一次项系数b ,常数项c 各是多少。 (2)当图像不与x 轴相交时,此式不成立。 四、三种表达式之间的联系 (1)一般式转化为顶点式 利用配方法转化(一提、二配、三整理) a ac a a ac a a c a x a b a x a b a x a b a c bx a y b a b x b a b x a b a b x x x x 44444][[)2222222222)2()2()2()2(-+=+-=+-++=++ =+ =++=++(

(2)顶点式转化为一般式 展开整理即可 c bx a a ac bx a a ac a bx a a ac x a b a a a ac a y x x b b x b a b x b a b x ++=++=-+++=-+++=≠-+=+222222222224444444)4()0(44)2( (3)交点式转化为一般式 展开,利用韦达定理整理可得 二次函数)0(2≠++=a c bx a y x 与x 轴有两交点(x 1,0)和(x 2,0) 则x 1 和x 2为方程02=++c bx a x 的两个根 ] )([)())((212122121221x x x x x x x x x x x x x a x x a x x a y ++-=+--=--= 由韦达定理得: a c a b x x x x =-=+2121 代入得: c bx a a c x a b a x a y x x x x x x x ++=+--=++-=2221212])([] )([ 三种表达式视情况而定; (1)不知道特殊点的坐标时,常用一般式来表示; (2)知道顶点坐标,常用顶点式来表示; (3)如果知道图像与x 轴的交点坐标,常用交点式来表示。 上述三种情况要灵活运用才能更好地理解二次函数的解析式。

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的六种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g (x )]的解析式,求原函数f (x )的解析式.令g (x )= t ,求f (t )的解析式,再把t 换为x 即可. 例1 已知f ( x x 1+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 解: 设x x 1 += t ,则 x= 11-t (t ≠1), ∴f (t )= 11 1)1 1(1)11 (22-+ -+-t t t = 1+2)1(-t +(t -1)= t 2-t+1 故 f (x )=x 2-x+1 (x ≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f (x +1)= x+2x ,求f (x )的解析式. 解: f (x +1)= 2)(x +2x +1-1=2 )1(+x -1, ∴ f (x +1)= 2)1(+x -1 (x +1≥1),将x +1视为自变量x ,则有 f (x )= x 2-1 (x ≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 例3 已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2)1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ???=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f (x )= x 2+7x. 评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式. 四、消去法 例4 设函数f (x )满足f (x )+2 f (x 1 )= x (x ≠0),求f (x )函数解析式. 分析:欲求f (x ),必须消去已知中的f ( x 1 ),若用x 1去代替已知中x ,便可得到另一个方程,联立方程组求解即可. 解:∵ f (x )+2 f (x 1 )= x (x ≠0) ①

求函数解析式的六种常用方法

求函数解析式的九种常用方法 一、换元法 已知复合函数f [g (x )]的解析式,求原函数f (x )的解析式, 把g (x )看成一个整体t ,进行换元,从而求出f (x )的方法。 例1 已知f (x x 1+)= x x x 1122++,求f (x )的解析式. 解: 设x x 1+= t ,则 x= 1 1-t (t ≠1), ∴f (t )= 1 11)11(1)11(22-+-+-t t t = 1+2)1(-t +(t -1)= t 2-t+1 故 f (x )=x 2-x+1 (x ≠1). 评注: 实施换元后,应注意新变量的取值范围,即为函数的定义域. 二、配凑法 例2 已知f (x +1)= x+2x ,求f (x )的解析式. 解: f (x +1)= 2)(x +2x +1-1=2)1(+x -1, ∴ f (x +1)= 2)1(+x -1 (x +1≥1),将x +1视为自变量x ,则有 f (x )= x 2-1 (x ≥1). 评注: 使用配凑法时,一定要注意函数的定义域的变化,否则容易出错. 三、待定系数法 已知函数解析式的类型,可设其解析式的形式,根据已知条件建立关于待定系数的方程,从而求出函数解析式的方法。 例3 已知二次函数f (x )满足f (0)=0,f (x+1)= f (x )+2x+8,求f (x )的解析式. 解:设二次函数f (x )= ax 2+bx+c ,则 f (0)= c= 0 ① f (x+1)= a 2 )1(+x +b (x+1)= ax 2+(2a+b )x+a+b ② 由f (x+1)= f (x )+2x+8 与①、② 得 ? ??=++=+822b a b b a 解得 ???==.7,1b a 故f (x )= x 2+7x. 评注: 已知函数类型,常用待定系数法求函数解析式.

专题09 一元二次函数的三种表示方式(解析版)

专题09 一元二次函数的三种表示方式 一、知识点精讲 通过上一小节的学习,我们知道,一元二次函数可以表示成以下三种形式: 1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0); 2.顶点式:y=a(x+h)2+k (a≠0),其中顶点坐标是(-h,k). 除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式, 我们先来研究二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数. 当抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交时,其函数值为零,于是有ax2+bx+c=0.① 并且方程①的解就是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=b2-4ac有关,由此可知,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ=b2-4ac 存在下列关系: (1)当Δ>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点,则Δ>0也成立. (2)当Δ=0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有一个交点,则Δ=0也成立. (3)当Δ<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴没有交点;反过来,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x 轴没有交点,则Δ<0也成立.于是,若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有两个交点A(x1,0),B(x2,0), 则x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根,所以x1+x2= b a -,x1x2= c a ,即 b a =-(x1+x2), c a =x1x2.所 以,y=ax2+bx+c=a(2b c x x a a ++) = a[x2-(x1+x2)x+x1x2]=a(x-x1) (x-x2).由上面的推导过程可以得到下面结论: 若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,则其函数关系式可以表示为y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0).这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法: 3.交点式:y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0),其中x1,x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题. 二、典例精析 【典例1】已知某一元二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-1),

二次函数的四种表达式求法推导

爱上数学 提高素养 二次函数的四种表达式求法推导 整理于 2018.4.18 夜 (1)如果二次函数的图像经过已知三点,则设表达式为 y = ax 2 + bx + c ,把已知三点坐标代入其中构造 三元一次方程组求 a 、b 、c 。 (2)二次函数顶点式:如果二次函数的顶点坐标为(h ,k ),则二次函数的表达式为: y = a ( x - h )2 + k 推导如下: y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa = a [x 2 + b x + ( b )2 - ( b )2 + c ] a 2a 2 a a b 2 4a c - b 2 = a ( x + ) + 2a 4a 顶点式的变形: 设二次函数y =ax 2 + bx + c (a 0)的图像交 x 轴于点 A (x 1,o ) 和 B (x 2,0),则 x 1 +x 2 =-b , 1 2 1 2 a c x 1 ? x 2 = a 点 A 、B 的距离为 d , =a (x + 2a ) -4ad 已知二次函数与x 轴两个交点间的距离d ,则设二次函数的表达式为:y =(x -x 0)[x -(x 0 +d )] a [(x + b )2 - b 2 + 2a 4a 2 c ] a =a [(x + 2a ) + 4ac - b 2 4a 2 4ac - b 2 4a d = x 2-x 1 = (x 2 - x 1) = (x 1 + x 2)2 -4x 1 ?x 2 = (-b )2 -4c aa y = ax 2 + bx + c = a (x 2 + b x + c ) aa b 2 - 4ac a 2 b 2 - 4ac = a [x 2 + b x + ( b )2 -( b )2 + c ] a 2 a 2 a a = a [(x + b )2 - b 2 + c ] 2a 4a 2 a b 2 b 2 - 4ac =a [(x + )2 - 2 ] 2a 4a 2 = a [(x + b )2 - 1 d 2 ] 2a 4 2a

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